Kinematika - Kinematics

Kinematika je podoblast fyziky vyvinutá v klasické mechanice , která popisuje pohyb bodů, těles (objektů) a soustav těles (skupin objektů), aniž by brala v úvahu síly, které způsobují jejich pohyb. Kinematika jako studijní obor je často označována jako „geometrie pohybu“ a příležitostně je vnímána jako odvětví matematiky. Kinematický problém začíná popisem geometrie systému a vyhlášením počátečních podmínek jakýchkoli známých hodnot polohy, rychlosti a/nebo zrychlení bodů v systému. Poté lze pomocí argumentů z geometrie určit polohu, rychlost a zrychlení jakýchkoli neznámých částí systému. Studium toho, jak síly působí na tělesa, spadá do kinetiky , nikoli kinematiky. Další podrobnosti viz analytická dynamika .

Kinematika se v astrofyzice používá k popisu pohybu nebeských těles a sbírek takových těles. Ve strojírenství , robotice a biomechanice se kinematika používá k popisu pohybu systémů složených ze spojených částí (vícelinkové systémy), jako je motor , robotické rameno nebo lidská kostra .

Geometrické transformace, nazývané také rigidní transformace , se používají k popisu pohybu součástí v mechanickém systému , což zjednodušuje odvozování pohybových rovnic. Jsou také ústředním bodem dynamické analýzy .

Kinematická analýza je proces měření kinematických veličin používaných k popisu pohybu. Ve strojírenství lze například použít kinematickou analýzu k nalezení rozsahu pohybu pro daný mechanismus a pracovat obráceně, pomocí kinematické syntézy navrhnout mechanismus pro požadovaný rozsah pohybu. Kromě toho, kinematika platí algebraické geometrie na studiu mechanickou výhodu jednoho mechanického systému nebo mechanismu.

Etymologie pojmu

Termín kinematický je anglická verze AM Ampère 's cinématique , kterou vytvořil z řecké kinematografie κίνημα („pohyb, pohyb“), která je sama odvozena od kineinu κινεῖν („pohybovat se“).

Kinematic a cinématique souvisí s francouzským slovem cinéma, ale ani jedno z nich není přímo odvozeno. Nicméně, oni sdílejí kořenové slovo společného, jako cinéma přišel ze zkrácené formě Cinématographe, „filmového projektoru a kameře“, jednou z řeckého slova pro pohyb az řeckého γρᾰφω grapho ( „psát“).

Kinematika trajektorie částic v nerotujícím referenčním rámci

Kinematické veličiny klasické částice: hmotnost m , poloha r , rychlost v , zrychlení a .
Vektor polohy r , vždy ukazuje radiálně od počátku.
Vektor rychlosti v , vždy tečný k dráze pohybu.
Vektor zrychlení a , není rovnoběžný s radiálním pohybem, ale je kompenzován úhlovým a Coriolisovým zrychlením, ani tečný k dráze, ale kompenzován dostředivým a radiálním zrychlením.
Kinematické vektory v rovinných polárních souřadnicích. Všimněte si, že nastavení není omezeno na 2d prostor, ale na rovinu v jakékoli vyšší dimenzi.

Kinematika částic je studium trajektorie částic. Poloha částice je definována jako souřadnicový vektor od počátku souřadnicového rámce k částici. Uvažujte například o věži 50 m jižně od vašeho domova, kde je souřadnicový rám u vašeho domu vystředěn tak, že východ je ve směru osy x a sever je ve směru osy y , pak souřadnice vektor k základně věže je r = (0, −50 m, 0). Pokud je věž vysoká 50 m a tato výška se měří podél osy z , pak je vektor souřadnic k vrcholu věže r = (0, −50 m, 50 m) .

V nejobecnějším případě se k definování polohy částice používá trojrozměrný souřadný systém. Pokud je však částice nucena pohybovat se v rovině, stačí dvojrozměrný souřadný systém. Všechna pozorování ve fyzice jsou neúplná, aniž by byla popsána s ohledem na referenční rámec.

