Lacunarity - Lacunarity

Obrázek 1. Základní fraktální obrazce zvyšující se v lakunaritě zleva doprava.

Stejné obrázky jako výše, otočené o 90 °. Zatímco první dva obrázky vypadají v podstatě stejně jako výše, třetí vypadá jinak než jeho neotáčený originál. Tato funkce je zachycena v mírách lakunarity uvedených v horní části obrázků, vypočítaných pomocí standardního softwaru pro počítání boxů biologických zobrazovacích polí FracLac , Image .

Lacunarity , z latinského mezery , což znamená „mezera“ nebo „jezero“, je specializovaný termín v geometrii s odkazem na míru, jak vzory, zejména fraktály , výplň prostor, kde se vzory, které mají více či větší mezery mají obecně vyšší lacunarity. Kromě intuitivního měřítka štěstí může lakunarita kvantifikovat další rysy vzorů, jako je „rotační invariance“ a obecněji heterogenita. To je znázorněno na obrázku 1, který ukazuje tři fraktální obrazce. Když se otočí o 90 °, první dva poměrně homogenní vzory se nezdají měnit, ale třetí heterogennější obrázek se mění a má odpovídajícím způsobem vyšší lakunaritu. Nejstarší zmínka o termínu v geometrii je obvykle přisuzována Mandelbrotovi, který jej v roce 1983 nebo snad již v roce 1977 představil jako v podstatě doplněk k fraktální analýze . Lacunaritní analýza se nyní používá k charakterizaci vzorů v široké škále oblastí a má uplatnění zejména v multifunkční analýze (viz Aplikace ).

Měření lakunarity

V mnoha vzorcích nebo souborech dat není lakunarita snadno vnímatelná ani kvantifikovatelná, takže pro její výpočet byly vyvinuty metody podporované počítačem. Jako měřitelná veličina je lakunarita ve vědecké literatuře často označována řeckými písmeny nebo je důležité si uvědomit, že neexistuje jediný standard a existuje několik různých metod pro hodnocení a interpretaci lakunarity. ${\ Displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle \ lambda}$

Box lakunarita počítání

Obrázek 2a. Krabice položené na obrázek jako pevná mřížka.

Obrázek 2b. Krabice klouzaly po obrázku v překrývajícím se vzoru.

Jedna známá metoda určování lakunarity pro vzory extrahované z digitálních obrazů používá počítání boxů , stejný základní algoritmus obvykle používaný pro některé typy fraktální analýzy . Algoritmy počítání boxů se podobají pohledu na mikroskop s měnícími se úrovněmi zvětšení na digitální obraz z mnoha úrovní rozlišení a zkoumají, jak se určité funkce mění s velikostí prvku použitého ke kontrole obrazu. V zásadě se uspořádání pixelů měří pomocí tradičně čtvercových (tj. Krabicových) prvků z libovolné sady velikostí, konvenčně označovaných s. U každého je rámeček umístěn postupně na celý obrázek a pokaždé, když je položen, je zaznamenán počet pixelů, které spadají do rámečku. Ve standardním počítání box , box pro každou inu je umístěn jako by byly součástí sítě překryta na obrazu tak, aby box nepřekrývá sobě, ale v posuvné okno algoritmus box se nasune tak, aby se překrýval sám obrázek a vypočítá se „Lacunarita posuvného boxu“ nebo SLac. Obrázek 2 ukazuje oba typy počítání polí. ${\ displaystyle \ mathrm {E}}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ mathrm {E}}$

