K -teorie - K-theory

V matematice je K-teorie zhruba řečeno studium prstence generovaného vektorovými svazky v topologickém prostoru nebo schématu . V algebraické topologii je to kohomologická teorie známá jako topologická K-teorie . V algebře a algebraické geometrii se označuje jako algebraická K-teorie . Je také základním nástrojem v oblasti operátorových algeber . Lze to považovat za studium určitých druhů invariantů velkých matic .

K-teorie zahrnuje konstrukci rodin K - funktorů, které mapují z topologických prostorů nebo schémat na přidružené prstence; tyto prsteny odrážejí některé aspekty struktury původních prostorů nebo schémat. Stejně jako u funktorů skupin v algebraické topologii je důvodem pro toto funktorové mapování to, že je snazší vypočítat některé topologické vlastnosti z namapovaných prstenů než z původních prostorů nebo schémat. Mezi příklady výsledků získaných z přístupu K-teorie patří Grothendieck – Riemann – Rochova věta , Bottova periodicita , Atiyah – Singerova věta o indexu a Adamsovy operace .

Ve fyzice vysokých energií se K-teorie a zejména zkroucená K-teorie objevila v teorii strun typu II, kde se předpokládalo, že klasifikují D-brany , intenzity pole Ramond – Ramond a také určité spinory na zobecněných komplexních varietách . Ve fyzice kondenzovaných látek byla K-teorie použita ke klasifikaci topologických izolátorů , supravodičů a stabilních Fermiho povrchů . Další informace viz K-teorie (fyzika) .

Dokončení Grothendieck

Grothendieckovo dokončení abelianského monoidu do abelianské skupiny je nezbytnou přísadou pro definici K-teorie, protože všechny definice začínají konstrukcí abelianského monoidu z vhodné kategorie a jeho přeměnou na abelianskou skupinu prostřednictvím této univerzální konstrukce. Vzhledem k tomu, abelian monoid ať vztah je definován ${\ displaystyle (A, + ')}$${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle A ^ {2} = A \ krát A}$

${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) \ sim (b_ {1}, b_ {2})}$

pokud existuje takový, že Pak má sada strukturu skupiny, kde: ${\ displaystyle c \ v A}$${\ displaystyle a_ {1} + 'b_ {2} +' c = a_ {2} + 'b_ {1} +' c.}$${\ displaystyle G (A) = A ^ {2} / \ sim}$ ${\ displaystyle (G (A), +)}$

${\ displaystyle [(a_ {1}, a_ {2})] + [(b_ {1}, b_ {2})] = [(a_ {1} + 'b_ {1}, a_ {2} +' b_ {2})].}$

Třídy ekvivalence v této skupině by měly být považovány za formální rozdíly prvků v abelianském monoidu. Tato skupina je také spojovat s monoid homomorfismu dané který má určitou univerzální vlastnost . ${\ displaystyle (G (A), +)}$${\ displaystyle i: A \ až G (A)}$${\ displaystyle a \ mapsto [(a, 0)],}$

Abyste lépe porozuměli této skupině, zvažte některé třídy ekvivalence abelianského monoidu . Zde budeme označovat prvek identity by tak, že bude prvkem identity First, pro všechny, protože můžeme nastavit a použít rovnici ze vztahu ekvivalence, abychom získali To znamená ${\ displaystyle (A, +)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle [(0,0)]}$${\ displaystyle (G (A), +).}$${\ displaystyle (0,0) \ sim (n, n)}$${\ displaystyle n \ v A}$${\ displaystyle c = 0}$${\ displaystyle n = n.}$

${\ displaystyle [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, a + b)] = [(0,0)]}$

proto máme aditivní inverzní pro každý prvek v . To by nám mělo naznačit, že bychom měli uvažovat o třídách ekvivalence jako o formálních rozdílech. Dalším užitečným pozorováním je invariance tříd ekvivalence pod škálováním: ${\ displaystyle G (A)}$${\ displaystyle [(a, b)]}$${\ displaystyle ab.}$

${\ displaystyle (a, b) \ sim (a + k, b + k)}$ pro všechny ${\ displaystyle k \ v A.}$

