Liber Abaci - Liber Abaci

Stránka Liber Abaci z Biblioteca Nazionale di Firenze . Seznam vpravo ukazuje čísla 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ( Fibonacciho sekvence ). Čísla 2, 8 a 9 připomínají arabské číslice více než východní arabské číslice nebo indické číslice

Liber Abaci (také hláskovaný jako Liber Abbaci ; „Kniha výpočtu“) je historický latinský rukopis z roku 1202 o aritmetice od Leonarda z Pisy, posmrtně známý jako Fibonacci .

Liber Abaci byl mezi prvními západními knihami, které popisovaly hindusko-arabskou číselnou soustavu a používaly symboly připomínající moderní „ arabské číslice “. Tím, že se zabýval aplikacemi komerčních obchodníků i matematiků, podpořil nadřazenost systému a používání těchto glyfů.

Ačkoli byl název knihy přeložen také jako „Kniha počítadla“, Sigler (2002) píše, že se jedná o chybu: záměrem knihy je popsat metody provádění výpočtů bez pomoci počítadla a jako Ore ( 1948) potvrzuje, že po staletí po jeho zveřejnění zůstali algoritmisté (stoupenci stylu výpočtu ukázaného v Liber Abaci ) v rozporu s abacisty (tradicionalisty, kteří i nadále používali počítadlo ve spojení s římskými číslicemi). Historik matematiky Carl Boyer ve své historii matematiky uvedl : „Kniha, ve které Fibonacci popsal nový algoritmus, je oslavovanou klasikou, dokončenou v roce 1202, ale nese zavádějící název - Liber abaci (nebo kniha počítadla). je to na počítadle, jedná se o velmi důkladné pojednání o algebraické metody a problémy, ve kterých používání Hind-arabské číslice je silně obhajoval „.

Shrnutí oddílů

První část představuje hindsko-arabský číselný systém, včetně metod převodu mezi různými reprezentačními systémy. Tato část obsahuje také první známý popis zkušebního dělení pro testování, zda je číslo složené, a pokud ano, jeho faktorování .

Druhá část představuje příklady z obchodu, jako jsou převody měny a měření a výpočty zisku a úroků .

Třetí část pojednává o řadě matematických problémů; například zahrnuje (kap. II.12) větu o čínském zbytku , dokonalá čísla a Mersennova prvočísla , stejně jako vzorce pro aritmetické řady a pro čtvercová pyramidová čísla . Dalším příkladem v této kapitole, který popisuje růst populace králíků, byl původ Fibonacciho sekvence, pro kterou je dnes autor nejznámější.

Čtvrtá část odvozuje aproximace iracionálních čísel, jako jsou odmocniny , numerické i geometrické .

Kniha také obsahuje důkazy v euklidovské geometrii . Fibonacciho metoda řešení algebraických rovnic ukazuje vliv egyptského matematika z počátku 10. století Abū Kāmila Shujāʿ ibn Aslama .

Fibonacciho zápis pro zlomky

Při čtení Liber Abaci je užitečné porozumět Fibonacciho zápisu pro racionální čísla, což je zápis, který má přechodnou formu mezi egyptskými frakcemi běžně používanými do té doby a vulgárními frakcemi, které se používají dodnes. Mezi Fibonacciho zápisem a moderním zlomkovým zápisem existují tři klíčové rozdíly.

1. Obecně píšeme zlomek napravo od celého čísla, ke kterému je přidán, například pro 7/3. Fibonacci by místo toho napsal stejný zlomek doleva, tj . ${\ displaystyle 2 \, {\ tfrac {1} {3}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {3}} \, 2}$
2. Fibonacci použil kompozitní zlomkovou notaci, ve které sled čitatelů a jmenovatelů sdílel stejný zlomkový pruh; každý takový výraz představoval další zlomek daného čitatele dělený součinem všech jmenovatelů níže a napravo od něj. To je , a . Notace byla čtena zprava doleva. Například 29/30 lze zapsat jako , představující hodnotu . To lze považovat za formu smíšené radixové notace a bylo to velmi výhodné pro práci s tradičními systémy vah, měr a měny. Například pro jednotky délky je stopa 1/3 yardu a palec 1/12 stopy, takže množství 5 yardů, 2 stopy a palce lze představovat jako složený zlomek: yardů . Typické notace pro tradiční míry, i když jsou podobně založeny na smíšených radixech, však jmenovatele výslovně nevypisují; explicitní jmenovatelé ve Fibonacciho zápisu mu umožňují používat různé radixy pro různé problémy, když je to vhodné. Sigler také poukazuje na případ, kdy Fibonacci používá složené zlomky, ve kterých jsou všechny jmenovatele 10, což předznamenává moderní desetinnou notaci pro zlomky. ${\ displaystyle {\ tfrac {b \, \, a} {d \, \, c}} = {\ tfrac {a} {c}} + {\ tfrac {b} {cd}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {c \, \, b \, \, a} {f \, \, e \, \, d}} = {\ tfrac {a} {d}} + {\ tfrac {b } {de}} + {\ tfrac {c} {def}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1 \, \, 2 \, \, 4} {2 \, \, 3 \, \, 5}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {4} {5}} + {\ tfrac {2} {3 \ krát 5}} + {\ tfrac {1} {2 \ krát 3 \ krát 5}}}$${\ displaystyle 7 {\ tfrac {3} {4}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {3 \ \, 7 \, \, 2} {4 \, \, 12 \, \, 3}} \, 5}$
3. Fibonacci někdy psal několik zlomků vedle sebe, což představuje součet daných zlomků. Například 1/3 + 1/4 = 7/12, takže zápis typu by představoval číslo, které by se nyní běžněji zapisovalo jako smíšené číslo nebo jednoduše nesprávný zlomek . Zápis tohoto formuláře lze odlišit od posloupností čitatelů a jmenovatelů sdílejících zlomkovou čáru podle viditelného zlomu v pruhu. Pokud jsou všechny čitatele 1 ve zlomku napsaném v této formě a všichni jmenovatelé se od sebe liší, výsledkem je egyptská zlomková reprezentace čísla. Tato notace byla také někdy kombinována s notou složeného zlomku: dva složené zlomky napsané vedle sebe by představovaly součet zlomků. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} \, {\ tfrac {1} {3}} \, 2}$${\ displaystyle 2 \, {\ tfrac {7} {12}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {31} {12}}}$

Složitost této notace umožňuje psát čísla mnoha různými způsoby a Fibonacci popsal několik metod převodu z jednoho stylu reprezentace na jiný. Kapitola II.7 obsahuje zejména seznam metod převodu nesprávné frakce na egyptskou frakci, včetně chamtivého algoritmu pro egyptské frakce , známého také jako expanze Fibonacci – Sylvester.

Modus Indorum

V Liber Abaci říká Fibonacci následující představení Modus Indorum (metoda indiánů), dnes známé jako hindusko -arabská číselná soustava nebo poziční notace základny-10. Rovněž zavedla číslice, které se velmi podobaly moderním arabským číslicím .

Protože můj otec byl veřejným úředníkem mimo naši domovinu v celnici Bugia zřízené pro pisanské obchodníky, kteří se tam často scházeli, nechal mě v mládí přivést k sobě a hledal pro mě užitečnou a pohodlnou budoucnost; tam chtěl, abych studoval matematiku a několik dní mě učili. Tam, díky úžasnému poučení o umění devíti indických postav, mě úvod a znalost tohoto umění tolik potěšily nade vše, a já jsem se od nich, kdokoli v něm naučil, učil z blízkého Egypta, Sýrie, Řecka, Sicílie a Provence a jejich různé metody, na která místa podnikání jsem poté značně cestoval za velkým studiem a poučil jsem se ze shromážděných sporů. Ale jako celek, algoritmus a dokonce i Pythagorovy oblouky, jsem stále počítal s téměř chybou ve srovnání s indickou metodou. Proto jsem se přísně objímal na indickou metodu a pozorně jsem ji studoval, když můj vlastní smysl přidal některé a některé ještě z jemného euklidovského geometrického umění, přičemž jsem použil částku, kterou jsem byl schopen vnímat na tuto knihu, to dohromady v xv samostatných kapitolách, které ukazují jistý důkaz pro téměř všechno, co jsem vložil, takže dále tato metoda zdokonalila nad ostatní, tato věda je poučena dychtivým a italským lidem nad všemi ostatními, kteří až dosud jsou nalezeny bez minima. Pokud jsem náhodou vynechal něco menšího nebo vhodnějšího nebo nezbytnějšího, je vaše prosba o mě prosena, protože neexistuje nikdo, kdo by byl bez viny, a ve všech věcech je obezřetný.

Devět indických postav je:

9 8 7 6 5 4 3 2 1

S těmito devíti číslicemi a se znaménkem 0, které Arabové nazývají zephir, je napsáno libovolné číslo ... ( Sigler 2002 ; další překlad viz Grimm 1973 )

Jinými slovy, ve své knize prosazoval použití číslic 0–9 a hodnoty místa . Do této doby Evropa používala římské číslice, což znemožňovalo moderní matematiku. Kniha tak významně přispěla k rozšíření desetinných číslic. Šíření hindsko-arabského systému však, jak píše Ore, bylo „zdlouhavé“, jeho šíření trvalo mnoho dalších staletí a úplné se stalo až v pozdější části 16. století, dramaticky se zrychlilo až v 1500 s příchodem tisku.

Textová historie

Poprvé se rukopis objevil v roce 1202. O této verzi nejsou známy žádné kopie. Revidovaná verze Liber Abaci, věnovaná Michaelovi Scotovi , se objevila v roce 1227 n. L. Existuje alespoň devatenáct rukopisů, které obsahují části tohoto textu. Existují tři úplné verze tohoto rukopisu ze třináctého a čtrnáctého století. Mezi třináctým a patnáctým stoletím je známo dalších devět neúplných kopií a může jich být ještě neidentifikováno.

Až do Boncompagniho italského překladu z roku 1857 nebyla známá tištěná verze Liber Abaci . Prvním úplným anglickým překladem byl Siglerův text z roku 2002.

Poznámky

Reference

• Grimm, RE (1973), „Autobiografie Leonarda Pisana“ (PDF) , Fibonacci Quarterly , 11 (1): 99–104 .
• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002), Fibonacciho Liber Abaci , Springer-Verlag, ISBN   0-387-95419-8 .
• Ore, Øystein (1948), Teorie čísel a její historie , McGraw Hill . K dispozici je také verze Dover, 1988, ISBN   978-0-486-65620-5 .