Londýnské rovnice - London equations

Jak materiál klesá pod svou supravodivou kritickou teplotu, magnetická pole v materiálu jsou vyloučena pomocí Meissnerova jevu . Londýnské rovnice poskytují kvantitativní vysvětlení tohoto efektu.

Tyto Londýn rovnice, vyvinutý bratři Fritz a Heinz v Londýně v roce 1935, jsou konstitutivní vztahy pro supravodič týkající jeho supravodivý proud elektromagnetických polí a kolem ní. Zatímco Ohmův zákon je pro běžného dirigenta nejjednodušším konstitučním vztahem , londýnské rovnice jsou nejjednodušším smysluplným popisem supravodivých jevů a tvoří genezi téměř jakéhokoli moderního úvodního textu na toto téma. Hlavním triumfem rovnic je jejich schopnost vysvětlit Meissnerův efekt , kdy materiál exponenciálně vylučuje všechna vnitřní magnetická pole, když překračuje supravodivý práh.

Popis

Pokud jsou vyjádřeny pomocí měřitelných polí, existují dvě londýnské rovnice:

Zde je (supravodivá) proudová hustota , E a B jsou elektrická a magnetická pole v supravodiči, je nábojem elektronu nebo protonu, je hmotou elektronu a je fenomenologickou konstantou volně spojenou s hustotou čísel supravodivých nosičů .

Tyto dvě rovnice lze zkombinovat do jediné „londýnské rovnice“, pokud jde o specifický vektorový potenciál, který byl měřidlem fixován na „londýnský rozchod“, což dává:

Na londýnském měřidle vektorový potenciál splňuje následující požadavky a zajišťuje, že jej lze interpretovat jako proudovou hustotu:

  • v supravodičové hmotě,
  • kde je normální vektor na povrchu supravodiče.

Tyto požadavky odstraňují veškerou volnost měřidla a jednoznačně určují vektorový potenciál. Lze také zapsat londýnskou rovnici z hlediska libovolného měřidla jednoduchým definováním , kde je skalární funkce a je změna měřidla, která posouvá libovolný rozchod na londýnský rozchod. Výraz vektorového potenciálu platí pro magnetická pole, která se v prostoru pomalu mění.

Hloubka průniku v Londýně

Pokud je druhá londýnská rovnice zmanipulována použitím Ampereho zákona ,

,

pak jej lze převést na Helmholtzovu rovnici pro magnetické pole:

kde inverzní k laplaciánské vlastní hodnotě:

je charakteristická délková stupnice, nad kterou jsou vnější magnetická pole exponenciálně potlačována: říká se jí londýnská hloubka průniku : typické hodnoty jsou od 50 do 500 nm .

Uvažujme například supravodič ve volném prostoru, kde je magnetické pole mimo supravodič konstantní hodnotou špičatou rovnoběžně se supravodivou hraniční rovinou ve směru z . Pokud x vede kolmo k hranici, pak může být řešení uvnitř supravodiče ukázáno jako

Odtud lze snadněji snadno rozeznat fyzický význam londýnské hloubky průniku.

Zdůvodnění londýnských rovnic

Původní argumenty

I když je důležité poznamenat, že výše uvedené rovnice nelze formálně odvodit, Londýňané při formulaci své teorie postupovali podle určité intuitivní logiky. Látky napříč ohromně širokým spektrem složení se chovají zhruba podle Ohmova zákona , který uvádí, že proud je úměrný elektrickému poli. Takový lineární vztah je však v supravodiči nemožný, protože elektrony v supravodičovém toku téměř podle definice bez jakéhokoli odporu. Za tímto účelem si londýnští bratři představovali elektrony, jako by to byly volné elektrony pod vlivem jednotného vnějšího elektrického pole. Podle Lorentzova silového zákona

tyto elektrony by se měly setkat s jednotnou silou, a proto by se ve skutečnosti měly rovnoměrně zrychlovat. Přesně to uvádí první londýnská rovnice.

Chcete -li získat druhou rovnici, vezměte zvlnění první londýnské rovnice a použijte Faradayův zákon ,

,

získat

V současné podobě tato rovnice umožňuje jak konstantní, tak exponenciálně se rozpadající řešení. Londýnové podle Meissnerova jevu rozpoznali, že konstantní nenulová řešení jsou nefyzická, a postulovali tedy, že nejen časová derivace výše uvedeného výrazu je rovna nule, ale také že výraz v závorkách musí být identicky nulový. Výsledkem je druhá londýnská rovnice.

Kanonické argumenty hybnosti

Rovněž je možné zdůvodnit londýnské rovnice jinými způsoby. Hustota proudu je definována podle rovnice

Vezmeme -li tento výraz z klasického popisu na kvantově mechanický, musíme nahradit hodnoty j a v hodnotami očekávání jejich operátorů. Operátor rychlosti

je definována dělením měřicího invariantního, kinematického hybného operátoru hmotností částic m . Všimněte si, že používáme jako elektronový náboj. Tuto náhradu pak můžeme provést ve výše uvedené rovnici. Důležitým předpokladem mikroskopické teorie supravodivosti je však to, že supravodivý stav systému je základní stav a podle Blochovy věty je v takovém stavu kanonická hybnost p nulová. Toto odchází

což je londýnská rovnice podle druhé formulace výše.

Reference