Integrace Lebesgue - Lebesgue integration

Část série článků o
Počet
Základní věta Leibnizovo integrální pravidlo Limity funkcí Kontinuita Věta o střední hodnotě Rollova věta
Rozdíl Definice Derivace  ( zobecnění ) Rozdíl infinitezimální funkce celkový Pojmy Diferenciační notace Druhá derivace Implicitní diferenciace Logaritmická diferenciace Související ceny Taylorova věta Pravidla a identity Součet Produkt Řetěz Napájení Kvocient Pravidlo L'Hôpital Inverzní Generál Leibniz Vzorec Faà di Bruna Reynolds
Integrální Seznamy integrálů Integrální transformace Definice Antiderivativní Integrální  ( nevhodné ) Riemannův integrál Integrace Lebesgue Integrace obrysů Integrace inverzních funkcí Integrace od Díly Disky Válcové skořepiny Substituce  ( trigonometrická , Weierstrass , Euler ) Eulerův vzorec Částečné zlomky Změna pořadí Redukční vzorce Rozlišování podle integrálního znaku Rischův algoritmus
Série Geometrický  ( aritmeticko-geometrický ) Harmonický Střídavě Napájení Binomický Taylor Konvergenční testy Limit součtu (termínový test) Poměr Vykořenit Integrální Přímé srovnání Porovnání limitů Střídající se série Cauchyho kondenzace Dirichlet Abel
Vektor Spád Divergence Kučera Laplacián Směrový derivát Identity Věty Spád Zelenina Stokes ' Divergence generalizované Stokes
Více proměnných Formalismy Matice Tensor Vnější Geometrický Definice Parciální derivace Vícenásobný integrál Liniový integrál Povrchový integrál Objemový integrál Jakobijský Hesián
Specializované Frakční Malliavin Stochastický Variace
Smíšený Precalculus Dějiny Glosář Seznam témat Integrace Bee Analýza
proti t E

V matematice lze integrál nezáporné funkce jediné proměnné v nejjednodušším případě považovat za oblast mezi grafem této funkce a osou x . Lebesgueův integrál , pojmenoval francouzský matematik Henri Lebesgueův , rozšiřuje nedílnou součástí širší třídy funkcí. Rovněž rozšiřuje domény, na kterých lze tyto funkce definovat.

Dlouho před 20. století, matematiky již zřejmé, že pro nezáporné funkce s hladkým dostatečně graf, jako jsou spojité funkce na uzavřeném omezených intervalech -The plocha pod křivkou , kterou lze definovat jako integrál a počítány s použitím techniky přibližného na region by polygony . Když však vyvstala potřeba uvažovat o více nepravidelných funkcích - např. V důsledku omezujících procesů matematické analýzy a matematické teorie pravděpodobnosti -, začalo být zřejmé, že k definování vhodného integrálu jsou zapotřebí pečlivější aproximační techniky. Dalo by se také chtít integrovat do prostorů obecnějších než skutečná čára. Lebesgueův integrál k tomu poskytuje nezbytné abstrakce.

Lebesgueův integrál hraje důležitou roli v teorii pravděpodobnosti , reálné analýze a mnoha dalších oblastech matematiky. Je pojmenována po Henri Lebesgueovi (1875–1941), který představil integrál ( Lebesgue 1904 ). Je také klíčovou součástí axiomatické teorie pravděpodobnosti .

Termín Lebesgueova integrace může znamenat buď obecnou teorii integrace funkce s ohledem na obecnou míru , jak ji zavedl Lebesgue, nebo konkrétní případ integrace funkce definované na subdoméně skutečné linie s ohledem na Lebesgueova míra .

Úvod

Integrál kladné funkce f mezi limity a a b lze interpretovat jako oblast pod grafem f . Pro funkce, jako jsou polynomy , je to jednoduché , ale co to znamená pro exotičtější funkce? Obecně pro jakou třídu funkcí má „oblast pod křivkou“ smysl? Odpověď na tuto otázku má velký teoretický i praktický význam.

V rámci obecného pohybu směrem k přísnosti v matematice v devatenáctém století se matematici pokusili postavit integrální počet na pevný základ. Riemannův integrál -proposed podle Bernhard Riemann (1826-1866) -je široce úspěšný pokus poskytnout takový základ. Riemannova definice začíná konstrukcí sekvence snadno vypočítatelných oblastí, které konvergují k integrálu dané funkce. Tato definice je úspěšná v tom smyslu, že dává očekávanou odpověď na mnoho již vyřešených problémů a poskytuje užitečné výsledky pro mnoho dalších problémů.

Integrace Riemanna však nereaguje dobře s přijímáním limitů posloupností funkcí, takže je obtížné tyto omezující procesy analyzovat. To je důležité například při studiu Fourierových sérií , Fourierových transformací a dalších témat. Lebesgueův integrál dokáže lépe popsat, jak a kdy je možné přijmout limity pod znaménkem integrálu (prostřednictvím monotónní věty o konvergenci a dominované věty o konvergenci ).

Zatímco Riemannův integrál považuje oblast pod křivkou za vytvořenou ze svislých obdélníků, Lebesgueova definice uvažuje s horizontálními deskami, které nemusí být nutně jen obdélníky, a proto je flexibilnější. Z tohoto důvodu definice Lebesgue umožňuje vypočítat integrály pro širší třídu funkcí. Například Dirichletova funkce , která je 0, kde její argument je iracionální a 1 jinak, má Lebesgueův integrál, ale nemá Riemannův integrál. Lebesgueův integrál této funkce je navíc nula, což souhlasí s intuicí, že při vybírání reálného čísla rovnoměrně náhodně z intervalu jednotek by měla být pravděpodobnost výběru racionálního čísla nulová.

Lebesgue shrnul svůj přístup k integraci v dopise Paulu Montelovi :

Musím zaplatit určitou částku, kterou jsem nasbíral do kapsy. Vytahuji bankovky a mince z kapsy a dávám je věřiteli v pořadí, ve kterém je najdu, dokud nedosáhnu celkové částky. Toto je Riemannův integrál. Ale mohu postupovat jinak. Poté, co jsem vytáhl všechny peníze z kapsy, objednám bankovky a mince podle stejných hodnot a poté zaplatím několik hromádek za sebou věřiteli. To je můj integrál.

-  Zdroj : ( Siegmund-Schultze 2008 )

Vhled spočívá v tom, že by člověk měl být schopen volně přeskupit hodnoty funkce při zachování hodnoty integrálu. Tento proces přeuspořádání může převést velmi patologickou funkci na tu „hezkou“ z hlediska integrace, a tak nechat integrovat takovéto patologické funkce.

Intuitivní výklad

Abychom získali intuici ohledně různých přístupů k integraci, představme si, že chceme najít objem hory (nad hladinou moře).

Přístup Riemann – Darboux

Rozdělte úpatí hory na mřížku 1 metr čtverečních. Změřte nadmořskou výšku hory ve středu každého náměstí. Objem na jeden čtverec mřížky je asi 1 m ² × (nadmořská výška ten čtverec je), takže celkový objem je 1 m ² krát větší než součet výšek.

Lebesgueův přístup

Nakreslete vrstevnicovou mapu hory, kde sousední vrstevnice jsou od sebe vzdáleny 1 metr nadmořské výšky. Objem obsažený v obrysu je přibližně 1 m × (tato plocha obrysu), takže celkový objem je součtem těchto ploch krát 1 m.

Folland shrnuje rozdíl mezi Riemannovým a Lebesgueovým přístupem takto: „pro výpočet Riemannova integrálu f jedna rozdělí doménu [ a , b ] na podintervaly“, zatímco v Lebesgueově integrálu „jedna ve skutečnosti rozdělí rozsah f . "

Chcete-li definovat Lebesgueův integrál vyžaduje formální ponětí o opatření , které, hrubě, spolupracovníci každé sady A reálných čísel nezáporné číslo u Stabilizátory ( ) představujících „velikost“ A . Tento pojem „velikosti“ by měl souhlasit s obvyklou délkou intervalu nebo nesouvislým spojením intervalů. Předpokládejme, že f  : R → R ⁺ je nezáporná reálná funkce. Plocha malé vodorovné desky pod grafem f o výšce dt se rovná šířce pásu krát dt . Tuto elementární oblast lze zapsat jako

${\ Displaystyle \ mu \ left (\ {x \ mid f (x)> t \} \ right) \, dt,}$

a Lebesgueův integrál lze určit sečtením těchto elementárních oblastí.

Lebesgue (1904) konstruuje svůj integrál hranicí mezi horním a dolním součtem aproximací k tomuto součtu elementárních oblastí, podobně jako přístup Riemann – Darboux. To odpovídá současným způsobům léčby pomocí jednoduchých funkcí . Alternativně lze Lebesgueův integrál definovat odebráním nevhodného Riemannova integrálu elementárních oblastí.

Teorie měření

Teorie opatření byla původně vytvořena, aby poskytla užitečnou abstrakci pojmu délky podmnožin skutečné linie - a obecněji plochy a objemu podmnožin euklidovských prostorů. Zejména poskytovalo systematickou odpověď na otázku, které podmnožiny R mají délku. Jak ukázal pozdější vývoj teorie množin (viz neměřitelná množina ), je ve skutečnosti nemožné přiřadit délku všem podmnožinám R způsobem, který zachovává některé přirozené vlastnosti aditivní a invarianční translace. To naznačuje, že výběr vhodné třídy měřitelných podmnožin je základním předpokladem.

Riemannův integrál výslovně používá pojem délky. Skutečným prvkem výpočtu pro Riemannův integrál je obdélník [ a , b ] × [ c , d ] , jehož plocha je vypočtena jako ( b - a ) ( d - c ) . Veličina b - a je délka základny obdélníku a d - c je výška obdélníku. Riemann mohl použít pouze rovinné obdélníky k aproximaci oblasti pod křivkou, protože neexistovala adekvátní teorie pro měření obecnějších množin.

Při vývoji teorie ve většině moderních učebnic (po roce 1950) je přístup k měření a integraci axiomatický . To znamená, že mírou je jakákoli funkce μ definovaná pro určitou třídu X podmnožin množiny E , která splňuje určitý seznam vlastností. Tyto vlastnosti je možné zobrazit v mnoha různých případech.

Měřitelné funkce

Začneme s opatření prostoru ( E , X , μ), kde E je množina , X je σ-algebry podmnožin E , a μ je (ne negativní ) opatření na E je definován na základě sady X .

Například E může být euklidovský n -prostor R ⁿ nebo nějaká jeho Lebesgueova měřitelná podmnožina, X je σ -algebra všech Lebesgueových měřitelných podmnožin E a μ je Lebesgueova míra. V matematické teorii pravděpodobnosti omezíme naši studii na míru  pravděpodobnosti μ , která splňuje μ ( E ) = 1 .

Lebesgueova teorie definuje integrály pro třídu funkcí nazývaných měřitelné funkce . Skutečná funkce f na E je měřitelná, pokud je předobraz každého intervalu formy ( t , ∞) v X :

${\ Displaystyle \ {x \, \ mid \, f (x)> t \} \ in X \ quad \ forall t \ in \ mathbb {R}.}$

Lze ukázat, že toto je ekvivalentní na požadavek, aby předem obraz každé Borel podmnožinu R být v X . Sada měřitelných funkcí je uzavřena pod algebraickými operacemi, ale co je důležitější, je uzavřena pod různými druhy bodových sekvenčních limitů :

${\ Displaystyle \ sup _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k}, \ quad \ liminf _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k}, \ quad \ limsup _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k}}$

jsou měřitelné, pokud původní posloupnost ( f _k ) _k , kde k ∈ N , sestává z měřitelných funkcí.

Existuje několik přístupů k definování integrálu:

${\ Displaystyle \ int _ {E} f \, d \ mu = \ int _ {E} f \ left (x \ right) \, d \ mu \ left (x \ right)}$

měřitelné reálných funkcí f definována na E .

Definice

Teorie Lebesgueova integrálu vyžaduje teorii měřitelných množin a opatření na těchto souborech, jakož i teorii měřitelných funkcí a integrály těchto funkcí.

Prostřednictvím jednoduchých funkcí

Jedním z přístupů ke konstrukci Lebesgueova integrálu je využití takzvaných jednoduchých funkcí : konečné reálné a lineární kombinace indikátorových funkcí . Pro nováčka v teorii míry má tato konstrukce Lebesgueova integrálu intuitivnější smysl, když je porovnána se způsobem, jakým se používá Riemannův součet s definicí/konstrukcí Riemannova integrálu . Jednoduché funkce lze použít k aproximaci měřitelné funkce rozdělením rozsahu do vrstev. Integrál jednoduché funkce se rovná míře dané vrstvy vynásobené výškou této vrstvy. Integrál nezáporné obecné měřitelné funkce je pak definován jako vhodné supremum aproximací jednoduchými funkcemi a integrál (ne nutně pozitivní) měřitelné funkce je rozdílem dvou integrálů nezáporných měřitelných funkcí.

Funkce indikátoru

Chcete -li přiřadit hodnotu integrálu funkce indikátoru 1 _S měřitelné sady S v souladu s danou mírou μ, jedinou rozumnou volbou je nastavit:

${\ Displaystyle \ int 1_ {S} \, d \ mu = \ mu (S).}$

Všimněte si, že výsledek může být roven +∞ , pokud μ není konečné opatření.

Jednoduché funkce

Konečně lineární kombinace funkcí indikátorů

${\ Displaystyle \ sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}}}$

kde koeficienty a _k jsou reálná čísla a S _k jsou disjunktní měřitelné množiny, se nazývá měřitelná jednoduchá funkce . Integrál rozšiřujeme o linearitu na nezáporné měřitelné jednoduché funkce. Když jsou koeficienty a _k kladné, nastavíme

${\ Displaystyle \ int \ left (\ sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}} \ right) \, d \ mu = \ sum _ {k} a_ {k} \ int 1_ {S_ { k}} \, d \ mu = \ sum _ {k} a_ {k} \, \ mu (S_ {k})}$

zda je tento součet konečný nebo +∞. Jednoduchou funkci lze zapsat různými způsoby jako lineární kombinaci indikátorových funkcí, ale integrál bude stejný aditivitou opatření.

Při definování integrálu jednoduché funkce se skutečnou hodnotou je nutná určitá opatrnost , aby se zabránilo nedefinovanému výrazu ∞-∞ : člověk předpokládá, že reprezentace

${\ Displaystyle f = \ sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}}}$

je taková, že μ ( S _k ) <∞ kdykoli a _k ≠ 0 . Pak výše uvedený vzorec pro integrál f má smysl a výsledek nezávisí na konkrétní reprezentaci f splňující předpoklady.

Pokud B je měřitelná podmnožina E a s je měřitelná jednoduchá funkce, definujeme ji

${\ Displaystyle \ int _ {B} s \, d \ mu = \ int 1_ {B} \, s \, d \ mu = \ sum _ {k} a_ {k} \, \ mu (S_ {k} \ cap B).}$

Nezáporné funkce

Nechť f je nezáporná měřitelná funkce na E , které dovolíme dosáhnout hodnoty +∞ , jinými slovy, f bere nezáporné hodnoty v rozšířeném řádku reálných čísel . Definujeme

${\ Displaystyle \ int _ {E} f \, d \ mu = \ sup \ left \ {\, \ int _ {E} s \, d \ mu: 0 \ leq s \ leq f, \ s \ {\ text {simple}} \, \ right \}.}$

Musíme ukázat, že tento integrál se shoduje s předchozím, definovaným na sadě jednoduchých funkcí, když E   je segment [ a ,  b ]. Nabízí se také otázka, zda to nějak odpovídá riemannovskému pojmu integrace. Je možné dokázat, že odpověď na obě otázky je ano.

Definovali jsme integrál f pro všechny non-negativní prodloužena skutečnou hodnotou měřitelnou funkci na  E . U některých funkcí je tento integrál  ∫ _E f dμ nekonečný.

Často je užitečné mít konkrétní posloupnost jednoduchých funkcí, která se blíží Lebesgueovu integrálu (analogicky k Riemannově součtu). Pro nezápornou měřitelnou funkci f nechť je jednoduchá funkce, jejíž hodnota je kdykoli , pro k nezáporné celé číslo menší než (řekněme) . Pak se to dá přímo dokázat ${\ displaystyle s_ {n} (x)}$${\ displaystyle k/2^{n}}$${\ Displaystyle k/2^{n} \ leq f (x) <(k+1)/2^{n}}$${\ displaystyle 4^{n}}$

${\ Displaystyle \ int f \, d \ mu = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int s_ {n} \, d \ mu}$

a že limit na pravé straně existuje jako rozšířené reálné číslo. To překlenuje spojení mezi přístupem k Lebesgueovu integrálu pomocí jednoduchých funkcí a motivací pro Lebesgueův integrál pomocí rozdělení rozsahu.

Podepsané funkce

Abychom zvládli podepsané funkce, potřebujeme ještě několik definic. Pokud f je měřitelná funkce množiny E vůči reálným hodnotám (včetně ± ∞ ), pak můžeme psát

${\ Displaystyle f = f^{+}-f^{-},}$

kde

${\ Displaystyle f^{+} (x) = {\ begin {cases} f (x) & {\ text {if}} f (x)> 0 \\ 0 & {\ text {else}} \ end {případy }}}$

${\ Displaystyle f^{-} (x) = {\ begin {cases} -f (x) & {\ text {if}} f (x) <0 \\ 0 & {\ text {else}} \ end { případy}}}$

Všimněte si, že f ⁺ a f ^- jsou nezáporné měřitelné funkce. Všimněte si toho také

${\ Displaystyle | f | = f^{+}+f^{-}. \ quad}$

Říkáme, že Lebesgueův integrál měřitelné funkce f existuje , nebo je definován, pokud je alespoň jeden z a je konečný: ${\ textstyle \ int f^{+} \, d \ mu}$${\ textstyle \ int f^{-} \, d \ mu}$

${\ Displaystyle \ min \ left (\ int f^{+} \, d \ mu, \ int f^{-} \, d \ mu \ right) <\ infty.}$

V tomto případě definujeme

${\ Displaystyle \ int f \, d \ mu = \ int f^{+} \, d \ mu -\ int f^{ -} \, d \ mu.}$

Li

${\ Displaystyle \ int | f | \, d \ mu <\ infty,}$

říkáme, že f je Lebesgueovo integrovatelné .

Ukazuje se, že tato definice dává žádoucí vlastnosti integrálu.

Přes nevhodný Riemannův integrál

Za předpokladu, že je to měřitelné a nezáporné, funkce ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle f^{*} (t) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ mu \ left (\ {x \ in E \ mid f (x)> t \} \ right ).}$

monotónně neroste. Lebesgueův integrál pak může být definován jako nesprávné Riemann integrálu z : ${\ displaystyle f^{*}}$

${\ Displaystyle \ int _ {E} f \, d \ mu \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ int _ {0}^{\ infty} f^{*} (t) \, dt.}$

Tento integrál je nevhodný na a (případně) také na nule. Existuje s tím, že může být nekonečný. ${\ displaystyle \ infty}$

Jak je uvedeno výše, integrál Lebesgueovy integrovatelné (ne nutně nezáporné) funkce je definován odečtením integrálu jejích kladných a záporných částí.

Komplexní funkce

Komplexně hodnocené funkce mohou být podobně integrovány, když vezmeme v úvahu skutečnou část a imaginární část samostatně.

Pokud h = f + ig pro integrovatelné funkce s reálnou hodnotou f , g , pak integrál h je definován vztahem

${\ Displaystyle \ int h \, d \ mu = \ int f \, d \ mu +i \ int g \, d \ mu.}$

Funkce je Lebesgueova integrovatelná tehdy a jen tehdy, pokud je její absolutní hodnota Lebesgueova integrovatelná (viz Absolutně integrovatelná funkce ).

Příklad

Zvažte funkci indikátoru racionálních čísel, 1 _Q , známou také jako Dirichletova funkce. Tato funkce není nikde spojitá .

• ${\ displaystyle 1 _ {\ mathbf {Q}}}$ není Riemann-integrovatelný na [0, 1] : Bez ohledu na to, jak je množina [0, 1] rozdělena na podintervaly, každý oddíl obsahuje alespoň jedno racionální a alespoň jedno iracionální číslo, protože racionální i iracionální jsou v reality. Takže horní součty Darbouxu jsou všechny jedna a nižší součty Darbouxu jsou všechny nulové.
• ${\ displaystyle 1 _ {\ mathbf {Q}}}$ je Lebesgueově integrovatelný na [0, 1] pomocí Lebesgueova měřítka : Skutečně je to indikátorová funkce racionálů, takže podle definice
  $${\ Displaystyle \ int _ {[0,1]} 1 _ {\ mathbf {Q}} \, d \ mu = \ mu (\ mathbf {Q} \ cap [0,1]) = 0,}$$

  
  protože Q je počitatelné .

Doména integrace

Technickým problémem integrace Lebesgue je, že doména integrace je definována jako množina (podmnožina měřicího prostoru), bez pojmu orientace. V elementárním počtu definujeme integraci s ohledem na orientaci :

${\ Displaystyle \ int _ {b}^{a} f: =-\ int _ {a}^{b} f.}$

Zobecnění na vyšší dimenze přináší integraci diferenciálních forem . Integrace Lebesgue naopak poskytuje alternativní zobecnění, integrující přes podmnožiny s ohledem na opatření; to lze označit jako

${\ Displaystyle \ int _ {A} f \, d \ mu = \ int _ {[a, b]} f \, d \ mu}$

ukázat integraci přes podmnožiny A . Podrobnosti o vztahu mezi těmito zobecněními viz Diferenciální forma § Vztah s opatřeními .

Omezení Riemannova integrálu

S příchodem Fourierovy řady se objevilo mnoho analytických problémů zahrnujících integrály, jejichž uspokojivé řešení vyžadovalo záměnu mezních procesů a integrálních znaků. Nicméně podmínky, za kterých integrály

${\ Displaystyle \ sum _ {k} \ int f_ {k} (x) dx, \ quad \ int \ left [\ sum _ {k} f_ {k} (x) \ right] dx}$

se v Riemannově rámci ukázaly jako rovnocenné. S Riemannovým integrálem existují ještě další technické potíže. Ty jsou spojeny s výše zmíněnou obtížností přijímání limitů.

Selhání monotónní konvergence . Jak je uvedeno výše, indikátorová funkce 1 _Q na racionálních hodnotách není Riemann integrovatelná. Zejména selhává monotónní konvergenční věta . Chcete -li zjistit proč, nechť { a _k } je výčet všech racionálních čísel v [0, 1] (jsou spočitatelné, aby to bylo možné provést).

${\ Displaystyle g_ {k} (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x = a_ {j}, j \ leq k \\ 0 & {\ text {else}} \ end {případy }}}$

Funkce g _k je nula všude, kromě konečné sady bodů. Proto je jeho Riemannův integrál nulový. Každé g _k je nezáporné a tato posloupnost funkcí se monotónně zvyšuje, ale její limit jako k → ∞ je 1 _Q , což není Riemannovo integrovatelné.

Nedostižnost pro neomezené intervaly . Riemannův integrál může integrovat funkce pouze v omezeném intervalu. Lze jej však rozšířit na neomezené intervaly stanovením limitů, pokud to nepřinese odpověď, jako je ∞ - ∞ .

Integrace do struktur jiných než euklidovský prostor . Riemannův integrál je neoddělitelně spojen s řádovou strukturou skutečné linie.

Základní věty Lebesgueova integrálu

Říká se, že dvě funkce jsou téměř všude stejné ( zkráceně), pokud je podmnožinou nulové množiny . ${\ displaystyle f \ {\ stackrel {\ text {ae}} {=}} \ g}$${\ Displaystyle \ {x \ mid f (x) \ neq g (x) \}}$

Měřitelnost setu je není nutné. ${\ Displaystyle \ {x \ mid f (x) \ neq g (x) \}}$

• Pokud f , g jsou nezáporné měřitelné funkce (případně za předpokladu hodnoty +∞ ) takové, že f = g téměř všude, pak
  $${\ Displaystyle \ int f \, d \ mu = \ int g \, d \ mu.}$$

  
  Integrál naopak respektuje vztah ekvivalence téměř všude.
• Pokud f , g jsou funkce takové, že f = g téměř všude, pak f je Lebesgueův integrovatelný právě tehdy, když g je Lebesgueův integrovatelný, a integrály f a g jsou stejné, pokud existují.
• Linearita : Pokud f a g jsou Lebesgueovy integrovatelné funkce a a a b jsou reálná čísla, pak af + bg je Lebesgueova integrovatelná a
  $${\ Displaystyle \ int (af +bg) \, d \ mu = a \ int f \, d \ mu +b \ int g \, d \ mu.}$$

  
• Monotonicita : Pokud f ≤ g , pak
  $${\ Displaystyle \ int f \, d \ mu \ leq \ int g \, d \ mu.}$$

  
• Budiž měřítkem prostoru. Označme na algebra a Borel sad na . (Podle definice obsahuje množinu a všechny Borelovy podmnožiny .) Zvažte -měřitelnou nezápornou funkci . Pro sadu definujte${\ Displaystyle (\ Omega, \ Sigma, \ mu)}$${\ displaystyle \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle [0,+\ infty]}$${\ displaystyle \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}$${\ displaystyle \ {+\ infty \}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$${\ displaystyle (\ Sigma, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$${\ Displaystyle s: \ Omega \ až [0,+\ infty]}$${\ displaystyle S \ in \ Sigma}$
  $${\ Displaystyle \ nu (S) = \ int _ {S} s \, d \ mu.}$$

  
  Pak je Lebesgueovo opatření zapnuto .${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma)}$
• Monotónní konvergenční věta : Předpokládejme, že { f _k } _{k ∈ N} je posloupnost nezáporných měřitelných funkcí tak, že
  $${\ Displaystyle f_ {k} (x) \ leq f_ {k+1} (x) \ quad \ forall k \ in \ mathbb {N}, \, \ forall x \ in E.}$$

  
  Potom limit bodová f o f _k je Lebesgueův měřitelné a
  $${\ Displaystyle \ lim _ {k} \ int f_ {k} \, d \ mu = \ int f \, d \ mu.}$$

