Velký kardinál - Large cardinal

V matematickém poli teorie množin je velká hlavní vlastnost určitým druhem vlastnosti transfinitních hlavních čísel . Kardinálové s takovými vlastnostmi jsou, jak název napovídá, obecně velmi „velcí“ (například větší než nejméně α, takže α = ω α ). Tvrzení, že takoví kardinálové existují, nelze dokázat při nejběžnější axiomatizaci teorie množin, konkrétně ZFC , a na takové návrhy lze pohlížet jako na způsoby, jak měřit, „kolik“, nad rámec ZFC, je třeba předpokládat, aby bylo možné prokázat určité žádoucí Výsledek. Jinými slovy, ve frázi Dany Scottové je lze vidět jako kvantifikaci skutečnosti „že pokud chcete více, musíte předpokládat více“.

Existuje hrubá konvence, že výsledky prokazatelné ze samotného ZFC lze konstatovat bez hypotéz, ale že pokud důkaz vyžaduje jiné předpoklady (například existenci velkých kardinálů), je třeba je uvést. Ať už se jedná pouze o jazykovou konvenci, nebo o něco víc, je to kontroverzní bod mezi odlišnými filozofickými školami (viz Motivace a epistemický status níže).

Velké kardinály axiom je axiom uvádí, že existuje kardinála (nebo snad mnohé z nich) s nějakým specifikovaným velkým kardinála majetku.

Většina teoretiků pracovní sady věří, že velké kardinální axiomy, o nichž se v současné době uvažuje, jsou v souladu se ZFC. Tyto axiomy jsou dostatečně silné, aby naznačovaly konzistenci ZFC. To má za následek (prostřednictvím Gödelova druhého teorému o neúplnosti ), že jejich konzistenci se ZFC nelze v ZFC prokázat (za předpokladu, že ZFC je konzistentní).

Neexistuje žádná obecně dohodnutá přesná definice toho, co je velká světová vlastnost, ačkoli v zásadě všichni souhlasí s tím, že ti v seznamu velkých světových vlastností jsou velkými světovými vlastnostmi.

Částečná definice

Nutnou podmínkou pro to, aby vlastnost hlavních čísel byla velkou hlavní vlastností, je to, že není známo, že by existence takového kardinála byla v rozporu se ZFC, a bylo prokázáno, že pokud je ZFC konzistentní , pak ZFC je konzistentní s tvrzením, že „žádný takový kardinál neexistuje.“

Hierarchie síly konzistence

Pozoruhodné pozorování velkých kardio axiomů spočívá v tom, že se zdá, že se vyskytují v přísném lineárním pořadí podle síly konzistence . To znamená, že není známa žádná výjimka: Vzhledem ke dvěma velkým kardinálním axiomům A 1 a A 2 se stane přesně jedna ze tří věcí:

  1. Není-li ZFC je nekonzistentní, ZFC + 1 je v souladu pouze v případě ZFC + 2 je v souladu;
  2. ZFC + A 1 dokazuje, že ZFC + A 2 je konzistentní; nebo
  3. ZFC + A 2 dokazuje, že ZFC + A 1 je konzistentní.

Ty se vzájemně vylučují, pokud jedna z dotyčných teorií není ve skutečnosti nekonzistentní.

V případě 1 říkáme, že A 1 a A 2 jsou rovnocenné . V případě 2 říkáme, že A 1 je konzistenční silnější než A 2 (naopak pro případ 3). Pokud 2 je silnější než A 1 , pak ZFC + 1 nemůže prokázat ZFC + 2 je v souladu is přídavným hypotézou, že ZFC + 1 je konzistentní (samozřejmě za předpokladu, že to opravdu je). To vyplývá z Gödelova druhého teorému o neúplnosti .

Pozorování, že velké kardinální axiomy jsou lineárně uspořádány podle síly konzistence, je právě to, pozorování, nikoli věta. (Bez přijaté definice velkého světového majetku nepodléhá důkazu v běžném smyslu). Ve všech případech také není známo, který ze tří případů platí. Saharon Shelah se zeptal: „Existuje nějaká věta, která to vysvětluje, nebo je naše vize jednotnější, než si uvědomujeme?“ Woodin to však odvozuje z hypotézy Ω , což je hlavní nevyřešený problém jeho logiky Ω . Je také pozoruhodné, že mnoho kombinatorických výroků je přesně rovnocenných s nějakým velkým kardinálem, spíše než je mezi nimi.

Pořadí síly konzistence nemusí být nutně stejné jako pořadí velikosti nejmenšího svědka velkého světového axiomu. Například existence velkého kardinála je mnohem silnější, pokud jde o sílu konzistence, než existence superkompaktního kardinála , ale za předpokladu, že existují oba, je první obrovský menší než první superkompaktní.

Motivace a epistemický status

Velké kardinály jsou chápány v souvislosti s von Neumann vesmíru V, který je vybudován podle transfinitely iterace na POWERSET operaci, která sbírá dohromady všechny podmnožiny daného setu. Typicky lze modely, ve kterých selhávají velké kardinální axiomy, považovat nějakým přirozeným způsobem za submodely těch, ve kterých axiomy drží. Například pokud existuje nepřístupný kardinál , pak „odříznutí vesmíru“ ve výšce prvního takového kardinála poskytne vesmír, ve kterém není nepřístupný kardinál. Nebo pokud existuje měřitelný kardinál , pak iterace definovatelné operace množiny výkonů namísto plné poskytne Gödelovu konstruovatelný vesmír , L, který nesplňuje tvrzení „existuje měřitelný kardinál“ (i když obsahuje měřitelný kardinál jako ordinál) ).

Z určitého úhlu pohledu mnoha teoretiků množin (zejména těch inspirovaných Cabalovou tradicí ) tedy velké kardinální axiomy „říkají“, že uvažujeme o všech množinách, o nichž „předpokládáme“, zatímco jejich negace jsou „omezující“ a říkají, že uvažujeme pouze o některých z těchto množin. Navíc se zdá, že důsledky velkých kardinálních axiomů spadají do přirozených vzorců (viz Maddy, „Believing the Axioms, II“). Z těchto důvodů mají takoví teoretici množin tendenci považovat velké kardinální axiomy za upřednostňované mezi rozšířeními ZFC, které nesdílejí axiomy s méně jasnou motivací (například Martinův axiom ) nebo jiné, které považují za intuitivně nepravděpodobné (například V = L ). Tvrdí realisté v této skupině by jednodušeji tvrdili, že velké kardinální axiomy jsou pravdivé .

Toto hledisko není v žádném případě univerzální mezi teoretiky množin. Někteří formalisté by tvrdili, že standardní teorie množin je ze své podstaty studium důsledků ZFC, a přestože by v zásadě nemuseli být proti studiu důsledků jiných systémů, nevidí důvod, proč by měli upřednostňovat velké kardinály. Existují také realisté, kteří popírají, že ontologický maximalismus je správná motivace, a dokonce věří, že velké kardinální axiomy jsou falešné. A konečně, existují lidé, kteří popírají, že negace velkých kardinálních axiomů jsou omezující, poukazují na to, že (například) v L může existovat tranzitivní množinový model, který věří, že existuje měřitelný kardinál, i když L sám to neuspokojuje tvrzení.

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy