Limit funkce - Limit of a function

Část série článků o
Počet
Základní věta Leibnizovo integrální pravidlo Limity funkcí Kontinuita Věta o střední hodnotě Rollova věta
Rozdíl Definice Derivace  ( zobecnění ) Rozdíl infinitezimální funkce celkový Pojmy Diferenciační notace Druhá derivace Implicitní diferenciace Logaritmická diferenciace Související ceny Taylorova věta Pravidla a identity Součet Produkt Řetěz Napájení Kvocient Pravidlo L'Hôpital Inverzní Generál Leibniz Vzorec Faà di Bruna Reynolds
Integrální Seznamy integrálů Integrální transformace Definice Antiderivativní Integrální  ( nevhodné ) Riemannův integrál Integrace Lebesgue Integrace obrysů Integrace inverzních funkcí Integrace od Díly Disky Válcové skořepiny Substituce  ( trigonometrická , Weierstrass , Euler ) Eulerův vzorec Částečné zlomky Změna pořadí Redukční vzorce Rozlišování podle integrálního znaku Rischův algoritmus
Série Geometrický  ( aritmeticko-geometrický ) Harmonický Střídavě Napájení Binomický Taylor Konvergenční testy Limit součtu (termínový test) Poměr Vykořenit Integrální Přímé srovnání Porovnání limitů Střídající se série Cauchyho kondenzace Dirichlet Abel
Vektor Spád Divergence Kučera Laplacián Směrový derivát Identity Věty Spád Zelenina Stokes ' Divergence generalizované Stokes
Více proměnných Formalismy Matice Tensor Vnější Geometrický Definice Parciální derivace Vícenásobný integrál Liniový integrál Povrchový integrál Objemový integrál Jakobijský Hesián
Specializované Frakční Malliavin Stochastický Variace
Smíšený Precalculus Dějiny Glosář Seznam témat Integrace Bee Analýza
proti t E

V matematice je limit funkce základním pojmem v počtu a analýze chování této funkce v blízkosti určitého vstupu .

Formální definice, poprvé vytvořené na počátku 19. století, jsou uvedeny níže. Neformálně, funkce f přiřadí výstup f ( x ) každému vstupu x . Říkáme, že funkce má limit L na vstupu p, pokud se f ( x ) přibližuje a přibližuje k L, když se x pohybuje blíže a blíže k p . Přesněji řečeno, když f je aplikován na libovolný vstup dostatečně blízko k p , výstupní hodnota je nucen libovolně blízko k L . Na druhou stranu, pokud jsou některé vstupy velmi blízké p přeneseny na výstupy, které od sebe drží pevnou vzdálenost, pak říkáme, že limit neexistuje .

Pojem limitu má v moderním počtu mnoho aplikací . Mnoho definic spojitosti zejména používá koncept limitu: zhruba, funkce je spojitá, pokud všechny její limity souhlasí s hodnotami funkce. Pojem limitu také se objeví v definici derivátu : v počtu jedné proměnné, to je limitující hodnota sklonu o sečna na grafu funkce.

Dějiny

Ačkoli implicitní ve vývoji počtu 17. a 18. století, moderní myšlenka hranice funkce sahá až do Bolzana, který v roce 1817 představil základy techniky epsilon-delta k definování spojitých funkcí. Jeho práce však nebyla za jeho života známa.

Ve své knize 1821 Cours d'analyzovat , Cauchy diskutováno různými množstvími, infinitesimals a limity a definovanou kontinuitu tím, že změna v nekonečně x nutně vytváří změnu nekonečně v y , zatímco ( Grabiner 1983 ) tvrdí, že používají přísné epsilon -delta definice v důkazech. Weierstrass poprvé představil definici limitu epsilon-delta v podobě, v jaké se dnes obvykle píše. Zavedl také noty lim a lim _{x → x 0} . ${\ Displaystyle y = f (x)}$

Moderní notace umístění šipky pod mezní symbol je dána Hardym , který je představen v jeho knize Kurz čisté matematiky v roce 1908.

Motivace

Představte si osobu, která kráčí krajinou reprezentovanou grafem y = f ( x ). Jejich horizontální poloha se měří hodnotou x , podobně jako poloha daná mapou země nebo globálním pozičním systémem . Jejich nadmořská výška je dána souřadnicí y . Kráčí směrem k horizontální poloze dané x = p . Jak se dostat blíž a blíž k němu, si všimnou, že jejich nadmořská výška se blíží L . Pokud budete požádáni o výšce x = p , pak by odpověď L .

Co tedy znamená říci, že se jejich výška blíží k L? Znamená to, že jejich nadmořská výška je stále blíže k L - s výjimkou možné malé chyby v přesnosti. Předpokládejme například, že jsme si stanovili konkrétní přesnost cíl pro naše cestující: oni se musí dostat do deseti metrů L . Uvádějí, že zpátky ve skutečnosti, oni mohou dostat do deseti výškových metrů od L , protože vědomí, že jsou-li v okruhu padesáti metrů horizontální p , jejich výška je vždy deset metrů nebo méně od l .

Cíl přesnosti se poté změní: mohou se dostat do jednoho vertikálního metru? Ano. Jsou-li kdekoliv v sedmi horizontálních metrů p , bude jejich nadmořská výška vždy zůstane do jednoho metru od cílového L . Když to shrneme, říci, že se výška cestovatele blíží k L, jak se jejich horizontální poloha blíží k p , znamená říci, že pro každý cíl přesnosti cíle, jakkoli malý, existuje nějaké okolí p, jehož nadmořská výška splňuje tento cíl přesnosti.

Počáteční neformální prohlášení lze nyní vysvětlit:

Limitem funkce f ( x ), jak se x blíží p, je číslo L s následující vlastností: vzhledem k jakékoli cílové vzdálenosti od L existuje vzdálenost od p, v níž hodnoty f ( x ) zůstávají v cílové vzdálenosti.

Ve skutečnosti je toto explicitní prohlášení docela blízko formální definici limitu funkce s hodnotami v topologickém prostoru .

Přesněji řečeno

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to p} f (x) = L, \,}$

to znamená, že ƒ ( x ) může být co nejblíže L, tak, že x je dostatečně blízko, ale ne rovno,  p .

Následující definice, známé jako (ε, δ) -definitions, jsou obecně přijímanými definicemi pro limit funkce v různých kontextech.

Funkce jedné proměnné

(ε, δ) -definice limitu

Předpokládejme, že f  : R → R je definována na reálné ose a p, L ∈ R . Člověk by řekl, že limita f , jak se x blíží p , je L a je psána

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to p} f (x) = L,}$

nebo alternativně jako:

${\ Displaystyle f (x) \ to L}$as (čte „ inklinuje k jak tendenci “)${\ displaystyle x \ to p}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$

pokud platí následující vlastnost:

• Pro každé reálné ε > 0 existuje reálné δ > 0 takové, že pro všechna reálná x 0 0 | x - p | < δ znamená, že | f ( x ) - L | < ε .

Obecnější definice platí pro funkce definované v podmnožinách reálné linky. Nechť ( a ,  b ) je otevřený interval v R , a p a bod ( a ,  b ). Nechť f je funkce se skutečnou hodnotou definovaná na všech ( a ,  b )-kromě případu samotného p . Potom se říká, že limita f, když se x blíží p, je L, jestliže pro každé reálné ε > 0 existuje reálné δ > 0 takové, že 0 <| x - p | < δ a x ∈ ( a , b ) znamená, že | f ( x ) - L | < ε .

Zde si všimněte, že hodnota limitu nezávisí na tom, že f je definováno na p , ani na hodnotě f ( p ) - pokud je definována.

Písmena ε a δ lze chápat jako „chybu“ a „vzdálenost“. Ve skutečnosti Cauchy v některých svých dílech používal ε jako zkratku pro „chybu“, ačkoli ve své definici kontinuity používal nekonečně malé místo buď ε nebo δ (viz Cours d'Analyse ). V těchto termínech může být chyba ( ε ) při měření hodnoty na hranici omezena na požadovanou hodnotu zmenšením vzdálenosti ( δ ) na mezní bod. Jak je uvedeno níže, tato definice funguje také pro funkce v obecnějším kontextu. Myšlenka, že δ a ε představují vzdálenosti, pomáhá navrhnout tato zobecnění. ${\ Displaystyle \ alpha}$

Existence a jednostranné limity

Alternativně se x může přiblížit k p shora (vpravo) nebo zdola (vlevo), v takovém případě mohou být limity zapsány jako

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to p^{+}} f (x) = L}$

nebo

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to p^{-}} f (x) = L}$

resp. Pokud existují tyto limity při p a rovnají se, pak to může být jen na hranici f ( x ) na str . Pokud jednostranné limity existují na p , ale jsou nerovné, pak na p není žádný limit (tj. Limit na p neexistuje). Pokud jeden jednostranný limit neexistuje na p , pak limit na p také neexistuje.

Formální definice je následující. Limit f ( x ), jak se x blíží p shora, je L, pokud pro každé ε  > 0 existuje δ > 0 takové, že | f ( x ) -  L | <  ε kdykoli 0 <  x  -  p  <  δ . Limit f ( x ), když se x blíží k p zespodu, je L, pokud pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že | f ( x ) -  L | <  ε kdykoli 0 <  p  -  x  <  δ .

V případě, že omezení neexistuje, pak kmitání o f u p je nenulový.

