Kontrakce délky - Length contraction

Kola, která se pohybují rychlostí 9/10 rychlosti světla. Rychlost vrcholu kola je 0,994 c, zatímco rychlost dna je vždy nulová. To je důvod, proč je horní část smrštěna vzhledem ke dnu.

Kontrakce délky je jev, kdy je délka pohybujícího se objektu měřena kratší než jeho správná délka , což je délka měřená ve vlastním klidovém rámci objektu . Je také známá jako Lorentzova kontrakce nebo Lorentzova -FitzGeraldova kontrakce (po Hendrikovi Lorentzovi a George Francisi FitzGeraldovi ) a je obvykle znatelná pouze při podstatné části rychlosti světla . Kontrakce délky je pouze ve směru, ve kterém se tělo pohybuje. U standardních objektů je tento efekt při každodenních rychlostech zanedbatelný a lze jej pro všechny běžné účely ignorovat, přičemž se stává výrazným, až když se objekt přiblíží rychlosti světla vzhledem k pozorovateli.

Dějiny

Kontrakce délky postulovaly George FitzGerald (1889) a Hendrik Antoon Lorentz (1892), aby vysvětlili negativní výsledek experimentu Michelson – Morley a zachránili hypotézu stacionárního éteru ( hypotéza Lorentz – FitzGeraldova kontrakce ). Ačkoli FitzGerald i Lorentz poukazovali na skutečnost, že elektrostatická pole v pohybu byla deformována („Heaviside-Ellipsoid“ po Oliveru Heavisideovi , který tuto deformaci odvodil z elektromagnetické teorie v roce 1888), byla považována za hypotézu ad hoc , protože v této době zde nebyl dostatečným důvodem předpokládat, že se mezimolekulární síly chovají stejně jako elektromagnetické. V roce 1897 Joseph Larmor vyvinul model, ve kterém jsou všechny síly považovány za elektromagnetického původu a zkracování délky se zdálo být přímým důsledkem tohoto modelu. Henri Poincaré (1905) přesto ukázal, že samotné elektromagnetické síly nemohou vysvětlit stabilitu elektronu. Musel tedy zavést další ad hoc hypotézu: neelektrické vazebné síly ( Poincarého napětí ), které zajišťují stabilitu elektronu, poskytují dynamické vysvětlení kontrakce délky, a tím skrývají pohyb nehybného éteru.

Nakonec Albert Einstein (1905) byl první, kdo zcela odstranil ad hoc charakter z hypotézy kontrakce, a to ukázkou, že tato kontrakce nevyžadovala pohyb domnělým éterem, ale mohla být vysvětlena pomocí speciální relativity , která změnila představy o prostoru , čas a simultánnost. Einsteinův pohled dále rozpracoval Hermann Minkowski , který předvedl geometrickou interpretaci všech relativistických efektů zavedením svého konceptu čtyřrozměrného časoprostoru .

Základ v relativitě

Ve speciální relativitě měří pozorovatel události proti nekonečné mřížce synchronizovaných hodin.

Nejprve je nutné pečlivě zvážit metody měření délek odpočívajících a pohybujících se předmětů. Zde „objekt“ jednoduše znamená vzdálenost s koncovými body, které jsou vždy vzájemně v klidu, tj . Které jsou v klidu ve stejném setrvačném referenčním rámci . Pokud je relativní rychlost mezi pozorovatelem (nebo jeho měřicími přístroji) a pozorovaným objektem nulová, pak lze správnou délku objektu jednoduše určit přímým superponováním měřicí tyče. Pokud je však relativní rychlost> 0, lze postupovat následovně: ${\ displaystyle L_ {0}}$

Kontrakce délky : Tři modré tyče jsou v klidu v S a tři červené tyče v S '. V okamžiku, kdy levé konce A a D dosáhnou stejné polohy na ose x, se porovnají délky tyčí. V S jsou současné polohy levé strany A a pravé strany C vzdálenější než D a F. Zatímco v S 'jsou současné polohy levé strany D a pravé strany F vzdálenější než ti z A a C.

Pozorovatel instaluje řadu hodin, které jsou buď synchronizovány a) výměnou světelných signálů podle synchronizace Poincaré – Einstein , nebo b) „pomalým přenosem hodin“, to znamená, že jedny hodiny jsou přeneseny po řadě hodin v limitu z mizející rychlost dopravy. Nyní, když je proces synchronizace dokončen, je objekt přesunut podél řady hodin a každé hodiny ukládají přesný čas, kdy prochází levý nebo pravý konec objektu. Poté se musí pozorovatel pouze podívat na polohu hodin A, které ukládaly čas, kdy projížděl levý konec předmětu, a hodin B, ve kterých projížděl současně pravý konec objektu . Je jasné, že vzdálenost AB se rovná délce pohybujícího se objektu. Pomocí této metody je definice simultánnosti zásadní pro měření délky pohybujících se objektů. ${\ displaystyle L}$

Další metodou je použít hodiny ukazující jeho správný čas , který cestuje z jednoho koncového bodu tyče do druhého v čase , měřeno hodinami v klidovém rámci tyče. Délku tyče lze vypočítat vynásobením její doby jízdy její rychlostí, tedy v klidovém rámci tyče nebo v klidovém rámci hodin. ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle L_ {0} = T \ cdot v}$ ${\ Displaystyle L = T_ {0} \ cdot v}$

V newtonovské mechanice je simultánnost a doba trvání absolutní, a proto obě metody vedou k rovnosti a . Přesto v teorii relativity stálost rychlosti světla ve všech setrvačných rámcích ve spojení s relativitou simultánnosti a časovou dilatací tuto rovnost ničí. V první metodě pozorovatel v jednom rámci tvrdí, že měřil koncové body objektu současně, ale pozorovatelé ve všech ostatních setrvačných rámcích budou tvrdit, že koncové body objektu nebyly měřeny současně. Ve druhé metodě časy a nejsou stejné kvůli časové dilataci, což má za následek také různé délky. ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle L_ {0}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$

Odchylka mezi měřeními ve všech setrvačných rámcích je dána vzorci pro Lorentzovu transformaci a časovou dilataci (viz Derivace ). Ukazuje se, že správná délka zůstává nezměněna a vždy označuje největší délku objektu a délka stejného objektu měřená v jiném setrvačném referenčním rámci je kratší než vlastní délka. Tato kontrakce nastává pouze podél pohybové linie a může být reprezentována vztahem

{\ displaystyle L = {\ frac {1} {\ gamma (v)}} L_ {0}}

kde

$L$ je délka pozorovaná pozorovatelem v pohybu vzhledem k objektu
$L 0$ je správná délka (délka objektu v jeho klidovém rámci)
γ ( v ) je Lorentzův faktor , definovaný jako

${\ Displaystyle \ gamma (v) \ equiv {\ frac {1} {\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$
${\ Displaystyle \ gamma (v) \ equiv {\ frac {1} {\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$
kde
- $v$ je relativní rychlost mezi pozorovatelem a pohybujícím se objektem
- $c$ je rychlost světla

Nahrazení Lorentzova faktoru v původním vzorci vede k relaci

{\ Displaystyle L = L_ {0} {\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

V této rovnici jsou L i L ₀ měřeny rovnoběžně s linií pohybu objektu. U pozorovatele v relativním pohybu se délka předmětu měří odečtením současně naměřených vzdáleností obou konců objektu. Obecnější převody najdete v Lorentzových transformacích . Pozorovatel v klidu pozorující předmět pohybující se velmi blízko rychlosti světla by pozoroval délku předmětu ve směru pohybu jako velmi blízkou nule.

Pak rychlostí 13 400 000 m/s (30 milionů mph, 0,0447 $c$ ) smrštěná délka je 99,9% délky v klidu; rychlostí42 300 000 m/s (95 milionů mph, 0,141 $c$ ), délka je stále 99%. Jak se velikost rychlosti blíží rychlosti světla, účinek se stává prominentním.

Symetrie

Princip relativity (podle kterého jsou přírodní zákony invariantní napříč setrvačných referenčních rámců) vyžaduje, aby kontrakce délky byla symetrická: Pokud tyč leží v setrvačném rámci S, má svoji správnou délku v S a její délka je smrštěna v S ' . Pokud však tyč spočívá v S ', má svoji správnou délku v S' a její délka je smrštěna v S. To lze názorně znázornit pomocí symetrických Minkowskiho diagramů , protože Lorentzova transformace geometricky odpovídá rotaci ve čtyřrozměrném časoprostoru .

Magnetické síly

Magnetické síly jsou způsobeny relativistickou kontrakcí, když se elektrony pohybují relativně k atomovým jádrům. Magnetická síla na pohybující se náboj vedle proudu nesoucího drátu je výsledkem relativistického pohybu mezi elektrony a protony.