Výpočty z počítání polí

Data shromážděná pro každé z nich jsou zpracována pro výpočet lakunarity. Jedna míra, zde označovaná jako , je nalezena z variačního koeficientu ( ), vypočítaného jako směrodatná odchylka ( ) dělená průměrem ( ), pro pixely na pole. Protože způsob vzorkování obrázku bude záviset na libovolném počátečním umístění, u jakéhokoli obrázku vzorkovaného v kterémkoli z nich bude existovat určitý počet ( ) možných orientací, z nichž každý zde bude označen , přes který lze data shromažďovat, což může mít různé efekty na naměřeném rozložení pixelů. Rovnice 1 ukazuje základní metodu výpočtu : ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon}}$${\ displaystyle {\ mathit {CV}}}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle {\ mathit {G}}}$${\ displaystyle {\ mathit {g}}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g} = (CV _ {\ varepsilon, g})^{2} = \ left ({\ frac {\ sigma _ {\ varepsilon, g}} {\ mu _ {\ varepsilon, g}}} \ right)^{2}}$

( 1 )

Rozdělení pravděpodobnosti

Alternativně některé metody třídí počty pixelů započítaných do rozdělení pravděpodobnosti se zásobníky a pro výpočet podle rovnic 2 až 5 používají velikosti (hmotnosti ) a jejich odpovídající pravděpodobnosti ( ) : ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$

${\ Displaystyle \ mu _ {\ varepsilon} = \ sum _ {i = 1}^{B} {m_ {i, \ varepsilon} p_ {i, \ varepsilon}}}$

( 2 )

${\ Displaystyle {\ mathit {v}} _ {\ varepsilon} = \ sum _ {i-1}^{B} {\ left (m_ {i, \ varepsilon}-\ mu _ {\ varepsilon} \ right) ^{2} p_ {i, \ varepsilon}}}$

( 3 )

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ varepsilon} = {\ sqrt {{\ mathit {v}} _ {\ varepsilon}}} = \ sum _ {i = 1}^{B} {m_ {i, \ varepsilon} ^{2} p_ {i, \ varepsilon}-\ mu _ {\ varepsilon}^{2}}}$

( 4 )

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon} = {\ frac {\ sum _ {i = 1}^{B} {m_ {i, \ varepsilon}^{2} p_ {i, \ varepsilon}-\ mu _ {\ varepsilon}^{2}}} {\ mu _ {\ varepsilon}^{2}}} = {\ frac {\ sigma _ {\ varepsilon}^{2}} {\ mu _ {\ varepsilon}^ {2}}}}$

( 5 )

Tlumočení λ

Lacunarita založená na byla hodnocena několika způsoby, včetně použití variace nebo průměrné hodnoty pro každou z nich (viz rovnice 6 ) a pomocí variace nebo průměru ve všech mřížkách (viz rovnice 7 ). ${\ Displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ lambda _ {\ varepsilon, g}}} = {\ frac {\ sum _ {\ varepsilon = 1}^{\ mathrm {E}} \ lambda _ {\ varepsilon, g}} {\ mathrm {E}}}}$

( 6 )

${\ displaystyle \ Lambda _ {\ mathit {g}} = {\ frac {\ sum _ {{\ \ mathit {g}} = 1}^{\ mathit {G}} {\ overline {\ lambda _ {\ varepsilon , g}}} {\ mathit {G}}}}$

( 7 )

Vztah k fraktální dimenzi

Lacunaritní analýzy využívající typy hodnot diskutovaných výše ukázaly, že soubory dat extrahované z hustých fraktálů, ze vzorců, které se při rotaci mění jen málo, nebo ze vzorců, které jsou homogenní, mají nízkou lakunaritu, ale jak se tyto vlastnosti zvyšují, tak obecně i lakunarita. V některých případech bylo prokázáno, že fraktální rozměry a hodnoty lakunarity jsou ve vzájemném vztahu, ale novější výzkum ukázal, že tento vztah neplatí pro všechny typy vzorů a opatření lacunarity. Jak Mandelbrot původně navrhoval, ukázalo se, že lakunarita je užitečná při rozpoznávání vzorců (např. Fraktálů, textur atd.), Které sdílejí nebo mají podobné fraktální rozměry v celé řadě vědních oborů včetně neurovědy.