Obecnější podmnožiny

Kromě otevřených intervalů lze definovat limity pro funkce na libovolných podskupinách R následujícím způsobem ( Bartle & Sherbert 2000 ) : nechť f je funkce s reálnou hodnotou definovaná v podmnožině S reálné linky. Nechť p být mezní bod z S to jest, p je limit nějaké sekvence prvků S odlišných od str. Limit f , jak se x blíží p z hodnot v S , je L, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že 0 <| x - p | < δ a x ∈ S znamená, že | f ( x ) - L | < ε . chyba harv: žádný cíl: CITEREFBartleSherbert2000 ( nápověda )

Tento limit je často psán jako:

${\ Displaystyle L = \ lim _ {\ stackrel {x \ to p} {x \ in S}} f (x).}$

Podmínkou, že f bude definována na S, je, aby S byla podmnožinou domény f . Toto zobecnění zahrnuje jako zvláštní případy limity na intervalu, jakož i pro leváky mezích reálných funkcí (např přijímáním S být otevřený interval formě ) a praváky limitů (např tím, že S být otevřený interval formuláře ). Rovněž rozšiřuje pojem jednostranných limitů na zahrnuté koncové body (napůl) uzavřených intervalů, takže funkce odmocniny f ( x ) = √ x může mít limit 0, když se x blíží 0 shora. ${\ displaystyle (-\ infty, a)}$${\ displaystyle (a, \ infty)}$

Smazané versus neodstraněné limity

Zde definice limitu nezávisí na tom, jak (nebo zda) je f definována na p . Bartle (1967) to označuje jako vymazaný limit , protože vylučuje hodnotu f na str . Odpovídající nevymazaný limit závisí na hodnotě f v p , pokud p je v doméně f :

• Číslo L je nevymazaný limit f, když se x blíží p, pokud pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že | x  -  p  | <  δ a x ∈ Dm ( f ) znamená | f ( x ) -  L  | <  ε .

Definice je stejná, kromě toho, že sousedství | x  -  p  | <  δ nyní obsahuje bod p , na rozdíl od odstraněné oblasti 0 <| x  -  p  | <  δ . Díky tomu je definice neodstranitelného limitu méně obecná. Jednou z výhod práce s nevymazanými limity je to, že umožňují uvést větu o mezích skladeb bez jakýchkoli omezení funkcí (kromě existence jejich nevymazaných mezí) ( Hubbard (2015) ).

Bartle (1967) poznamenává, že ačkoli někteří autoři pod pojmem „limit“ myslí tento nevymazaný limit, nejoblíbenější jsou odstraněné limity. Například Apostol (1974) , Courant (1924) , Hardy (1921) , Rudin (1964) , Whittaker & Watson (1902) všichni považují „limit“ za odstraněný limit. chyba harvtxtu: žádný cíl: CITEREFWhittakerWatson1902 ( nápověda )

Příklady

Neexistence jednostranných limitů

Funkce

${\ Displaystyle f (x) = {\ begin {cases} \ sin {\ frac {5} {x-1}} & {\ text {for}} x <1 \\ 0 & {\ text {for}} x = 1 \\ {\ frac {0,1} {x-1}} & {\ text {for}} x> 1 \ end {cases}}}$

nemá žádný limit na ( limit na levé straně neexistuje kvůli oscilační povaze funkce sinus a limit na pravé straně neexistuje kvůli asymptotickému chování reciproční funkce), ale má limit na každém jiném x -souřadnice. ${\ displaystyle x_ {0} = 1}$

Funkce

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1 & x {\ text {rational}} \ \ 0 & x {\ text {irrational}} \ end {cases}}}$

(aka, Dirichletova funkce ) nemá žádné omezení v žádné x -souřadnici.

Nerovnost jednostranných limitů

Funkce

${\ Displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {for}} x <0 \\ 2 & {\ text {for}} x \ geq 0 \ end {cases}}}$

má limit na každé nenulové souřadnici x (limit se rovná 1 pro záporné x a rovná se 2 pro kladné x ). Limit na x = 0 neexistuje (limit na levé straně se rovná 1, zatímco limit na pravé straně se rovná 2).

Limity pouze v jednom bodě

Funkce

${\ Displaystyle f (x) = {\ begin {cases} x & x {\ text {rational}} \ \ 0 & x {\ text {irrational}} \ end {cases}}}$

a

${\ Displaystyle f (x) = {\ begin {cases} | x | & x {\ text {rational}} \\ 0 & x {\ text {irrational}} \ end {cases}}}$

oba mají limit na x = 0 a rovná se 0.

Limity na počitatelně mnoho bodů

Funkce

${\ Displaystyle f (x) = {\ begin {cases} \ sin x & x {\ text {iracionální}} \\ 1 & x {\ text {rational}} \ end {cases}}}$

má limit v libovolné souřadnici x formuláře , kde n je jakékoli celé číslo. ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}+2n \ pi}$

Funkce v metrických prostorech

Předpokládejme, že M a N jsou podmnožiny metrické prostory A a B , v tomto pořadí, a f  : M → N je definován mezi M a N , s x ∈ M, p mezní bod z M a L ∈ N . Říká se, že limita f, když se x blíží p, je L a zapište

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to p} f (x) = L}$

pokud platí následující vlastnost:

• Pro každé ε> 0 existuje δ> 0 takové, že d _B ( f ( x ), L ) <ε kdykoli 0 <  d _A ( x ,  p ) <  δ .

