Lehmann – Scheffé věta - Lehmann–Scheffé theorem

Ve statistikách je Lehmann – Scheffé věta výrazným tvrzením, které spojuje myšlenky úplnosti, dostatečnosti, jedinečnosti a nejlepšího nezaujatého odhadu. Věta uvádí, že jakýkoli odhad, který je pro danou neznámou veličinu nezaujatý a který závisí na datech pouze prostřednictvím úplné , dostatečné statistiky, je jedinečný nejlepší nezaujatý odhad této veličiny. Lehmann – Scheffého věta je pojmenována podle Ericha Leo Lehmanna a Henryho Scheffého , vzhledem k jejich dvěma raným dokumentům.

Pokud T je úplná dostatečná statistika pro θ a E ( g ( T )) = τ ( θ ), pak g ( T ) je rovnoměrně nestranný odhad minimální odchylky (UMVUE) τ ( θ ).

Tvrzení

Nechť je náhodný vzorek z distribuce, která má pdf (nebo pmf v diskrétním případě), kde je parametr v prostoru parametrů. Předpokládejme, že je dostatečná statistika pro θ , a budiž kompletní rodina. Pokud pak je jedinečný MVUE of t Vstup . ${\ displaystyle {\ vec {X}} = X_ {1}, X_ {2}, \ tečky, X_ {n}}$ ${\ Displaystyle f (x: \ theta)}$ ${\ displaystyle \ theta \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle Y = u ({\ vec {X}})}$ ${\ Displaystyle \ {f_ {Y} (y: \ theta): \ theta \ v \ Omega \}}$ ${\ displaystyle \ varphi: \ operatorname {E} [\ varphi (Y)] = \ theta}$ ${\ Displaystyle \ varphi (Y)}$

Důkaz

Podle Rao -Blackwellovy věty , pokud je nestranný odhad θ, pak definuje nezaujatý odhad θ s vlastností, že jeho rozptyl není větší než u . ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle \ varphi (Y): = \ operatorname {E} [Z \ mid Y]}$ ${\ displaystyle Z}$

Nyní ukážeme, že tato funkce je jedinečná. Předpokládejme, že je dalším kandidátem odhadovatel MVUE θ . Potom znovu definuje nezaujatý odhad θ s vlastností, že jeho rozptyl není větší než u . Pak ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle \ psi (Y): = \ operatorname {E} [W \ mid Y]}$ ${\ displaystyle W}$

{\ displaystyle \ operatorname {E} [\ varphi (Y)-\ psi (Y)] = 0, \ theta \ in \ Omega.}

Protože je to úplná rodina ${\ Displaystyle \ {f_ {Y} (y: \ theta): \ theta \ v \ Omega \}}$

{\ Displaystyle \ operatorname {E} [\ varphi (Y)-\ psi (Y)] = 0 \ implikuje \ varphi (y)-\ psi (y) = 0, \ theta \ in \ Omega}

a proto je funkce jedinečnou funkcí Y s rozptylem, který není větší než u jakéhokoli jiného nezaujatého odhadce. Došli jsme k závěru, že je to MVUE. ${\ Displaystyle \ varphi}$ ${\ Displaystyle \ varphi (Y)}$

Příklad pro použití neúplné minimální dostatečné statistiky

Příklad zlepšitelného Rao – Blackwellova vylepšení při použití minimální dostatečné statistiky, která není úplná , poskytli Galili a Meilijson v roce 2016. Dovolme si být náhodným vzorkem z rovnoměrné distribuce měřítka s neznámým průměrem a známým konstrukčním parametrem . Při hledání „nejlepších“ možných nezaujatých odhadů pro je přirozené považovat za počáteční (hrubý) nezaujatý odhad pro a poté se pokusit jej vylepšit. Protože to není funkce , minimální dostatečná statistika pro (kde a ), může být vylepšena pomocí Rao -Blackwellovy věty následovně: ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ ${\ Displaystyle X \ sim U ((1-k) \ theta, (1+k) \ theta),}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [X] = \ theta}$ ${\ Displaystyle k \ in (0,1)}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle X_ {1}}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle X_ {1}}$ ${\ Displaystyle T = \ left (X _ {(1)}, X _ {(n)} \ right)}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ Displaystyle X _ {(1)} = \ min _ {i} X_ {i}}$ ${\ displaystyle X _ {(n)} = \ max _ {i} X_ {i}}$