Ludwig Boltzmann - Ludwig Boltzmann

Ludwig Boltzmann
Ludwig Boltzmann
narozený	Ludwig Eduard Boltzmann ( 1844-02-20 )20. února 1844 Vídeň , Rakouské císařství
Zemřel	05.09.1906 (1906-09-05)(ve věku 62) Tybein , Triest , Rakousko-Uhersko
Alma mater	Vídeňská univerzita
Známý jako
Ocenění	ForMemRS (1899)
Vědecká kariéra
Pole	Fyzika
Instituce
Doktorský poradce	Josef Stefan
Další akademičtí poradci
Doktorandi
Další významní studenti
Podpis

Ludwig Eduard Boltzmann ( německá výslovnost: [ˈluːtvɪg ˈbɔlt͡sman] ; 20. února 1844 - 5. září 1906) byl rakouský fyzik a filozof . Jeho největší úspěchy byly rozvoj statistické mechaniky a statistické vysvětlení druhého termodynamického zákona . V roce 1877 za předpokladu, že stávající definici entropie , , interpretován jako míra statistického poruchy systému. Max Planck pojmenovaný konstanta k _B Boltzmann konstanta . ${\ Displaystyle S = k _ {\ rm {B}} \ ln \ Omega \!}$

Statistická mechanika je jedním z pilířů moderní fyziky . Popisuje, jak souvisí makroskopická pozorování (jako je teplota a tlak ) s mikroskopickými parametry, které kolísají kolem průměru. Spojuje termodynamické veličiny (jako je tepelná kapacita ) s mikroskopickým chováním, zatímco v klasické termodynamice by jedinou dostupnou možností bylo měřit a tabulovat taková množství pro různé materiály.

Životopis

Dětství a vzdělání

Boltzmann se narodil v Erdbergu, na předměstí Vídně . Jeho otec Ludwig Georg Boltzmann byl úředníkem pro příjmy. Jeho dědeček, který se do Berlína přestěhoval z Berlína, byl výrobcem hodin a Boltzmannova matka Katharina Pauernfeind byla původem ze Salcburku . Základní vzdělání získal v domě svých rodičů. Boltzmann navštěvoval střední školu v Linci v Horním Rakousku . Když bylo Boltzmannovi 15 let, jeho otec zemřel.

Počínaje rokem 1863 studoval Boltzmann matematiku a fyziku na vídeňské univerzitě . Doktorát získal v roce 1866 a venia legendi v roce 1869. Boltzmann úzce spolupracoval s Josefem Stefanem , ředitelem fyzikálního ústavu. Byl to Stefan, kdo Boltzmanna seznámil s Maxwellovým dílem.

Akademická kariéra

V roce 1869 ve věku 25 let byl díky doporučenému dopisu Stefana Boltzmann jmenován řádným profesorem matematické fyziky na univerzitě v Grazu v provincii Štýrsko . V roce 1869 strávil několik měsíců v Heidelbergu ve spolupráci s Robertem Bunsenem a Leem Königsbergerem a v roce 1871 s Gustavem Kirchhoffem a Hermannem von Helmholtzem v Berlíně. V roce 1873 nastoupil Boltzmann na Vídeňskou univerzitu jako profesor matematiky a tam zůstal až do roku 1876.

Ludwig Boltzmann a spolupracovníci ve Štýrském Hradci, 1887: (stojící, zleva) Nernst , Streintz , Arrhenius , Hiecke, (sedící, zleva) Aulinger, Ettingshausen , Boltzmann, Klemenčič , Hausmanninger

V roce 1872, dlouho předtím, než byly ženy přijaty na rakouské univerzity, se setkal s Henriette von Aigentler, začínající učitelkou matematiky a fyziky ve Štýrském Hradci. Bylo jí zamítnuto povolení neoficiálně auditovat přednášky. Boltzmann podpořila její rozhodnutí podat odvolání, které bylo úspěšné. 17. července 1876 se Ludwig Boltzmann oženil s Henriette; měli tři dcery: Henriette (1880), Ida (1884) a Else (1891); a syn Arthur Ludwig (1881). Boltzmann se vrátil do Štýrského Hradce, aby převzal křeslo experimentální fyziky. Mezi jeho studenty ve Štýrském Hradci byli Svante Arrhenius a Walther Nernst . Strávil 14 šťastných let ve Štýrském Hradci a právě tam rozvinul své statistické pojetí přírody.