Na Grothendieckovo dokončení lze pohlížet jako na funktor a má tu vlastnost, že je ponechán přilehlý k odpovídajícímu zapomnětlivému funktoru. To znamená, že vzhledem k morfismu abelianského monoidu podkladovému abelianskému monoidu abelianské skupiny existuje jedinečná abelianská skupina morfismus ${\ displaystyle G: \ mathbf {AbMon} \ to \ mathbf {AbGrp},}$ ${\ displaystyle U: \ mathbf {AbGrp} \ to \ mathbf {AbMon}.}$${\ displaystyle \ phi: A \ až U (B)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle G (A) \ až B.}$

Příklad pro přirozená čísla

Ilustrativním příkladem je Grothendieckovo dokončení . Vidíme, že pro jakýkoli pár můžeme najít minimálního zástupce pomocí invariance pod škálováním. Například ze škálovací invariance vidíme, že ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle G ((\ mathbb {N}, +)) = (\ mathbb {Z}, +).}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle (a ', b')}$

${\ Displaystyle (4,6) \ sim (3,5) \ sim (2,4) \ sim (1,3) \ sim (0,2)}$

Obecně, pokud ano ${\ displaystyle k: = \ min \ {a, b \}}$

${\ displaystyle (a, b) \ sim (ak, bk)}$ který má formu nebo ${\ displaystyle (c, 0)}$${\ displaystyle (0, d).}$

To ukazuje, že bychom měli myslet na kladná celá čísla a na záporná celá čísla. ${\ displaystyle (a, 0)}$${\ displaystyle (0, b)}$

Definice

Existuje celá řada základních definic K-teorie: dvě pocházející z topologie a dvě z algebraické geometrie.

Skupina Grothendieck pro kompaktní prostory Hausdorff

Vzhledem k tomu, kompaktní Hausdorff prostor považují sada izomorfismu tříd konečný-rozměrné vektorové svazků a přes , označil a nechal izomorfismus třída vektoru svazku být označeny . Protože třídy izomorfismu vektorových svazků se chovají dobře s ohledem na přímé součty , můžeme tyto operace zapsat na třídy izomorfismu pomocí ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ text {Vect}} (X)}$${\ displaystyle \ pi: E \ až X}$${\ displaystyle [E]}$

${\ displaystyle [E] \ oplus [E '] = [E \ oplus E']}$

Mělo by být jasné, že jde o abelianský monoid, kde je jednotka dána triviálním vektorovým svazkem . Poté můžeme použít Grothendieckovo dokončení a získat abelianskou skupinu z tohoto abelianského monoidu. Toto se nazývá K-teorie a označuje se . ${\ displaystyle ({\ text {Vect}} (X), \ oplus)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {0} \ krát X \ až X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$

Můžeme použít teorém Serre – Swan a nějakou algebru k získání alternativního popisu vektorových svazků přes kruh spojitých komplexních funkcí jako projektivních modulů . Pak je lze identifikovat pomocí idempotentních matic v nějakém kruhu matic . Můžeme definovat třídy ekvivalence idempotentních matic a vytvořit abelianský monoid . Také se nazývá jeho dokončení Grothendieck . Jedna z hlavních technik pro výpočet Grothendieckovy skupiny pro topologické prostory pochází ze spektrální sekvence Atiyah – Hirzebruch , díky níž je velmi přístupná. Jediné požadované výpočty pro pochopení spektrálních sekvencí jsou výpočet skupiny pro koule ^{str. 51 - 110} . ${\ displaystyle C ^ {0} (X; \ mathbb {C})}$${\ displaystyle M_ {n \ krát n} (C ^ {0} (X; \ mathbb {C}))}$${\ displaystyle {\ textbf {Idem}} (X)}$${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$${\ displaystyle K ^ {0}}$${\ displaystyle S ^ {n}}$

Grothendieckova skupina vektorových svazků v algebraické geometrii

Analogická konstrukce existuje uvažováním vektorových svazků v algebraické geometrii . Pro noetherovských schématu je sada všech izomorfismu tříd algebraických vektorových svazků na . Pak, stejně jako dříve, je dobře definován přímý součet tříd izomorfismů vektorových svazků, což dává abelianský monoid . Poté je skupina Grothendieck definována aplikací konstrukce Grothendieck na tento abelianský monoid. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ text {Vect}} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ oplus}$${\ displaystyle ({\ text {Vect}} (X), \ oplus)}$${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$