Polohový vektor částice je vektor nakreslený od počátku referenčního rámce k částici. Vyjadřuje jak vzdálenost bodu od počátku, tak jeho směr od počátku. Ve třech rozměrech může být polohový vektor vyjádřen jako

kde , a jsou kartézské souřadnice a , a jsou jednotkové vektory podél , a souřadných os, resp. Velikost polohového vektoru udává vzdálenost mezi bodem a počátkem.
Tyto směrové cosines z polohy vektoru poskytuje kvantitativní měřítko směru. Obecně bude polohový vektor objektu záviset na referenčním rámci; různé snímky povedou k různým hodnotám pro polohový vektor.

Trajektorie částice je vektor funkcí času, , který definuje křivku vysledovat u pohybující se částice, daný

kde , a popište každou souřadnici polohy částice jako funkci času.
Ujetá vzdálenost je vždy větší nebo rovna výtlaku.

Rychlost a rychlost

Rychlost částice je vektorová veličina, která popisuje velikost, stejně jako směr pohybu částice. Matematičtěji je rychlost změny polohového vektoru bodu s ohledem na čas rychlost bodu. Zvažte poměr vytvořený vydělením rozdílu dvou poloh částice časovým intervalem. Tento poměr se nazývá průměrná rychlost za tento časový interval a je definován jako

kde je změna vektoru polohy během časového intervalu . V mezích, kdy se časový interval blíží nule, se průměrná rychlost blíží okamžité rychlosti, definované jako časová derivace polohového vektoru,
kde tečka označuje derivát s ohledem na čas (např. ). Rychlost částice je tedy časová rychlost změny její polohy. Kromě toho je tato rychlost
tečná k trajektorii částice v každé poloze na její dráze. Všimněte si, že v nerotujícím referenčním rámci nejsou deriváty směrů souřadnic považovány za jejich směry a veličiny jsou konstanty.

Rychlost objektu je velikost jeho rychlosti. Jedná se o skalární veličinu:

kde je délka oblouku měřená podél trajektorie částice. Tato délka oblouku se musí při pohybu částice vždy zvětšovat. Proto je nezáporné, což znamená, že rychlost není také záporná.

Akcelerace

Vektor rychlosti se může měnit ve velikosti a ve směru nebo obojí najednou. Zrychlení tedy odpovídá jak rychlosti změny velikosti vektoru rychlosti, tak rychlosti změny směru tohoto vektoru. Stejné úvahy použité s ohledem na polohu částice k definování rychlosti lze použít na rychlost k definování zrychlení. Zrychlení částice je vektor definovaný podle rychlosti změny vektoru rychlosti. Průměrné zrychlení částice za časový interval je definováno jako poměr.

kde Δ v je rozdíl ve vektoru rychlosti a Δ t je časový interval.

Zrychlení částice je hranicí průměrného zrychlení, když se časový interval blíží nule, což je časová derivace,

nebo
Zrychlení je tedy první derivací vektoru rychlosti a druhou derivací polohového vektoru této částice. Všimněte si, že v nerotujícím referenčním rámci nejsou deriváty směrů souřadnic považovány za jejich směry a veličiny jsou konstanty.

Velikost zrychlení objektu je velikost | a | jeho vektoru zrychlení. Jedná se o skalární veličinu:

Vektor relativní polohy

Vektor relativní polohy je vektor, který definuje polohu jednoho bodu vůči druhému. Je to rozdíl v poloze dvou bodů. Poloha jednoho bodu A vzhledem k jinému bodu B je jednoduše rozdílem mezi jejich pozicemi

což je rozdíl mezi složkami jejich polohových vektorů.

Pokud má bod A komponenty polohy

Pokud má bod B komponenty polohy

pak poloha bodu A vzhledem k bodu B je rozdílem mezi jejich složkami:

Relativní rychlost

Relativní rychlosti mezi dvěma částicemi v klasické mechanice.

Rychlost jednoho bodu vůči druhému je jednoduše rozdílem mezi jejich rychlostmi

což je rozdíl mezi složkami jejich rychlostí.

Pokud bod A má složky rychlosti a bod

B má složky rychlosti, pak rychlost bodu A vzhledem k bodu B je rozdíl mezi jejich složkami:

Alternativně lze stejného výsledku dosáhnout výpočtem časové derivace relativního polohového vektoru r B/A .

V případě, kdy je rychlost blízká rychlosti světla c (obvykle do 95%) , je ve

speciální relativitě použito jiné schéma relativní rychlosti zvané rychlost , které závisí na poměru v k c .

Relativní zrychlení

Zrychlení jednoho bodu C vzhledem k jinému bodu B je prostě rozdíl mezi jejich zrychlením.

což je rozdíl mezi složkami jejich zrychlení.