Boltzmann byl v roce 1890 jmenován předsedou teoretické fyziky na univerzitě v Mnichově v Bavorsku v Německu.

V roce 1894 vystřídal Boltzmann svého učitele Josepha Stefana jako profesor teoretické fyziky na vídeňské univerzitě.

Poslední roky a smrt

Boltzmann vynaložil v posledních letech velké úsilí na obranu svých teorií. S některými svými kolegy ve Vídni nevycházel, zvláště s Ernstem Machem , který se stal profesorem filozofie a dějin věd v roce 1895. Téhož roku Georg Helm a Wilhelm Ostwald představili svůj postoj k energetice na setkání v Lübecku . Viděli energii, a ne hmotu, jako hlavní složku vesmíru. Boltzmannova pozice vedla den mezi ostatními fyziky, kteří v debatě podporovali jeho atomové teorie. V roce 1900 odešel Boltzmann na pozvání Wilhelma Ostwalda na univerzitu v Lipsku . Ostwald nabídl Boltzmannovi profesorské křeslo ve fyzice, které se uvolnilo, když zemřel Gustav Heinrich Wiedemann . Poté, co Mach odešel kvůli špatnému zdraví do důchodu, se Boltzmann vrátil do Vídně v roce 1902. V roce 1903 Boltzmann spolu s Gustavem von Escherichem a Emilem Müllerem založili Rakouskou matematickou společnost . Mezi jeho studenty patřili Karl Přibram , Paul Ehrenfest a Lise Meitner .

Ve Vídni učil Boltzmann fyziku a také přednášel filozofii. Boltzmannovy přednášky o přírodní filozofii byly velmi populární a získaly značnou pozornost. Jeho první přednáška měla obrovský úspěch. Přestože pro něj byl vybrán největší přednáškový sál, lidé stáli po celém schodišti. Kvůli velkým úspěchům Boltzmannovy filozofické přednášky ho císař pozval na recepci do paláce.

V roce 1906 ho Boltzmannův zhoršující se duševní stav přinutil rezignovat na svou pozici a jeho příznaky naznačují, že zažil to, co by dnes bylo diagnostikováno jako bipolární porucha . O čtyři měsíce později zemřel 5. září 1906 sebevraždou oběšením na dovolené se svou manželkou a dcerou v Duinu nedaleko Terstu (tehdy Rakouska). Je pohřben ve vídeňském Zentralfriedhofu . Jeho náhrobní kámen nese nápis Boltzmann entropie vzorce : . ${\ Displaystyle S = k \ cdot \ log W}$

Filozofie

Zdálo se, že Boltzmannova kinetická teorie plynů předpokládá realitu atomů a molekul , ale téměř všichni němečtí filozofové a mnoho vědců jako Ernst Mach a fyzikální chemik Wilhelm Ostwald jejich existenci nevěřili. Ostwald a Mach jasně vzdorovali atomovému pohledu na hmotu (i když z různých důvodů). Boltzmann tento názor určitě hájil a prosazoval. Nebyl však naivním realistou ani nestoudným zastáncem existence atomů, které z něj učinila populárnější literatura. Místo toho od 80. let 19. století zdůrazňoval, že atomický pohled přinejlepším přináší analogii nebo obraz nebo model reality (srov. De Regt 1999). Ve své debatě s Machem obhajoval (1897c, 1897d) tento přístup jako užitečný nebo ekonomický způsob, jak porozumět tepelnému chování plynů. To znamená, že jeho názory byly zcela kompatibilní s Machovými názory na cíl vědy. To, co je rozdělilo, byla spíše strategická otázka. Boltzmann tvrdil, že žádný přístup v přírodní vědě, který by se zcela vyhýbal hypotézám, nikdy nemohl uspět. Tvrdil, že ti, kteří odmítají atomovou hypotézu ve prospěch kontinuálního pohledu na hmotu, se provinili také přijetím hypotéz. Volba mezi takovými názory by nakonec měla záviset na jejich plodnosti a zde Boltzmann nepochyboval, že atomová hypotéza bude úspěšnější.