Grothendieckova skupina koherentních svazků v algebraické geometrii

V algebraické geometrii lze stejnou konstrukci použít na algebraické vektorové svazky přes plynulé schéma. Existuje ale alternativní konstrukce pro jakékoli noetherovské schéma . Podíváme-li se na třídy izomorfismu koherentních snopů, můžeme je upravit podle vztahu, pokud existuje krátká přesná sekvence${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Coh} (X)}$${\ displaystyle [{\ mathcal {E}}] = [{\ mathcal {E}} '] + [{\ mathcal {E}}' ']}}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {E}} '\ to {\ mathcal {E}} \ to {\ mathcal {E}}' '\ na 0.}$

To dává Grothendieckovu skupinu, která je izomorfní, pokud je hladká. Skupina je zvláštní, protože existuje také prstencová struktura: definujeme ji jako ${\ displaystyle K_ {0} (X)}$${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K_ {0} (X)}$

${\ displaystyle [{\ mathcal {E}}] \ cdot [{\ mathcal {E}} '] = \ součet (-1) ^ {k} \ left [\ operatorname {Tor} _ {k} ^ {{ \ mathcal {O}} _ {X}} ({\ mathcal {E}}, {\ mathcal {E}} ') \ right].}$

Pomocí věty Grothendieck – Riemann – Roch to máme

${\ displaystyle \ operatorname {ch}: K_ {0} (X) \ otimes \ mathbb {Q} \ do A (X) \ otimes \ mathbb {Q}}$

je izomorfismus prstenů. Proto můžeme použít pro teorii průniku . ${\ displaystyle K_ {0} (X)}$

Raná historie

Lze říci, že toto téma začíná Alexandrem Grothendieckem (1957), který jej použil k formulování své věty o Grothendieck-Riemann-Roch . Název je odvozen z německé klasse , což znamená „třída“. Grothendieck potřeboval práci s ucelených snopy na algebraické odrůdy X . Spíše než pracovat přímo s snopy, definoval skupinu pomocí tříd izomorfismu snopy jako generátorů skupiny, s výhradou vztahu, který identifikuje jakékoli rozšíření dvou snopů s jejich součtem. Výsledná skupina se nazývá K ( X ), když se používají pouze lokálně volné snopy , nebo G ( X ), když jsou všechny koherentní snopy. Každá z těchto dvou konstrukcí se označuje jako skupina Grothendieck ; K ( X ) má kohomologické chování a G ( X ) má homologické chování.

Pokud X je plynulá odrůda , jsou obě skupiny stejné. Pokud jde o hladkou afinní odrůdu , pak se všechna rozšíření lokálně volných snopů rozdělí, takže skupina má alternativní definici.

V topologii , použitím stejné konstrukce na vektorové svazky , definovali Michael Atiyah a Friedrich Hirzebruch K ( X ) pro topologický prostor X v roce 1959 a pomocí Bottovy věty o periodicitě z ní udělali základ mimořádné teorie cohomologie . To hrálo hlavní roli ve druhém důkazu věty o indexu Atiyah – Singer (kolem roku 1962). Dále tento přístup vedl k nekomutativní K-teorii pro C * -algebry .

Již v roce 1955 Jean-Pierre Serre použil analogii vektorových svazků s projektivními moduly k formulaci Serreho domněnky , která uvádí, že každý konečně generovaný projektivní modul přes polynomiální kruh je volný ; toto tvrzení je správné, ale bylo vyřešeno až o 20 let později. ( Swanova věta je dalším aspektem této analogie.)

Vývoj

Druhým historickým počátkem algebraické K-teorie byla práce JHC Whiteheada a dalších na tom, co se později stalo známé jako Whiteheadova torze .

