Komarská mše - Komar mass

Hmotnost Komaru (pojmenovaná po Arthurovi Komarovi) systému je jedním z několika formálních konceptů hmotnosti, které se používají v obecné relativitě . Hmotu Komar lze definovat v jakémkoli stacionárním časoprostoru , což je časoprostor, do kterého lze zapsat všechny metrické komponenty tak, aby byly nezávislé na čase. Alternativně lze stacionární časoprostor definovat jako časoprostor, který má časově podobné vektorové pole zabití .

Následující diskuse je rozšířenou a zjednodušenou verzí motivačního zacházení (Wald, 1984, s. 288).

Motivace

Zvažte Schwarzschildovu metriku . Na základě Schwarzschildova základu, pole rámce pro Schwarzschildovu metriku, lze zjistit, že radiální zrychlení potřebné k udržení stacionární testovací hmoty na Schwarzschildově souřadnici r je:

${\ displaystyle a ^ {\ hat {r}} = {\ frac {m} {r ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {2m} {rc ^ {2}}}}}}}}$

Protože je metrika statická, existuje „definovaný význam“ „držení částice nehybné“.

Interpretujeme-li toto zrychlení jako důsledek „gravitační síly“, můžeme vypočítat integrál normálního zrychlení vynásobený plochou a získat „Gaussův zákon“ jako celek:

${\ displaystyle {\ frac {4 \ pi m} {\ sqrt {1 - {\ frac {2m} {rc ^ {2}}}}}}}$

I když se toto blíží konstantě, jak se r blíží nekonečnu, není to konstanta nezávislá na r . Jsme proto motivováni k zavedení korekčního faktoru, aby výše uvedený integrál byl nezávislý na poloměru r obklopujícího pláště. Pro Schwarzschildovu metriku je tento korekční faktor pouze faktorem „červeného posunu“ nebo „dilatace času“ ve vzdálenosti r . Jeden může také vidět tento faktor jako „korekci“ místní síly na „sílu v nekonečnu“, sílu, kterou by musel pozorovatel v nekonečnu aplikovat pomocí řetězce, aby udržel částice v klidu. (Wald, 1984). ${\ displaystyle {\ sqrt {g_ {tt}}}}$

Abychom pokračovali dále, zapíšeme si element čáry pro statickou metriku.

${\ displaystyle ds ^ {2} = g_ {tt} \, dt ^ {2} + \ mathrm {kvadratický \ forma} (dx \, dy \, dz)}$

kde g _tt a kvadratická forma jsou funkcemi pouze prostorových souřadnic x , y , z a nejsou funkcemi času. Navzdory naší volbě názvů proměnných by se nemělo předpokládat, že náš souřadný systém je kartézský. Skutečnost, že žádný z metrických koeficientů nejsou funkcemi času, činí metrickou stacionární: další skutečnost, že neexistují žádné „křížové výrazy“ zahrnující jak časové, tak prostorové komponenty (například dx dt ), činí statickou.

Z důvodu zjednodušujícího předpokladu, že některé metrické koeficienty jsou nulové, nebudou některé z našich výsledků v této motivační léčbě tak obecné, jak by mohly být.

V plochém časoprostoru je správná akcelerace potřebná k udržení stanice , kde u je 4-rychlost naší vznášející se částice a tau je správný čas. V zakřiveném časoprostoru musíme vzít kovarianční derivaci. Vypočítáme tedy vektor zrychlení jako: ${\ displaystyle du / d \ tau}$

${\ displaystyle a ^ {b} = \ nabla _ {u} u ^ {b} = u ^ {c} \ nabla _ {c} u ^ {b}}$

${\ displaystyle a_ {b} = u ^ {c} \ nabla _ {c} u_ {b}}$

kde u ^b je jednotkový časově podobný vektor, takže u ^b u _b = -1.

Složka vektoru zrychlení kolmá k povrchu je

${\ displaystyle a _ {\ mathrm {norma}} = N ^ {b} a_ {b}}$

kde N ^b je jednotkový vektor kolmý k povrchu.

Například v souřadnicovém systému Schwarzschild to zjistíme

${\ displaystyle N ^ {b} a_ {b} = {\ frac {{\ frac {\ částečný g_ {tt}} {\ částečný r}} c ^ {2}} {2g_ {tt} {\ sqrt {g_ {rr}}}}} = {\ frac {m} {r ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {2m} {rc ^ {2}}}}}}}}$

podle očekávání - jednoduše jsme znovu odvodili předchozí výsledky prezentované v poli rámce na základě souřadnic.

