Kantorovichova nerovnost - Kantorovich inequality

V matematice je Kantorovichova nerovnost zvláštním případem Cauchy-Schwarzovy nerovnosti , která sama o sobě zobecňuje nerovnost trojúhelníku .

Nerovnost trojúhelníku uvádí, že délka dvou stran libovolného trojúhelníku, sečtená dohromady, bude stejná nebo větší než délka třetí strany. Jednoduše řečeno, Kantorovichova nerovnost převádí základní myšlenku nerovnosti trojúhelníku na pojmy a notační konvence lineárního programování . (Viz další vektorový prostor , vnitřní produkt a normovaný vektorový prostor, kde lze zobecnit základní myšlenky inherentní nerovnosti trojúhelníku - úsečka a vzdálenost - do širšího kontextu.)

Formálněji lze Kantorovichovu nerovnost vyjádřit takto:

Nechat

${\ displaystyle p_ {i} \ geq 0, \ quad 0 <a \ leq x_ {i} \ leq b {\ text {pro}} i = 1, \ tečky, n.}$

Nechat ${\ displaystyle A_ {n} = \ {1,2, \ tečky, n \}.}$

Pak

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {} \ qquad \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} x_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {i = 1 } ^ {n} {\ frac {p_ {i}} {x_ {i}}} \ vpravo) \\ & \ leq {\ frac {(a + b) ^ {2}} {4ab}} \ vlevo ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} \ right) ^ {2} - {\ frac {(ab) ^ {2}} {4ab}} \ cdot \ min \ left \ {\ left (\ sum _ {i \ in X} p_ {i} - \ sum _ {j \ in Y} p_ {j} \ right) ^ {2} \,: \, {X \ cup Y = A_ {n} }, {X \ cap Y = \ varnothing} \ right \}. \ End {zarovnáno}}}$

Kantorovichova nerovnost se používá v konvergenční analýze ; ohraničuje rychlost konvergence Cauchyova nejstrmějšího sestupu .

Ekvivalenty Kantorovichovy nerovnosti vznikly v řadě různých oborů. Například Cauchy – Schwarz – Bunyakovského nerovnost a Wielandtova nerovnost jsou rovnocenné s Kantorovichovou nerovností a všechny jsou zase zvláštními případy Hölderovy nerovnosti .

Kantorovich nerovnost je pojmenována po sovětském ekonom, matematik a Nobelova cena vítěz Leonid Kantorovič , průkopník v oblasti lineárního programování .

Existuje také Matrixova verze Kantrovichovy nerovnosti kvůli Marshallovi a Olkinovi.

Reference

• Weisstein, Eric W. „Nerovnost Kantoroviče“ . MathWorld .
• Cauchy-Schwarzova nerovnost na PlanetMath.org .
• Slovník pojmů z matematického programování na téma „Kantorovichova nerovnost“
• MARSHALL AW a OLKIN, I., Matrix verze Cauchy a Kantorovieh nerovností. Aequationes Mathematicae 40 (1990), str. 89–93.

externí odkazy

• Životopis Leonida Vitalyevicha Kantoroviče