Následovalo období, kdy existovaly různé dílčí definice funktorů vyšších K-teorií . Nakonec dal Daniel Quillen dvě užitečné a ekvivalentní definice pomocí teorie homotopy v letech 1969 a 1972. Variantu dal také Friedhelm Waldhausen , aby studoval algebraickou K-teorii prostorů, která souvisí se studiem pseudoizotopů . Hodně moderního výzkumu vyšší teorie K souvisí s algebraickou geometrií a studiem motivické kohomologie .

Odpovídající konstrukce zahrnující pomocnou kvadratickou formu dostaly obecný název L-theory . Je to hlavní nástroj teorie chirurgie .

V teorii strun byla poprvé navržena klasifikace K-teorie intenzit pole Ramond – Ramond a nábojů stabilních D-bran v roce 1997.

Příklady a vlastnosti

K ₀ pole

Nejjednodušším příkladem skupiny Grothendieck je skupina Grothendieck bodu pro pole . Protože vektorový svazek nad tímto prostorem je jen konečný rozměrný vektorový prostor, který je volným objektem v kategorii koherentních svazků, tedy projektivní, odpovídá monoid tříd izomorfismu dimenzi vektorového prostoru. Je to snadné cvičení, které ukazuje, že skupina Grothendieck tedy je . ${\ displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {F})}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

K ₀ artiniánské algebry nad polem

Jednou z důležitých vlastností Grothendieckovy skupiny netherianského schématu je to, že je tedy při redukci neměnný . Grothendieckova skupina jakékoli Artinianovy algebry je tedy přímým součtem kopií , jedné pro každou připojenou složku jejího spektra. Například, ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K (X) = K (X _ {\ text {red}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

K ₀ projektivního prostoru

Jedním z nejčastěji používaných výpočtů skupiny Grothendieck je výpočet pro projektivní prostor nad polem. Je to proto, že čísla průsečíků projektivu lze vypočítat vložením a použitím vzorce push push . To umožňuje provádět konkrétní výpočty s prvky, aniž byste museli od té doby výslovně znát jeho strukturu ${\ displaystyle K (\ mathbb {P} ^ {n})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle i: X \ hookrightarrow \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle i ^ {*} ([i _ {*} {\ mathcal {E}}] \ cdot [i _ {*} {\ mathcal {F}}])}$${\ displaystyle K (X)}$

Jedna technika pro stanovení grothendieck skupiny pochází z jeho stratifikace jako ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ protože grothendieckova skupina koherentních svazků na afinních prostorech je izomorfní a průsečík je obecně ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n-k_ {1}}, \ mathbb {A} ^ {n-k_ {2}}}$ pro . ${\ displaystyle k_ {1} + k_ {2} \ leq n}$

K ₀ projektivního svazku

Dalším důležitým vzorcem pro skupinu Grothendieck je vzorec projektivního svazku: vzhledem k vektorovému svazku hodnosti r přes noetherovské schéma je skupina Grothendieckova projektivního svazku volným modulem hodnosti r se základem . Tento vzorec umožňuje vypočítat Grothendieckovu skupinu . To umožňuje vypočítat povrchy Hirzebruch nebo Hirzebruch. Navíc to lze použít k výpočtu Grothendieckovy skupiny pozorováním, že se jedná o projektivní svazek nad polem . ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ({\ mathcal {E}}) = \ operatorname {Proj} (\ operatorname {Sym} ^ {\ bullet} ({\ mathcal {E}} ^ {\ vee})}}$${\ displaystyle K (X)}$${\ displaystyle 1, \ xi, \ tečky, \ xi ^ {n-1}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mathbb {F}} ^ {n}}$${\ displaystyle K_ {0}}$${\ displaystyle K (\ mathbb {P} ^ {n})}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$

