Leslie Matrix - Leslie matrix

V aplikované matematice je Leslie matrix je diskrétní , věkově strukturovaný model populačního růstu , který je velmi populární v populační ekologii . To bylo vynalezeno a pojmenováno po Patricku H. Leslie . Leslieho matice (nazývaná také Leslieho model) je jedním z nejznámějších způsobů, jak popsat růst populací (a jejich předpokládané věkové rozdělení), v nichž je populace uzavřena migraci, roste v neomezeném prostředí a kde pouze uvažuje se o jednom pohlaví, obvykle ženském .

Leslieho matice se používá v ekologii k modelování změn v populaci organismů po určitou dobu. V modelu Leslie je populace rozdělena do skupin na základě věkových tříd. Podobný model, který nahrazuje věkové třídy ontogenetickými stádii, se nazývá Lefkovitchova matice, přičemž jednotlivci mohou oba zůstat ve stejné třídě stádia nebo přejít na další. V každém časovém kroku je populace reprezentována vektorem s prvkem pro každou věkovou třídu, kde každý prvek označuje počet jednotlivců aktuálně v dané třídě.

Matice Leslie je čtvercová matice se stejným počtem řádků a sloupců, jako má vektor populace prvky. (I, j) th buňka v matici udává, kolik jedinců bude ve věkové třídě i v dalším časovém kroku pro každého jedince ve fázi j . V každém časovém kroku se populační vektor vynásobí Leslieho maticí, aby se vygeneroval populační vektor pro následující časový krok.

Chcete-li vytvořit matici, musíte z populace znát následující informace:

• ${\ displaystyle n_ {x}}$, počet jednotlivců ( n ) každé věkové třídy x
• ${\ displaystyle s_ {x}}$, podíl jednotlivců, kteří přežijí z věkové třídy x do věkové třídy x + 1 ,
• ${\ displaystyle f_ {x}}$, Plodnost je per capita Průměrný počet ženských potomků dosahující rodí z matky na věk třídy x . Přesněji lze na něj pohlížet jako na počet potomků vyprodukovaných v další věkové třídě vážený pravděpodobností dosažení další věkové třídy. Proto,${\ displaystyle n_ {0}}$${\ displaystyle b_ {x + 1}}$${\ displaystyle f_ {x} = s_ {x} b_ {x + 1}.}$

Z pozorování, že v čase t + 1 je jednoduše součet všech potomků narozených z předchozího časového kroku a že organismy přežívající do času t + 1 jsou organismy v čase t přežívající s pravděpodobností , jeden získá . To znamená následující maticovou reprezentaci: ${\ displaystyle n_ {0}}$${\ displaystyle s_ {x}}$${\ displaystyle n_ {x + 1} = s_ {x} n_ {x}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} n_ {0} \\ n_ {1} \\\ vdots \\ n _ {\ omega -1} \\\ end {bmatrix}} _ {t + 1} = {\ begin {bmatrix} f_ {0} & f_ {1} & f_ {2} & \ ldots & f _ {\ omega -2} & f _ {\ omega -1} \\ s_ {0} & 0 & 0 & \ ldots & 0 & 0 \\ 0 & s_ {1} & 0 & \ ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_ {2} & \ ldots & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ ldots & s _ {\ omega -2} & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} n_ {0} \\ n_ {1} \\\ vdots \\ n _ {\ omega -1} \ end {bmatrix}} _ {t}}$

kde je maximální dosažitelný věk v populaci. ${\ displaystyle \ omega}$

To lze zapsat jako:

${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {t + 1} = \ mathbf {L} \ mathbf {n} _ {t}}$

nebo:

${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {t} = \ mathbf {L} ^ {t} \ mathbf {n} _ {0}}$

kde je populace vektor v čase t a je Leslie matice. Dominantní vlastní hodnota , označená , udává asymptotický růst populace (rychlost růstu při stabilním rozdělení věku). Odpovídající vlastní vektor poskytuje stabilní věkové rozložení, podíl jednotlivců každého věku v populaci, který v tomto bodě asymptotického růstu zůstává konstantní a vylučuje změny vitálních rychlostí. Jakmile je dosaženo stabilního rozdělení věku, populace prochází exponenciálním růstem tempem . ${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {t}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$

Charakteristický polynom matice je dán Euler-Lotka rovnice .

Model Leslie je velmi podobný diskrétnímu Markovovu řetězci . Hlavní rozdíl spočívá v tom, že v Markovově modelu by měl jeden pro každý , zatímco model Leslie může mít tyto součty větší nebo menší než 1. ${\ displaystyle f_ {x} + s_ {x} = 1}$${\ displaystyle x}$

Stabilní věková struktura

Tento věkově strukturovaný model růstu naznačuje ustálenou nebo stabilní věkovou strukturu a rychlost růstu. Bez ohledu na počáteční velikost populace nebo věkové rozdělení má populace asymptoticky sklon k této věkové struktuře a rychlosti růstu. Po narušení se také vrací do tohoto stavu. Eulerova-Lotka rovnice poskytuje prostředky pro identifikaci vlastní růstové rychlosti. Stabilní věková struktura je určena jak růstovou rychlostí, tak funkcí přežití (tj. Leslieho matice). Například populace s velkým vnitřním tempem růstu bude mít nepoměrně „mladou“ věkovou strukturu. Populace s vysokou úmrtností všech věkových skupin (tj. S nízkým přežitím) bude mít podobnou věkovou strukturu. Charlesworth (1980) poskytuje další podrobnosti o rychlosti a formě konvergence ke stabilní věkové struktuře. ${\ displaystyle N_ {0}}$

Náhodný případ Leslie

Existuje zobecnění tempa růstu populace, kdy má Leslieho matice náhodné prvky, které mohou být korelovány. Při charakterizaci poruchy nebo nejistoty v životně důležitých parametrech; k řešení lineárních nezáporných náhodných maticových rozdílových rovnic je třeba použít perturbativní formalismus . Potom lze jako efektivní rychlost růstu prezentovat netriviální a efektivní vlastní hodnotu, která definuje dlouhodobou asymptotickou dynamiku vektoru stavu populace střední hodnoty. Toto vlastní číslo a přidružený vektor invariantního stavu střední hodnoty lze vypočítat z nejmenšího kladného kořene sekulárního polynomu a zbytku zelené funkce se střední hodnotou. Přesné a rušivé výsledky lze tedy analyzovat pro několik modelů poruch.

Reference

Zdroje

• Krebs CJ (2001) Ekologie: experimentální analýza distribuce a hojnosti (5. vydání). San Francisco. Benjamin Cummings.
• Charlesworth, B. (1980) Evoluce ve věkově strukturované populaci. Cambridge. Cambridge University Press
• Leslie, PH (1945) „Využití matic v určité populační matematice“. Biometrika , 33 (3), 183–212.
• Leslie, PH (1948) „Některé další poznámky k použití matic v populační matematice“. Biometrika , 35 (3–4), 213–245.
• Lotka, AJ (1956) Základy matematické biologie . New York. Dover Publications Inc.
• Kot, M. (2001) Elements of Mathematical Ecology , Cambridge. Cambridge University Press.