Fyzika

Boltzmannovy nejdůležitější vědecké příspěvky byly v kinetické teorii , včetně motivace distribuce Maxwell -Boltzmann jako popisu molekulárních rychlostí v plynu. Statistiky Maxwell – Boltzmann a Boltzmannova distribuce zůstávají ústředními body základů klasické statistické mechaniky. Jsou také použitelné pro jiné jevy , které nevyžadují kvantovou statistiku a poskytují vhled do významu teploty .

Boltzmannův diagram molekuly I 1898 I ₂ ukazující atomové „citlivé oblasti“ (α, β) se překrývají.

Většina chemiků , od objevů Johna Daltona v roce 1808 a Jamese Clerka Maxwella ve Skotsku a Josiah Willarda Gibbse ve Spojených státech, sdílela Boltzmannovu víru v atomy a molekuly , ale velká část fyzikálního establishmentu tuto víru nesdílela až o desetiletí později. Boltzmann měl dlouhodobý spor s redaktorem prestižního německého fyzikálního časopisu své doby, který odmítl nechat Boltzmanna odkazovat na atomy a molekuly jako na cokoli jiného než na praktické teoretické konstrukty. Jen pár let po Boltzmannově smrti Perrinovy studie koloidních suspenzí (1908–1909) na základě Einsteinových teoretických studií z roku 1905 potvrdily hodnoty Avogadrova čísla a Boltzmannovy konstanty a přesvědčily svět, že drobné částice skutečně existují .

Cituji Plancka : „ Logaritmické spojení mezi entropií a pravděpodobností poprvé uvedl L. Boltzmann ve své kinetické teorii plynů “. Tento slavný vzorec pro entropii S je

${\ Displaystyle S = k _ {\ mathrm {B}} \ ln W}$

kde k _B je Boltzmannova konstanta a ln je přirozený logaritmus . W je Wahrscheinlichkeit , německé slovo, které znamená pravděpodobnost výskytu makrostátu nebo přesněji počet možných mikrostavů odpovídající makroskopickému stavu systému - počet (nepozorovatelných) „způsobů“ v (pozorovatelném) termodynamickém stavu systému, který lze realizovat přiřazením různých poloh a hybností různým molekulám. Boltzmannova vzor byl ideální plyn z N stejných částic, z nichž N _i jsou v i -té mikroskopické stavu (rozsah) polohy a hybnosti. W  lze počítat pomocí vzorce pro permutace

${\ displaystyle W = N! \ prod _ {i} {\ frac {1} {N_ {i}!}}}$

kde i se pohybuje ve všech možných molekulárních podmínkách a kde označuje faktoriál . „Korekce“ ve jmenovateli odpovídá nerozeznatelným částicím ve stejném stavu. ${\ displaystyle!}$

Boltzmann mohl být také považován za jednoho z předchůdců kvantové mechaniky kvůli jeho návrhu v roce 1877, že energetické hladiny fyzického systému mohou být diskrétní.

Boltzmannova rovnice

Boltzmannova busta ve dvorní arkádě hlavní budovy Vídeňské univerzity.

Boltzmannova rovnice byla vyvinuta k popisu dynamiky ideálního plynu.

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný f} {\ částečný t}}+v {\ frac {\ částečný f} {\ částečný x}}+{\ frac {F} {m}} {\ frac {\ částečný f} {\ částečný v}} = {\ frac {\ částečný f} {\ částečný t}} \ vlevo. {\! \! {\ frac {} {}}} \ vpravo | _ {\ mathrm {kolize} }}$

kde ƒ představuje distribuční funkci polohy a hybnosti jedné částice v daném čase (viz Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení ), F je síla, m je hmotnost částice, t je čas a v je průměrná rychlost částice.

Tato rovnice popisuje časové a prostorové variace rozdělení pravděpodobnosti pro polohu a hybnost distribuce hustoty oblaku bodů v jednočásticovém fázovém prostoru . (Viz hamiltonovská mechanika .) První člen na levé straně představuje explicitní časovou změnu distribuční funkce, zatímco druhý člen udává prostorovou variabilitu a třetí člen popisuje účinek jakékoli síly působící na částice. Pravá strana rovnice představuje účinek kolizí.

Výše uvedená rovnice v zásadě zcela popisuje dynamiku souboru plynných částic za daných vhodných okrajových podmínek . Tato diferenciální rovnice prvního řádu má zdánlivě jednoduchý vzhled, protože ƒ může představovat libovolnou distribuční funkci jedné částice. Také síla působící na částice je přímo závislá na distribuční funkce rychlosti  ƒ . Boltzmannova rovnice je notoricky obtížně integrovatelná . David Hilbert se roky snažil to vyřešit bez skutečného úspěchu.

Forma srážkového termínu předpokládaná Boltzmannem byla přibližná. Pro ideální plyn je však standardní Chapman -Enskogovo řešení Boltzmannovy rovnice vysoce přesné. Očekává se, že povede k nesprávným výsledkům pro ideální plyn pouze za podmínek rázové vlny .

Boltzmann se mnoho let pokoušel „dokázat“ druhý termodynamický zákon pomocí své plynové dynamické rovnice-své slavné H-věty . Klíčovým předpokladem, který při formulování kolizního výrazu učinil, byl „ molekulární chaos “, předpoklad, který narušuje symetrii časového obrácení, jak je nutné pro cokoli, co by mohlo znamenat druhý zákon. Boltzmannův zjevný úspěch vycházel pouze z pravděpodobnostního předpokladu, takže jeho dlouhý spor s Loschmidtem a dalšími ohledně Loschmidtova paradoxu nakonec skončil jeho selháním.

Nakonec v 70. letech EGD Cohen a JR Dorfman dokázali, že systematické (mocninové řady) rozšíření Boltzmannovy rovnice na vysoké hustoty je matematicky nemožné. V důsledku toho se nerovnovážná statistická mechanika pro husté plyny a kapaliny zaměřuje na vztahy Green -Kubo , fluktuační větu a další přístupy.

Druhý termodynamický zákon jako zákon nepořádku

Boltzmannův hrob ve vídeňském Zentralfriedhofu s formulí poprsí a entropie.

Myšlenka, že druhý zákon termodynamiky nebo „zákon entropie“ je zákonem o nepořádku (nebo že dynamicky uspořádané stavy jsou „nekonečně nepravděpodobné“), je dána Boltzmannovým pohledem na druhý zákon termodynamiky.

Zejména to byl Boltzmannův pokus redukovat jej na stochastickou kolizní funkci neboli zákon pravděpodobnosti vyplývající z náhodných kolizí mechanických částic. V návaznosti na Maxwella modeloval Boltzmann molekuly plynu jako kolidující kulečníkové koule v krabici s tím, že při každé kolizi by nerovnovážné distribuce rychlosti (skupiny molekul pohybujících se stejnou rychlostí a stejným směrem) byly stále neuspořádanější, což by vedlo ke konečnému stavu makroskopické uniformity a maximální mikroskopická porucha nebo stav maximální entropie (kde makroskopická uniformita odpovídá obliteraci všech polních potenciálů nebo gradientů). Druhý zákon, tvrdil, byl tedy jednoduše výsledkem skutečnosti, že ve světě mechanicky se srážejících částic jsou nejpravděpodobnější neuspořádané stavy. Protože existuje mnohem více možných neuspořádaných stavů než uspořádaných, systém bude téměř vždy nalezen buď ve stavu maximální poruchy - makrostát s největším počtem přístupných mikrostátů, jako je plyn v krabici v rovnováze - nebo pohybující se směrem to. Boltzmann dospěl k závěru, že dynamicky uspořádaný stav, s molekulami pohybujícími se „stejnou rychlostí a stejným směrem“, je „nejnepravděpodobnějším případem ... nekonečně nepravděpodobnou konfigurací energie“.

Boltzmann dokázal, že ukázal, že druhý termodynamický zákon je pouze statistický fakt. Postupné neuspořádání energie je analogické neuspořádání původně uspořádaného balíčku karet při opakovaném míchání a stejně jako se karty konečně vrátí do původního pořadí, pokud se promíchají obrovským počtem opakování, tak se celý vesmír musí jednoho dne znovu získat čirou náhodou stav, ze kterého se poprvé vydal. (Tato optimistická coda k myšlence umírajícího vesmíru se poněkud ztlumí, když se člověk pokusí odhadnout časovou osu, která pravděpodobně uplyne, než k ní dojde spontánně.) Zdá se, že tendence ke zvýšení entropie způsobuje začátečníkům v termodynamice potíže, ale je snadno pochopitelná z hlediska teorie pravděpodobnosti. Uvažujme o dvou obyčejných kostkách , přičemž obě šestky směřují nahoru. Poté, co kostky zatřesou, je šance na nalezení těchto dvou šestek lícem nahoru malá (1 z 36); dá se tedy říci, že náhodný pohyb (míchání) kostek, podobně jako chaotické srážky molekul kvůli tepelné energii, způsobí, že se méně pravděpodobný stav změní na ten pravděpodobnější. S miliony kostek, jako jsou miliony atomů zapojených do termodynamických výpočtů, se pravděpodobnost jejich všech šesti stane tak mizivě malou, že se systém musí přesunout do jednoho z pravděpodobnějších stavů. Matematicky je však pravděpodobnost, že všechny výsledky kostek nejsou dvojice šestek, také tak těžká jako u všech šestek, a protože statisticky mají data tendenci vyvažovat, jeden z každých 36 párů kostek bude obvykle dvojice šestek a karty - když jsou zamíchány - někdy budou představovat určitý dočasný pořadový sled, i když v celém jeho balíčku byl neuspořádaný.

Funguje

Theorie der Gase mit einatomigen Molekülen, deren Dimensionen gegen die mittlere weglänge Verschwinden , 1896

• Verhältniss zur Fernwirkungstheorie, Specielle Fälle der Elektrostatik, stationären Strömung und Induction (v němčině). 2 . Lipsko: Johann Ambrosius Barth. 1893.
• Theorie van der Waals, Gase mit Zusammengesetzten Molekülen, Gasdissociation, Schlussbemerkungen (v němčině). 2 . Lipsko: Johann Ambrosius Barth. 1896.
• Theorie der Gase mit einatomigen Molekülen, deren Dimensionen gegen die mittlere weglänge Verschwinden (in German). 1 . Lipsko: Johann Ambrosius Barth. 1896.
• Abteilung der Grundgleichungen für ruhende, homogenní, izotropní Körper (v němčině). 1 . Lipsko: Johann Ambrosius Barth. 1908.
• Vorlesungen über Gastheorie (ve francouzštině). Paris: Gauthier-Villars. 1922.

Ocenění a vyznamenání

V roce 1885 se stal členem rakouské císařské akademie věd a v roce 1887 se stal prezidentem univerzity ve Štýrském Hradci . V roce 1888 byl zvolen členem Královské švédské akademie věd a v roce 1899 zahraničním členem Královské společnosti (ForMemRS) . Na jeho počest je pojmenováno mnoho věcí .