K ₀ singulárních prostorů a prostorů s izolovanými kvocientovými singularitami

Jedna nedávná technika pro výpočet Grothendieckovy skupiny prostorů s menšími singularitami pochází z vyhodnocení rozdílu mezi a , což vychází ze skutečnosti, že každý vektorový svazek lze ekvivalentně popsat jako koherentní svazek. To se provádí pomocí Grothendieckovy skupiny kategorie Singularity z odvozené nekomutativní algebraické geometrie . Poskytuje dlouhou přesnou sekvenci začínající na ${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$${\ displaystyle K_ {0} (X)}$ ${\ displaystyle D_ {sg} (X)}$

kde vyšší termíny pocházejí z vyšší K-teorie . Všimněte si, že vektorové svazky v jednotném čísle jsou dány vektorovými svazky na hladkém místě . To umožňuje vypočítat Grothendieckovu skupinu na vážených projektivních prostorech, protože obvykle mají izolované kvocientové singularity. Zejména pokud tyto singularity mají izotropní skupiny, pak mapa ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E \ až X_ {sm}}$${\ displaystyle X_ {sm} \ hookrightarrow X}$${\ displaystyle G_ {i}}$ je injektivní a jádro je zničeno pro stranu ³ . ${\ displaystyle {\ text {lcm}} (| G_ {1} |, \ ldots, | G_ {k} |) ^ {n-1}}$${\ displaystyle n = \ dim X}$

K ₀ z hladké projektivní křivky

Pro hladkou projektivní křivku je Grothendieckova skupina ${\ displaystyle C}$

$${\ displaystyle K_ {0} (C) = \ mathbb {Z} \ oplus {\ text {Pic}} (C)}$$

pro Picard skupiny o . Vyplývá to z Brown-Gersten-Quillen spektrální sekvence ^{pg 72} z algebraické K-teorie . Pro pravidelné schéma konečného typu nad polem existuje konvergentní spektrální sekvence ${\ displaystyle C}$

$${\ displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = \ coprod _ {x \ v X ^ {(p)}} K ^ {- pq} (k (x)) \ Rightarrow K _ {- pq} (X )}$$

pro množinu kodimenzionálních bodů, což znamená množinu dílčích schémat dimenze a algebraické funkční pole dílčího schématu. Tato spektrální sekvence má vlastnost ^{pg 80}${\ displaystyle X ^ {(p)}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x: Y \ až X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle k (x)}$ pro prsten Chow z , v podstatě dává výpočet . Všimněte si, že, protože nemá žádné codimension místům, pouze netriviální části spektrální sekvence jsou , proto ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K_ {0} (C)}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle E_ {1} ^ {0, q}, E_ {1} ^ {1, q}}$ Filtrace coniveau pak může být použita k určení , jak požadované explicitní přímé součtu, protože poskytuje přesný sled ${\ displaystyle K_ {0} (C)}$ kde levá ruka je isomorfní s a pravá ruka je isomorfní s . Protože máme posloupnost abelianských skupin nad rozděleními, což dává izomorfismus. Všimněte si, že pokud je hladká projektivní křivka rodu nad , pak ${\ displaystyle {\ text {CH}} ^ {1} (C) \ cong {\ text {Pic}} (C)}$${\ displaystyle CH ^ {0} (C) \ cong \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ text {Ext}} _ {\ text {Ab}} ^ {1} (\ mathbb {Z}, G) = 0}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ Kromě toho lze výše uvedené techniky využívající odvozenou kategorii singularit pro izolované singularity rozšířit na izolované Cohen-Macaulayovy singularity, což dává techniky pro výpočet Grothendieckovy skupiny jakékoli singulární algebraické křivky. Je to proto, že redukce dává obecně hladkou křivku a všechny singularity jsou Cohen-Macaulay.

Aplikace

Virtuální balíčky

Jednou z užitečných aplikací skupiny Grothendieck je definování virtuálních vektorových svazků. Například pokud máme vložení hladkých mezer, pak existuje krátká přesná sekvence ${\ displaystyle Y \ hookrightarrow X}$

${\ displaystyle 0 \ až \ Omega _ {Y} \ až \ Omega _ {X} | _ {Y} \ až C_ {Y / X} \ až 0}$

kde je společný svazek v . Pokud máme singulární prostor vložený do hladkého prostoru , definujeme virtuální běžný svazek jako ${\ displaystyle C_ {Y / X}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle [\ Omega _ {X} | _ {Y}] - [\ Omega _ {Y}]}$

Další užitečná aplikace virtuálních svazků je s definicí virtuálního tangenciálního svazku průsečíku mezer: Nechť jsou projektivní poddruhy hladké projektivní odrůdy. Poté můžeme definovat virtuální tečný svazek jejich průsečíku jako ${\ displaystyle Y_ {1}, Y_ {2} \ podmnožina X}$${\ displaystyle Z = Y_ {1} \ cap Y_ {2}}$

${\ displaystyle [T_ {Z}] ^ {vir} = [T_ {Y_ {1}}] | _ {Z} + [T_ {Y_ {2}}] | _ {Z} - [T_ {X}] | _ {Z}.}$

Kontsevich používá tuto konstrukci v jednom ze svých příspěvků.

