Ztmavnutí končetin - Limb darkening

Filtruje obraz Slunce ve viditelném světle, ukazující vliv končetiny zatmavením jako stmívače svítivostí k okraji nebo končetiny slunečního disku. Snímek byl pořízen během tranzitu Venuše v roce 2012 (zde je vidět jako tmavá skvrna vpravo nahoře).

Ztmavnutí končetin je optický efekt pozorovaný u hvězd (včetně Slunce ), kde se centrální část disku jeví jasnější než hrana nebo končetina . Jeho porozumění nabídlo raným slunečním astronomům příležitost postavit modely s takovými přechody. To povzbudilo rozvoj teorie radiačního přenosu .

Základní teorie

Idealizovaný případ ztmavnutí končetiny. Vnější hranice je poloměr, ve kterém fotony emitované z hvězdy již nejsou absorbovány. L je vzdálenost, pro kterou je optická hloubka jednota. Vysokoteplotní fotony emitované na A budou jen stěží unikat z hvězdy, stejně jako nízkoteplotní fotony emitované na B. Tento obrázek není v měřítku. Například pro Slunce , L by bylo jen několik set km.

Optická hloubka , míra neprůhlednosti předmětu nebo části objektu, se spojuje s účinnými teplotními gradienty uvnitř hvězdy a způsobuje ztmavnutí končetin. Světlo vidět je přibližně integrál všech emisí podél linii pohledu modulovaného optickou hloubkou k divákovi (tj 1 / e doba emise 1 optické hloubky, 1 / E ² krát emise při 2 optické hloubky, atd. ). Blízko středu hvězdy je optická hloubka skutečně nekonečná, což způsobuje přibližně konstantní jas. Účinná optická hloubka však klesá s rostoucím poloměrem v důsledku nižší hustoty plynu a kratší vzdálenosti zraku hvězdou, což způsobuje postupné stmívání, dokud se na zdánlivém okraji hvězdy nestane nulou.

Efektivní teplota v photosphere také snižuje s rostoucí vzdáleností od středu hvězdy. Záření vyzařované z plynu je přibližně záření černého tělesa , jehož intenzita je úměrná čtvrtému výkonu teploty. Proto i v přímých směrech pohledu, kde je optická hloubka účinně nekonečná, vyzařovaná energie pochází z chladnějších částí fotosféry, což má za následek menší celkovou energii, která se dostane k divákovi.

Teplota v atmosféře hvězdy ne vždy klesá s rostoucí výškou. U určitých spektrálních čar je optická hloubka největší v oblastech s rostoucí teplotou. V tomto scénáři je místo toho vidět fenomén „zjasnění končetin“. Na Slunci existence teplotní minimální oblasti znamená, že zjasnění končetin by mělo začít dominovat na infračervených nebo rádiových vlnových délkách. Nad spodní atmosférou a vysoko nad oblastí s minimem teploty je Slunce obklopeno sluneční koronou s milionem Kelvinů . Pro většinu vlnových délek je tato oblast opticky tenká, tj. Má malou optickou hloubku, a proto musí být zesvětlena na končetiny, pokud je sféricky symetrická.

Výpočet ztmavnutí končetiny

Geometrie ztmavnutí končetin. Hvězda je zaměřena na O   a má poloměr R  . Pozorovatel je v bodě P   ve vzdálenosti r   od středu hvězdy a dívá se na bod S   na povrchu hvězdy. Z hlediska pozorovatele, S   je pod úhlem se? Od přímky, procházející středu hvězdy, a okraj nebo končetina hvězdy je pod úhlem w.

Na obrázku zde, pokud je pozorovatel v bodě P mimo hvězdnou atmosféru, bude intenzita pozorovaná ve směru θ funkcí pouze úhlu dopadu ψ. To je nejvýhodněji aproximováno jako polynom v cos ψ:

${\ Displaystyle {\ frac {I (\ psi)} {I (0)}} = \ sum _ {k = 0} ^{N} a_ {k} \ cos ^{k} \ psi,}$

kde I (ψ) je intenzita pozorovaná v P podél přímky zorného úhlu ψ vzhledem k poloměru hvězdy a I (0) je centrální intenzita. Aby byl poměr jednotný pro ψ = 0, musíme mít

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 0}^{N} a_ {k} = 1.}$

Například, pro Lambertian chladič (bez okrajového ztmavnutí), budeme mít všechny z _k, = 0 až k ₁ = 1. Jako jiný příklad, pro Slunce při 550 nm (5,5 x 10 ^-7  m), okrajového ztmavnutí je dobře vyjádřeno N = 2 a

${\ displaystyle a_ {0} = 1-a_ {1} -a_ {2} = 0,3,}$

${\ displaystyle a_ {1} = 0,93,}$

${\ displaystyle a_ {2} =-0,23}$

(Viz Cox, 2000). Rovnice pro ztmavnutí končetin je někdy vhodněji napsána jako

${\ Displaystyle {\ frac {I (\ psi)} {I (0)}} = 1+ \ sum _ {k = 1}^{N} A_ {k} (1- \ cos \ psi)^{k },}$

který má nyní N nezávislých koeficientů než N + 1 koeficientů, které se musí sčítat do jednoty.

Konstanty a a _k mohou souviset s konstantami A _k . Pro N = 2,

${\ displaystyle A_ {1} =-(a_ {1}+2*a_ {2}),}$

${\ displaystyle A_ {2} = a_ {2}.}$

Pro Slunce při 550 nm pak máme

${\ displaystyle A_ {1} =-0,47,}$

${\ displaystyle A_ {2} =-0,23.}$

Tento model dává intenzitu na okraji slunečního disku pouze 30% intenzity ve středu disku.

Tyto vzorce můžeme převést na funkce θ pomocí substituce

${\ Displaystyle \ cos \ psi = {\ frac {\ sqrt {\ cos ^{2} \ theta -\ cos ^{2} \ Omega}} {\ sin \ Omega}} = {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {\ sin \ theta} {\ sin \ Omega}} \ right)^{2}}},}$

kde Ω je úhel od pozorovatele k údu hvězdy. Pro malé θ máme

${\ Displaystyle \ cos \ psi \ zhruba {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {\ theta} {\ sin \ Omega}} \ right)^{2}}}.}$

Vidíme, že derivace cos ψ je na hraně nekonečná.

Výše uvedenou aproximaci lze použít k odvození analytického výrazu pro poměr střední intenzity k centrální intenzitě. Průměrná intenzita I _m je integrál intenzity na disku hvězdy dělený pevným úhlem, který disk svírá:

${\ Displaystyle I_ {m} = {\ frac {\ int I (\ psi) \, d \ omega} {\ int d \ omega}},}$

kde dω = sin θ dθ dφ je prvek pevného úhlu a integrály jsou na disku: 0 ≤ φ ≤ 2π a 0 ≤ θ ≤ Ω. Můžeme to přepsat jako

${\ Displaystyle I_ {m} = {\ frac {\ int _ {\ cos \ Omega}^{1} I (\ psi) \, d \ cos \ theta} {\ int _ {\ cos \ Omega}^{ 1} d \ cos \ theta}} = {\ frac {\ int _ {\ cos \ Omega}^{1} I (\ psi) \, d \ cos \ theta} {1- \ cos \ Omega}} }$

Ačkoli lze tuto rovnici vyřešit analyticky, je poměrně těžkopádná. Pro pozorovatele v nekonečné vzdálenosti od hvězdy však může být nahrazeno , takže máme ${\ Displaystyle d \ cos \ theta}$${\ Displaystyle \ sin ^{2} \ Omega \ cos \ psi \, d \ cos \ psi}$

${\ Displaystyle I_ {m} = {\ frac {\ int _ {0}^{1} I (\ psi) \ cos \ psi \, d \ cos \ psi} {\ int _ {0}^{1} \ cos \ psi \, d \ cos \ psi}} = 2 \ int _ {0}^{1} I (\ psi) \ cos \ psi \, d \ cos \ psi,}$

který dává

${\ Displaystyle {\ frac {I_ {m}} {I (0)}} = 2 \ sum _ {k = 0}^{N} {\ frac {a_ {k}} {k+2}}.}$

U Slunce při 550 nm to znamená, že průměrná intenzita je 80,5% intenzity ve středu.

Reference