Čára (geometrie) - Line (geometry)

Červené a modré čáry na tomto grafu mají stejný sklon (gradient) ; červená a zelená čára mají stejný průsečík y (protínají osu y na stejném místě).
Reprezentace jednoho liniového segmentu .

V geometrii zavedli starověcí matematici pojem čáry nebo přímky, aby představoval přímé objekty (tj. Bez zakřivení ) se zanedbatelnou šířkou a hloubkou. Čáry jsou idealizací takových objektů, které jsou často popisovány pomocí dvou bodů (např. ) Nebo se na ně odkazuje jediným písmenem (např. ).

Až do 17. století byly čáry definovány jako „[...] první druh kvantity, který má pouze jeden rozměr, konkrétně délku, bez jakékoli šířky a hloubky, a není ničím jiným než tokem nebo průběhem bodu, který [ ...] opustí ze svého imaginárního pohybu určité stopy na délku, bez jakékoli šířky. [...] Přímka je ta, která je rovnoměrně prodloužena mezi svými body. "

Euclid popsal čáru jako „šíři bez délky“, která „leží stejně ve vztahu k bodům na sobě“; představil několik postulátů jako základní neprokazatelné vlastnosti, ze kterých sestrojil veškerou geometrii, která se nyní nazývá euklidovská geometrie, aby se předešlo záměně s jinými geometriemi, které byly zavedeny od konce 19. století (jako neeuklidovská , projektivní a afinní geometrie ).

V moderní matematice je vzhledem k množství geometrií koncept čáry úzce spjat se způsobem, jakým je geometrie popsána. Například v analytické geometrii je čára v rovině často definována jako množina bodů, jejichž souřadnice splňují danou lineární rovnici , ale v abstraktnějším nastavení, jako je geometrie dopadu , může být čára nezávislým objektem, odlišným od množina bodů, které na něm leží.

Když je geometrie popsána množinou axiomů , pojem čáry je obvykle ponechán nedefinovaný (takzvaný primitivní objekt). Vlastnosti přímek jsou pak určeny axiomy, které na ně odkazují. Jednou výhodou tohoto přístupu je flexibilita, kterou poskytuje uživatelům geometrie. V diferenciální geometrii lze tedy čáru interpretovat jako geodetickou (nejkratší cesta mezi body), zatímco v některých projektivních geometriích je přímka 2-dimenzionální vektorový prostor (všechny lineární kombinace dvou nezávislých vektorů). Tato flexibilita přesahuje i matematiku a například umožňuje fyzikům uvažovat o dráze světelného paprsku jako o přímce.

Definice versus popisy

Všechny definice mají nakonec kruhový charakter, protože závisí na pojmech, které samy musí mít definice, závislost, ve které nelze pokračovat donekonečna, aniž bychom se vrátili do výchozího bodu. Abychom se vyhnuli tomuto začarovanému kruhu, musíme určité pojmy brát jako primitivní pojmy; termíny, které nemají definici. V geometrii se často stává, že koncept přímky je brán jako primitiv. V situacích, kde je čára definovaným pojmem, jako v souřadnicové geometrii , jsou některé další základní myšlenky brány jako primitiva. Když je koncept čáry primitivní, chování a vlastnosti čar jsou diktovány axiomy, které musí splňovat.

V neaaxiomatickém nebo zjednodušeném axiomatickém zpracování geometrie může být koncept primitivního pojmu příliš abstraktní, než aby se s ním dalo zacházet. Za těchto okolností je možné poskytnout popis nebo mentální obraz primitivního pojmu, dát základ k vybudování pojmu, na kterém by se formálně zakládalo na (neuvedených) axiomech. Popisy tohoto typu mohou někteří autoři označovat jako definice v tomto neformálním stylu prezentace. Toto nejsou pravdivé definice a nemohly být použity ve formálních důkazech prohlášení. Do této kategorie spadá „definice“ čáry v Euclidových prvcích . I v případě, kdy se zvažuje konkrétní geometrie (například euklidovská geometrie ), neexistuje mezi autory obecně přijímaná shoda v tom, jaký by měl být neformální popis čáry, když se subjektem není formálně zacházeno.

V euklidovské geometrii

Když byl poprvé geometrie formován Euclid v Elements , definoval obecný vedení (přímé nebo zakřivené), aby „délka breadthless“ s přímkou, že je linka „který leží rovnoměrně s body na sobě“. Tyto definice mají jen malý účel, protože používají termíny, které samy o sobě nejsou definovány. Ve skutečnosti sám Euclid tyto definice v této práci nepoužíval a pravděpodobně je zahrnoval jen proto, aby bylo čtenáři jasné, o čem se diskutuje. V moderní geometrii je přímka jednoduše brána jako nedefinovaný objekt s vlastnostmi danými axiomy , ale někdy je definována jako množina bodů, které se řídí lineárním vztahem, když je nějaký jiný základní koncept ponechán nedefinovaný.

V axiomatické formulaci euklidovské geometrie, jako je Hilbert (Euclidovy původní axiomy obsahovaly různé nedostatky, které byly opraveny moderními matematiky), se uvádí, že čára má určité vlastnosti, které ji vztahují k jiným čarám a bodům . Například pro jakékoli dva odlišné body existuje jedinečná čára, která je obsahuje, a jakékoli dvě odlišné čáry se protínají nejvýše v jednom bodě. Ve dvou dimenzích (tj. V euklidovské rovině ) se dvě čáry, které se neprotínají, nazývají rovnoběžné . Ve vyšších dimenzích jsou dvě čáry, které se neprotínají, rovnoběžné, pokud jsou obsaženy v rovině , nebo zkosené, pokud nejsou.

Jakákoli sbírka konečného počtu čar rozdělí letadlo na konvexní mnohoúhelníky (možná neomezené); tento oddíl je známý jako uspořádání čar .

V kartézských souřadnicích

Čáry v karteziánské rovině nebo obecněji v afinních souřadnicích jsou charakterizovány lineárními rovnicemi . Přesněji, každá přímka (včetně svislých čar) je množina všech bodů, jejichž souřadnice ( x , y ) splňují lineární rovnici ; to znamená,

kde , b a c jsou stanoveny reálná čísla (nazývané koeficienty ), takže a b nejsou oba nula. Pomocí tohoto formuláře svislé čáry odpovídají rovnicím s b = 0.

Dále lze předpokládat buď c = 1 nebo c = 0 , vydělením všeho c, pokud není nula.

Existuje mnoho variantních způsobů, jak zapsat rovnici přímky, které lze všechny převádět z jednoho na druhé algebraickou manipulací. Výše uvedený formulář se někdy nazývá standardní formulář . Pokud je na levé straně uveden konstantní člen, rovnice se stane

a někdy se tomu říká obecná forma rovnice. Tato terminologie však není všeobecně přijímána a mnoho autorů tyto dvě formy nerozlišuje.

Tyto formuláře (viz Lineární rovnice pro jiné formuláře) jsou obecně pojmenovány podle typu informací (dat) o řádku, který je potřeba k zapsání formuláře. Některá z důležitých dat čáry jsou její sklon, x-intercept , známé body na linii a y-intercept.

Rovnice přímky procházející dvěma různými body a lze zapsat jako

.

Je -li x 0x 1 , lze tuto rovnici přepsat jako

nebo

Parametrické rovnice

Parametrické rovnice se také používají k určení přímek, zejména v těch ve třech rozměrech nebo více, protože ve více než dvou rozměrech nelze čáry popsat jedinou lineární rovnicí.

Ve třech dimenzích jsou čáry často popisovány parametrickými rovnicemi:

kde:

x , y a z jsou všechny funkce nezávislé proměnné t, která se pohybuje nad reálnými čísly.
( x 0 , y 0 , z 0 ) je libovolný bod na přímce.
a , b , a c jsou vztaženy ke sklonu přímky, takže směrový vektor ( a , b , c ) je rovnoběžný s přímkou.