V roce 1820 André-Marie Ampère ukázal, že paralelní dráty s proudy ve stejném směru se navzájem přitahují. K elektronům se drát mírně smrští, což způsobí, že protony opačného drátu budou místně hustší . Vzhledem k tomu, že se pohybují i elektrony v opačném drátu, nestahují se (tolik). To má za následek zjevnou lokální nerovnováhu mezi elektrony a protony; pohybující se elektrony v jednom drátu jsou přitahovány k extra protonům v druhém. Lze uvažovat i o opačném směru. Do referenčního rámce statického protonu se elektrony pohybují a smršťují, což má za následek stejnou nerovnováhu. Rychlost driftu elektronů je relativně velmi pomalá, řádově metr za hodinu, ale síla mezi elektronem a protonem je tak obrovská, že i při této velmi nízké rychlosti relativistická kontrakce působí značné efekty.

Tento efekt platí také pro magnetické částice bez proudu, přičemž proud je nahrazen otáčením elektronů.

Experimentální ověřování

Jakýkoli pozorovatel, který se pohybuje společně s pozorovaným objektem, nemůže změřit kontrakci objektu, protože může podle principu relativity (jak to prokázal experiment Trouton – Rankine ) posoudit sebe i předmět jako v klidu ve stejném setrvačném rámci. . Kontrakce délky tedy nelze měřit v klidovém rámci objektu, ale pouze v rámci, ve kterém je pozorovaný objekt v pohybu. Navíc i v takovém ne-pohyblivém rámci je těžké dosáhnout přímých experimentálních potvrzení kontrakce délky, protože za současného stavu technologie nelze objekty značného rozšíření urychlit na relativistické rychlosti. Jedinými objekty, které cestují požadovanou rychlostí, jsou atomové částice, jejichž prostorové rozšíření je však příliš malé na to, aby umožnilo přímé měření kontrakce.

Existují však nepřímá potvrzení tohoto účinku v ne-pohyblivém rámci:

Byl to negativní výsledek slavného experimentu, který vyžadoval zavedení kontrakce délky: experiment Michelson – Morley (a později také experiment Kennedy – Thorndike ). Ve speciální relativitě je její vysvětlení následující: V klidovém rámci lze interferometr v souladu s principem relativity považovat za klidový, takže doba šíření světla je ve všech směrech stejná. Ačkoli v rámečku, ve kterém je interferometr v pohybu, musí příčný paprsek procházet delší, diagonální dráhou vzhledem k nepohybujícímu se rámu, čímž se prodlouží jeho jízdní doba, což je faktor, o který by se podélný paprsek zpozdil o dobu L /( c - v ) a L /( c + v ) pro dopředný a zpětný chod jsou ještě delší. Proto se v podélném směru předpokládá kontrakce interferometru, aby se obnovila rovnost obou dob jízdy v souladu s negativním experimentálním výsledkem (výsledky). Obousměrná rychlost světla tedy zůstává konstantní a doba šíření zpáteční po kolmých ramenech interferometru je nezávislá na jeho pohybu a orientaci.
S ohledem na tloušťku atmosféry měřeno v zemské vztažné soustavě, miony mají "extrémně krátká životnost nedovolí jim, aby se na cestu na povrch, a to i při rychlosti světla, ale oni přece nicméně. Z referenčního rámce Země to však umožňuje pouze čas mionu zpomalený dilatací času . V mionově rámci je však účinek vysvětlován staženou atmosférou, která zkracuje výlet.
Těžké ionty, které jsou v klidu sférické, by při cestování téměř rychlostí světla měly mít podobu „palačinek“ nebo plochých disků. A ve skutečnosti výsledky získané z kolizí částic lze vysvětlit pouze tehdy, když se vezme v úvahu zvýšená hustota nukleonů v důsledku kontrakce délky.
Ionizace Schopnost elektricky nabitých částic s velkými relativními rychlostmi je vyšší, než se očekávalo. V pre-relativistické fyzice by se schopnost měla snižovat při vysokých rychlostech, protože doba, ve které mohou ionizující částice v pohybu interagovat s elektrony jiných atomů nebo molekul, se zmenšuje. Ačkoli v relativitě lze ionizační schopnost vyšší, než se očekávalo, vysvětlit kontrakcí délky Coulombova pole v rámcích, ve kterých se pohybují ionizující částice, což zvyšuje jejich sílu elektrického pole kolmou k linii pohybu.
V synchrotronech a laserech s volnými elektrony byly relativistické elektrony injektovány do undulátoru , takže je generováno synchrotronové záření . Ve správném rámci elektronů je undulátor stažen, což vede ke zvýšené frekvenci záření. Navíc, abychom zjistili frekvenci měřenou v laboratorním rámci, musíme použít relativistický Dopplerův efekt . Extrémně malou vlnovou délku vlnového záření lze tedy vysvětlit pouze pomocí kontrakce délky a relativistického Dopplerova jevu.