Pokud má bod C složky zrychlení a bod

B složky zrychlení, pak je zrychlení bodu C vzhledem k bodu B rozdílem mezi jejich složkami:

Alternativně lze stejného výsledku dosáhnout výpočtem druhé časové derivace relativního polohového vektoru r B/A .

Za předpokladu, že jsou známy počáteční podmínky polohy a rychlosti v čase , první integrace poskytne rychlost částice jako funkci času.

Druhá integrace dává svou cestu (trajektorii),

Lze odvodit další vztahy mezi výtlakem, rychlostí, zrychlením a časem. Protože zrychlení je konstantní,

lze dosadit do výše uvedené rovnice za vzniku:

Vztah mezi rychlostí, polohou a zrychlením bez explicitní časové závislosti lze dosáhnout řešením průměrného zrychlení času a nahrazením a zjednodušením

kde označuje
bodový součin , což je vhodné, protože produkty jsou spíše skaláry než vektory.

Tečkový součin může být nahrazen kosinusem úhlu α mezi vektory ( další podrobnosti viz Geometrická interpretace součinového bodu ) a vektory jejich velikostmi, v takovém případě:

V případě zrychlení vždy ve směru pohybu a směr pohybu by měl být kladný nebo záporný, úhel mezi vektory ( α ) je 0, takže , a

To lze zjednodušit pomocí zápisu veličin vektorů, kde může být použita jakákoli zakřivená dráha, protože podél této cesty je aplikováno konstantní tangenciální zrychlení, takže

To redukuje parametrické pohybové rovnice částice na karteziánský vztah rychlosti a polohy. Tento vztah je užitečný, když není znám čas. Také víme, že nebo je oblast pod grafem rychlosti a času.

Graf fyziky rychlosti času

Můžeme to udělat přidáním horní a dolní oblasti. Spodní oblast je obdélník a plocha obdélníku je kde je šířka a je výška. V tomto případě a (všimněte si, že zde se liší od zrychlení ). To znamená, že spodní oblast je . Nyní najdeme horní oblast (trojúhelník). Plocha trojúhelníku je kde je základna a je výška. V tomto případě, a nebo . Sčítání a výsledky v rovnici vyústí v rovnici . Tato rovnice je použitelná, pokud není známa konečná rychlost

v .
Obrázek 2: Rychlost a zrychlení pro nerovnoměrný kruhový pohyb: vektor rychlosti je tangenciální k oběžné dráze, ale vektor zrychlení není radiálně dovnitř kvůli své tangenciální složce a θ, která zvyšuje rychlost rotace: d ω /d t = | t Vstup | / R .

Dráhy částic ve válcově-polárních souřadnicích

Často je vhodné formulovat trajektorii částice r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) pomocí polárních souřadnic v rovině X - Y. V tomto případě má jeho rychlost a zrychlení vhodnou formu.

Připomeňme, že trajektorie částic P je definována jeho souřadnic vektor r měřená v pevné vztažné soustavě F . Jak se částice pohybuje, její souřadnicový vektor r ( t ) sleduje její trajektorii, což je křivka v prostoru, daná vztahem:

kde i , j a k jsou jednotkové vektory podél os X , Y a Z referenčního rámce F , v daném pořadí.

Uvažujme částici P, která se pohybuje pouze po povrchu kruhového válce r ( t ) = konstanta, je možné zarovnat osu Z pevného rámu F s osou válce. Potom lze úhel θ kolem této osy v rovině X - Y použít k definování trajektorie jako,

kde konstantní vzdálenost od středu je označena jako R a θ = θ ( t ) je funkcí času.

Válcové souřadnice pro r ( t ) lze zjednodušit zavedením radiálních a tangenciálních jednotkových vektorů,

a jejich časové derivace z elementárního počtu:

Pomocí tohoto zápisu má r ( t ) tvar,

Dráha r ( t ) obecně není omezena tak, aby ležela na kruhovém válci, takže poloměr R se mění s časem a trajektorie částice ve válcově-polárních souřadnicích se stává:
Kde R , θ a z mohou být spojitě diferencovatelné funkce času a pro jednoduchost je funkce notace vypuštěna. Vektor rychlosti v P je časová derivace trajektorie r ( t ), která dává:

Podobně zrychlení a P , což je časová derivace rychlosti v P , je dáno vztahem:

Termín působí směrem ke středu zakřivení dráhy v tomto bodě na cestě, běžně se nazývá dostředivé zrychlení. Tento termín se nazývá Coriolisovo zrychlení.