Opět platí, že na vědomí, že p nemusí být v oblasti f , ani nemá L musí být v rozsahu f , a to i v případě f ( p ) je definována, nemusí být stejná jako L .

Alternativní definice využívající koncept sousedství je následující:

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to p} f (x) = L}$

v případě, pro každou sousedství V části L v B , existuje sousedství U o p v A tak, že f (U ∩ M - { p }) ⊆ V .

Funkce v topologických prostorech

Předpokládejme , že X , Y jsou topologické prostory s Y a Hausdorffovým prostorem . Nechť p být mezních bodů z Q ⊆  X a L ∈ Y . Pro funkci f  : Ω → Y se říká, že limita f, když se x blíží p, je L (tj. F ( x ) → L jako x → p ) a je zapsána

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to p} f (x) = L}$

pokud platí následující vlastnost:

• Pro každý otevřený sousedství V části L , existuje otevřený sousedství U o p tak, že f ( U  ∩ Ω - { p }) ⊆ V .

Tato poslední část definice může být také formulována „existuje otevřené propíchnuté okolí U z p takové, že f ( U ∩Ω) ⊆ V “.

Všimněte si, že doména f nemusí obsahovat p . Pokud ano, pak hodnota f na p není pro definici limitu relevantní. Zejména v případě, že doména f je X  - { p } (nebo všechny X ), pak limit f jako x → p existuje a je rovna L , když pro všech podskupin omega z X limitní bodu p je mez omezení f na Q existuje a je rovna L . Někdy se toto kritérium používá ke stanovení neexistence oboustranného limitu funkce na R ukázkou, že jednostranné limity buď neexistují, nebo nesouhlasí. Takový pohled je zásadní v oblasti obecné topologie , kde jsou limity a spojitost v určitém bodě definovány ve smyslu speciálních rodin podmnožin, nazývaných filtry nebo generalizované sekvence známé jako sítě .

Alternativně lze požadavek, aby Y byl Hausdorffův prostor, uvolnit za předpokladu, že Y je obecný topologický prostor, ale pak limit funkce nemusí být jedinečný. Zejména již nelze hovořit o limitu funkce v bodě, ale spíše o limitu nebo sadě limitů v bodě.

Funkce je spojitá v mezní bod P a ve svém oboru právě tehdy, když f ( p ) je (nebo, v obecném případě, ) mez f ( x ) jako x má tendenci se p .

Limity zahrnující nekonečno

Limity v nekonečnu

Nech , a . ${\ Displaystyle S \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ in S}$${\ Displaystyle f: S \ mapsto \ mathbb {R}}$

Limit f, když se x blíží nekonečnu, je L , označen

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} f (x) = L,}$

znamená, že pro všechny existuje c takové, že kdykoli x  >  c . Nebo symbolicky: ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle | f (x) -L | <\ varepsilon}$

${\ Displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \ existuje c \; \ forall x> c: \; | f (x) -L | <\ varepsilon}$.

Podobně limita f, když se x blíží zápornému nekonečnu, je L , označena

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to -\ infty} f (x) = L,}$

znamená, že pro všechny existuje c takové, že kdykoli x  <  c . Nebo symbolicky: ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle | f (x) -L | <\ varepsilon}$

${\ Displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \ existuje c \; \ forall x <c: \; | f (x) -L | <\ varepsilon}$.

Například,

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to -\ infty} e^{x} = 0. \,}$

Nekonečné limity

U funkce, jejíž hodnoty rostou bez vazby, se funkce rozchází a obvyklý limit neexistuje. V tomto případě však lze zavést limity s nekonečnými hodnotami. Nech , a . Tvrzení, že limita f, když se x blíží a, je nekonečno , označeno ${\ Displaystyle S \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ in S}$${\ Displaystyle f: S \ mapsto \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to a} f (x) = \ infty,}$

znamená, že pro všechny existuje takové, že kdykoli${\ displaystyle N> 0}$${\ Displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle f (x)> N}$${\ Displaystyle 0 <| xa | <\ delta.}$

Tyto myšlenky lze přirozeným způsobem kombinovat a vytvářet definice pro různé kombinace, jako např

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} f (x) = \ infty, \ lim _ {x \ to a^{+}} f (x) =-\ infty.}$

Například,

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0^{+}} \ ln x =-\ infty.}$

Limity zahrnující nekonečno jsou spojeny s konceptem asymptot .

Tyto představy o limitu se pokoušejí poskytnout metrický prostorový výklad limitům v nekonečnu. Ve skutečnosti jsou v souladu s definicí topologického prostoru limit if

• okolí −∞ je definováno tak, že obsahuje interval [−∞,  c ) pro některé c  ∈  R ,
• sousedství ∞ je definováno tak, aby obsahovalo interval ( c , ∞] kde c  ∈  R , a
• sousedství ze s ∈ R je definován v normálním způsobem metrický prostor R .

V tomto případě je R topologický prostor a jakákoli funkce tvaru f :  X  →  Y s X ,  Y ⊆  R podléhá topologické definici limitu. Všimněte si, že s touto topologickou definicí je snadné definovat nekonečné limity v konečných bodech, které nebyly definovány výše v metrickém smyslu.

Alternativní zápis

Mnoho autorů umožňuje, aby projektivně prodloužená reálná linie byla použita jako způsob, jak zahrnout nekonečné hodnoty i prodlouženou skutečnou čáru . S tímto zápisem je rozšířená reálná přímka dána jako R ∪ {−∞, +∞} a projektivně prodloužená reálná přímka je R  ∪ {∞}, kde sousedství ∞ je množina tvaru { x : | x | > c }. Výhodou je, že člověk potřebuje pouze tři definice limitů (vlevo, vpravo a uprostřed), aby pokryl všechny případy. Jak bylo uvedeno výše, pro zcela přísný účet bychom museli zvážit 15 samostatných případů pro každou kombinaci nekonečností (pět směrů: −∞, vlevo, střed, vpravo a +∞; tři meze: −∞, konečný nebo + ∞). Existují také pozoruhodná úskalí. Například při práci s prodlouženou skutečnou linkou nemá centrální limit (což je normální): ${\ displaystyle x^{-1}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0^{+}} {1 \ over x} =+\ infty, \ lim _ {x \ to 0^{-}} {1 \ over x} =-\ infty .}$

Naproti tomu při práci s projektivní reálné ose, nekonečna (podobně jako 0), není podepsaná, takže centrální limitní dělá existují v této souvislosti:

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0^{+}} {1 \ over x} = \ lim _ {x \ to 0^{-}} {1 \ over x} = \ lim _ {x \ to 0} {1 \ over x} = \ infty.}$

Ve skutečnosti se používá nepřeberné množství konfliktních formálních systémů. V určitých aplikacích numerické diferenciace a integrace je například vhodné mít podepsané nuly . Jednoduchý důvod má co do činění s opakem , a sice, že je vhodné být považován za pravdivého. Na takové nuly lze pohlížet jako na aproximaci nekonečně malých čísel . ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0^{-}} {x^{-1}} =-\ infty}$${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to-\ infty} {x^{-1}} =-0}$

Limity v nekonečnu pro racionální funkce

Pro racionální funkci f ( x ) = p ( x )/ q ( x ) existují tři základní pravidla pro hodnocení limitů v nekonečnu : (kde p a q jsou polynomy):

• V případě, že míra z p je větší než stupeň q , pak limit je pozitivní nebo negativní nekonečno v závislosti na příznacích předních koeficientů;
• Pokud jsou stupně p a q stejné, je mezní hodnotou počáteční koeficient p dělený úvodním koeficientem q ;
• Pokud je stupeň p menší než stupeň q , je limit 0.

Pokud existuje hranice v nekonečnu, představuje horizontální asymptotu v y = L . Polynomy nemají horizontální asymptoty; takové asymptoty se však mohou vyskytovat u racionálních funkcí.

Funkce více než jedné proměnné

Poznamenávajíc, že ​​| x  -  p | představuje vzdálenost, definici limitu lze rozšířit na funkce více než jedné proměnné. V případě funkce f  : R ² → R ,

${\ Displaystyle \ lim _ {(x, y) \ to (p, q)} f (x, y) = L}$

-li

pro každé ε > 0 existuje δ> 0 takové, že pro všechny ( x , y ) s 0 <|| ( x , y ) - ( p , q ) || <δ, pak | f ( x , y ) -  L | <ε

kde || ( x , y ) - ( p , q ) || představuje euklidovskou vzdálenost . To lze rozšířit na libovolný počet proměnných.

Sekvenční limity

Nechť f  : X → Y je zobrazení z topologického prostoru X do Hausdorff prostoru Y , p ∈ X mezní bod X a L ∈ Y .

Sekvenční Limit of f jako x má tendenci p je L , jestliže pro každou sekvenci ( x _n ) v X - { p } , které se sbíhá k p , sekvence f ( x _n ) konverguje k L .

Pokud L je limita (ve smyslu výše) f, když se x blíží k p , pak je to také sekvenční limit, ale obráceně to obecně platit nemusí. Pokud navíc X je metrizable , pak L je sekvenční limit f jako x blíží p tehdy a jen tehdy, když je limit (ve smyslu výše) f jako x blíží str .

Další charakterizace

Pokud jde o sekvence

U funkcí na reálném řádku je jedním ze způsobů, jak definovat limit funkce, omezení limitu posloupností. (Tato definice je obvykle připisována Eduardu Heineovi .) V tomto nastavení:

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to a} f (x) = L}$

pokud a pouze pokud pro všechny sekvence (s nerovným a pro všechna n ) konvergující k sekvenci konverguje k . To bylo ukázáno Sierpiński v roce 1916, že prokázání ekvivalence této definice a definici výše, vyžaduje, a je ekvivalentní slabou formu axiomu výběru . Všimněte si, že definování toho, co to znamená pro konvergenci sekvence, vyžaduje metodu epsilon, delta . ${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f (x_ {n})}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle a}$

Podobně, jako tomu bylo v případě Weierstrassovy definice, platí obecnější definice Heine pro funkce definované v podmnožinách reálné linie. Nechť f je funkce s skutečnou hodnotou s doménou Dm ( f ). Nechť a je limita posloupnosti prvků Dm ( f ) \ { a }. Pak limit (v tomto smyslu) f je L , jak x přístupy p jestliže pro každou sekvenci  ∈  Dm ( f ) \ { } (tak, že pro všechna n , se nerovná ), který konverguje k sekvence konverguje do . To je stejné jako definice sekvenčního limitu v předchozí části získaná uvažováním podmnožiny Dm ( f ) R jako metrického prostoru s indukovanou metrikou. ${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle f (x_ {n})}$${\ displaystyle L}$

V nestandardním počtu

V nestandardním počtu je limit funkce definován:

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to a} f (x) = L}$

pokud a jen pokud pro všechny , je nekonečně malý, kdykoli je nekonečně malý. Zde jsou hyperreálná čísla a je přirozeným rozšířením f na nestandardní reálná čísla. Keisler dokázal, že taková hyperrealistická definice limitu snižuje složitost kvantifikátoru o dva kvantifikátory. Na druhé straně Hrbacek píše, že aby byly definice platné pro všechna hyperreálná čísla, musí být implicitně založeny na metodě ε-δ, a tvrdí, že z pedagogického hlediska je naděje, že by mohl být nestandardní počet provedeno bez metod ε-δ nelze plně realizovat. Bŀaszczyk a kol. podrobně popsat užitečnost mikrokontinuity při vývoji transparentní definice jednotné kontinuity a charakterizovat Hrbačkovu kritiku jako „pochybný nářek“. ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^{*}}$${\ displaystyle f^{*} (x) -L}$${\ displaystyle xa}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{*}}$${\ displaystyle f^{*}}$

Pokud jde o blízkost

Na mezinárodním kongresu matematiky v roce 1908 F. Riesz představil alternativní způsob definování limitů a kontinuity v konceptu zvaném „blízkost“. Bod je definován jako blízký množině, pokud pro každý existuje bod tak, že . V tomto nastavení ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle A \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle a \ v A}$${\ Displaystyle | xa | <r}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to a} f (x) = L}$

když a jen pokud pro všechny , je blízko, kdykoli je blízko . Tady je sada . Tuto definici lze také rozšířit na metrické a topologické prostory. ${\ Displaystyle A \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle f (A)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f (A)}$${\ Displaystyle \ {f (x) | x \ v A \}}$

Vztah ke kontinuitě

Pojem hranice funkce velmi úzce souvisí s pojmem kontinuity. Funkce ƒ se říká, že je spojitá v c, pokud je definována jak v c, tak její hodnota v c se rovná limitu f, když se x blíží c :

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = f (c).}$

(Předpokládali jsme, že c je mezní bod domény f .)

Vlastnosti

Jestliže funkce f je reálná, pak limita f u p je L právě tehdy, když oba limit pravák i levák limit f u p existují a jsou rovny L .

Funkce f je spojitá na p tehdy a jen tehdy, pokud limita f ( x ), jak se x blíží p, existuje a je rovna f ( p ). Pokud f  : M → N je funkce mezi metrickými prostory M a N , pak je ekvivalentní, že f transformuje každou sekvenci v M, která konverguje k p do sekvence v N, která konverguje k f ( p ).

Pokud N je normovaný vektorový prostor , pak je limitní operace lineární v následujícím smyslu: pokud se limita f ( x ), jak x blíží p, je L a mezní hodnota g ( x ), když se x blíží p, je P , pak limit f ( x ) + g ( x ), jak x přístupy p je L + P . Pokud a je skalární od základního pole , pak mez af ( x ), jak se x blíží p, je aL .