Realita kontrakce délky

Minkowského diagram Einsteinova myšlenkového experimentu z roku 1911 o kontrakci délky. Dvě tyče klidové délky se pohybují s 0,6c v opačných směrech, což má za následek .

{\ displaystyle A'B '= A''B' '= L_ {0}}

{\ Displaystyle A^{\ ast} B^{\ ast} <L_ {0}}

V roce 1911 Vladimir Varićak tvrdil, že podle Lorentze je kontrakce délky vnímána objektivně, zatímco podle Einsteina je to „pouze zdánlivý, subjektivní jev způsobený způsobem naší hodinové regulace a měření délky“. Einstein publikoval vyvrácení:

Autor neoprávněně uvedl rozdíl mezi Lorentzovým a mým pohledem na fyzická fakta . Otázka, zda kontrakce délky skutečně existuje nebo ne, je zavádějící. „Skutečně“ neexistuje, pokud neexistuje pro přicházejícího pozorovatele; přestože „opravdu“ existuje, tj. takovým způsobem, že by jej bylo možné v zásadě demonstrovat fyzickými prostředky nekomunikujícím pozorovatelem.

- Albert Einstein, 1911

Einstein v tomto článku také tvrdil, že kontrakce délky není jen produktem libovolných definic týkajících se způsobu, jakým jsou prováděny regulace hodin a měření délky. Představil následující myšlenkový experiment: Nechť A'B 'a A "B" jsou koncové body dvou prutů stejné správné délky L ₀ , měřeno na x' respektive x ". Nechte je pohybovat se v opačných směrech podél x *osa, uvažovaná v klidu, stejnou rychlostí vzhledem k ní. Koncové body A'A "se pak setkají v bodě A*a B'B" se setkají v bodě B*. Einstein poukázal na to, že délka A*B*je kratší než A'B 'nebo A "B", což lze také demonstrovat přivedením jedné z tyčí k odpočinku vzhledem k této ose.

Paradoxy

V důsledku povrchové aplikace kontrakčního vzorce mohou nastat určité paradoxy. Příkladem je paradox žebříku a paradox Bellovy vesmírné lodi . Tyto paradoxy však lze vyřešit správnou aplikací relativity simultánnosti. Dalším slavným paradoxem je Ehrenfestův paradox , který dokazuje, že koncept tuhých těles není kompatibilní s relativitou, což snižuje použitelnost Bornovy tuhosti , a ukazuje, že pro spoluotáčejícího se pozorovatele je geometrie ve skutečnosti neeuklidovská .

Vizuální efekty

Formule na zdi v Leidenu, Nizozemsko. Lorentz byl předsedou teoretické fyziky na univerzitě v Leidenu 1877-1910

Kontrakce délky se týká měření polohy prováděných současně podle souřadnicového systému. To by mohlo naznačovat, že pokud by někdo mohl vyfotit rychle se pohybující předmět, že by obraz zobrazoval předmět stažený ve směru pohybu. Takové vizuální efekty jsou však zcela odlišná měření, protože taková fotografie je pořízena na dálku, zatímco kontrakci délky lze přímo měřit pouze na přesném místě koncových bodů objektu. Několik autorů, jako Roger Penrose a James Terrell, ukázalo, že pohybující se objekty na fotografii obecně nevypadají jako zkrácené. Tento výsledek propagoval Victor Weisskopf v článku Physics Today. Například pro malý úhlový průměr zůstává pohybující se koule kruhová a otáčí se. Tento druh efektu vizuální rotace se nazývá rotace Penrose-Terrell.

Derivace

Kontrakce délky lze odvodit několika způsoby:

Známá pohyblivá délka

V setrvačném referenčním rámci S, a bude označovat koncové body objektu v pohybu v tomto rámci. Tam byla jeho délka měřena podle výše uvedené konvence určením simultánních poloh jejích koncových bodů v . Nyní bude správná délka tohoto objektu v S 'vypočítána pomocí Lorentzovy transformace. Transformace časových souřadnic ze S na S 'má za následek různé časy, ale to není problematické, protože objekt je v klidu v S', kde nezáleží na tom, kdy se měří koncové body. Proto stačí transformace prostorových souřadnic, která dává: ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle t_ {1} = t_ {2}}$

{\ Displaystyle x '_ {1} = \ gamma \ left (x_ {1} -vt_ {1} \ right) \ quad {\ text {and}} \ quad x' _ {2} = \ gamma \ left ( x_ {2} -vt_ {2} \ right)}

Protože a nastavením a je správná délka v S 'dána ${\ displaystyle t_ {1} = t_ {2}}$ ${\ displaystyle L = x_ {2} -x_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {0}^{'} = x_ {2}^{'}-x_ {1}^{'}}$

{\ Displaystyle L_ {0}^{'} = L \ cdot \ gamma.}

( 1 )

vzhledem ke kterému je změřená délka v S zkrácena

{\ Displaystyle L = L_ {0}^{'}/\ gamma.}

( 2 )

Podle principu relativity musí být objekty, které jsou v klidu v S, zkráceny i v S '. Výměnou výše uvedených znaků a symetrickým prvkováním následuje:

{\ Displaystyle L_ {0} = L '\ cdot \ gamma.}

( 3 )

Smluvená délka měřená v S 'je tedy dána vztahem:

{\ Displaystyle L '= L_ {0}/\ gamma.}

( 4 )

Známá správná délka

Naopak, pokud objekt spočívá v S a je známa jeho správná délka, musí být souběžnost měření v koncových bodech objektu uvažována v jiném rámci S ', protože objekt tam neustále mění svoji polohu. Proto je třeba transformovat prostorové i časové souřadnice:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} x_ {1}^{'} & = \ gamma \ left (x_ {1} -vt_ {1} \ right) & \ quad \ mathrm {and} \ quad && x_ {2} ^{'} & = \ gamma \ left (x_ {2} -vt_ {2} \ right) \\ t_ {1}^{'} & = \ gamma \ left (t_ {1} -vx_ {1}/ c^{2} \ right) & \ quad \ mathrm {and} \ quad && t_ {2}^{'} & = \ gamma \ left (t_ {2} -vx_ {2}/c^{2} \ right ) \ end {aligned}}}

Výpočet délky intervalu a za předpokladu simultánního měření času a zapojení správné délky vyplývá: ${\ Displaystyle \ Delta x '= x_ {2}^{\ prime} -x_ {1}^{\ prime}}$ ${\ Displaystyle \ Delta t '= t_ {2}^{\ prime} -t_ {1}^{\ prime} = 0}$ ${\ displaystyle L_ {0} = x_ {2} -x_ {1}}$

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ Delta x '& = \ gamma \ left (L_ {0} -v \ Delta t \ right) & (1) \\\ Delta t' & = \ gamma \ left (\ Delta t-{\ frac {vL_ {0}} {c^{2}}} \ right) = 0 & (2) \ end {aligned}}}

Rovnice (2) dává

{\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {vL_ {0}} {c^{2}}}}

který, když je zapojen do (1), ukazuje, že se stane smrštěnou délkou : ${\ displaystyle \ Delta x '}$ ${\ displaystyle L '}$

{\ displaystyle L '= L_ {0}/\ gamma}

.

Podobně stejná metoda poskytuje symetrický výsledek pro objekt v klidu v S ':

{\ Displaystyle L = L_ {0}^{'}/\ gamma}

.

Použití dilatace času

Kontrakce délky lze také odvodit z časové dilatace , podle níž je rychlost jedných „pohybujících se“ hodin (indikujících její správný čas ) nižší vzhledem ke dvěma synchronizovaným „odpočinkovým“ hodinám (indikujících ). Dilatace času byla experimentálně potvrzena několikrát a je reprezentována vztahem: ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle T}$

{\ Displaystyle T = T_ {0} \ cdot \ gamma}

Předpokládejme, že se tyč o správné délce v klidu a hodiny v klidu pohybují podél sebe rychlostí . Protože podle principu relativity je velikost relativní rychlosti v obou referenčních rámcích stejná, jsou příslušné doby pohybu hodin mezi koncovými body tyče dány in a in , tedy a . Vložením vzorce pro dilataci času je poměr mezi těmito délkami: ${\ displaystyle L_ {0}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle T = L_ {0}/v}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle T '_ {0} = L'/v}$ ${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle L_ {0} = Televize}$ ${\ displaystyle L '= T' _ {0} v}$

{\ displaystyle {\ frac {L '} {L_ {0}}} = {\ frac {T' _ {0} v} {Tv}} = 1/\ gamma}

.

Délka měřená v je tedy dána vztahem ${\ displaystyle S '}$

{\ displaystyle L '= L_ {0}/\ gamma}

Protože je tedy doba pohybu hodin po tyči delší než v (časová dilatace v ), je délka tyče také delší než v (zkrácení délky v ). Podobně, pokud by hodiny byly v klidu a tyč v , výše uvedený postup by dal ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S '}$

{\ Displaystyle L = L '_ {0}/\ gamma}

Geometrické úvahy

Kvádry v euklidovském a minkowského časoprostoru

Další geometrické úvahy ukazují, že kontrakci délky lze považovat za goniometrický jev s analogií k paralelním řezům kvádru před a po rotaci v E ³ (viz levá polovina obrázku vpravo). Toto je euklidovský analog posílení kvádru v E ^1,2 . V druhém případě však můžeme zesílený kvádr interpretovat jako světovou desku pohybující se desky.

Obrázek : Vlevo: rotovaný kvádr v trojrozměrném euklidovském prostoru E ³ . Průřez je ve směru otáčení delší, než byl před otáčením. Vpravo: světová deska pohybující se tenké desky v časoprostoru Minkowski (s potlačením jedné prostorové dimenze) E ^1,2 , což je zesílený kvádr . Průřez je ve směru zesílení tenčí, než byl před zesílením. V obou případech nejsou příčné směry ovlivněny a tři roviny, které se setkávají v každém rohu kvádru, jsou vzájemně ortogonální (ve smyslu E ^1,2 vpravo a ve smyslu E ³ vlevo).

Ve speciální relativitě jsou Poincaréovy transformace třídou afinních transformací, které lze charakterizovat jako transformace mezi alternativními kartézskými souřadnicovými grafy na Minkowského časoprostoru odpovídajícími alternativním stavům setrvačného pohybu (a různým možnostem původu ). Lorentzovy transformace jsou Poincaréovy transformace, které jsou lineárními transformacemi (zachovávají původ). Lorentzovy transformace hrají stejnou roli v Minkowského geometrii ( Lorentzova skupina tvoří izotropní skupinu self-izometrií časoprostoru), které hrají rotace v euklidovské geometrii. Speciální relativita do značné míry spočívá ve studiu jakési neuklidovské trigonometrie v Minkowského časoprostoru, jak naznačuje následující tabulka:

Tři rovinné trigonometrie
Trigonometrie	Oběžník	Parabolický	Hyperbolický
Kleinianova geometrie	Euklidovské letadlo	Galilejské letadlo	Minkowského letadlo
Symbol	E ²	E ^0,1	E ^1,1
Kvadratická forma	Pozitivní definitivní	Degenerovat	Nedegenerovaný, ale neurčitý
Izometrická skupina	E (2)	E (0,1)	E (1,1)
Skupina izotropie	SO (2)	SO (0,1)	SO (1,1)
Typ izotropie	Rotace	Nůžky	Posiluje
Algebra nad R.	Složitá čísla	Duální čísla	Rozdělená komplexní čísla
ε ²	-1	0	1
Prostorový výklad	Žádný	Newtonovský časoprostor	Časoprostor Minkowski
Sklon	tan φ = m	tanp φ = u	tanh φ = v
"kosinus"	cos φ = (1 + m ² ) ^−1/2	cosp φ = 1	cosh φ = (1 - v ² ) ^−1/2
"sinus"	hřích φ = m (1 + m ² ) ^−1/2	sinp φ = u	sinh φ = v (1 - v ² ) ^−1/2
"secant"	sec φ = (1 + m ² ) ^1/2	sek. φ = 1	sech φ = (1 - v ² ) ^1/2
"kosekant"	csc φ = m ⁻¹ (1 + m ² ) ^1/2	cscp φ = u ⁻¹	csch φ = v ⁻¹ (1 - v ² ) ^1/2

Reference

externí odkazy

Fyzika FAQ: Vidíte Lorentz -Fitzgeraldovu kontrakci? Nebo: Penrose-Terrell Rotation ; Stodola a pól

Languages

In other projects