Konstantní poloměr

Pokud je trajektorie částice nucena ležet na válci, pak je poloměr R konstantní a vektory rychlosti a zrychlení se zjednodušují. Rychlost v P je časová derivace trajektorie r ( t ),

Rovinné kruhové trajektorie

Kinematika strojů
Každá částice na kole cestuje po rovinné kruhové trajektorii (Kinematics of Machinery, 1876).

Zvláštní případ trajektorie částic na kruhovém válci nastává, když nedochází k žádnému pohybu podél osy Z :

kde R a z 0 jsou konstanty. V tomto případě je rychlost v P dána vztahem:
kde je
úhlová rychlost na jednotkový vektor e t Vstup kolem Z osy válce.

Zrychlení a P částice P je nyní dáno vztahem:

Komponenty

se nazývají radiální a tangenciální složky zrychlení.

Zápis úhlové rychlosti a úhlového zrychlení je často definován jako

takže radiální a tangenciální složky zrychlení pro kruhové trajektorie jsou také zapsány jako

Bodové trajektorie v těle pohybujícím se v rovině

Pohyb součástí mechanického systému je analyzován připojením referenčního rámce ke každé části a určením toho, jak se různé referenční rámce vůči sobě pohybují. Pokud je konstrukční tuhost dílů dostatečná, pak lze jejich deformaci zanedbat a k definování tohoto relativního pohybu lze použít tuhé transformace. To redukuje popis pohybu různých částí komplikovaného mechanického systému na problém popisu geometrie každé součásti a geometrické asociace každé součásti vzhledem k ostatním částem.

Geometrie je studium vlastností obrazců, které zůstávají stejné, zatímco se prostor různě transformuje - technicky je to studium invarianty v rámci souboru transformací. Tyto transformace mohou způsobit posunutí trojúhelníku v rovině, přičemž úhel vrcholu a vzdálenosti mezi vrcholy zůstanou beze změny. Kinematika je často popisována jako aplikovaná geometrie, kde je pohyb mechanického systému popsán pomocí rigidních transformací euklidovské geometrie.

Souřadnice bodů v rovině jsou dvojrozměrné vektory v R 2 (dvourozměrný prostor). Tuhé transformace jsou ty, které zachovávají vzdálenost mezi libovolnými dvěma body. Soubor rigidních transformací v n -dimenzionálním prostoru se nazývá speciální euklidovská skupina na R n a označuje SE ( n ) .

Posunutí a pohyb

Parní stroj Boulton & Watt
Pohyb každé ze součástí parního stroje Boulton & Watt (1784) je modelován souvislou sadou tuhých výtlaků.

Poloha jedné součásti mechanického systému vůči jiné je definována zavedením referenčního rámce , řekněme M , na jeden, který se pohybuje vzhledem k pevnému rámu, F na druhém. Tuhá transformace nebo posunutí M vzhledem k F definuje relativní polohu těchto dvou složek. Posun se skládá z kombinace rotace a translace .

Soubor všech posunutí M vzhledem k F se nazývá konfigurace prostoru z M. hladké křivky z jedné polohy do druhé v tomto prostoru konfigurace je kontinuální sada posunů, nazvaný pohyb o M vzhledem k F. Pohyb A tělo se skládá z kontinuální sady rotací a překladů.

Maticová reprezentace

Kombinace otáčení a posouvání v rovině R 2 může být reprezentována určitým typem 3 x 3 matrice známé jako homogenní transformace. Homogenní transformace 3 × 3 je sestrojena z rotační matice 2 × 2 A ( φ ) a translačního vektoru 2 × 1 d = ( d x , d y ), jako:

Tyto homogenní transformace provádějí tuhé transformace na bodech v rovině z = 1, tj. Na bodech se souřadnicemi r = ( x , y , 1).