Chern postavy

Třídy Chern lze použít ke konstrukci homomorfismu prstenů od topologické K-teorie prostoru po (dokončení) jeho racionální kohomologie. U svazku řádků L je znak Chern ch definován

${\ displaystyle \ operatorname {ch} (L) = \ exp (c_ {1} (L)): = \ součet _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {1} (L) ^ {m}} {m!}}.}$

Obecněji řečeno, pokud jde o přímý součet svazků řádků, je u prvních tříd Chern znak Chern definován aditivně ${\ displaystyle V = L_ {1} \ oplus \ tečky \ oplus L_ {n}}$${\ displaystyle x_ {i} = c_ {1} (L_ {i}),}$

${\ displaystyle \ operatorname {ch} (V) = e ^ {x_ {1}} + \ tečky + e ^ {x_ {n}}: = \ součet _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m!}} (X_ {1} ^ {m} + \ dots + x_ {n} ^ {m}).}$

Znak Chern je částečně užitečný, protože usnadňuje výpočet Chernovy třídy tenzorového produktu. Znak Chern se používá v teorému Hirzebruch – Riemann – Roch .

Equivariantní K-teorie

Equivariant algebraická K-teorie je algebraická K-teorie spojené do kategorie z equivariant souvislých kladek na algebraickém režimu s působením lineárního algebraické skupiny , přes Quillen je Q-konstrukce ; tedy podle definice ${\ displaystyle \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle K_ {i} ^ {G} (X) = \ pi _ {i} (B ^ {+} \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)).}$

Zejména je skupina Grothendieck z . Teorie byla vyvinuta RW Thomasonem v 80. letech. Konkrétně prokázal ekvivariantní analogie základních vět, jako je věta o lokalizaci. ${\ displaystyle K_ {0} ^ {G} (C)}$${\ displaystyle \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)}$

Viz také

• Bottova periodicita
• Teorie KK
• KR-teorie
• Seznam kohomologických teorií
• Algebraická K-teorie
• Topologická K. teorie
• Operátor K-teorie
• Grothendieck – Riemann – Rochova věta

Poznámky

Reference

• Atiyah, Michael Francis (1989). K-teorie . Advanced Book Classics (2. vydání). Addison-Wesley . ISBN   978-0-201-09394-0 . MR   1043170 .
• Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, eds. (2005). Handbook of K-teorie . Berlín, New York: Springer-Verlag . doi : 10,1007 / 978-3-540-27855-9 . ISBN   978-3-540-30436-4 . MR   2182598 .
• Park, Efton (2008). Komplexní topologická K-teorie . Cambridge studia pokročilé matematiky. 111 . Cambridge University Press. ISBN   978-0-521-85634-8 .
• Swan, RG (1968). Algebraická K-teorie . Přednášky z matematiky. 76 . Springer . ISBN   3-540-04245-8 .
• Karoubi, Max (1978). K-teorie: úvod . Klasika z matematiky. Springer-Verlag. doi : 10,1007 / 978-3-540-79890-3 . ISBN   0-387-08090-2 .
• Karoubi, Max (2006). „K-teorie. Elementární úvod“. arXiv : math / 0602082 .
• Hatcher, Allen (2003). „Vector Bundles & K-Theory“ .
• Weibel, Charles (2013). K-book: úvod do algebraické K-teorie . Grad. Studie z matematiky. 145 . Americká matematická společnost. ISBN   978-0-8218-9132-2 .

externí odkazy

• Grothendieck-Riemann-Roch
• Stránka Maxe Karoubiho
• Archiv předtisků K-theory