Grafická lacunarita

Jiné metody hodnocení lakunarity z dat počítání boxů používají vztah mezi hodnotami lacunarity (např. ) A různými způsoby od hodnot uvedených výše. Jedna taková metoda se dívá na vs graf těchto hodnot. Podle této metody lze samotnou křivku analyzovat vizuálně nebo lze vypočítat sklon v z regresní přímky vs. Protože mají tendenci chovat se určitým způsobem pro mono-, multi- a nefraktální vzorce, byly k doplnění metod klasifikace takovýchto vzorců použity vs.${\ Displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ ln}$${\ displaystyle \ ln}$${\ displaystyle {\ mathit {g}}}$${\ displaystyle \ ln}$${\ displaystyle \ ln}$${\ displaystyle \ ln}$${\ displaystyle \ ln}$

Aby byly grafy pro tento typ analýzy vytvořeny, musí být data z počítání polí nejprve transformována jako v rovnici 9 :

${\ Displaystyle f \ lambda _ {\ varepsilon, g} = \ lambda _ {\ varepsilon, g} +1}$

( 9 )

Tato transformace se vyhýbá nedefinovaným hodnotám, což je důležité, protože homogenní obrazy budou mít v některých rovných 0, takže by nebylo možné najít sklon vs regresní přímky. S , homogenní obrazy mají sklon 0 ° C, což odpovídá intuitivně k myšlence no rotační nebo translační invariance a bez mezer. ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ ln}$${\ displaystyle \ ln}$${\ Displaystyle f \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$

Jedna technika počítání boxů pomocí „klouzavého“ boxu vypočítává lakunaritu podle:

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (r) = {\ frac {\ sum _ {i = 1}^{r^{2}} S_ {i}^{2} Q (S_ {i}, r )} {\ left (\ sum _ {i = 1}^{r^{2}} S_ {i} Q (S_ {i}, r) \ right)^{2}}}.}$

( 10 )

${\ displaystyle S_ {i}}$je počet vyplněných datových bodů v rámečku a normalizované rozdělení frekvence pro různé velikosti boxů. ${\ displaystyle Q (S_ {i}, r)}$${\ displaystyle S_ {i}}$

Prefaktorová lacunarita

Další navrhovaný způsob hodnocení lakunarity pomocí počítání boxů, Prefactorova metoda, je založen na hodnotě získané z počítání boxů pro fraktální dimenzi ( ). Tato statistika používá proměnnou z pravidla změny měřítka , kde se vypočítá z y-intercept ( ) regresní přímky ln-ln pro a buď count ( ) boxů, které v sobě měly nějaké pixely, nebo také at . je ovlivněna zejména velikostí obrázku a způsobem shromažďování dat, zejména spodní hranicí použitého s. Konečné opatření se vypočítá podle rovnic 11 až 13 : ${\ displaystyle D_ {B}}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle N = A \ varepsilon ^{D_ {B}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathit {y}}}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle A_ {g} = {\ frac {1} {e^{{\ mathit {y}} _ {g}}}}}$

( 11 )

${\ displaystyle {\ overline {A}} = {\ frac {\ sum _ {g = 1}^{G} A_ {g}} {G}}}$

( 12 )

${\ Displaystyle P \ Lambda = {\ frac {\ sum _ {g = 1}^{G} {\ left ({\ frac {A_ {g}} {\ overline {A}}}-1 \ right)^ {2}}} {G}}}$

( 13 )

Aplikace

Níže je uveden seznam některých oborů, kde hraje lacunarita důležitou roli, spolu s odkazy na relevantní výzkum ilustrující praktické využití lakunarity.

• Ekologie
• Fyzika
• Archeologie
• Lékařské zobrazování
• Městská prostorová analýza
• Seismické studie
• Zubní lékařství
• Věda o jídle

Poznámky

Reference

externí odkazy

• „Uživatelská příručka FracLac“ . Online průvodce teorií a analýzou lacunarity pomocí bezplatného softwaru pro biologické zobrazování s otevřeným zdrojovým kódem.