Zejména, ať r definovat souřadnice bodů v referenčním framu M shodné s pevným rámem F . Potom, když je původ M posunut translačním vektorem d vzhledem k počátku F a otočen o úhel φ vzhledem k ose x F , nové souřadnice v F bodů v M jsou dány vztahem:

Homogenní transformace představují afinní transformace . Tato formulace je nutné proto, že překlad není lineární transformace z R 2 . S využitím projektivní geometrie, takže R 2 je považován za podmnožinu R 3 , se translace stanou afinními lineárními transformacemi.

Čistý překlad

Pokud se tuhé těleso pohybuje tak, že se jeho referenční rámec M neotáčí ( θ = 0) vzhledem k pevnému rámci F , pohyb se nazývá čistý překlad. V tomto případě je trajektorie každého bodu v těle offsetem trajektorie d ( t ) počátku M, to znamená:

Pro tělesa v čistém překladu jsou tedy rychlost a zrychlení každého bodu P v těle dány vztahem:

kde tečka označuje derivát, pokud jde o čas a v O a z O , jsou rychlost a zrychlení, respektive původu pohyblivým rámem M . Připomeňme, že vektor souřadnic p v M je konstantní, takže jeho derivace je nulová.

Rotace tělesa kolem pevné osy

Obrázek 1: Vektor úhlové rychlosti Ω směřuje nahoru pro otáčení proti směru hodinových ručiček a dolů pro otáčení ve směru hodinových ručiček, jak je specifikováno pravidlem pro pravou ruku . Úhlová poloha θ ( t ) se s časem mění rychlostí ω ( t ) = d θ /d t .

Rotační nebo úhlová kinematika je popis otáčení objektu. V následujícím je pozornost omezena na jednoduché otáčení kolem osy pevné orientace. Z v ose byla vybrána pro pohodlí.

Pozice

To umožňuje popis rotace jako úhlové polohy planárního referenčního rámce M vzhledem k pevnému F kolem této sdílené osy z . Souřadnice p = ( x , y ) v M se vztahují k souřadnicím P = (X, Y) ve F podle maticové rovnice:

kde

je matice otáčení, která definuje úhlovou polohu M vzhledem k F jako funkci času.

Rychlost

Pokud se bod p nepohybuje v M , je jeho rychlost v F dána vztahem

Je vhodné eliminovat souřadnice p a zapsat to jako operaci na trajektorii P ( t ),
kde matice
je známý jako úhlová rychlost matice M vzhledem k F . Parametr ω je časová derivace úhlu θ, to znamená:

Akcelerace

Zrychlení P ( t ) ve F se získá jako časová derivace rychlosti,

který se stává
kde
je matice úhlového zrychlení M na F , a

Popis rotace pak zahrnuje tyto tři veličiny:

  • Úhlová poloha : orientovaná vzdálenost od vybraného počátku na ose otáčení k bodu objektu je vektor r ( t ) určující bod. Vektor r ( t ) má nějakou projekci (nebo ekvivalentně nějakou složku) r ( t ) na rovinu kolmou k ose otáčení. Pak úhlová poloha tohoto bodu je úhel θ od referenční osy (typicky kladná osa x ) k vektoru r ( t ) ve známém smyslu otáčení (typicky dané pravidlem pravé ruky ).
  • Úhlová rychlost : úhlová rychlost ω je rychlost, s níž se úhlová poloha θ mění vzhledem k času t :
    Úhlová rychlost je na obrázku 1 znázorněna vektorem Ω směřujícím podél osy otáčení s velikostí ω a smyslem určeným směrem otáčení, jak je dáno pravidlem pravé ruky .
  • Úhlové zrychlení : velikost úhlového zrychlení α je rychlost, s jakou se úhlová rychlost ω mění vzhledem k času t :

Rovnice translační kinematiky lze snadno rozšířit na planární rotační kinematiku pro konstantní úhlové zrychlení pomocí jednoduchých proměnných výměn:

Zde θ i a θ f jsou v tomto pořadí počáteční a konečné úhlové polohy, ω i a ω f jsou v tomto pořadí počáteční a konečné úhlové rychlosti a α je konstantní úhlové zrychlení. Ačkoli poloha v prostoru a rychlost v prostoru jsou oba skutečné vektory (pokud jde o jejich vlastnosti při otáčení), stejně jako úhlová rychlost, samotný úhel není skutečným vektorem.

Bodové trajektorie v těle se pohybují ve třech dimenzích

Důležité vzorce v kinematice definují rychlost a zrychlení bodů v pohybujícím se těle při sledování trajektorií v trojrozměrném prostoru. To je zvláště důležité pro těžiště tělesa, které se používá k odvozování pohybových rovnic buď pomocí Newtonova druhého zákona, nebo Lagrangeových rovnic .