Parametrické rovnice pro čáry ve vyšších dimenzích jsou podobné v tom, že jsou založeny na specifikaci jednoho bodu na přímce a směrového vektoru.

Poznámka: čáry ve třech rozměrech lze také popsat jako simultánní řešení dvou lineárních rovnic

takové, že a nejsou přímo úměrné (vztahy znamenat ). To vyplývá z toho, že ve třech rozměrech jedna lineární rovnice obvykle popisuje rovinu a přímka je to, co je společné dvěma odlišným protínajícím se rovinám.

Zachycovací forma sklonu

Ve dvou dimenzích je rovnice pro nesvislé čáry často uvedena ve formě zachycení sklonu :

kde:

m je sklon nebo sklon čáry.
b je průsečík přímky y .
x je nezávislá proměnná funkce y = f ( x ).

Sklon přímky přes body a , když , je dán a lze zapsat rovnici této přímky .

Normální forma

Normální forma (také volal Hesse normální forma , po německý matematik Ludwig Otto Hesse ), je založena na normální segmentu pro dané trati, která je definována jako úsečka odebíraný z původu kolmo k vedení. Tento segment spojuje počátek s nejbližším bodem na čáře k počátku. Normální tvar rovnice přímky v rovině je dán vztahem:

kde je úhel sklonu normálního segmentu (orientovaný úhel od jednotkového vektoru osy x k tomuto segmentu), a p je (kladná) délka normálního segmentu. Normální formu lze odvodit ze standardní formy vydělením všech koeficientů

Na rozdíl od tvarů zachycení svahu a zachycení může tento formulář představovat libovolnou čáru, ale také vyžaduje zadání pouze dvou konečných parametrů a p . Pokud p > 0 , pak je jednoznačně definováno modulo 2 π . Na druhou stranu, pokud je čára přes počátek ( c = p = 0 ), c /| klesne c | termín pro výpočet a , a z toho vyplývá, že je definován pouze modulo π .

V polárních souřadnicích

V karteziánské rovině jsou polární souřadnice ( r , θ ) vztaženy ke kartézským souřadnicím podle rovnic

V polárních souřadnicích lze zapsat rovnici přímky neprocházející počátkem - bod se souřadnicemi (0, 0) -

s r > 0 a zde p je (kladná) délka úsečky kolmé na přímku a ohraničená počátkem a přímkou ​​a je (orientovaným) úhlem od osy x k tomuto segmentu.

Může být užitečné vyjádřit rovnici pomocí úhlu mezi osou x a přímkou. V tomto případě se rovnice stává

s r > 0 a

Tyto rovnice mohou být odvozeny z normální formě od přímky rovnice stanovením a , a pak aplikovat na rozdíl identitu úhel pro sinus a kosinus.

Tyto rovnice lze také dokázat geometricky použitím definic pravoúhlého trojúhelníku sinus a kosinus na pravý trojúhelník, který má bod přímky a počátek jako vrcholy a přímku a její kolmici skrz počátek jako strany.

Předchozí tvary neplatí pro přímku procházející počátkem, ale lze napsat jednodušší vzorec: polární souřadnice bodů přímky procházející počátkem a svírající úhel s osou x jsou dvojice takových že

Jako vektorová rovnice

Vektorová rovnice přímky procházející body A a B je dána vztahem (kde λ je skalární ).

Pokud je vektor OA a b je vektor OB , pak rovnice linky lze zapsat: .

Paprsek začínající v bodě A je popsán omezením λ. Jeden paprsek se získá, pokud λ ≥ 0, a opačný paprsek pochází z λ ≤ 0.

Ve vyšších dimenzích

V trojrozměrném prostoru , je první stupeň rovnice v proměnných x , y , a z definuje rovinu, takže dva takové rovnice, za předpokladu, že letadla vedou k nejsou rovnoběžné, definuje čáru, která je průsečíkem rovin. Obecněji řečeno, v n -rozměrném prostoru n -1 rovnice prvního stupně v proměnných n souřadnic definují čáru za vhodných podmínek.