  
  Hodnota jakéhokoli integrálu může být nekonečná.
• Fatouovo lemma : Pokud { f _k } _{k ∈ N} je posloupnost nezáporných měřitelných funkcí, pak
  $${\ Displaystyle \ int \ liminf _ {k} f_ {k} \, d \ mu \ leq \ liminf _ {k} \ int f_ {k} \, d \ mu.}$$

  
  Opět platí, že hodnota kteréhokoli z integrálů může být nekonečná.
• Věta dominované konvergence : Předpokládejme, že { f _k } _{k ∈ N} je posloupnost komplexních měřitelných funkcí s bodovým limitem f , a existuje Lebesgueova integrovatelná funkce g (tj. G patří do prostoru L ¹ ) tak, že | f _k | ≤ g pro všechna k .
  Potom je f Lebesgueův integrovatelný a
  $${\ Displaystyle \ lim _ {k} \ int f_ {k} \, d \ mu = \ int f \, d \ mu.}$$

  

Alternativní formulace

Je možné vyvinout integrál s ohledem na Lebesgueovu míru, aniž bychom se museli spoléhat na celou mašinérii teorie opatření. Jeden takový přístup poskytuje Daniell integrál .

Existuje také alternativní přístup k rozvoji teorie integrace prostřednictvím metod funkční analýzy . Riemann integrál existuje pro každou spojité funkci f o kompaktní podpory definované v R ⁿ (nebo stabilizované otevřené podmnožiny). Z těchto integrálů lze stavět integrály obecnějších funkcí.

Nechť C _c je prostor všech kompaktně podporovaných spojitých funkcí R skutečné hodnoty . Definujte normu pro C _c podle

Pak C _c je normovaný vektorový prostor (a zejména je to metrický prostor.) Všechny metrické prostory mají Hausdorffova dokončení , takže L ¹ je jeho dokončení. Tento prostor je izomorfní k prostoru Lebesgueových integrovatelných funkcí modulujících podprostor funkcí s integrální nulou. Kromě toho, Riemann integrál ∫ je stejnoměrně spojitá funkční s ohledem na normu o C _c , což je hustá v L ¹ . Proto ∫ má jedinečný prodloužení ke všem L ¹ . Tento integrál je přesně Lebesgueův integrál.

Obecněji řečeno, když je měřicí prostor, na kterém jsou definovány funkce, také lokálně kompaktním topologickým prostorem (jak je tomu u skutečných čísel R ), opatření kompatibilní s topologií ve vhodném smyslu ( Radonové míry , z nichž Lebesgueova míra je příklad) integrál s ohledem na ně lze definovat stejným způsobem, počínaje integrály spojitých funkcí s kompaktní podporou . Přesněji řečeno, kompaktně podporované funkce tvoří vektorový prostor, který nese přirozenou topologii , a (radonová) míra je definována jako spojitá lineární funkce v tomto prostoru. Hodnota míry u kompaktně podporované funkce je pak podle definice také integrál funkce. Poté se pokračuje v rozšiřování míry (integrálu) na obecnější funkce podle spojitosti a definuje míru množiny jako integrál její indikátorové funkce. To je přístup, který zvolili Bourbaki (2004) a určitý počet dalších autorů. Podrobnosti viz Radonová opatření .

Omezení Lebesgueova integrálu

Hlavním účelem Lebesgueova integrálu je poskytnout integrální představu, kde limity integrálů platí za mírných předpokladů. Neexistuje žádná záruka, že každá funkce je Lebesgue integrovatelná. Může se ale stát, že pro funkce, které nejsou Lebesgueově integrovatelné, existují nesprávné integrály . Jedním příkladem by byla funkce sinc :

po celé skutečné linii. Tato funkce není Lebesgue integrovatelná, as Na druhé straně existuje jako nevhodný integrál a lze jej vypočítat jako konečný; je to dvakrát Dirichletův integrál . ${\ textstyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} dx}$

Viz také

• Henri Lebesgue , za netechnický popis integrace Lebesgue
• Nulová sada
• Integrace
• Opatření
• Sigma-algebra
• Lebesgueův prostor
• Integrace Lebesgue – Stieltjes
• Riemannův integrál
• Henstock – Kurzweil integrál

Poznámky

Reference

• Bartle, Robert G. (1995). Prvky integrace a Lebesgueova míra . Wiley Classics Library. New York: John Wiley & Sons Inc. xii+179. ISBN 0-471-04222-6. MR  1312157 .
• Bauer, Heinz (2001). Teorie měření a integrace . De Gruyter Studies in Mathematics 26. Berlin: De Gruyter. 236. ISBN 978-3-11-016719-1.
• Bourbaki, Nicolas (2004). Integrace. I. Kapitoly 1–6. Přeložil z francouzských originálů 1959, 1965 a 1967 Sterling K. Berberian . Prvky matematiky (Berlín). Berlín: Springer-Verlag. xvi+472. ISBN 3-540-41129-1. MR  2018901 .
• Dudley, Richard M. (1989). Skutečná analýza a pravděpodobnost . Matematická řada Wadsworth & Brooks/Cole. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software. xii+436. ISBN 0-534-10050-3. MR  0982264 . Velmi důkladné zpracování, zejména pro pravděpodobnostní s dobrými poznámkami a historickými referencemi.
• Folland, Gerald B. (1999). Skutečná analýza: Moderní techniky a jejich aplikace . Čistá a aplikovaná matematika (New York) (druhé vydání.). New York: John Wiley & Sons Inc. xvi+386. ISBN 0-471-31716-0. MR  1681462 .
• Halmos, Paul R. (1950). Teorie měření . New York, NY: D. Van Nostrand Company, Inc. str. Xi+304. MR  0033869 . Klasická, i když poněkud zastaralá prezentace.
• „Lebesgueův integrál“ , Encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]
• Lebesgue, Henri (1904). „Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primatives“. Paris: Gauthier-Villars. Citační deník vyžaduje |journal=( nápověda )
• Lebesgue, Henri (1972). Oeuvres scientifiques (en cinq volume) (ve francouzštině). Ženeva: Institut de Mathématiques de l'Université de Genève. p. 405. MR  0389523 .
• Lieb, Elliott ; Ztráta, Michael (2001). Analýza . Postgraduální studium matematiky . 14 (2. vyd.). Americká matematická společnost . ISBN 978-0821827833.
• Loomis, Lynn H. (1953). Úvod do abstraktní harmonické analýzy . Toronto-New York-Londýn: D. Van Nostrand Company, Inc. str. X+190. MR  0054173 . Obsahuje prezentaci integrálu Daniell.
• Marsden (1974), Elementární klasická analýza , WH Freeman.
• Munroe, ME (1953). Úvod do měření a integrace . Cambridge, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company Inc. str. X+310. MR  0053186 . Dobré zpracování teorie vnějších opatření.
• Royden, HL (1988). Skutečná analýza (třetí ed.). New York: Macmillan Publishing Company. str. xx+444. ISBN 0-02-404151-3. MR  1013117 .
• Rudin, Walter (1976). Zásady matematické analýzy . International Series in Pure and Applied Mathematics (Third ed.). New York: McGraw-Hill Book Co. str. X+342. MR  0385023 . Známý jako Malý Rudin , obsahuje základy Lebesgueovy teorie, ale nezachází s materiálem, jako je Fubiniho věta .
• Rudin, Walter (1966). Skutečná a komplexní analýza . New York: McGraw-Hill Book Co. str. Xi+412. MR  0210528 .Známý jako Big Rudin . Kompletní a pečlivá prezentace teorie. Dobrá prezentace vět o rozšíření Riesz. V důkazu jedné z vět o rozšíření je však drobná chyba (v prvním vydání), jejíž objev představuje cvičení 21 kapitoly 2.
• Saks, Stanisław (1937). Teorie integrálu . Monografie Matematyczne . 7 (2. vyd.). Warszawa - Lwów : GE Stechert & Co. JFM  63.0183.05 . Zbl  0017.30004 .. Anglický překlad Laurence Chisholm Young , se dvěma dalšími poznámkami Stefan Banach .
• Shilov, GE; Gurevich, BL (1977). Integrální, míra a derivace: jednotný přístup. Přeloženo z ruštiny a upraveno Richardem A. Silvermanem . Doverovy knihy o pokročilé matematice. New York: Dover Publications Inc. xiv+233. ISBN 0-486-63519-8. MR  0466463 .Zdůrazňuje Daniellův integrál .
• Siegmund-Schultze, Reinhard (2008), „Henri Lebesgue“, v Timothy Gowers; Červen Barrow-Green; Imre Leader (eds.), Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press.
• Teschl, Gerald . Témata v reálné a funkční analýze . (poznámky k výuce).
• Ach jo, James (2006). Real Analysis: Theory of Measure and Integral 2. Edice Paperback . Singapur: World Scientific Publishing Company Pte. S. P. 760. ISBN 978-981-256-6.