Definujeme

${\ displaystyle a \ inf = {\ sqrt {g_ {tt}}} a}$

takže v našem příkladu Schwarzschild: ${\ displaystyle N ^ {b} a \ inf _ {b} = m / r ^ {2}.}$

Můžeme, pokud si přejeme, odvodit zrychlení a _b a upravené „zrychlení v nekonečnu“ a inf _b ze skalárního potenciálu Z, i když v tom nutně není žádná zvláštní výhoda. (Wald 1984, str. 158, problém 4)

${\ displaystyle a_ {b} = \ nabla _ {b} Z_ {1} \ qquad Z_ {1} = \ ln {g_ {tt}}}$

${\ displaystyle a \ inf _ {b} = \ nabla _ {b} Z_ {2} \ qquad Z_ {2} = {\ sqrt {g_ {tt}}}}$

Ukážeme, že integrace normální složky „zrychlení v nekonečnu“ a inf přes ohraničující povrch nám dá veličinu, která nezávisí na tvaru obklopující koule, takže můžeme vypočítat hmotnost uzavřenou sférou pomocí integrál

${\ displaystyle m = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {A} N ^ {b} a \ inf _ {b} dA}$

K provedení této ukázky musíme tento povrchový integrál vyjádřit jako objemový integrál. V plochém časoprostoru bychom použili Stokesovu větu a integrovali jsme ji přes hlasitost. V zakřiveném časoprostoru je třeba tento přístup mírně upravit. ${\ displaystyle - \ nabla \ cdot a \ inf}$

Za použití vzorců pro elektromagnetismus ve zakřiveném časoprostoru jako vodítka místo toho píšeme.

${\ displaystyle F_ {ab} = a \ inf _ {a} \, u_ {b} -a \ inf _ {b} \, u_ {a}}$

kde F hraje roli podobnou „Faradayovu tenzoru“ v tom, že hodnotu „gravitačního náboje“, tj. hmotnosti, můžeme najít tak, že ji vyhodnotíme a integrujeme do objemu naší sféry. ${\ displaystyle a \ inf _ {a} = F_ {ab} u ^ {b}}$${\ displaystyle \ nabla ^ {a} F_ {ab} u ^ {b}}$

Alternativním přístupem by bylo použití diferenciálních forem , ale výše uvedený přístup je výpočetně pohodlnější a nevyžaduje, aby čtenář rozuměl diferenciálním formám.

To nám ukazuje zdlouhavý, ale přímý (s počítačovou algebrou) výpočet z našeho předpokládaného přímkového prvku

${\ displaystyle -u ^ {b} \ nabla ^ {a} F_ {ab} = {\ sqrt {g_ {tt}}} R_ {00} u ^ {a} u ^ {b} = {\ sqrt {g_ {tt}}} R_ {ab} u ^ {a} u ^ {b}}$

Můžeme tedy psát

${\ displaystyle m = {\ frac {\ sqrt {g_ {tt}}} {4 \ pi}} \ int _ {V} R_ {ab} u ^ {a} u ^ {b}}$

V jakékoli vakuové oblasti časoprostoru musí být všechny komponenty Ricciho tenzoru nulové. To ukazuje, že uzavření jakéhokoli množství vakua nezmění náš objemový integrál. To také znamená, že náš objemový integrál bude konstantní pro jakýkoli uzavírající povrch, pokud uzavřeme veškerou gravitační hmotu uvnitř našeho povrchu. Protože Stokesova věta zaručuje, že náš povrchový integrál se rovná výše uvedenému objemovému integrálu, bude náš povrchový integrál také nezávislý na uzavírající ploše, pokud povrch obklopuje veškerou gravitační hmotu.

Použitím Einsteinových polních rovnic

${\ displaystyle G ^ {u} {} _ {v} = R ^ {u} {} _ {v} - {\ frac {1} {2}} RI ^ {u} {} _ {v} = 8 \ pi T ^ {u} {} _ {v}}$

nechat u = V a jejich součet, lze ukázat, že R = -8π T .

To nám umožňuje přepsat náš hmotnostní vzorec jako objemový integrál tenzoru napětí a energie.

${\ displaystyle m = \ int _ {V} {\ sqrt {g_ {tt}}} \ vlevo (2T_ {ab} -Tg_ {ab} \ vpravo) u ^ {a} u ^ {b} dV}$

kde

• V je objem, do kterého se integruje;
• T _ab je tenzor napětí a energie ;
• u ^a je vektor podobný jednotkovému času, takže u ^a u _a = -1.

Komarova hmotnost jako objemový integrál - obecná stacionární metrika

Aby vzorec pro Komarovu hromadnou práci pro obecnou stacionární metriku, bez ohledu na výběr souřadnic, musel být mírně upraven. Uvedeme použitelný výsledek z (Wald, 1984 ekv. 11.2.10) bez formálního důkazu.

${\ displaystyle m = \ int _ {V} \ vlevo (2T_ {ab} -Tg_ {ab} \ vpravo) u ^ {a} \ xi ^ {b} dV,}$

kde

• V je objem, který se integruje
• T _ab je tenzor napětí a energie ;
• u je jednotka času jako vektoru tak, že u u = 1;
• ${\ displaystyle \ xi ^ {b}}$ je Killingův vektor , který vyjadřuje symetrii časového překladu jakékoli stacionární metriky . Vražedný vektor je normalizován tak, že má jednotkovou délku v nekonečnu, tj. V nekonečnu. ${\ displaystyle \ xi ^ {a} \ xi _ {a} = - 1}$

Všimněte si, že nahrazuje náš motivační výsledek. ${\ displaystyle \ xi ^ {b}}$${\ displaystyle {\ sqrt {g_ {tt}}} u ^ {b} \,}$

Pokud žádný z metrických koeficientů není funkcí času, ${\ displaystyle g_ {ab}}$${\ displaystyle \ xi ^ {a} = (1,0,0,0).}$

I když není nutné volit souřadnice pro stacionární časoprostor tak, aby metrické koeficienty byly nezávislé na čase, je to často výhodné .

Když jsme zvolili takové souřadnice, časově podobný Killingův vektor pro náš systém se stane skalárním násobkem jednotkového vektoru souřadnicového času, tj. Když je to tak, můžeme přepsat náš vzorec jako ${\ displaystyle \ xi ^ {a}}$${\ displaystyle u ^ {a},}$${\ displaystyle \ xi ^ {a} = Ku ^ {a}.}$

${\ displaystyle m = \ int _ {V} \ vlevo (2T_ {00} -Tg_ {00} \ vpravo) KdV}$

Protože je podle definice jednotkový vektor, K je pouze délka , tj. K = . ${\ displaystyle u ^ {a}}$${\ displaystyle \ xi ^ {b}}$${\ displaystyle {\ sqrt {- \ xi ^ {a} \ xi _ {a}}}}$

Vyhodnocením faktoru „červeného posunu“ K na základě našich znalostí o složkách můžeme vidět, že K = . ${\ displaystyle \ xi ^ {a}}$${\ displaystyle {\ sqrt {g_ {tt}}}}$

Pokud bychom si vybrali naše prostorové souřadnice, abychom měli lokálně minkowskou metriku , víme to ${\ displaystyle g_ {ab} = \ eta _ {ab}}$

${\ displaystyle g_ {00} = - 1, T = -T_ {00} + T_ {11} + T_ {22} + T_ {33}}$

S těmito volbami souřadnic můžeme napsat náš Komarský integrál jako

${\ displaystyle m = \ int _ {V} {\ sqrt {- \ xi ^ {a} \ xi _ {a}}} \ vlevo (T_ {00} + T_ {11} + T_ {22} + T_ { 33} \ vpravo) dV}$

I když si nemůžeme zvolit souřadnicový systém pro vytvoření zakřiveného časoprostoru globálně Minkowskian, výše uvedený vzorec poskytuje určitý vhled do významu hmotnostního vzorce Komar. Energie i tlak v zásadě přispívají ke hmotě Komaru. Příspěvek místní energie a hmoty k hmotnosti systému se dále znásobuje lokálním faktorem „červeného posunu“ ${\ displaystyle K = {\ sqrt {g_ {tt}}} = {\ sqrt {- \ xi ^ {a} \ xi _ {a}}}}$

Komarova hmotnost jako povrchový integrál - obecná stacionární metrika

Chtěli bychom také dát obecný výsledek pro vyjádření komarské hmoty jako plošného integrálu.

Vzorec pro hmotnost Komaru z hlediska metriky a jejího zabijáckého vektoru je (Wald, 1984, str. 289, vzorec 11.2.9)

${\ displaystyle m = - {\ frac {1} {8 \ pi}} \ int _ {S} \ epsilon _ {abcd} \ nabla ^ {c} \ xi ^ {d}}$

kde jsou symboly Levi-civita a je to vražedný vektor naší stacionární metriky , normalizovaný tak, že v nekonečnu. ${\ displaystyle \ epsilon _ {abcd}}$${\ displaystyle \ xi ^ {d}}$${\ displaystyle \ xi ^ {a} \ xi _ {a} = - 1}$

Povrchový integrál nahoře je interpretován jako „přirozený“ integrál dvou forem přes potrubí.

Jak již bylo zmíněno dříve, pokud žádný z metrických koeficientů není funkcí času, ${\ displaystyle g_ {ab}}$${\ displaystyle \ xi ^ {a} = \ doleva (1,0,0,0 \ doprava)}$

Viz také

• Komarův superpotenciál
• Hmotnost obecně relativity

Poznámky

Reference

• Wald, Robert M. (1984). Obecná relativita . University of Chicago Press . ISBN   0-226-87033-2 .
• Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitace . WH Freeman a společnost. ISBN   0-7167-0344-0 . CS1 maint: více jmen: seznam autorů ( odkaz )