Viz také

• Termodynamika
• Boltzmannův mozek

Reference

Další čtení

• Roman Sexl & John Blackmore (eds.), „Ludwig Boltzmann - Ausgewahlte Abhandlungen“, (Ludwig Boltzmann Gesamtausgabe, Band 8), Vieweg, Braunschweig, 1982.
• John Blackmore (ed.), „Ludwig Boltzmann-Jeho pozdější život a filozofie, 1900–1906, kniha první: Dokumentární historie“, Kluwer, 1995. ISBN  978-0-7923-3231-2
• John Blackmore, „Ludwig Boltzmann-jeho pozdější život a filozofie, 1900–1906, kniha druhá: Filozof“, Kluwer, Dordrecht, Nizozemsko, 1995. ISBN  978-0-7923-3464-4
• John Blackmore (ed.), „Ludwig Boltzmann - Troubled Genius as Philosopher“, v Synthese, svazek 119, č. 1 a 2, 1999, s. 1–232.
• Blundell, Stephen; Blundell, Katherine M. (2006). Pojmy v tepelné fyzice . Oxford University Press. p. 29. ISBN 978-0-19-856769-1.
• Boltzmann, Ludwig Boltzmann- Leben und Briefe , ed., Walter Hoeflechner, Akademische Druck- u. Verlagsanstalt. Graz, Oesterreich, 1994
• Brush, Stephen G. (ed. & Tr.), Boltzmann, Přednášky o plynové teorii , Berkeley, Kalifornie: U. of California Press, 1964
• Štětec, Stephen G., edice Kinetic Theory , New York: Pergamon Press, 1965
• Štětec, Stephen G. (1970). „Boltzmann“ . V Charles Coulston Gillispie (ed.). Slovník vědecké biografie . New York: Scribner. ISBN 978-0-684-16962-0.
• Štětec, Stephen G. (1986). Druh pohybu, kterému říkáme teplo: Historie kinetické teorie plynů . Amsterdam: Severní Holandsko. ISBN 978-0-7204-0370-1.
• Cercignani, Carlo (1998). Ludwig Boltzmann: Muž, který důvěřoval atomům . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850154-1.
• Darrigol, Olivier (2018). Atomy, mechanika a pravděpodobnost: Statistico-mechanical Ludwiga Boltzmanna . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-881617-1.
• Ehrenfest, P. & Ehrenfest, T. (1911) „Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik“, in Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen Band IV, 2. Teil (F. Klein and C. Müller (eds.) Leipzig: Teubner, s. 3–90. Přeloženo jako Koncepční základy statistického přístupu v mechanice . New York: Cornell University Press, 1959. ISBN  0-486-49504-3
• Everdell, William R (1988). „Problém kontinuity a počátky modernismu: 1870–1913“. Historie evropských idejí . 9 (5): 531–552. doi : 10,1016/0191-6599 (88) 90001-0 .
• Everdell, William R (1997). První Moderns . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 9780226224800.
• Gibbs, Josiah Willard (1902). Elementární principy ve statistické mechanice, vyvinuté se zvláštním zřetelem na racionální základy termodynamiky . New York: Synové Charlese Scribnera.
• Johnson, Eric (2018). Úzkost a rovnice: Pochopení Boltzmannovy entropie. MIT Press. ISBN 978-0-262-03861-4.
• Klein, Martin J. (1973). „Vývoj Boltzmannových statistických myšlenek“. V EGD Cohen ; W. Thirring (eds.). Boltzmannova rovnice: Teorie a aplikace . Acta physica Austriaca Suppl. 10. Wien: Springer. s.  53 –106. ISBN 978-0-387-81137-6.
• Lindley, David (2001). Boltzmannův atom: Velká debata, která zahájila revoluci ve fyzice . New York: Free Press. ISBN 978-0-684-85186-0.
• Lotka, AJ (1922). „Příspěvek k energetice evoluce“ . Proč. Natl. Akadem. Sci. USA . 8 (6): 147–51. Bibcode : 1922PNAS .... 8..147L . doi : 10,1073/pnas.8.6.147 . PMC  1085052 . PMID  16576642 .
• Meyer, Stefan (1904). Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten Geburtstage 20. února 1904 (v němčině). JA Barth.
• Planck, Max (1914). Teorie tepelného záření . P. Blakiston Son & Co.Anglický překlad Morton Masius z 2. vyd. města Waermestrahlung . Přetištěno v Doveru (1959) a (1991). ISBN  0-486-66811-8
• Sharp, Kim (2019). Entropie a tao počítání: Stručný úvod do statistické mechaniky a druhý zákon termodynamiky (SpringerBriefs ve fyzice). Springer Nature. ISBN  978-3030354596
• Tolman, Richard C. (1938). Zásady statistické mechaniky . Oxford University Press.Přetištěno: Dover (1979). ISBN  0-486-63896-0

externí odkazy

• Uffink, Jos (2004). „Boltzmannova práce ve statistické fyzice“ . Stanfordská encyklopedie filozofie . Vyvolány 11 June 2007 .
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , „Ludwig Boltzmann“ , MacTutor Dějiny archivu matematiky , University of St Andrews
• Ruth Lewin Sime , Lise Meitner: Život ve fyzice Kapitola první: Dívčí věk ve Vídni podává zprávu Lise Meitnerové o Boltzmannově učení a kariéře.
• Eftekhari, Ali, „ Ludwig Boltzmann (1844–1906). “ Diskutuje o Boltzmannově filozofických názorech s četnými citáty.
• Rajasekar, S .; Athavan, N. (7. září 2006). „Ludwig Edward Boltzmann“. arXiv : fyzika/0609047 .
• Ludwig Boltzmann na projektu Mathematics Genealogy Project
• Weisstein, Eric Wolfgang (ed.). „Boltzmann, Ludwig (1844–1906)“ . ScienceWorld .