V obecnějším euklidovské prostor , R n (a analogicky v každém jiném afinního prostoru ), linie L procházející dvěma různými body dobu a b (považován jako vektory) je podmnožina

Směr přímky je od a ( t = 0) do b ( t = 1), nebo jinými slovy, ve směru vektoru b  -  a . Různé volby A a B může poskytnout stejnou linku.

Kolineární body

Říká se, že tři body jsou kolineární, pokud leží na stejné přímce. Tři body obvykle určit rovinu , ale v případě tří collinear bodů to však nebude stát.

V afinních souřadnicích jsou v n -dimenzionálním prostoru body X = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), Y = ( y 1 , y 2 , ..., y n ) a Z = ( z 1 , z 2 , ..., z n ) jsou kolineární, pokud matice

pořadí menší než 3. Zejména pro tři body v rovině ( n = 2) je výše uvedená matice čtvercová a body jsou kolineární právě tehdy, je -li její determinant nula.

Ekvivalentně pro tři body v rovině jsou body kolineární právě tehdy, pokud se sklon mezi jednou dvojicí bodů rovná sklonu mezi jakoukoli jinou dvojicí bodů (v takovém případě se sklon mezi zbývající dvojicí bodů bude rovnat ostatním sklonům) . V širším smyslu je k bodů v rovině kolineárních právě tehdy, pokud nějaké ( k –1) dvojice bodů mají stejné párové sklony.

V euklidovské geometrii lze euklidovskou vzdálenost d ( a , b ) mezi dvěma body a a b použít k vyjádření kolinearity mezi třemi body pomocí:

Body a , b a c jsou kolineární právě tehdy, když d ( x , a ) = d ( c , a ) ad ( x , b ) = d ( c , b ) znamená x = c .

Existují však i jiné pojmy vzdálenosti (například vzdálenost na Manhattanu ), pro které tato vlastnost není pravdivá.

V geometriích, kde je koncept přímky primitivní pojem , jak tomu může být v některých syntetických geometriích , jsou zapotřebí jiné metody určování kolineárnosti.

Typy linek

V jistém smyslu jsou všechny čáry v euklidovské geometrii stejné, protože bez souřadnic je nelze od sebe navzájem odlišit. Čáry však mohou hrát speciální role s ohledem na jiné objekty v geometrii a mohou být rozděleny do typů podle tohoto vztahu. Například s ohledem na kuželovitost ( kruh , elipsa , parabola nebo hyperbola ) mohou být čáry:

  • tečné čáry , které se dotýkají kuželosečky v jednom bodě;
  • sečné čáry , které protínají kuželosečku ve dvou bodech a procházejí jejím vnitřkem;
  • vnější linie, které v žádném bodě euklidovské roviny nesplňují kuželovitost; nebo
  • directrix , jehož vzdálenost od bodu pomáhá určit, zda jde o to, na kuželovitý.

V kontextu určování rovnoběžnosti v euklidovské geometrii je transverzální čára, která protíná další dvě přímky, které mohou nebo nemusí být navzájem rovnoběžné.

Pro obecnější algebraické křivky mohou být čáry také:

  • i -secant řádky, splňující křivku v i bodech počítaných bez multiplicity, příp
  • asymptoty , ke kterým se křivka libovolně blíží, aniž by se jí dotkla.

Pokud jde o trojúhelníky, máme:

Pro konvexní čtyřúhelník s nejvýše dvěma rovnoběžnými stranami je Newtonova čára čára, která spojuje středy obou diagonál .

Pro šestiúhelník s vrcholy ležícími na kuželu máme Pascalovu čáru a ve speciálním případě, kdy je kuželovitou dvojicí čar, máme Pappusovu linii .

Rovnoběžky jsou čáry ve stejné rovině, které se nikdy nekříží. Protínající se čáry sdílejí jeden společný bod. Náhodné čáry se navzájem shodují - každý bod, který je na jednom z nich, je také na druhém.

