Lee – Carterův model - Lee–Carter model

Lee-Carterův model je numerický algoritmus používaný při předpovídání úmrtnosti a předpovídání délky života . Vstupem do modelu je matice věkově specifických úmrtností seřazených monotónně podle času, obvykle s věky ve sloupcích a roky v řádcích. Výstupem je prognózovaná matice míry úmrtnosti ve stejném formátu jako vstup.

Model používá dekompozici singulární hodnoty (SVD) k nalezení:

• Jednorozměrný časové řady vektoru , který zachytí 80-90% trendu úmrtnosti (zde dolní index označuje čas), ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {t}}$${\ displaystyle t}$
• Vektor, který popisuje relativní úmrtnost v každém věku (index se zde vztahuje na věk) a ${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {x}}$${\ displaystyle x}$
• Konstanta změny měřítka ( v literatuře se zde označuje jako, ale nejmenovaná). ${\ displaystyle s_ {1}}$

Překvapivě je obvykle lineární, z čehož vyplývá, že přírůstky průměrné délky života jsou u většiny populací rok od roku poměrně konstantní. Před výpočtem SVD se věkově specifická úmrtnost nejprve transformuje pomocí logaritmů a jejich centrováním odečtením jejich věkově specifických prostředků v průběhu času. Věkově specifický průměr v čase je označen . Dolní index odkazuje na skutečnost, že zahrnuje věk i čas. ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {t}}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {x, t}}$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {x}}$${\ displaystyle x, t}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {x, t}}$

Mnoho vědců upravuje vektor tak, že jej přizpůsobuje empirickým očekávaným délkám života pro každý rok, pomocí a generovaných pomocí SVD. Při úpravě pomocí tohoto přístupu jsou změny obvykle malé. ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {t}}$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {t}}$

Pro predikci úmrtnosti se pomocí modelu ARIMA promítá (upravená či nikoli) do budoucích let . Odpovídající očekávané se získá vynásobením pomocí a první diagonální prvek S (když ). Skutečná úmrtnost se získá exponenciály tohoto vektoru. ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {t}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {x, t + n}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {t + n}}$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {U} \ mathbf {S} \ mathbf {V ^ {*}} = {\ text {svd}} (\ mathbf {A} _ {x, t})}$

Z důvodu linearity se obvykle modeluje jako náhodná procházka s trendem. Očekávanou délku života a další opatření v tabulce životnosti lze vypočítat z této prognózované matice po sečtení průměrů a exponenciálu k získání pravidelné míry úmrtnosti. ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {t}}$

Ve většině implementací jsou intervaly spolehlivosti pro prognózy generovány simulací více předpovědí úmrtnosti pomocí metod Monte Carlo . Pásmo úmrtnosti mezi 5% a 95% percentilů simulovaných výsledků je považováno za platnou předpověď. Tyto simulace se provádí tím, že rozšiřuje do budoucnosti pomocí randomizace na základě standardní chyby z odvozené ze vstupních dat. ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {t}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {t}}$

Algoritmus

Algoritmus se snaží najít řešení nejmenších čtverců rovnice:

${\ displaystyle \ ln {(\ mathbf {m} _ {x, t})} = \ mathbf {a} _ {x} + \ mathbf {k} _ {t} \ mathbf {b} _ {x} + \ epsilon _ {x, t}}$

kde je matice míry úmrtnosti pro každý věk v každém roce . ${\ displaystyle \ mathbf {m} _ {x, t}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

1. Výpočet, který je průměrem v čase pro každý věk: ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {x}}$${\ displaystyle \ ln {(\ mathbf {m} _ {x, t})}}$

   ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {x} = {\ frac {\ sum _ {t = 1} ^ {T} {\ ln {(\ mathbf {m} _ {x, t})}}}} T}}}$

2. Výpočet, který bude použit v SVD: ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {x, t}}$

   ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {x, t} = \ ln {(\ mathbf {m} _ {x, t})} - \ mathbf {a} _ {x}}$

3. Vypočítejte rozklad singulární hodnoty : ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {x, t}}$

   ${\ displaystyle \ mathbf {U} \ mathbf {S} \ mathbf {V ^ {*}} = {\ text {svd}} (\ mathbf {A} _ {x, t})}$

4. Odvodit , (měřítko vlastní číslo), a z , a : ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {t}}$${\ displaystyle s_ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {U}}$${\ displaystyle \ mathbf {S}}$${\ displaystyle \ mathbf {V ^ {*}}}$

   ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {t} = (u_ {1,1}, u_ {2,1}, ..., u_ {t, 1})}$

   ${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {x} = (v_ {1,1}, v_ {1,2}, ..., v_ {1, x})}$

5. Předpověď pomocí standardního jednorozměrného modelu ARIMA na další roky: ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {t}}$${\ displaystyle n}$

   ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {t + n} = {\ text {ARIMA}} (\ mathbf {k} _ {t}, n)}$

6. Použijte předpovídanou s originálem a pro výpočet předpokládané míry úmrtnosti pro každý věk: ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {t + n}}$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {x}}$

   ${\ displaystyle \ mathbf {m} _ {x, t + n} = \ exp (\ mathbf {a} _ {x} + s_ {1} \ mathbf {k} _ {t + n} \ mathbf {b} _{X})}$

Diskuse

Bez použití SVD nebo jiné metody zmenšení dimenze je tabulka údajů o úmrtnosti vysoce korelovanou mnohorozměrnou datovou řadou a složitost těchto vícerozměrných časových řad ztěžuje jejich předvídání. SVD se široce používá jako metoda redukce dimenzí v mnoha různých oblastech, včetně Googlu v jejich algoritmu hodnocení stránek .

Model Lee – Carter představili Ronald D. Lee a Lawrence Carter v roce 1992 v článku „Modeling and Forecasting the Time Series of US Mortality“ (Journal of the American Statistical Association 87 (září): 659–671). Model vyrostl z jejich práce na konci 80. a na počátku 90. let a pokoušel se použít inverzní projekci k odvození sazeb v historické demografii . Tento model používá Americká správa sociálního zabezpečení , Úřad pro sčítání lidu USA a OSN. Stala se nejrozšířenější technikou předpovídání úmrtnosti v dnešním světě.

Došlo k rozšíření Lee-Carterova modelu, zejména kvůli chybějícím letům, korelovaným populacím mužů a žen a velké koherenci populací sdílejících režim úmrtnosti (například západní Evropa). Mnoho souvisejících článků lze nalézt na webových stránkách profesora Ronalda Lee .

Implementace

Existuje překvapivě málo softwarových balíčků pro předpovědi s modelem Lee – Carter.

• LCFIT je webový balíček s interaktivními formuláři.
• Profesor Rob J. Hyndman poskytuje balíček R pro demografii, který zahrnuje rutiny pro vytváření a předpovídání modelu Lee – Carter.
• Alternativy v R zahrnují balíček StMoMo od Villegase, Millossoviče a Kaisheva (2015).
• Profesor German Rodriguez poskytuje kód pro Lee – Carterův model pomocí Stata .
• Pomocí Matlabu sestavili profesor Eric Jondeau a profesor Michael Rockinger Longevity Toolbox pro odhad parametrů.

Reference