Königova věta (teorie množin) - König's theorem (set theory)

V teorii množin , Konig teorém říká, že v případě, že axiom výběru drží, I je množina , a jsou číslovky pro každý i v I. a pro každého i v I , poté

Částka je zde mohutnost disjunktní sjednocení všech množin m i a produkt je mohutnost kartézského součinu . Bez použití axiomu volby však nelze součet a součin definovat jako základní čísla a bylo by třeba objasnit význam znaku nerovnosti.

Königovu větu představil König  ( 1904 ) v mírně slabší formě, že součet přísně rostoucí posloupnosti nenulových světových čísel je menší než jejich součin.

Detaily

Přesné vyjádření výsledku: pokud I je množina , A i a B i jsou množiny pro každé i v I a pro každé i v I , pak

kde < znamená přísně méně než v mohutnosti , tj. existuje injektivní funkce od A i do B i , ale ani jedna nechodí opačným směrem. Zapojená unie nemusí být disjunktní (non-disjunktní unie nemůže být větší než disjunktní verze, rovněž za předpokladu axiomu volby ). V této formulaci je Königova věta ekvivalentní s axiomem volby .

(Samozřejmě, Konig věta je triviální, pokud číslovky m i i n i je konečná a index nastavit I je konečný. Když jsem je prázdný , potom levá součet je prázdná suma a proto 0, zatímco pravý výrobek je prázdný produkt, a proto 1).

Königova věta je pozoruhodná kvůli přísné nerovnosti v závěru. Existuje mnoho jednoduchých pravidel pro aritmetiku nekonečných součtů a součinů kardinálů, ve kterých lze pouze uzavřít slabou nerovnost ≤, například: pokud pro všechna i v I , pak lze pouze uzavřít

protože například nastavení a , kde indexová sada I je přirozená čísla, přináší součet pro obě strany a máme přísnou rovnost.

Důsledky Königovy věty

  • Pokud je to tedy kardinál .

Vezmeme-li m i = 1 a n i = 2 pro každé i v κ, pak je levá strana výše uvedené nerovnosti jen κ, zatímco pravá strana je 2 κ , mohutnost funkcí od κ do {0, 1 }, tj. mohutnost výkonové sady κ. Königova věta nám tedy dává alternativní důkaz Cantorovy věty . (Historicky byla Cantorova věta samozřejmě prokázána mnohem dříve.)

Axiom volby

Jedním ze způsobů vyjádření axiomu volby je „libovolný kartézský součin neprázdných množin je neprázdný“. Nechť B i být non-prázdná množina pro každý i v I. . Nechť i = {} pro každý i v I . Podle Königovy věty tedy máme:

  • Pokud ano .

To znamená, že kartézský součin daných neprázdných množin B i má větší mohutnost než součet prázdných množin. Není tedy prázdný, což je přesně to, co uvádí axiom výběru. Vzhledem k tomu, že axiom volby vychází z Königovy věty, budeme při diskusi o důsledcích věty používat axiom výběru volně a implicitně.

Königova věta a kofinalita

Königova věta má také důležité důsledky pro kofinalitu světových čísel.

  • Pokud ano .

Vyberte přísně rostoucí cf (κ) -sekvenci ordinálů blížících se k. Každý z nich je menší než κ, takže jejich součet, který je κ, je menší než součin cf (κ) kopií κ.

Podle Eastonovy věty je dalším důsledkem Königovy věty jediné netriviální omezení funkce kontinua pro pravidelné kardinály .

  • Pokud a pak .

Pojďme . Předpokládejme, že v rozporu s tímto důsledek, . Potom s použitím předchozího následku, rozpor. Předpoklad tedy musí být nepravdivý a tento důsledek musí být pravdivý.

Důkaz Königovy věty

Za předpokladu, že Zermelo – Fraenkelova teorie množin , včetně zejména axiomu výběru , můžeme teorém dokázat. Pamatujte, že jsme dostali , a chceme ukázat:

Axiom volby znamená, že podmínka A < B je ekvivalentní podmínce, že neexistuje funkce z A na B a B je neprázdná. Je nám dáno, že neexistuje žádná funkce z A i do B i ≠ {} a musíme ukázat, že jakákoli funkce f z disjunktního spojení A s k produktu B s není surjektivní a že produkt je neprázdné. To, že produkt je neprázdný, bezprostředně vyplývá z axiomu výběru a skutečnosti, že faktory jsou neprázdné. Pro každý i vybrat b i v B i není v obrazu A i podle složení f s výstupkem do bodu B i . Pak součin prvků b i není v obraze f , takže f nemapuje disjunktní spojení A s na součin B s.

Poznámky

  1. ^ Rubin, H .; Rubin, JE (1985). Ekvivalenty Axiomu volby, II . New York, NY: Severní Holandsko . str. 185. ISBN  0-444-87708-8 .

Reference