Pokud f a g jsou reálná (nebo komplexně hodnocený) funkce, pak brát limit operace na f ( x ) a g ( x ) (např , , , , ), za určitých podmínek, je v souladu s provozem meze f (x) a g (x) . Tato skutečnost je často nazývána algebraickou limitní větou . Hlavní podmínkou pro použití následujících pravidel je, aby existovaly limity na pravé straně rovnic (jinými slovy, tyto limity jsou konečné hodnoty včetně 0). Navíc identita pro dělení vyžaduje, aby jmenovatel na pravé straně byl nenulový (dělení 0 není definováno) a identita pro umocnění vyžaduje, aby byla základna kladná nebo nulová, zatímco exponent je kladný (konečný ). ${\ displaystyle f+g}$ ${\ displaystyle fg}$ ${\ displaystyle f \ times g}$ ${\ displaystyle f/g}$ ${\ displaystyle f^{g}}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ lim \ limits _ {x \ to p} & (f (x)+g (x)) & = & \ lim \ limits _ {x \ to p} f (x) +\ lim \ limits _ {x \ to p} g (x) \\\ lim \ limits _ {x \ to p} & (f (x) -g (x)) & = & \ lim \ limits _ { x \ to p} f (x)-\ lim \ limits _ {x \ to p} g (x) \\\ lim \ limits _ {x \ to p} & (f (x) \ cdot g (x) ) & = & \ lim \ limits _ {x \ to p} f (x) \ cdot \ lim \ limits _ {x \ to p} g (x) \\\ lim \ limits _ {x \ to p} & (f (x)/g (x)) & = & {\ lim \ limits _ {x \ to p} f (x)/\ lim \ limits _ {x \ to p} g (x)} \\\ lim \ limits _ {x \ to p} & f (x)^{g (x)} & = & {\ lim \ limits _ {x \ to p} f (x)^{\ lim \ limits _ {x \ na p} g (x)}} \ end {matrix}}}$

Tato pravidla platí také pro jednostranné limity, včetně případů , kdy p je ∞ nebo −∞. V každém výše uvedeném pravidle platí, že když je jedna z mezí napravo ∞ nebo −∞, může být hranice vlevo ještě někdy určena následujícími pravidly.

• q + ∞ = ∞ pokud q ≠ −∞
• q × ∞ = ∞, pokud q > 0
• q × ∞ = −∞ pokud q <0
• q / ∞ = 0, pokud q ≠ ∞ a q ≠ −∞
• ∞ ^q = 0, pokud q <0
• ∞ ^q = ∞ pokud q > 0
• q ^∞ = 0, pokud 0 < q <1
• q ^∞ = ∞ pokud q > 1
• q ^−∞ = ∞ pokud 0 < q <1
• q ^−∞ = 0, pokud q > 1

(viz také Rozšířená řada reálných čísel ).

V ostatních případech může limit na levé straně stále existovat, ačkoli pravá strana, nazývaná neurčitá forma , neumožňuje určit výsledek. To závisí na funkcích f a g . Tyto neurčité formy jsou:

• 0/0
• ± ∞ / ± ∞
• 0 × ± ∞
• ∞ + −∞
• 0 ⁰
• ∞ ⁰
• 1 ^{± ∞}

Viz dále pravidlo L'Hôpital níže a Neurčitá forma .

Limity složení funkcí

Obecně z toho, že to vím

${\ Displaystyle \ lim _ {y \ to b} f (y) = c}$a ,${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to a} g (x) = b}$

to ne z toho, že . Toto „řetězové pravidlo“ však platí, pokud platí jedna z následujících dodatečných podmínek: ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to a} f (g (x)) = c}$

• f ( b ) = c (to znamená, že f je spojité v b ), nebo
• g nebere hodnotu b u (to znamená, že existuje taková, že v případě, poté ).${\ Displaystyle \ delta> 0}$${\ Displaystyle 0 <| xa | <\ delta}$${\ displaystyle | g (x) -b |> 0}$

Jako příklad tohoto jevu zvažte následující funkce, které porušují obě další omezení:

${\ Displaystyle f (x) = g (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x \ neq 0 \\ 1 & {\ text {if}} x = 0 \ end {cases}} .}$

Protože hodnota na f (0) je odstranitelná nespojitost ,

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to a} f (x) = 0}$pro všechny .${\ displaystyle a}$

Pravidlo naivního řetězce by tedy naznačovalo, že mez f ( f ( x )) je 0. Platí však, že

${\ Displaystyle f (f (x)) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x \ neq 0 \\ 0 & {\ text {if}} x = 0 \ end {cases}}}$

a tak

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to a} f (f (x)) = 1}$pro všechny .${\ displaystyle a}$

Limity zvláštního zájmu

Racionální funkce

Pro nezáporné celé číslo a konstanty a , ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots, a_ {n}}$${\ Displaystyle b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, \ ldots, b_ {n}}$

• ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {a_ {1} {x}^{n}+a_ {2} {x}^{n-1}+a_ {3} {x} ^{n-2}+...+a_ {n}} {b_ {1} {x}^{n}+b_ {2} {x}^{n-1}+b_ {3} {x} ^{n-2}+...+b_ {n}}} = {\ frac {a_ {1}} {b_ {1}}}}$

