Opatření Lebesgue - Lebesgue measure

V teorii míry , odvětví matematiky se opatření Lebesgue , pojmenoval francouzský matematik Henri Lebesgueův , je standardní způsob přiřazování opatření k podmnožiny z n -rozměrného Euclidean prostoru . Pro n = 1, 2 nebo 3 se shoduje se standardní mírou délky , plochy nebo objemu . Obecně se také nazývá n -rozměrný objem , n -objem nebo jednoduše objem . Používá se v celém rozsahuskutečná analýza , zejména k definování integrace Lebesgue . Sady, kterým lze přiřadit Lebesgueovu míru, se nazývají Lebesgueově měřitelné ; míra Lebesgueově měřitelné množiny A je zde označena λ ( A ).

Henri Lebesgue popsal toto opatření v roce 1901, příští rok následoval jeho popis Lebesgueova integrálu . Oba byly publikovány jako součást jeho disertační práce v roce 1902.

Lebesgueova míra je často označována dx , ale to by nemělo být zaměňováno s odlišným pojmem objemové formy .

Definice

Pro jakýkoli interval (nebo ) v sadě reálných čísel označme jeho délku. Pro jakoukoli podmnožinu je Lebesgueova vnější míra definována jako infimum${\ displaystyle I = [a, b]}$${\ displaystyle I = (a, b)}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ ell (I) = ba}$${\ Displaystyle E \ subseteq \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^{\!*\!} (E)}$

${\ Displaystyle \ lambda ^{\!*\!} (E) = \ inf \ left \ {\ sum _ {k = 1} ^{\ infty} \ ell (I_ {k}): {(I_ {k }) _ {k \ in \ mathbb {N}}} {\ text {je posloupnost otevřených intervalů s}} E \ podmnožina \ bigcup _ {k = 1}^{\ infty} I_ {k} \ vpravo \ }.}$

Některé sady splňují Carathéodoryovy kritérium , které vyžaduje, aby pro každý , ${\ displaystyle E}$${\ Displaystyle A \ subseteq \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ lambda ^{\!*\!} (A) = \ lambda ^{\!*\!} (A \ cap E)+\ lambda ^{\!*\!} (A \ cap E ^ {C}).}$

Množina všech takových forem σ -algebra . Pro každý takový , jeho Lebesgueova míra je definována tak, aby bylo jeho Lebesgue vnější opatření: . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ Displaystyle \ lambda (E) = \ lambda ^{\!*\!} (E)}$

Sada , která nesplňuje Carathéodoryho kritérium, není Lebesgueova měřitelná. Neměřitelné sady skutečně existují; příkladem jsou sady Vitali . ${\ displaystyle E}$

Intuice

První část definice uvádí, že podmnožina reálných čísel je redukována na svou vnější míru pokrytím sadami otevřených intervalů. Každá z těchto sad intervalů v jistém smyslu pokrývá , protože sjednocení těchto intervalů obsahuje . Celková délka jakékoli sady intervalů pokrytí může nadhodnocovat míru, protože je podmnožinou sjednocení intervalů, a proto intervaly mohou zahrnovat body, které nejsou in . Vnější míra Lebesgue se ukazuje jako největší dolní hranice (infimum) délek ze všech možných takovýchto sad. Intuitivně je to celková délka těch intervalových sad, které sedí nejtěsněji a nepřekrývají se. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E,}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

To charakterizuje Lebesgueovu vnější míru. Zda se tato vnější míra promítne do vlastní Lebesgueovy míry, závisí na další podmínce. Tato podmínka je testována tak, že se podskupiny reálných čísel použijí jako nástroj k rozdělení na dva oddíly: jehož část se protíná a zbývající část není v : nastavený rozdíl a . Tyto oddíly jsou předmětem vnější míry. Jestliže pro všechny možné takové podmnožiny reálných čísel, přepážky z řezu od sebe mají vnější opatření, jejichž součet je vnější míra , pak vnější Lebesgue měřítkem dává jeho Lebesgueova míra. Intuitivně tato podmínka znamená, že sada nesmí mít nějaké zvláštní vlastnosti, které způsobují nesrovnalosti v míře jiné sady, když je použita jako „maska“ k „oříznutí“ této sady, což naznačuje existenci množin, pro které Lebesgueova vnější opatření nedává Lebesgueovu míru. (Takové sady ve skutečnosti nelze měřit pomocí Lebesgue.) ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

Příklady

• Každý uzavřený interval [ , b ] z reálných čísel je Lebesgue-měřitelné a jeho Lebesgueova míra je délka b - . Otevřený interval ( , b ) má stejnou míru, protože rozdíl mezi oběma skupinami se skládá pouze z koncových bodů a B a má nulové míry .
• Jakýkoli karteziánský součin intervalů [ a , b ] a [ c , d ] je Lebesgueově měřitelný a jeho Lebesgueova míra je ( b - a ) ( d - c ) , plocha odpovídajícího obdélníku .
• Každá sada Borel je navíc měřitelná pomocí Lebesgue. Existují však Lebesgueově měřitelné množiny, které nejsou Borelskými množinami.
• Jakékoli spočetná množina reálných čísel je Lebesgueova míra 0. Zejména Lebesgueova míra množiny algebraických čísel je 0, a to i přesto, že množina je hustá v R .
• Sada Cantor a množina čísel Liouville jsou příklady nespočetných sad, které mají Lebesgueovu míru 0.
• Pokud platí axiom determinace, pak všechny sady realit jsou Lebesgueově měřitelné. Odhodlanost však není kompatibilní s axiomem volby .
• Sady Vitali jsou příklady množin, které nelze měřit s ohledem na Lebesgueovu míru. Jejich existence závisí na axiomu volby .
• Osgoodovy křivky jsou jednoduché rovinné křivky s kladnou Lebesgueovou mírou (lze ji získat malou variací konstrukce Peanovy křivky ). Křivka draka je další neobvyklá příkladem.
• Jakýkoli řádek v , pro , má nulovou Lebesgueovu míru. Obecně platí, že každá správná nadrovina má ve svém okolním prostoru nulovou Lebesgueovu míru .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ Displaystyle n \ geq 2}$

Vlastnosti

Lebesgueova míra na R ⁿ má následující vlastnosti:

1. Pokud je kartézský produkt z intervalu I ₁ x I ₂ x ⋯ x I _n , pak je Lebesgue-měřitelné a zde | Já | označuje délku intervalu I . ${\ Displaystyle \ lambda (A) = | I_ {1} | \ cdot | I_ {2} | \ cdots | I_ {n} |.}$
2. Pokud je disjunktní unie na countably mnoho disjunktních Lebesgue-měřitelných souborů, pak je sám o sobě Lebesgue-měřitelné a λ ( ) je rovna součtu (nebo nekonečné řady ) o opatřeních zúčastněných měřitelných souborů.
3. Pokud je A Lebesgueově měřitelné, pak je to také jeho doplněk .
4. λ ( ) ≥ 0 pro každý Lebesgue-měřitelná množina .
5. Pokud A a B jsou Lebesgueově měřitelné a A je podmnožinou B , pak λ ( A ) ≤ λ ( B ). (Důsledek 2, 3 a 4.)
6. Počitatelné svazky a průsečíky Lebesgueových měřitelných množin jsou Lebesgueově měřitelné. (Není to důsledek 2 a 3, protože rodina sad, která je uzavřena pod komplementy a disjunktovatelnými počitatelnými svazky, nemusí být uzavřena pod spočitatelnými svazky:. )${\ Displaystyle \ {\ emptyset, \ {1,2,3,4 \}, \ {1,2 \}, \ {3,4 \}, \ {1,3 \}, \ {2,4 \ } \}}$
7. Pokud A je otevřená nebo uzavřená podmnožina R ⁿ (nebo dokonce Borelova množina , viz metrický prostor ), pak A je Lebesgueova měřitelná.
8. Pokud A je Lebesgueova měřitelná množina, pak je to „přibližně otevřená“ a „přibližně uzavřená“ ve smyslu Lebesgueovy míry (viz věta o pravidelnosti pro Lebesgueovu míru ).
9. Lebesgueově měřitelnou množinu lze „vtěsnat“ mezi obsahující otevřenou množinu a uzavřenou uzavřenou množinu. Tato vlastnost byla použita jako alternativní definice Lebesgueovy měřitelnosti. Přesněji řečeno, je Lebesgue-měřitelný právě tehdy, když pro každého existuje otevřená a uzavřená množina taková a .${\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle F \ subset E \ subset G}$${\ Displaystyle \ lambda (G \ setminus F) <\ varepsilon}$
10. Lebesgueově měřitelnou množinu lze „vtěsnat“ mezi obsahující sadu G _δ a obsaženou F _σ . Tj., Pokud A je Lebesgue-měřitelné, pak existuje G _δ množina G a F _σ F taková, že G  ⊇  A  ⊇  F a λ ( G  \  A ) =  λ ( A  \  F ) = 0.
11. Lebesgueova míra je lokálně konečná a vnitřní pravidelná , a proto je to radonová míra .
12. Lebesgueova míra je na neprázdných otevřených množinách přísně pozitivní , a proto je její podporou celé R ⁿ .
13. Pokud A je Lebesgueova-měřitelná množina s λ ( A ) = 0 (a null set ), pak každá podmnožina A je také null set. A fortiori , každá podmnožina A je měřitelná.
14. Pokud A je Lebesgueově měřitelné a x je prvek R ⁿ , pak překlad A podle x , definovaný A + x = { a + x  : a ∈ A }, je také Lebesgueově měřitelný a má stejnou míru jako .
15. Pokud je Lebesgue-měřitelné a , potom se dilatace od definována také Lebesgue-měřitelné a má míru${\ Displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ delta A = \ {\ delta x: x \ in A \}}$${\ Displaystyle \ delta ^{n} \ lambda \, (A).}$
16. Obecněji řečeno, pokud T je lineární transformace a A je měřitelná podmnožina R ⁿ , pak T ( A ) je také Lebesgueově měřitelná a má míru .${\ Displaystyle \ left | \ det (T) \ right | \ lambda (A)}$

Všechny výše uvedené lze stručně shrnout následovně (ačkoli poslední dvě tvrzení netriviálně souvisí s následujícím):

Lebesgueově měřitelné množiny tvoří σ -algebru obsahující všechny součiny intervalů a λ je jedinečné úplné translačně invariantní měřítko na této σ-algebře s${\ Displaystyle \ lambda ([0,1] \ times [0,1] \ times \ cdots \ times [0,1]) = 1.}$

Lebesgueova míra má také tu vlastnost, že je σ -konečná .

Nulové sady

Podskupina R ⁿ je nulová množina, pokud pro každé ε> 0 může být pokryta spočítatelně mnoha součiny n intervalů, jejichž celkový objem je nejvýše ε. Všechny počitatelné sady jsou sady null.

Pokud podmnožina R ⁿ má Hausdorffovy rozměr menší než n , pak je prázdná množina vzhledem k n rozměrné opatření Lebesgue. Hausdorffova dimenze je zde relativní k euklidovské metrice na R ⁿ (nebo jakékoli metrické Lipschitzově ekvivalentní). Na druhé straně může mít soubor topologický rozměr menší než n a mít pozitivní n -dimenzionální Lebesgueovu míru. Příkladem toho je sada Smith – Volterra – Cantor, která má topologický rozměr 0, ale má pozitivní 1-dimenzionální Lebesgueovu míru.

Abychom ukázali, že daná množina A je Lebesgueova měřitelná, obvykle se snažíme najít „hezčí“ množinu B, která se od A liší pouze nulovou množinou (v tom smyslu, že symetrický rozdíl ( A - B ) ∪ ( B - A ) je nulová množina) a poté ukážte, že B lze generovat pomocí spočitatelných svazků a průniků z otevřených nebo uzavřených množin.

Stavba Lebesgueova opatření

Moderní konstrukce opatření Lebesgue je aplikací věty o rozšíření Carathéodory . Postupuje následovně.

Fix n ∈ N . Box v R ⁿ je množina podobě

${\ Displaystyle B = \ prod _ {i = 1}^{n} [a_ {i}, b_ {i}] \ ,,}$

kde b _i ≥ a _i , a symbol produktu zde představuje karteziánský produkt. Objem tohoto pole je definován jako

${\ displaystyle \ operatorname {vol} (B) = \ prod _ {i = 1}^{n} (b_ {i} -a_ {i}) \ ,.}$

Pro jakékoliv podmnožiny A z R ⁿ , lze definovat jeho vnější opatření λ * ( A ) o:

${\ Displaystyle \ lambda ^{*} (A) = \ inf \ left \ {\ sum _ {B \ in {\ mathcal {C}}} \ operatorname {vol} (B): {\ mathcal {C}} {\ text {je spočítatelná sbírka boxů, jejichž svazek pokrývá}} A \ right \}.}$

Pak definujeme množina být Lebesgue-měřitelná, jestliže pro každou podmnožinu S z R ⁿ ,

${\ Displaystyle \ lambda ^{*} (S) = \ lambda ^{*} (S \ cap A)+\ lambda ^{*} (S \ setminus A) \ ,.}$

Tyto Lebesgue-měřitelné množiny tvoří σ algebra , a opatření Lebesgue je definován λ ( ) = λ * ( ) pro každou Lebesgue-měřitelná set A .

Existence množin, které nejsou Lebesgueově měřitelné, je důsledkem množinového teoretického axiomu volby , který je nezávislý na mnoha konvenčních systémech axiomů pro teorii množin . Vitali teorém , který vyplývá z axiomu, uvádí, že existují podskupiny R , které nejsou Lebesgue-měřitelné. Za předpokladu axiomu volby byly prokázány neměřitelné množiny s mnoha překvapivými vlastnostmi, jako jsou ty z Banachova-Tarského paradoxu .

V roce 1970 Robert M. Solovay ukázal, že existence množin, které nejsou Lebesgueově měřitelné, není prokazatelná v rámci teorie množin Zermelo – Fraenkel při absenci axiomu volby (viz Solovayův model ).

Vztah k jiným opatřením

Opatření Borel souhlasí s opatřením Lebesgue o těch souborech, pro které je definováno; existuje však mnohem více Lebesgueových měřitelných množin, než je Borelových měřitelných množin. Borelská míra je překladově neměnná, ale není úplná .

Opatření Haar může být definován na jakékoli místně kompaktní skupiny a je zobecněním opatření Lebesgue ( R ⁿ s přídavkem je lokálně kompaktní skupina).

Opatření Hausdorffova je zobecněním opatření Lebesgue, které jsou užitečné pro měření podmnožiny R ⁿ nižší rozměry než n , jako Podvariety , například, povrchy nebo křivky v R ³ a fraktální sady. Opatření Hausdorff nelze zaměňovat s pojmem Hausdorffovy dimenze .

Lze ukázat, že neexistuje žádný nekonečně rozměrný analog Lebesgueovy míry .

Viz také

• Lebesgueova věta o hustotě
• Lebesgueova míra množiny čísel Liouville
• Neměřitelná sada
  • Sada Vitali

Reference