Pozice

Aby bylo možné definovat tyto vzorce, je pohyb složky B mechanického systému definován sadou rotací [A ( t )] a translací d ( t ) sestavených do homogenní transformace [T ( t )] = [A ( t ), d ( t )]. Pokud p jsou souřadnice bodu P v B měřené v pohyblivém referenčním rámci M , pak trajektorie tohoto bodu vysledovaného v F je dána vztahem:

Tento zápis nerozlišuje mezi P = (X, Y, Z, 1) a P = (X, Y, Z), což je v kontextu snad jasné.

Tuto rovnici pro trajektorii P lze převrátit pro výpočet souřadnicového vektoru p v M jako:

Tento výraz využívá faktu, že transpozice rotační matice je také její inverzní, to znamená:

Rychlost

Rychlost bodu P podél jeho dráhy P ( t ) se získá jako časová derivace tohoto polohového vektoru,

Tečka označuje derivát s ohledem na čas; protože p je konstantní, jeho derivace je nulová.

Tento vzorec může být upravena pro získání rychlosti P provozem na své dráhy P ( t ), měřeno v pevném rámu F . Substituce inverzní transformace pro p do rovnice rychlosti výnosy:

Matice [ S ] je dána vztahem:
kde
je matice úhlové rychlosti.

Vynásobením operátorem [ S ] má vzorec pro rychlost v P tvar:

kde vektor ω je vektor úhlové rychlosti získaný ze složek matice [Ω]; vektor
je poloha P vzhledem k počátku O pohyblivého rámce M ; a
je rychlost původu O .

Akcelerace

Zrychlení bodu P v pohybujícím se tělesu B je získáno jako časová derivace jeho vektoru rychlosti:

Tuto rovnici lze nejprve rozšířit výpočtem

a

Vzorec pro zrychlení

P nyní může být získán jako:
nebo
kde α je vektor úhlového zrychlení získaný z derivátu matice úhlové rychlosti;
je vektor relativní polohy (poloha P vzhledem k počátku O pohybujícího se rámce M ); a
je zrychlení původu pohyblivým rámem M .

Kinematická omezení

Kinematická omezení jsou omezení pohybu součástí mechanického systému. Kinematická omezení lze považovat za dvě základní formy, (i) omezení vyplývající ze závěsů, posuvníků a vačkových kloubů, které definují konstrukci systému, nazývaná holonomická omezení , a (ii) omezení uložená na rychlosti systému, jako je omezení ostří bruslí na bruslích na rovině nebo rolování bez uklouznutí disku nebo koule v kontaktu s rovinou, které se nazývají neholonomická omezení . Následuje několik běžných příkladů.

Kinematická spojka

Kinematické spojka přesně omezuje všech 6 stupňů volnosti.

Rolování bez uklouznutí

Předmět, který se valí proti povrchu bez uklouznutí, splňuje podmínku, že rychlost jeho těžiště se rovná křížovému součinu jeho úhlové rychlosti s vektorem od bodu kontaktu do středu hmoty:

V případě předmětu, který se nesklopí ani neotáčí, se toto zmenší na .

Neodstranitelná šňůra

To je případ, kdy jsou těla spojena idealizovanou šňůrou, která zůstává v napětí a nemůže měnit délku. Omezením je, že součet délek všech segmentů kordu je celková délka, a podle toho je časová derivace tohoto součtu nulová. Dynamickým problémem tohoto typu je kyvadlo . Dalším příkladem je buben točený gravitačním tahem na padající závaží připevněné k ráfku neroztažitelnou šňůrou. Rovnováha problém (tedy ne kinematická) tohoto typu je řetězovka .

Kinematické páry

Reuleaux nazval ideální spojení mezi součástmi, které tvoří strojové kinematické páry . Rozlišoval mezi vyššími páry, o nichž se říkalo, že mají liniový kontakt mezi oběma články, a nižšími páry, které mají plošný kontakt mezi články. J. Phillips ukazuje, že existuje mnoho způsobů, jak konstruovat páry, které nevyhovují této jednoduché klasifikaci.

Dolní pár

Dolní pár je ideální kloub nebo holonomické omezení, které udržuje kontakt mezi bodem, čarou nebo rovinou v pohybujícím se pevném (trojrozměrném) tělese s odpovídající bodovou přímkou ​​nebo rovinou v pevném pevném těle. Existují následující případy:

  • Otočný pár nebo kloubový kloub vyžaduje, aby čára nebo osa v pohybujícím se tělese zůstala kolinární s přímkou ​​v pevném tělese a rovina kolmá k této linii v pohybujícím se tělese udržovala kontakt s podobnou kolmou rovinou v pevném těle. To ukládá pět omezení na relativní pohyb článků, který má tedy jeden stupeň volnosti, což je čistá rotace kolem osy závěsu.
  • Prizmatický kloub nebo jezdec vyžaduje, aby přímka nebo osa v pohybujícím se tělese zůstala kolinární s přímkou ​​v pevném tělese a rovina rovnoběžná s touto čarou v pohybujícím se tělese udržovala kontakt s podobnou rovnoběžnou rovinou v pevné tělo. To ukládá pět omezení na relativní pohyb vazeb, který má tedy jeden stupeň volnosti. Tento stupeň volnosti je vzdálenost skluzavky podél čáry.
  • Válcový kloub vyžaduje, aby čára nebo osa v pohybujícím se těle zůstala kolinární s přímkou ​​v pevném těle. Jedná se o kombinaci otočného kloubu a posuvného kloubu. Tento kloub má dva stupně volnosti. Poloha pohybujícího se těla je definována jak otáčením kolem, tak klouzáním podél osy.
  • Sférický kloub nebo kulový kloub vyžaduje, aby bod v pohybujícím se těle udržoval kontakt s bodem v pevném těle. Tento kloub má tři stupně volnosti.
  • Rovinný kloub vyžaduje, aby rovina v pohybujícím se tělese udržovala kontakt s rovinou v pevném tělese. Tento kloub má tři stupně volnosti.

Vyšší páry

Obecně řečeno, vyšší pár je omezení, které vyžaduje křivku nebo povrch v pohybujícím se těle, aby udrželo kontakt s křivkou nebo povrchem v pevném těle. Například kontakt mezi vačkou a jejím následovníkem je vyšší pár nazývaný vačkový kloub . Podobně kontakt mezi evolventními křivkami, které tvoří záběr zubů dvou ozubených kol, jsou vačkové klouby.

Kinematické řetězce

Ilustrace čtyřtaktového propojení z kinematiky strojů, 1876
Ilustrace čtyřtaktového propojení z http://en.wikisource.org/wiki/The_Kinematics_of_Machinery Kinematics of Machinery, 1876

Tuhá tělesa („články“) spojená kinematickými páry („klouby“) jsou známá jako kinematické řetězce . Mechanismy a roboti jsou příklady kinematických řetězců. Stupeň volnosti z kinematického řetězce je vypočítán z počtu vazeb a počet a typ spojů za použití vzorce mobility . Tento vzorec lze také použít k výčtu topologií kinematických řetězců, které mají daný stupeň volnosti, což je v konstrukci strojů známé jako typová syntéza .

Příklady

Rovinné spojky jednoho stupně volnosti sestavené z N článků a j závěsů nebo kluzných spojů jsou:

  • N = 2, j = 1: dvoubarevné spojení, které je pákou;
  • N = 4, j = 4: čtyřtaktové spojení ;
  • N = 6, j = 7: šestitaktové propojení . To musí mít dva články ("ternární odkazy"), které podporují tři klouby. Existují dvě odlišné topologie, které závisí na tom, jak jsou spojeny dvě ternární vazby. V topologii Watt mají tyto dvě ternární vazby společný kloub; v Stephensonově topologii nemají dva ternární články společný kloub a jsou spojeny binárními linkami.
  • N = 8, j = 10: osmibarevná vazba se 16 různými topologiemi;
  • N = 10, j = 13: desetibodové propojení s 230 různými topologiemi;
  • N = 12, j = 16: dvanácti barová vazba s 6856 topologiemi.

Větší řetězce a jejich topologie vazeb viz RP Sunkari a LC Schmidt, „Strukturální syntéza planárních kinematických řetězců přizpůsobením algoritmu typu Mckay“, Mechanism and Machine Theory #41, s. 1021–1030 (2006).

Viz také

Reference

Další čtení

externí odkazy