Lineární mapa - Linear map
V matematice a konkrétněji v lineární algebře je lineární mapa (také nazývaná lineární mapování , lineární transformace , vektorový prostorový homomorfismus nebo v některých kontextech lineární funkce ) mapování mezi dvěma vektorovými prostory, které zachovávají operace sčítání vektorů a skalární násobení . Stejná jména a stejná definice se používají také pro obecnější případ modulů přes prsten ; viz Modulový homomorfismus .
Pokud je lineární mapa bijekcí , nazývá se lineární izomorfismus . V případě , že se lineární mapa nazývá (lineární) endomorfismus . Někdy se na tento případ vztahuje termín lineární operátor , ale termín „lineární operátor“ může mít různé významy pro různé konvence: lze jej například použít ke zdůraznění a jsou to skutečné vektorové prostory (ne nutně s ), nebo to může být používá se zdůraznit, že je to funkční prostor , což je běžná konvence ve funkční analýze . Někdy má pojem lineární funkce stejný význam jako lineární mapa , zatímco v analýze nikoli.
Lineární mapa od V. do W vždy mapuje původ V na původ W . Navíc mapuje lineární podprostory ve V na lineární podprostory ve W (případně nižší dimenze ); například, to mapuje rovinu přes původ v V buď k rovině vedené původu W , a vedení přes původu W , nebo jen původu v W . Lineární mapy mohou být často reprezentovány jako matice a jednoduché příklady zahrnují rotační a reflexní lineární transformace .
V jazyce teorie kategorií jsou lineární mapy morfismy vektorových prostorů.
Definice a první důsledky
Nechť a být vektorovými mezerami nad stejným polem . Říká se, že funkce je lineární mapa, pokud jsou pro libovolné dva vektory a všechny skaláry splněny následující dvě podmínky:
- Aditivita / operace přidávání
- Homogenita stupně 1 / operace skalárního násobení
Říká se tedy, že lineární mapa zachovává provoz . Jinými slovy, nezáleží na tom, zda je lineární mapa aplikována před (pravé strany výše uvedených příkladů) nebo po (levé straně příkladů) operací sčítání a skalárního násobení.
Asociativitou operace sčítání označenou jako +platí pro všechny vektory a skaláry následující rovnost:
Označíme-li nula prvky vektorových prostorů a tím i v tomto pořadí, to znamená, že Let a v rovnici pro homogenity stupeň 1:
Občas, a mohou být vektorové prostory přes různých oblastech. Poté je nutné určit, které z těchto pozemních polí se používá při definici „lineárního“. Pokud a jsou mezery ve stejném poli jako výše, mluvíme o -lineárních mapách. Například časování z komplexních čísel je -Lineární mapa , ale není to -Lineární, kde a jsou symboly představující sady reálných čísel a komplexních čísel, resp.
Lineární mapu s chápána jako jednorozměrný vektorový prostor přes sebe, se nazývá lineární funkční .
Tyto příkazy generalizují na libovolný levý modul přes prsten bez úprav a na jakýkoli pravý modul při obrácení skalárního násobení.
Příklady
- Prototypickým příkladem, který dává lineárním mapám jejich název, je funkce , jejíž graf je čára skrz počátek.
- Obecněji, jakýkoli stejnolehlost kde se středem v počátku vektorového prostoru je lineární mapa.
- Nulová mapa mezi dvěma vektorovými mezerami (přes stejné pole ) je lineární.
- Mapa identity na libovolný modul je lineární operátor.
- U reálných čísel není mapa lineární.
- Pro reálná čísla není mapa lineární (ale je afinní transformací ).
- Pokud je skutečná matice , definuje lineární mapu od do odesláním vektoru sloupců do vektoru sloupců . Tímto způsobem lze naopak znázornit jakoukoli lineární mapu mezi vektorovými prostory s konečnou dimenzí ; viz § Matice níže.
- If je izometrie mezi reálnými normovanými prostory taková, že pak je lineární mapa. Tento výsledek nemusí nutně platit pro komplexní normovaný prostor.
-
Diferenciace definuje lineární mapu z prostoru všech diferencovatelných funkcí do prostoru všech funkcí. Také definuje lineární operátor na prostoru všech hladkých funkcí (lineární operátor je lineární endomorphism , že je lineární mapa, kde je doména a codomain to je stejný). Příkladem je
- Definitivní integrál v určitém intervalu I je lineární mapa z prostoru všech integrovatelných funkcí s reálnou hodnotou na I až . Například,
- Neurčitý integrál (nebo antiderivativum ) s pevným počátečním bodem integrace definuje lineární mapu z prostoru všech integrovatelných funkcí s reálnou hodnotou do prostoru všech skutečných, diferencovatelných funkcí . Bez pevného počátečního bodu se antiderivativní mapuje na kvocient prostoru diferencovatelných funkcí lineárním prostorem konstantních funkcí.
- Pokud a jsou vektorové prostory konečných rozměrů nad polem F příslušných dimenzí m a n , pak funkce, která mapuje lineární mapy na matice n × m způsobem popsaným v § Matice (níže), je lineární mapa a dokonce lineární izomorfismus .
- Očekávaná hodnota z náhodné veličiny (což je v podstatě funkcí, a jako takový prvek vektorového prostoru) je lineární, jako náhodné proměnné a máme a , ale rozptyl náhodné proměnné není lineární.
Matice
Pokud a jsou vektorové prostory konečných rozměrů a pro každý vektorový prostor je definován základ , pak každá lineární mapa od do může být reprezentována maticí . To je užitečné, protože umožňuje konkrétní výpočty. Matice poskytují příklady lineárních map: pokud je skutečná matice, pak popisuje lineární mapu (viz euklidovský prostor ).
Buďme základem pro . Pak je každý vektor jednoznačně určen koeficienty v poli :
Pokud je lineární mapa,
což znamená, že funkce f je zcela určena vektory . Nyní buďme základem pro . Pak můžeme každý vektor reprezentovat jako
Funkce je tedy zcela určena hodnotami . Pokud tyto hodnoty vložíme do matice , můžeme ji pohodlně použít k výpočtu vektorového výstupu pro jakýkoli vektor v . Chcete-li získat , každý sloupec z je vektor
Matice lineární transformace lze znázornit vizuálně:
- Matrix pro vzhledem k :
- Matrix pro vzhledem k :
- Přechodová matice od do :
- Přechodová matice od do :
Takovou, že počínaje v levém dolním rohu a hledáním pravého dolního rohu by se člověk rozmnožil zleva-tedy . Ekvivalentní metodou by byla metoda „delší“, která by se pohybovala ve směru hodinových ručiček ze stejného bodu tak, že se vynásobí zleva , popř .
Příklady ve dvou rozměrech
Ve dvou- dimenzionální prostoru R 2 jsou lineární mapy popsána 2 x 2 matice . Toto je několik příkladů:
-
otáčení
- o 90 stupňů proti směru hodinových ručiček:
- o úhel θ proti směru hodinových ručiček:
- o 90 stupňů proti směru hodinových ručiček:
-
odraz
- přes osu x :
- přes osu y :
- přímkou svírající úhel θ s počátkem:
- přes osu x :
-
škálování o 2 ve všech směrech:
-
horizontální smykové mapování :
-
zmáčknout mapování :
-
projekce na osu y :
Vektorový prostor lineárních map
Složení lineárních map je lineární: pokud a jsou lineární, pak je jejich složení také . Z toho vyplývá, že třída všech vektorových prostorů nad daným polem K spolu s K -lineárními mapami jako morfismy tvoří kategorii .
Inverzní lineární mapy, pokud je definována, je znovu lineární mapa.
Jsou -li a jsou lineární, pak je jejich bodový součet také definován .
Pokud je lineární a je prvkem pozemního pole , pak je mapa , definovaná , také lineární.
Proto je množina lineárních map z k sobě tvoří vektorový prostor nad , někdy označené . Navíc v případě, že tento vektorový prostor, označený , je asociativní algebrou podle složení map , protože složení dvou lineárních map je opět lineární mapa a složení map je vždy asociativní. Tento případ je podrobněji diskutován níže.
S ohledem na konečný rozměr, pokud byly vybrány báze, pak složení lineárních map odpovídá násobení matice , přidání lineárních map odpovídá sčítání matice a násobení lineárních map skaláry odpovídá násobení matice se skaláry.
Endomorfismy a automorfismy
Lineární transformace je endomorphism z ; sada všech těchto endomorfismů spolu s adicí, složením a skalárním násobením, jak je definováno výše, tvoří asociativní algebru s prvkem identity nad polem (a zejména prstenem ). Multiplikativním prvkem identity této algebry je mapa identity .
Endomorphism který je také izomorfismus se nazývá automorfismus o . Složení dvou automorphisms je opět automorphism, a množina všech automorphisms , vytváří skupinu se automorphism skupina z nichž je označena nebo . Protože automorfismy jsou přesně ty endomorfismy, které mají inverze ve složení, je skupina jednotek v kruhu .
Pokud má konečný rozměr , pak je izomorfní k asociativní algebře všech matic se záznamy v . Skupina automorfismu je izomorfní k obecné lineární skupině všech invertibilních matic se záznamy v .
Jádro, image a věta o hodnosti a neplatnosti
Pokud je lineární, definujeme jádro a obraz nebo rozsah of by
je subspace of a je podprostor . Následující dimenzionální vzorec je známý jako věta o hodnosti a neplatnosti :
Číslo je také nazýván hodnost o a psaný jak , nebo někdy ; číslo se nazývá neplatnosti z a psaný jako nebo . Pokud a jsou konečno-dimenzionální, byly vybrány báze, které jsou reprezentovány maticí , pak pořadí a neplatnost jsou stejné jako pořadí a neplatnost matice .
Cokernel
Jemnější invariant lineární transformace je co kernel , který je definován jako
To je dvojí pojem k jádru: stejně jako kernel je sub prostor domény, ko-kernel je kvocient prostor k cíli. Formálně má člověk přesnou sekvenci
Ty lze interpretovat takto: vzhledem k lineární rovnici f ( v ) = w k řešení,
- jádro je prostor řešení na homogenní rovnice f ( v ) = 0, a jeho rozměr je počet stupňů volnosti v prostoru řešení, v případě, že není prázdný;
- jádro je prostorem omezení, která musí řešení splňovat, a jeho dimenzí je maximální počet nezávislých omezení.
Dimenze jádra a dimenze obrazu (pozice) se sčítají s dimenzí cílového prostoru. Pro konečné rozměry to znamená, že rozměr kvocientu W / f ( V ) je rozměr cílového prostoru minus rozměr obrazu.
Jako jednoduchý příklad zvažte mapu f : R 2 → R 2 , danou f ( x , y ) = (0, y ). Aby pak rovnice f ( x , y ) = ( a , b ) měla řešení, musíme mít a = 0 (jedno omezení), a v takovém případě je prostor řešení ( x , b ) nebo ekvivalentně uveden, ( 0, b ) + ( x , 0), (jeden stupeň volnosti). Jádro může být vyjádřena jako podprostoru ( x , 0) < V : hodnota x je volný v roztoku, - zatímco cokernel může být vyjádřen pomocí mapy W → R , : daný vektor ( s , b ), hodnota a je překážkou v tom, aby existovalo řešení.
Příklad ilustrující nekonečně dimenzionální případ poskytuje mapa f : R ∞ → R ∞ , kde b 1 = 0 a b n + 1 = a n pro n > 0. Její obraz se skládá ze všech sekvencí s prvním prvkem 0, a tedy jeho kokernel sestává z tříd sekvencí s identickým prvním prvkem. Takže zatímco jeho jádro má dimenzi 0 (mapuje pouze nulovou sekvenci na nulovou sekvenci), jeho jádro má dimenzi 1. Protože doména a cílový prostor jsou stejné, pozice a dimenze jádra se sčítají na stejný součet jako hodnost a dimenzi jádra ( ), ale v nekonečně dimenzionálním případě nelze usuzovat, že jádro a jádro endomorfismu mají stejnou dimenzi (0 ≠ 1). Opačná situace získá pro mapu h : R ∞ → R ∞ , kde c n = a n + 1 . Jeho obrazem je celý cílový prostor, a proto má jeho jádro dimenzi 0, ale protože mapuje všechny sekvence, ve kterých je pouze první prvek nenulový, na nulovou sekvenci, jeho jádro má rozměr 1.
Index
Pro lineární operátor s jádrem konečných dimenzí a jádrem jádra lze definovat index jako:
Pro transformaci mezi vektorovými prostory s konečnou dimenzí je to jen rozdíl dim ( V )-dim ( W ) podle pořadí – nullity. To dává informaci o tom, kolik řešení nebo kolik omezení má jeden: pokud mapujete z většího prostoru na menší, mapa může být na, a tedy bude mít stupně volnosti i bez omezení. Naopak, pokud mapujete z menšího prostoru do většího, mapa nemůže být na, a tak člověk bude mít omezení i bez stupňů volnosti.
Index operátora je přesně Eulerova charakteristika 2-termínového komplexu 0 → V → W → 0. V teorii operátorů je index Fredholmových operátorů předmětem studia, přičemž hlavním výsledkem je Atiyah – Singerova věta o indexu .
Algebraické klasifikace lineárních transformací
Žádná klasifikace lineárních map nemůže být vyčerpávající. Následující neúplný seznam vyjmenovává některé důležité klasifikace, které nevyžadují ve vektorovém prostoru žádnou další strukturu.
Nechť V a W označují vektorové prostory nad polem F a nechť T : V → W je lineární mapa.
Monomorfismus
Říká se, že T je injektivní nebo monomorfismus, pokud platí některá z následujících ekvivalentních podmínek:
- T je jedna k jedné jako mapa množin .
- ker T = {0 V }
- dim (ker T ) = 0
- T je monic nebo levé zrušit, což znamená, že pro jakékoli vektorového prostoru U a jakoukoli dvojici lineárních map R : U → V a S : U → V , rovnice TR = TS znamená R = S .
- T je vlevo-invertovat , což znamená, že existuje lineární mapa S : W → V tak, že ST je mapa identity na V .
Epimorfismus
Říká se, že T je surjektivní nebo epimorfismus, pokud platí některá z následujících ekvivalentních podmínek:
- T je na jako mapa množin.
- koks T = {0 W }
- T je epos nebo pravou zrušit, což znamená, že pro jakékoli vektorového prostoru U a jakoukoli dvojici lineárních map R : W → U a S : W → U , rovnice RT = ST znamená R = S .
- T je pravým invertible , který znamená, že existuje lineární mapa S : W → V taková, že TS je mapa identity na W .
Izomorfismus
Říká se, že T je izomorfismus, je- li levý i pravý invertibilní. To je ekvivalentní tomu, že T je jak one-to-one, tak na ( bijection of sets), nebo také T je epické i monické, a tedy bimorfismus .
Pokud T : V → V je endomorfismus, pak:
- Pokud z nějakého pozitivní celé číslo n , The n -tý iteraci z T , T n , je rovny nule, pak T je prý nilpotentní .
- Pokud T 2 = T , pak se říká, že T je idempotentní
- Pokud T = kI , kde k je nějaký skalární, pak T je řekl, aby byl transformací škálování nebo skalární multiplikační mapa; viz skalární matice .
Změna základu
Vzhledem k lineární mapě, která je endomorfismem, jejíž matice je A , transformuje na základě B prostoru vektorové souřadnice [u] jako [v] = A [u]. Jak se vektory mění s inverzí B (vektory jsou protikladné ), jeho inverzní transformace je [v] = B [v '].
Nahrazením v prvním výrazu
Matice v novém základu je tedy A ′ = B −1 AB , přičemž B je matice daného základu.
Proto se říká, že lineární mapy jsou 1-co- 1-contra- variantní objekty nebo tenzory typu (1, 1) .
Kontinuita
Lineární transformace mezi topological vektorových prostorů , například normované mezery , může být kontinuální . Pokud jsou jeho doména a doména stejné, bude to pak spojitý lineární operátor . Lineární operátor na normovaném lineárním prostoru je spojitý tehdy a jen tehdy, je-li ohraničený , například když je doména konečně dimenzionální. Nekonečně dimenzionální doména může mít nespojité lineární operátory .
Příkladem neomezené, tedy nespojité, lineární transformace je diferenciace v prostoru hladkých funkcí vybavených normou supremum (funkce s malými hodnotami může mít derivaci s velkými hodnotami, zatímco derivace 0 je 0). Pro konkrétní příklad sin ( nx )/ n konverguje k 0, ale jeho derivace cos ( nx ) ne, takže diferenciace není spojitá v 0 (a variací tohoto argumentu není spojitá nikde).
Aplikace
Specifická aplikace lineárních map je pro geometrické transformace, jako jsou ty prováděné v počítačové grafice , kde se překlad, otáčení a změna měřítka 2D nebo 3D objektů provádí pomocí transformační matice . Lineární mapování se také používá jako mechanismus pro popis změn: například v počtu odpovídají deriváty; nebo v relativitě, používané jako zařízení pro sledování lokálních transformací referenčních rámců.
Další aplikace těchto transformací je v optimalizaci kompilátoru kódu vnořené smyčky a v paralelizačních technikách kompilátoru .
Viz také
- Antilineární mapa
- Ohnutá funkce
- Omezený operátor
- Spojitý lineární operátor
- Lineární funkční
- Lineární izometrie
Poznámky
Bibliografie
- Axler, Sheldon Jay (2015). Lineární algebra provedená správně (3. vydání). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
- Bronshtein, IN; Semendyayev, KA (2004). Handbook of Mathematics (4. vyd.). New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43491-7.
- Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Prostory konečných rozměrů (2. vyd.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
- Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2013). Maticová analýza (druhé vydání.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-83940-2.
- Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Úvod do lineární algebry . Americká matematická společnost . ISBN 978-0-8218-4419-9.
- Lang, Serge (1987), Linear Algebra (Third ed.), New York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-96412-6
- Rudin, Walter (1973). Funkční analýza . Mezinárodní série v čisté a aplikované matematice. 25 (první vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 9780070542259.
- Rudin, Walter (1976). Zásady matematické analýzy . Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3. vyd.). New York: McGraw – Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
- Rudin, Walter (1991). Funkční analýza . Mezinárodní série v čisté a aplikované matematice. 8 (druhé vydání). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory . GTM . 8 (druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Swartz, Charles (1992). Úvod do funkční analýzy . New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
- Tu, Loring W. (2011). Úvod do rozdělovačů (2. vyd.). Springer . ISBN 978-0-8218-4419-9.
- Wilansky, Albert (2013). Moderní metody v topologických vektorových prostorech . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .