Logická konjunkce - Logical conjunction

Logická konjunkce

A
Definice	${\ displaystyle xy}$
Pravdivá tabulka	${\ displaystyle (0001)}$
Logická brána
Normální formy
Disjunktivní	${\ displaystyle xy}$
Spojovací	${\ displaystyle xy}$
Zhegalkinův polynom	${\ displaystyle xy}$
Mříže příspěvků
0-zachování	Ano
1-konzervování	Ano
Monotónní	Ne
Affine	Ne
proti t E

V logice , matematice a lingvistice je And ( ) pravdivostně funkční operátor logické spojky ; a ze sady operandy platí tehdy a jen tehdy, pokud všechny jsou pravdivé jeho operandy. Logické pojivové který představuje tento operátor je obvykle psáno jako nebo ⋅ . ${\ displaystyle \ wedge}$${\ displaystyle \ wedge}$

${\ Displaystyle A \ land B}$je pravdivá, pouze pokud je pravdivá a je pravdivá. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Operand spojky je spojka .

Kromě logiky termín „konjunkce“ také odkazuje na podobné koncepty v jiných oblastech:

• V přirozeném jazyce se jedná o označení výrazů, jako je angličtina „a“.
• V programovacích jazycích je zkratu a struktura ovládání .
• V teorii množin , průnik .
• V teorii mřížky logické spojení ( největší dolní mez ).
• V predikátové logice , univerzální kvantifikace .

Zápis

A je obvykle označován operátorem infixu: v matematice a logice je označován , & nebo × ; v elektronice, ⋅ ; a v programovacích jazycích, , nebo . V Jan Łukasiewicz je prefix zápis pro logiku , je operátor K , pro polské koniunkcja . ${\ displaystyle \ wedge}$&&&and

Definice

Logická konjunkce je operace se dvěma logickými hodnotami , obvykle hodnotami dvou propozic , která vytváří hodnotu true tehdy a jen tehdy, jsou -li pravdivé oba její operandy.

Konjunktivní identita je pravdivá, což znamená, že AND-ing výraz s true nikdy nezmění hodnotu výrazu. V souladu s konceptem prázdné pravdy , když je spojka definována jako operátor nebo funkce libovolné arity , je prázdná spojka (AND-ing nad prázdnou sadou operandů) často definována jako pravdivá.

Pravdivá tabulka

Pravdivostní tabulka of : ${\ Displaystyle A \ land B}$

${\ displaystyle A}$	${\ displaystyle B}$	${\ Displaystyle A \ klín B}$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Definováno jinými operátory

V systémech, kde logická konjunkce není primitivní, může být definována jako

${\ Displaystyle A \ land B = \ neg (A \ to \ neg B)}$

nebo

${\ Displaystyle A \ land B = \ neg (\ neg A \ lor \ neg B).}$

Pravidla úvodu a eliminace

Jako pravidlo závěru, konjunkce úvod je klasicky platná , jednoduchá argumentace forma . Forma argumentu má dva prostory, A a B . Intuitivně to umožňuje vyvodit jejich spojení.

A ,

B .

Proto a B .

nebo v zápisu logického operátoru :

${\ displaystyle A,}$

${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle \ vdash A \ land B}$

Zde je příklad argumentu, který odpovídá úvodu spojovacího formuláře :

Bob má rád jablka.

Bob má rád pomeranče.

Bob má proto rád jablka a Bob má rád pomeranče.

Eliminace konjunkce je další klasicky platná , jednoduchá forma argumentu . Intuitivně umožňuje odvození z jakékoli konjunkce kteréhokoli prvku této spojky.

A B .

Proto .

... nebo alternativně

A B .

Proto B .

V logickém zápisu operátoru :

${\ Displaystyle A \ land B}$

${\ Displaystyle \ vdash A}$

... nebo alternativně

${\ Displaystyle A \ land B}$

${\ displaystyle \ vdash B}$

Negace

Definice

Spojení se prokáže jako nepravdivé stanovením buď nebo . Pokud jde o objektový jazyk, toto zní ${\ Displaystyle A \ land B}$${\ Displaystyle \ neg A}$${\ displaystyle \ neg B}$

${\ Displaystyle \ neg A \ to \ neg (A \ land B)}$

Tento vzorec lze považovat za zvláštní případ

${\ Displaystyle (A \ to C) \ to ((A A land B) \ to C)}$

kdy je falešný návrh. ${\ displaystyle C}$

Další důkazní strategie

Pokud to implikuje , pak obě stejně jako prokázat spojení nepravda: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ neg B}$${\ Displaystyle \ neg A}$${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle (A \ to \ neg {} B) \ to \ neg (A \ land B)}$

Jinými slovy, spojka může být ve skutečnosti prokázána jako falešná jen tím, že víte o vztahu jejích spojek, a není nutné o jejich pravdivostních hodnotách.

Tento vzorec lze považovat za zvláštní případ

${\ displaystyle (A \ to (B \ to C)) \ to ((A \ land B) \ to C)}$

kdy je falešný návrh. ${\ displaystyle C}$

Každý z výše uvedených je konstruktivně platným důkazem rozporů.

Vlastnosti

komutativita : ano

${\ Displaystyle A \ land B}$	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$	${\ Displaystyle B \ land A}$
	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$

asociativita : ano

${\ displaystyle ~ A}$	${\ Displaystyle ~~~ \ land ~~~}$	${\ Displaystyle (B \ land C)}$	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$			${\ displaystyle (A \ land B)}$	${\ Displaystyle ~~~ \ land ~~~}$	${\ displaystyle ~ C}$
	${\ Displaystyle ~~~ \ land ~~~}$		${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\ Displaystyle ~~~ \ land ~~~}$

distribučnost : s různými operacemi, zejména s nebo

${\ displaystyle ~ A}$	${\ Displaystyle \ land}$	${\ displaystyle (B \ lor C)}$	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$			${\ displaystyle (A \ land B)}$	${\ displaystyle \ lor}$	${\ displaystyle (A \ land C)}$
	${\ Displaystyle \ land}$		${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\ displaystyle \ lor}$

ostatní

s exkluzivní nebo : ${\ displaystyle ~ A}$ ${\ Displaystyle \ land}$ ${\ displaystyle (B \ oplus C)}$     ${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$     ${\ displaystyle (A \ land B)}$ ${\ displaystyle \ oplus}$ ${\ displaystyle (A \ land C)}$ ${\ Displaystyle \ land}$     ${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$         ${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$     ${\ displaystyle \ oplus}$ s materiální neimplikací : ${\ displaystyle ~ A}$ ${\ Displaystyle \ land}$ ${\ displaystyle (B \ nrightarrow C)}$     ${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$     ${\ displaystyle (A \ land B)}$ ${\ displaystyle \ nrightarrow}$ ${\ displaystyle (A \ land C)}$ ${\ Displaystyle \ land}$     ${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$         ${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$     ${\ displaystyle \ nrightarrow}$ sám se sebou: ${\ displaystyle ~ A}$ ${\ Displaystyle \ land}$ ${\ Displaystyle (B \ land C)}$     ${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$     ${\ displaystyle (A \ land B)}$ ${\ Displaystyle \ land}$ ${\ displaystyle (A \ land C)}$ ${\ Displaystyle \ land}$     ${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$         ${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$     ${\ Displaystyle \ land}$

idempotency : ano

${\ displaystyle ~ A ~}$	${\ Displaystyle ~ \ land ~}$	${\ displaystyle ~ A ~}$	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$	${\ Displaystyle A ~}$
	${\ Displaystyle ~ \ land ~}$		${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$

monotónnost : ano

${\ displaystyle A \ rightarrow B}$	${\ displaystyle \ Rightarrow}$			${\ displaystyle (A \ land C)}$	${\ displaystyle \ rightarrow}$	${\ Displaystyle (B \ land C)}$
	${\ displaystyle \ Rightarrow}$		${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\ displaystyle \ rightarrow}$

zachování pravdy: ano Jsou-
li všechny vstupy pravdivé, je výstup pravdivý.

${\ Displaystyle A \ land B}$	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	${\ Displaystyle A \ land B}$
	${\ displaystyle \ Rightarrow}$
		(testováno)

zachování falešnosti: ano
Pokud jsou všechny vstupy nepravdivé, výstup je nepravdivý.

${\ Displaystyle A \ land B}$	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	${\ Displaystyle A \ lor B}$
	${\ displaystyle \ Rightarrow}$
(testováno)

Walshovo spektrum : (1, -1, -1,1)

Non linearity : 1 (tato funkce je ohnutý )

Pokud používáte binární hodnoty pro true (1) a false (0), pak logická spojka funguje přesně jako normální aritmetické násobení .

Aplikace v počítačovém inženýrství

V počítačovém programování na vysoké úrovni a digitální elektronice je logická konjunkce běžně reprezentována operátorem infixu, obvykle jako klíčové slovo jako „ AND“, algebraické násobení nebo symbol ampersandu &(někdy zdvojený jako v &&). Mnoho jazyků také poskytuje zkratové řídicí struktury odpovídající logické konjunkci.

Logická spojka se často používá pro bitové operace, kde 0odpovídá false a 1true:

• 0 AND 0  =  0,
• 0 AND 1  =  0,
• 1 AND 0  =  0,
• 1 AND 1  =  1.

Operaci lze také použít na dvě binární slova považovaná za bitstringy stejné délky, přičemž bitový AND každého páru bitů se vezme na odpovídajících pozicích. Například:

• 11000110 AND 10100011  =  10000010.

To lze použít k výběru části bitového řetězce pomocí bitové masky . Například  =  extrahuje pátý bit 8bitového bitového řetězce. 10011101 AND 0000100000001000

V počítačové síti se bitové masky používají k odvození síťové adresy podsítě v rámci stávající sítě z dané IP adresy pomocí ANDing IP adresy a masky podsítě .

Logická spojka " AND" se také používá v operacích SQL k vytváření databázových dotazů.

Curry-Howard korespondence se týká logické spojku pro typy výrobků .

Set-teoretická korespondence

Členství v prvku množiny průniků v teorii množin je definováno pomocí logické spojky: x ∈ A ∩ B právě tehdy, když ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ). Prostřednictvím této korespondence set-teoretická křižovatka sdílí několik vlastností s logickou konjunkcí, jako je asociativita , komutativita a idempotence .

Přirozený jazyk

Stejně jako u jiných pojmů formalizovaných v matematické logice, logická spojka a souvisí, ale není stejná jako s gramatickou spojkou a v přirozených jazycích.

Angličtina „a“ má vlastnosti, které nejsou zachyceny logickou spojkou. Například „a“ někdy znamená pořadí s významem „potom“. Například společný diskurz „Vzali se a měli dítě“ znamená, že manželství bylo před dítětem.

Slovo „a“ může také znamenat rozdělení věci na části jako „americká vlajka je červená, bílá a modrá“. Zde to neznamená, že vlajka je najednou červená, bílá a modrá, ale spíše to, že má část každé barvy.

Viz také

Reference

externí odkazy

• „Conjunction“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: Conjunction
• „Tabulka vlastností a pravdivosti tvrzení A“ . Archivováno od originálu 6. května 2017.