To lze dokázat vydělením čitatele a jmenovatele číslem . Pokud je čitatelem polynom vyššího stupně, limit neexistuje. Pokud je jmenovatel vyššího stupně, je limit 0. ${\ displaystyle x^{n}}$

Trigonometrické funkce

• ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1}$
• ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {1- \ cos x} {x}} = 0}$

Exponenciální funkce

• ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} (1+x)^{\ frac {1} {x}} = \ lim _ {r \ to \ infty} \ left (1+{\ frac {1} {r}} \ right)^{r} = e}$
• ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {e^{x} -1} {x}} = 1}$
• ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {e^{ax} -1} {bx}} = {\ frac {a} {b}}}$
• ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {c^{ax} -1} {bx}} = {\ frac {a} {b}} \ ln c}$
• ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0^{+}} x^{x} = 1}$

Logaritmické funkce

• ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ ln (1+x)} {x}} = 1}$
• ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ ln (1+ax)} {bx}} = {\ frac {a} {b}}}$
• ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ log _ {c} (1+ax)} {bx}} = {\ frac {a} {b \ ln c}}}$

Pravidlo L'Hôpital

Toto pravidlo používá deriváty k nalezení limitů neurčitých forem 0/0 nebo ± ∞/∞ a platí pouze pro takové případy. Do této formy lze manipulovat i jiné neurčité formy. Jsou -li dány dvě funkce f ( x ) a g ( x ) , definované v otevřeném intervalu I obsahujícím požadovaný mezní bod c , pak pokud:

1. ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = \ lim _ {x \ to c} g (x) = 0,}$ nebo , a${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = \ pm \ lim _ {x \ to c} g (x) = \ pm \ infty}$
2. ${\ displaystyle f}$a jsou odlišitelné nad , a${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle I \ setminus \ {c \}}$
3. ${\ Displaystyle g '(x) \ neq 0}$pro všechny a${\ displaystyle x \ v I \ setminus \ {c \}}$
4. ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f '(x)} {g' (x)}}}$ existuje,

pak:

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f '(x)} {g '(X)}}}$

První podmínka je obvykle nejdůležitější.

Například: ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin (2x)} {\ sin (3x)}} = \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {2 \ cos (2x) } {3 \ cos (3x)}} = {\ frac {2 \ cdot 1} {3 \ cdot 1}} = {\ frac {2} {3}}.}$

Souhrny a integrály

Určení nekonečna vázaného na součet nebo integrál je běžnou zkratkou pro zadání limitu.

Krátký způsob, jak napsat limit, je . Důležitým příkladem limitů částek, jako jsou tyto, jsou řady . ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = s}^{n} f (i)}$${\ Displaystyle \ sum _ {i = s}^{\ infty} f (i)}$

Krátký způsob, jak napsat limit, je . ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} \ int _ {a}^{x} f (t) \; dt}$${\ Displaystyle \ int _ {a}^{\ infty} f (t) \; dt}$

Krátký způsob, jak napsat limit, je . ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to -\ infty} \ int _ {x}^{b} f (t) \; dt}$${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{b} f (t) \; dt}$

Viz také

• Velký O zápis  - Zápis popisující omezující chování
• L'Hôpital's rule  - Matematické pravidlo pro hodnocení určitých limitů
• Seznam limitů  - článek seznamu Wikipedie
• Limit sekvence  - hodnota, ke které podmínky sekvence „inklinují“
• Omezte nadřazené a omezte podřadné
• Síť (matematika)  - Zobecnění posloupnosti bodů
• Nestandardní počet
• Squeeze theorem  - O výpočtu limitů ohraničením funkce mezi dvěma dalšími funkcemi
• Následný limit  - Limit nějaké podsekvence

Poznámky

Reference

• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2 ed.), Addison – Wesley, ISBN 0-201-00288-4
• Bartle, Robert (1967), Prvky skutečné analýzy , Wiley
• Courant, Richard (1924), Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung , Springer Verlag
• Hardy, GH (1921), Kurz čisté matematiky , Cambridge University Press
• Hubbard, John H. (2015), Vector Calculus, Lineal Algebra, and Differential Forms: A unified approach (Fifth ed.), Matrix Editions
• Page, Warren; Hersh, Reuben; Selden, Annie; a kol., eds. (2002), „Media Highlights“, The College Mathematics , 33 (2): 147–154 , JSTOR  2687124.
• Rudin, Walter (1964), Principy matematické analýzy , McGraw-Hill
• Sutherland, WA (1975), Úvod do metrických a topologických prostorů , Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-853161-3
• Sherbert, Robert (2000), Úvod do skutečné analýzy , Wiley
• Whittaker ; Watson (1904), Kurz moderní analýzy , Cambridge University Press

externí odkazy

• MacTutor Historie Weierstrass.
• MacTutor Historie Bolzana
• Vizuální kalkul od Lawrence S.Husche , University of Tennessee (2001)