Kolmé čáry jsou čáry, které se protínají v pravém úhlu .

V trojrozměrném prostoru jsou šikmé čáry čáry, které nejsou ve stejné rovině, a proto se navzájem neprotínají.

V projektivní geometrii

V mnoha modelech projektivní geometrie reprezentace čáry jen zřídka odpovídá pojmu „přímá křivka“, jak je zobrazen v euklidovské geometrii. V eliptické geometrii vidíme typický příklad toho. Ve sférické reprezentaci eliptické geometrie jsou čáry reprezentovány velkými kruhy koule s identifikovanými diametrálně opačnými body. V jiném modelu eliptické geometrie jsou čáry reprezentovány euklidovskými rovinami procházejícími počátkem. I když jsou tyto reprezentace vizuálně odlišné, splňují všechny vlastnosti (například dva body určující jedinečnou čáru), díky nimž jsou vhodnými reprezentacemi pro linie v této geometrii.

Rozšíření

Paprsek

Vzhledem k přímce a libovolnému bodu A na ní můžeme A považovat za rozložení této přímky na dvě části. Každá taková část se nazývá paprsek a bod A se nazývá její počáteční bod . Je také známá jako polopřímka , jednorozměrný poloprostor . Bod A je považován za člen paprsku. Intuitivně se paprsek skládá z těchto bodů na přímce procházející A a postupující neomezeně, počínaje v A , v jednom směru pouze podél čáry. K použití tohoto konceptu paprsku v důkazech je však zapotřebí přesnější definice.

Vzhledem k tomu, různé body A a B , které určují jedinečnou paprsek s počátečním bodem A . Jako dva body definují unikátní řadu, tento paprsek se skládá ze všech bodů mezi A a B (včetně A a B ), a všechny body C na lince přes A a B tak, že B je mezi A a C . To je, v době, rovněž vyjádřena jako množina všech bodů C, tak, že není mezi B a C . Bod D , na lince určena A a B, ale ne v paprsku s počátečním bodem A určuje B , určí další paprsek s počátečním bodem A . Pokud jde o paprsek AB, paprsek AD se nazývá opačný paprsek .

Paprsek

Řekli bychom tedy, že dva různé body, A a B , definují přímku a rozklad této přímky na disjunktní spojení otevřeného segmentu ( A ,  B ) a dvou paprsků, BC a AD (bod D není nakreslen v diagramu, ale je vlevo od A na přímce AB ). Nejedná se o opačné paprsky, protože mají různé počáteční body.

V euklidovské geometrii tvoří dva paprsky se společným koncovým bodem úhel .

Definice paprsku závisí na pojmu vzájemnosti bodů na přímce. Z toho vyplývá, že paprsky existují pouze pro geometrie, pro které tento pojem existuje, typicky euklidovská geometrie nebo afinní geometrie nad uspořádaným polem . Na druhou stranu paprsky neexistují v projektivní geometrii ani v geometrii nad neuspořádaným polem, jako jsou komplexní čísla nebo jakékoli konečné pole .

Úsečka

Úsečka je součástí linky, která je ohraničena dvěma různými koncovými body a obsahuje každý bod na přímce mezi jejími koncovými body. V závislosti na tom, jak je úsečka definována, může nebo nemusí být jeden ze dvou koncových bodů součástí úsečky. Dva nebo více segmentů čar může mít některé stejné vztahy jako čáry, například jsou rovnoběžné, protínající se nebo zkosené, ale na rozdíl od čar nemusí být žádné z nich, pokud jsou koplanární a buď se neprotínají, nebo jsou kolineární .

Geodetika

„Krátkost“ a „přímost“ čáry, interpretovaná jako vlastnost, že vzdálenost podél čáry mezi libovolnými dvěma jejími body je minimalizována (viz nerovnost trojúhelníku ), lze zobecnit a vede ke konceptu geodetiky v metrických prostorech .

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy