Möbiova transformace - Möbius transformation

V geometrii a komplexní analýzy , je Möbius transformace v komplexní rovině je racionální funkce ve tvaru

{\ Displaystyle f (z) = {\ frac {az+b} {cz+d}}}

jedné komplexní proměnné z ; zde jsou koeficienty a , b , c , d komplexní čísla uspokojující ad - bc ≠ 0.

Geometricky lze Möbiovu transformaci získat tak, že nejprve provedete stereografickou projekci z roviny do jednotkové dvou sféry , otočíte a přesunete kouli na nové místo a orientaci v prostoru a poté provedete stereografickou projekci (z nové polohy koule ) do letadla. Tyto transformace zachovávají úhly, mapují každou přímku na přímku nebo kruh a mapují každý kruh na čáru nebo kruh.

Transformace Möbius jsou projektivní transformace z komplexu projektivní linie . Tvoří skupinu zvanou Möbiusova skupina , což je projektivní lineární skupina PGL (2, C ). Spolu se svými podskupinami má mnoho aplikací v matematice a fyzice.

Möbiusovy transformace jsou pojmenovány na počest Augusta Ferdinanda Möbia ; jsou také různě pojmenovány homografie , homografické transformace , lineární zlomkové transformace , bilineární transformace , frakční lineární transformace nebo spinové transformace (teorie relativity) .

Přehled

Möbiusovy transformace jsou definovány na rozšířené komplexní rovině (tj. Komplexní rovině rozšířené o bod v nekonečnu ). ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}} = \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$

Stereografická projekce se identifikuje s koulí, která se pak nazývá Riemannova koule ; alternativně si jej lze představit jako komplexní projektivní linii . Möbiovy transformace jsou přesně bijektivní konformní mapy z Riemannovy sféry k sobě, tj. Automorfismy Riemannovy sféry jako komplexního potrubí ; alternativně jsou to automorfismy jako algebraické odrůdy. Proto soubor všech Möbiových transformací tvoří skupinu pod kompozicí . Tato skupina se nazývá skupina Möbius a je někdy označována . ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ mathbb {P} ^{1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ mathbb {P} ^{1}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} ({\ widehat {\ mathbb {C}}})}$

Skupina Möbius je isomorphic ke skupině orientace-chránit isometries z hyperbolického 3-prostor , a proto hraje důležitou roli při studiu hyperbolické 3-manifolds .

Ve fyzice se složka identita na Lorentzovy grupy působí na nebeské sféry stejným způsobem, že skupina Möbiovo působí na Riemann koule. Ve skutečnosti jsou tyto dvě skupiny izomorfní. Pozorovatel, který zrychluje na relativistické rychlosti, uvidí průběh souhvězdí pozorovaný v blízkosti Země kontinuálně transformovat podle nekonečně malých Möbiových transformací. Toto pozorování je často bráno jako výchozí bod twistorové teorie .

Některé podskupiny skupiny Möbius tvoří skupiny automorfismu ostatních jednoduše spojených povrchů Riemann ( komplexní rovina a hyperbolická rovina ). Möbiusovy transformace jako takové hrají důležitou roli v teorii Riemannových povrchů . Základní skupina každé Riemann povrchu je diskrétní podskupina skupiny Möbius (viz Fuchsian skupinu a skupinu Kleinian ). Obzvláště důležitou diskrétní podskupinou skupiny Möbius je modulární skupina ; je ústřední pro teorii mnoha fraktálů , modulárních forem , eliptických křivek a Pellianových rovnic .

Möbiovy transformace lze obecněji definovat v prostorech dimenze n > 2 jako bijektivní mapy zachovávající konformní orientaci z n -sféry do n -sféry. Taková transformace je nejobecnější formou konformního mapování domény. Podle Liouvilleovy věty lze Möbiovu transformaci vyjádřit jako složení překladů, podobností , ortogonálních transformací a inverzí.

Definice

Obecná forma Möbiovy transformace je dána vztahem

{\ Displaystyle f (z) = {\ frac {az+b} {cz+d}}}

kde a , b , c , d jsou libovolná komplexní čísla vyhovující

ad - bc \neq 0

. Pokud

ad = bc

, racionální funkce definovaná výše je konstantou od

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {az+b} {cz+d}} = {\ frac {a (cz+d)} {c (cz+d)}}-{\ frac {ad- bc} {c (cz+d)}}} = {\ frac {a} {c}}}

a není tedy považován za Möbiovu transformaci.

V případě $c \neq 0$ je tato definice rozšířena na celou Riemannovu sféru definováním

{\ Displaystyle f \ left ({\ frac {-d} {c}} \ right) = \ infty {\ text {and}} f (\ infty) = {\ frac {a} {c}}.}

Pokud $c = 0$ , definujeme

{\ Displaystyle f (\ infty) = \ infty.}

Möbiova transformace je tedy vždy bijektivní holomorfní funkcí z Riemannovy sféry do Riemannovy sféry.

Soubor všech Möbiových transformací tvoří skupinu pod kompozicí . Této skupině lze dát strukturu komplexního potrubí takovým způsobem, že kompozice a inverze jsou holomorfní mapy . Skupina Möbius je pak složitá Lieova skupina . Skupina Möbius je obvykle označována jako automorfistická skupina Riemannovy sféry. ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} ({\ widehat {\ mathbb {C}}})}$

Pevné body

Každá Möbiova transformace bez identity má dva pevné body na Riemannově sféře. Všimněte si, že pevné body se zde počítají s multiplicitou ; parabolické transformace jsou ty, kde se pevné body shodují. Jeden nebo oba tyto pevné body mohou být bodem v nekonečnu. ${\ displaystyle \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}}$

Určení pevných bodů

Pevné body transformace

{\ Displaystyle f (z) = {\ frac {az+b} {cz+d}}}

se získají řešením rovnice pevného bodu f ( γ ) = γ . Pro c ≠ 0 to má dva kořeny získané rozšířením této rovnice na

{\ Displaystyle c \ gamma ^{2} -(reklama) \ gamma -b = 0 \,}

a použití kvadratického vzorce . Kořeny jsou

{\ Displaystyle \ gamma _ {1,2} = {\ frac {(ad) \ pm {\ sqrt {\ left (ad \ right)^{2}+4bc}}} {2c}} = {\ frac { (reklama) \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} {2c}}}

s diskriminačním

{\ Displaystyle \ Delta = (\ operatorname {tr} {\ mathfrak {H}})^{2} -4 \ det {\ mathfrak {H}} = (a+d)^{2} -4 (ad- před naším letopočtem).}

Parabolické transformace mají shodné pevné body kvůli nulovému diskriminátoru. Pro c nenulová a nenulová diskriminace je transformace eliptická nebo hyperbolická.

Když c = 0, kvadratická rovnice degeneruje do lineární rovnice a transformace je lineární. To odpovídá situaci, že jedním z pevných bodů je bod v nekonečnu. Když je ≠ d, druhý pevný bod je konečný a je dán vztahem

{\ displaystyle \ gamma =-{\ frac {b} {ad}}.}

V tomto případě bude transformací jednoduchá transformace složená z překladů , rotací a dilatací :

{\ Displaystyle z \ mapsto \ alpha z+\ beta.}

Pokud c = 0 a a = d , pak jsou oba pevné body v nekonečnu a Möbiova transformace odpovídá čistému překladu:

{\ Displaystyle z \ mapsto z+\ beta.}

Topologický důkaz

Topologicky skutečnost, že (neidentifikační) Möbiovy transformace fixují 2 body (s multiplicitou), odpovídá Eulerově charakteristice sféry, která je 2:

{\ Displaystyle \ chi ({\ hat {\ mathbb {C}}}) = 2.}

Za prvé, projektivní lineární skupina PGL (2, K ) je ostře 3-tranzitivní -pro jakékoli dvě uspořádané trojice odlišných bodů existuje jedinečná mapa, která převádí jednu trojici na druhou, stejně jako u Möbiusových transformací, a tímtéž algebraický důkaz (v podstatě počítání dimenzí , protože skupina je 3-dimenzionální). Identitou je tedy jakákoli mapa, která opravuje alespoň 3 body.

Dále lze podle identifikace skupiny Möbius zjistit, že jakákoli funkce Möbius je homotopická k identitě. Ve skutečnosti může být jakýkoli člen obecné lineární skupiny redukován na mapu identity Gauss-Jordanovou eliminací, což ukazuje, že projektivní lineární skupina je také propojena s cestou a poskytuje homotopii k mapě identity. Lefschetz-Hopf teorém říká, že součet indexů (v této souvislosti, multiplicita) pevné body mapy se konečně mnoha pevných bodů se rovná počtu Lefschetz mapy, která je v tomto případě stopa mapy identity na homologických skupinách, což je prostě Eulerova charakteristika. ${\ displaystyle \ mathrm {PGL} (2, \ mathbb {C})}$

Naproti tomu projektivní lineární skupina skutečné projektivní linie PGL (2, R ) nemusí opravovat žádné body - například nemá žádné (skutečné) pevné body: jako komplexní transformace opravuje ± i - zatímco mapa 2 x opravuje dva body 0 a ∞. To odpovídá skutečnosti, že Eulerova charakteristika kruhu (skutečná projektivní přímka) je 0, a proto Lefschetzova věta o pevných bodech říká pouze to, že musí opravit alespoň 0 bodů, ale možná i více. ${\ Displaystyle (1+x)/(1-x)}$

Normální forma

Möbiusovy transformace jsou také někdy psány z hlediska jejich pevných bodů v takzvané normální formě . Nejprve ošetříme neparabolický případ, pro který existují dva odlišné pevné body.

Neparabolický případ :

Každá neparabobická transformace je konjugována k dilataci/rotaci, tj. Transformaci formy

{\ Displaystyle z \ mapsto kz}

( k ∈ C ) s pevnými body na 0 a ∞. Chcete -li to vidět, definujte mapu

{\ Displaystyle g (z) = {\ frac {z- \ gamma _ {1}} {z- \ gamma _ {2}}}}

který posílá body ( γ ₁ , γ ₂ ) do (0, ∞). Zde předpokládáme, že γ ₁ a γ ₂ jsou odlišné a konečné. Pokud je jeden z nich již v nekonečnu, pak g lze upravit tak, aby opravil nekonečno a poslal druhý bod na 0.

Pokud f má výrazné pevné body ( γ ₁ , y ₂ ), pak transformace má pevnou bodů při 0 ° C a ∞, a je tedy dilatace: . Potom lze zapsat rovnici pevného bodu pro transformaci f ${\ displaystyle gfg^{-1}}$ ${\ Displaystyle gfg^{-1} (z) = kz}$

{\ Displaystyle {\ frac {f (z)-\ gamma _ {1}} {f (z)-\ gamma _ {2}}} = k {\ frac {z- \ gamma _ {1}} {z -\ gamma _ {2}}}.}

Řešení pro f dává (ve formě matice):

{\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} (k; \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}) = {\ begin {pmatrix} \ gamma _ {1} -k \ gamma _ {2} & ( k-1) \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \\ 1-k & k \ gamma _ {1}-\ gamma _ {2} \ end {pmatrix}}}

nebo pokud je jeden z pevných bodů v nekonečnu:

{\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} (k; \ gamma, \ infty) = {\ begin {pmatrix} k & (1-k) \ gamma \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}

Z výše uvedených výrazů lze vypočítat derivace f v pevných bodech:

{\ Displaystyle f '(\ gamma _ {1}) = k}

a

{\ Displaystyle f '(\ gamma _ {2}) = 1/k.}

Všimněte si, že, vzhledem k tomu, objednávání pevných bodů, můžeme rozlišit jeden z násobičky ( k- ) z f jako charakteristickou konstantou o f . Obrácení pořadí pevných bodů je ekvivalentní převzetí inverzního multiplikátoru pro charakteristickou konstantu:

{\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} (k; \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}) = {\ mathfrak {H}} (1/k; \ gamma _ {2}, \ gamma _ {1}).}

Pro loxodromické transformace, kdykoli | k | > 1, říká se, že γ ₁ je odpudivý pevný bod a γ ₂ je atraktivní pevný bod. Pro | k | <1, role jsou obráceny.

Parabolický případ :

V parabolickém případě existuje pouze jeden pevný bod γ . Transformace odesílající tento bod do ∞ je

{\ Displaystyle g (z) = {\ frac {1} {z- \ gamma}}}

nebo identita, pokud γ je již v nekonečnu. Transformace opravuje nekonečno, a je tedy překladem:

{\ displaystyle gfg^{-1}}

{\ Displaystyle gfg^{-1} (z) = z+\ beta \ ,.}

Zde se β nazývá délka překladu . Vzorec pevného bodu pro parabolickou transformaci je pak

{\ Displaystyle {\ frac {1} {f (z)-\ gamma}} = {\ frac {1} {z- \ gamma}}+\ beta.}

Řešení pro f (ve formě matice) dává

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} (\ beta; \ gamma) = {\ begin {pmatrix} 1+ \ gamma \ beta &-\ beta \ gamma ^{2} \\\ beta & 1- \ gamma \ beta \ end {pmatrix}}}

nebo, pokud γ = ∞:

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} (\ beta; \ infty) = {\ begin {pmatrix} 1 & \ beta \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

Všimněte si, že β je není charakteristická konstanta F , který je vždy 1 pro parabolické transformaci. Z výše uvedených výrazů lze vypočítat:

{\ Displaystyle f '(\ gamma) = 1.}

Póly transformace

Jde o to se nazývá pole of ; je to ten bod, který je transformován do bodu v nekonečnu pod . ${\ textstyle z _ {\ infty} =-{\ frac {d} {c}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$

Inverzní pól je bod, do kterého se transformuje bod v nekonečnu. Bod uprostřed mezi dvěma póly je vždy stejný jako bod uprostřed mezi dvěma pevnými body: ${\ textstyle Z _ {\ infty} = {\ frac {a} {c}}}$

{\ Displaystyle \ gamma _ {1}+\ gamma _ {2} = z _ {\ infty}+Z _ {\ infty}.}

Tyto čtyři body jsou vrcholy rovnoběžníku, kterému se někdy říká charakteristický rovnoběžník transformace.

Transformaci lze specifikovat dvěma pevnými body γ ₁ , γ ₂ a pólem . ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$ ${\ displaystyle z _ {\ infty}}$

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} = {\ begin {pmatrix} Z _ {\ infty} &-\ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \\ 1 & -z _ {\ infty} \ end {pmatrix} }, \; \; Z _ {\ infty} = \ gamma _ {1}+\ gamma _ {2} -z _ {\ infty}.}

To nám umožňuje odvodit vzorec pro převod mezi k a daným : ${\ displaystyle z _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}}$

{\ Displaystyle z _ {\ infty} = {\ frac {k \ gamma _ {1}-\ gamma _ {2}} {1-k}}}

{\ displaystyle k = {\ frac {\ gamma _ {2} -z _ {\ infty}} {\ gamma _ {1} -z _ {\ infty}}} = {\ frac {Z _ {\ infty}-\ gamma _ {1}} {Z _ {\ infty}-\ gamma _ {2}}} = {\ frac {ac \ gamma _ {1}} {ac \ gamma _ {2}}},}

který se snižuje až na

{\ Displaystyle k = {\ frac {(a+d)+{\ sqrt {\ left (ad \ right)^{2}+4bc}}} {(a+d)-{\ sqrt {\ left (ad \ right)^{2}+4bc}}}}.}

Poslední výraz se shoduje s jedním z (vzájemně recipročních) poměrů vlastních čísel matice ${\ textstyle {\ frac {\ lambda _ {1}} {\ lambda _ {2}}}}$

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}}

představující transformaci (porovnejte diskusi v předchozí části o charakteristické konstantě transformace). Jeho charakteristický polynom je roven

{\ Displaystyle \ det (\ lambda I_ {2}-{\ mathfrak {H}}) = \ lambda ^{2}-\ operatorname {tr} {\ mathfrak {H}} \, \ lambda +\ det {\ mathfrak {H}} = \ lambda ^{2}-(a +d) \ lambda +(ad-bc)}

který má kořeny

{\ Displaystyle \ lambda _ {i} = {\ frac {(a+d) \ pm {\ sqrt {\ left (ad \ right)^{2}+4bc}}} {2}} = {\ frac { (a+d) \ pm {\ sqrt {\ left (a+d \ right)^{2} -4 (ad-bc)}}} {2}} = c \ gamma _ {i}+d \, .}

Jednoduché Möbiusovy transformace a kompozice

Möbiova transformace může být složena jako sled jednoduchých transformací.

Následující jednoduché transformace jsou také Möbiusovy transformace:

${\ Displaystyle f (z) = z+b \ quad (a = 1, c = 0, d = 1)}$ je překlad .
${\ Displaystyle f (z) = az \ quad (b = 0, c = 0, d = 1)}$ je kombinací a ( homothety a rotace ). Pokud je to tedy rotace, pokud je to homothety. ${\ displaystyle | a | = 1}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$
${\ Displaystyle f (z) = 1/z \ quad (a = 0, b = 1, c = 1, d = 0)}$ ( inverze a reflexe vzhledem ke skutečné ose)

Složení jednoduchých transformací

Pokud , nechte: ${\ Displaystyle c \ neq 0}$

${\ Displaystyle f_ {1} (z) = z+d/c \ quad}$ ( Překlad podle d / c )
${\ Displaystyle f_ {2} (z) = 1/z \ quad}$ ( inverze a reflexe vzhledem ke skutečné ose)
${\ displaystyle f_ {3} (z) = {\ frac {bc-ad} {c^{2}}} z \ quad}$ ( homothety a rotace )
${\ Displaystyle f_ {4} (z) = z+a/c \ quad}$ (překlad a / c )

Pak lze tyto funkce skládat , dávat

{\ Displaystyle f_ {4} \ circ f_ {3} \ circ f_ {2} \ circle f_ {1} (z) = f (z) = {\ frac {az+b} {cz+d}}.}

To znamená,

{\ displaystyle {\ frac {az+b} {cz+d}} = {\ frac {a} {c}}+{\ frac {e} {z+{\ frac {d} {c}}}}, }

s

{\ displaystyle e = {\ frac {bc-ad} {c^{2}}}.}

Díky tomuto rozkladu je zřejmé mnoho vlastností Möbiovy transformace.

Elementární vlastnosti

Möbiova transformace je ekvivalentní sekvenci jednodušších transformací. Složení ukazuje mnoho vlastností Möbiovy transformace.

Vzorec pro inverzní transformaci

Existenci inverzní Möbiovy transformace a její explicitní vzorec lze snadno odvodit složením inverzních funkcí jednodušších transformací. To znamená, definujte funkce g ₁ , g ₂ , g ₃ , g ₄ tak, že každé g _i je inverzní k f _i . Pak složení

{\ Displaystyle g_ {1} \ circ g_ {2} \ circ g_ {3} \ circle g_ {4} (z) = f^{-1} (z) = {\ frac {dz-b} {-cz +a}}}

dává vzorec pro inverzní.

Zachování úhlů a zobecněných kruhů

Z tohoto rozkladu vidíme, že Möbiovy transformace přenášejí všechny netriviální vlastnosti kruhové inverze . Například zachování úhlů je redukováno na prokázání, že kruhová inverze zachovává úhly, protože ostatní typy transformací jsou dilatace a izometrie (translace, reflexe, rotace), které triviálně zachovávají úhly.

Kromě toho Möbiusovy transformace mapují generalizované kruhy na generalizované kruhy, protože inverze kruhu má tuto vlastnost. Zobecněný kruh je buď kruh nebo čára, přičemž druhá je považována za kružnici procházející bodem v nekonečnu. Pamatujte, že Möbiova transformace nemusí nutně mapovat kruhy na kruhy a čáry na čáry: může je kombinovat. I když mapuje kruh na jiný kruh, nemusí nutně mapovat střed prvního kruhu na střed druhého kruhu.

Zachování křížového poměru

Křížové poměry jsou pod Möbiusovými transformacemi neměnné. To znamená, že pokud Möbiova transformace mapuje čtyři různé body na čtyři odlišné body , pak ${\ Displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4}}$ ${\ displaystyle w_ {1}, w_ {2}, w_ {3}, w_ {4}}$

{\ displaystyle {\ frac {(z_ {1} -z_ {3}) (z_ {2} -z_ {4})} {(z_ {2} -z_ {3}) (z_ {1} -z_ { 4})}} = {\ frac {(w_ {1} -w_ {3}) (w_ {2} -w_ {4})} {(w_ {2} -w_ {3}) (w_ {1} -w_ {4})}}.}

Pokud je jedním z bodů bod v nekonečnu, musí být příčný poměr definován přijetím příslušného limitu; např. křížový poměr je ${\ Displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4}}$ ${\ Displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, \ infty}$

{\ displaystyle {\ frac {(z_ {1} -z_ {3})} {(z_ {2} -z_ {3})}}.}

Křížový poměr čtyř různých bodů je skutečný právě tehdy, když jimi prochází čára nebo kruh. Je to další způsob, jak ukázat, že Möbiusovy transformace zachovávají zobecněné kruhy.

Časování

Dva body z ₁ a z ₂ jsou spojeny s ohledem na zobecněnou kružnici C , pokud je dána zobecněná kružnice D procházející z ₁ a z ₂ a řezající C ve dvou bodech a a b , ( z ₁ , z ₂ ; a , b ) jsou v harmonickém křížovém poměru (tj. jejich křížový poměr je −1). Tato vlastnost nezávisí na volbě kružnice D . Tato vlastnost je také někdy označována jako symetrická vzhledem k přímce nebo kružnici.

Dva body z , z ^∗ jsou sdružené vzhledem k přímce, pokud jsou symetrické vzhledem k přímce. Dva body jsou spojeny vzhledem ke kruhu, pokud jsou vyměněny inverzí vzhledem k tomuto kruhu.

Bod z ^∗ konjugovaný k z, když L je přímka určená vektorem e ^iθ v bodě z _0, lze explicitně zadat jako

{\ Displaystyle z^{*} = e^{2i \ theta} {\ overline {z-z_ {0}}}+z_ {0}.}

Bod z ^∗ konjugovaný k z, když C je kruh o poloměru r se středem z _0, lze explicitně zadat jako

{\ Displaystyle z^{*} = {\ frac {r^{2}} {\ overline {z-z_ {0}}}}+z_ {0}}

Protože Möbiusovy transformace zachovávají zobecněné kruhy a křížové poměry, zachovávají také konjugaci.

Projektivní maticové reprezentace

Přirozené působení PGL (2, C ) na komplexní projektivní linii CP ¹ je přesně přirozené působení skupiny Möbius na Riemannovu sféru, kde projektivní linie CP ¹ a Riemannova sféra jsou identifikovány následovně:

{\ Displaystyle [z_ {1}: z_ {2}] \ \ strongsim [z_ {1}/z_ {2}, \ 1].}

Zde [ z ₁ : z ₂ ] jsou homogenní souřadnice na CP ¹ ; bod [1: 0] odpovídá bodu ∞ Riemannovy sféry. Použitím homogenních souřadnic lze zjednodušit mnoho konkrétních výpočtů zahrnujících Möbiusovy transformace, protože není třeba rozlišovat případy týkající se ∞.

S každým invertibilním komplexem 2 × 2 matice

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} = {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}}}

můžeme spojit Möbiovu transformaci

{\ Displaystyle [z, \ 1] {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}} \ = \ [az+b, \ cz+d] \ = \ \ left [{\ frac {az+ b} {cz+d}}, \ 1 \ vpravo] \ = \ f (z).}

Podmínka ad - bc ≠ 0 je ekvivalentní podmínce, že determinant výše uvedené matice je nenulový, tj. Že matice je invertibilní.

Je snadné zkontrolovat, že pak bude součin dvou matic spojen se složením dvou odpovídajících Möbiusových transformací. Jinými slovy, mapa

{\ displaystyle \ pi \ colon \ operatorname {GL} (2, \ mathbb {C}) \ to \ operatorname {Aut} ({\ widehat {\ mathbb {C}}})}}

z obecné lineární skupiny GL (2, C ) do skupiny Möbius, která posílá matici do transformace f , je skupinový homomorfismus .

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

Všimněte si, že jakákoli matice získaná vynásobením komplexním skalárem λ určuje stejnou transformaci, takže Möbiova transformace určuje její matici pouze

do skalárních násobků. Jinými slovy: ZAŘÍZENÍ jádro z

n

se skládá ze všech skalárních násobků identita matice I , a první izomorfizmu teorém teorie skupina uvádí, že kvocient skupina GL (2, C ) / (( C \ {0}) I ) je izomorfní ke skupině Möbius. Tato kvocientová skupina je známá jako projektivní lineární skupina a obvykle se označuje PGL (2, C ).

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle \ operatorname {Aut} ({\ widehat {\ mathbb {C}}}) \ cong \ operatorname {PGL} (2, \ mathbb {C}).}

Stejná identifikace PGL (2, K ) se skupinou zlomkových lineárních transformací a se skupinou projektivních lineárních automorfismů projektivní linie platí pro jakékoli pole K , což je fakt algebraického zájmu, zejména pro konečná pole, ačkoli komplexní čísla mají největší geometrický zájem.

Omezíme -li se na matice určující jedničky, mapa

π se

omezí na surjektivní mapu ze speciální lineární skupiny SL (2, C ) do skupiny Möbius; v omezeném nastavení je jádro tvořeno plusem a mínusem identity a kvocientová skupina SL (2, C ) / {± I }, označená PSL (2, C ), je tedy také izomorfní vůči skupině Möbius:

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle \ operatorname {Aut} ({\ widehat {\ mathbb {C}}}) \ cong \ operatorname {PSL} (2, \ mathbb {C}).}

Z toho vidíme, že skupina Möbius je 3-dimenzionální komplexní Lieova skupina (nebo 6-dimenzionální skutečná Lieova skupina). Je to polojednoduché non- kompaktní Lež skupiny.

Všimněte si, že existují přesně dvě matice s jednotkovým determinantem, které lze použít k reprezentaci jakékoli dané Möbiovy transformace. To znamená, že SL (2, C ) je dvojitý kryt PSL (2, C ). Protože je SL (2, C ) jednoduše připojen , je univerzálním krytem skupiny Möbius. Proto je základní skupina skupiny Möbius je Z ₂ .

Určení transformace třemi body

Vzhledem k množině tří odlišných bodů z ₁ , z ₂ , z ₃ na Riemannově kouli a druhé sadě odlišných bodů w ₁ , w ₂ , w ₃ existuje přesně jedna Möbiova transformace f ( z ) s f ( z _i ) = w _i pro i = 1,2,3. (Jinými slovy: působení skupiny Möbius na Riemannovu sféru je ostře 3-tranzitivní .) Existuje několik způsobů, jak z daných množin bodů určit f ( z ).

Mapování nejprve na 0, 1, ∞

Je snadné ověřit, že Möbiova transformace

{\ Displaystyle f_ {1} (z) = {\ frac {(z-z_ {1}) (z_ {2} -z_ {3})} {(z-z_ {3}) (z_ {2}- z_ {1})}}}

s maticí

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} _ {1} = {\ begin {pmatrix} z_ {2} -z_ {3} &-z_ {1} (z_ {2} -z_ {3}) \\ z_ {2} -z_ {1} &-z_ {3} (z_ {2} -z_ {1}) \ end {pmatrix}}}

mapy z ₁ , z ₂ , z ₃ až 0, 1, ∞. Pokud je jedno ze z _i ∞, pak správný vzorec pro je získán z výše uvedeného prvního dělením všech záznamů z _i a poté přijetím limitu z _i → ∞.

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} _ {1}}

Pokud je podobně definováno pro mapu

w ₁ , w ₂ , w ₃ až 0, 1, ∞, pak se matice, která mapuje z _1,2,3 až w _1,2,3, stane

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} _ {2}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} = {\ mathfrak {H}} _ {2}^{-1} {\ mathfrak {H}} _ {1}.}

Stabilizátor {0, 1, ∞} (jako neuspořádaná množina) je podskupina známá jako anharmonická skupina .

Explicitní determinantní vzorec

Rovnice

{\ Displaystyle w = {\ frac {az+b} {cz+d}}}

je ekvivalentní rovnici standardní hyperboly

{\ Displaystyle cwz-az+dw-b = 0}

v rovině ( z , w ). Problém sestrojení Möbiovy transformace mapující trojici na jinou trojici je tedy ekvivalentní nalezení koeficientů a , b , c , d hyperboly procházející body . Explicitní rovnici lze nalézt vyhodnocením determinantu

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} (z)}

{\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3})}

{\ displaystyle (w_ {1}, w_ {2}, w_ {3})}

{\ displaystyle (z_ {i}, w_ {i})}

{\ Displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} zw & z & w & 1 \\ z_ {1} w_ {1} & z_ {1} & w_ {1} & 1 \\ z_ {2} w_ {2} & z_ {2} & w_ {2} & 1 \\ z_ {3} w_ {3} & z_ {3} & w_ {3} & 1 \ end {pmatrix}} \,}

pomocí Laplaceova rozšíření v první řadě. Výsledkem jsou determinantní vzorce

{\ Displaystyle a = \ det {\ begin {pmatrix} z_ {1} w_ {1} & w_ {1} & 1 \\ z_ {2} w_ {2} & w_ {2} & 1 \\ z_ {3} w_ {3 } & w_ {3} & 1 \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle b = \ det {\ begin {pmatrix} z_ {1} w_ {1} & z_ {1} & w_ {1} \\ z_ {2} w_ {2} & z_ {2} & w_ {2} \\ z_ {3} w_ {3} & z_ {3} & w_ {3} \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle c = \ det {\ begin {pmatrix} z_ {1} & w_ {1} & 1 \\ z_ {2} & w_ {2} & 1 \\ z_ {3} & w_ {3} & 1 \ end {pmatrix}} }

{\ Displaystyle d = \ det {\ begin {pmatrix} z_ {1} w_ {1} & z_ {1} & 1 \\ z_ {2} w_ {2} & z_ {2} & 1 \\ z_ {3} w_ {3 } & z_ {3} & 1 \ end {pmatrix}}}

pro koeficienty a, b, c, d reprezentující matice . Sestrojená matice má determinant rovný, který nezmizí, pokud z _i resp. w _i jsou párově odlišné, takže Möbiova transformace je dobře definována. Pokud je jeden z bodů z _i nebo w _i ∞, pak nejprve rozdělíme všechny čtyři determinanty touto proměnnou a poté vezmeme limit, když se proměnná blíží ∞.

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ Displaystyle (z_ {1} -z_ {2}) (z_ {1} -z_ {3}) (z_ {2} -z_ {3}) (w_ {1} -w_ {2}) (w_ { 1} -w_ {3}) (w_ {2} -w_ {3})}

Podskupiny skupiny Möbius

Pokud požadujeme, aby koeficienty a , b , c , d Möbiovy transformace byla reálná čísla s ad - bc = 1 , získáme podskupinu Möbiusovy skupiny označenou jako PSL (2, R ) . Toto je skupina těch Möbiových transformací, které mapují horní polorovinu H = x + i y : y > 0 na sebe, a je rovna skupině všech biholomorfních (nebo ekvivalentně: bijektivních , konformních a orientačně zachovávajících) map H → H . Pokud je zavedena správná metrika , horní polorovina se stane modelem hyperbolické roviny H ² , Poincarého poloroviny a PSL (2, R ) je skupina všech izometrií zachovávajících orientaci H ² v tomto Modelka.

Podskupina všech Möbiusových transformací, které mapují otevřený disk D = z : | z | <1 k sobě se skládá ze všech transformací formuláře

{\ Displaystyle f (z) = e^{i \ phi} {\ frac {z+b} {{\ bar {b}} z+1}}}

s ∈ R , b ∈ C a | b | <1. Toto je rovna skupiny všech biholomorphic (nebo ekvivalentně: bijective, úhlu zachování a orientace zachovávající) mapuje D → D . Zavedením vhodné metriky se otevřený disk promění v další model hyperbolické roviny, model disku Poincaré , a tato skupina je skupinou všech izometrií zachovávajících orientaci H ² v tomto modelu.

{\ displaystyle \ phi}

Protože obě výše uvedené podskupiny slouží jako izometrické skupiny H ² , jsou izomorfní. Konjugací s transformací je dán konkrétní izomorfismus

{\ Displaystyle f (z) = {\ frac {z+i} {iz+1}}}

který bijectively mapuje disk otevřené jednotky do horní poloviny roviny.

Alternativně zvažte otevřený disk s poloměrem r se středem v r i . Poincaréův model disku na tomto disku se stane identickým s modelem horní poloviny roviny, když se r blíží ∞.

Maximální kompaktní podskupina skupiny Möbius je dána (

Tóth 2002 )

{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {0}: = \ left \ {z \ mapsto {\ frac {uz-{\ bar {v}}} {vz+{\ bar {u}}}}: | u |^{2}+| v |^{2} = 1 \ vpravo \},}

a odpovídá pod izomorfismus do projektivní speciální jednotné skupiny napájecího zdroje (2, C ), který je izomorfní na speciální ortogonální skupina SO (3) otáček ve třech rozměrech, a mohou být interpretovány jako rotací Riemann sféry. Každá konečná podskupina je sdružena do této maximální kompaktní skupiny, a proto přesně odpovídají polyhedrálním skupinám, bodovým skupinám ve třech dimenzích .

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} \ cong \ operatorname {PSL} (2, \ mathbb {C})}

Icosahedrální skupiny Möbiusových transformací použil Felix Klein k poskytnutí analytického řešení kvintické rovnice v ( Klein 1888 ); moderní expozice je uvedena v ( Tóth 2002 ).

Pokud požadujeme, aby koeficienty a , b , c , d Möbiovy transformace byly celá čísla s ad - bc = 1, získáme modulární skupinu PSL (2, Z ), diskrétní podskupinu PSL (2, R ) důležitou v studium mřížek v komplexní rovině, eliptických funkcí a eliptických křivek . Diskrétní podskupiny PSL (2, R ) jsou známé jako fuchsijské skupiny ; jsou důležité při studiu Riemannových povrchů .

Klasifikace

Zobrazí se hyperbolická transformace. Předobrazy jednotkové kružnice jsou Apolloniovy kruhy s poměrem vzdálenosti c / a a ohnisky při- b / a a- d / c .

Ze stejného ložisek - b / a - d / c Pro červené kruhy na záření přes původu.

V následující diskusi budeme vždy předpokládat, že reprezentující matice je normalizována tak, že . ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$ ${\ Displaystyle \ det {\ mathfrak {H}} = ad-bc = 1}$

Non-identity Möbius transformace jsou běžně klasifikovány do čtyř typů, parabolické , eliptické , hyperbolické a loxodromické , přičemž hyperbolické jsou podtřídou loxodromických. Klasifikace má algebraický i geometrický význam. Geometricky, různé typy mají za následek různé transformace komplexní roviny, jak ukazují obrázky níže.

Tyto čtyři typy lze odlišit pohledem na stopu . Všimněte si, že trasování je neměnné v

konjugaci , tj.

{\ displaystyle \ operatorname {tr} {\ mathfrak {H}} = a+d}

{\ displaystyle \ operatorname {tr} \, {\ mathfrak {GHG}}^{-1} = \ operatorname {tr} \, {\ mathfrak {H}},}

a tak každý člen třídy konjugace bude mít stejnou stopu. Každá Möbiova transformace může být zapsána tak, že její reprezentující matice má jednu determinantní (vynásobením záznamů vhodným skalárem). Dvě Möbiovy transformace (obě nejsou stejné jako transformace identity) s jsou konjugované právě tehdy, když

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}, {\ mathfrak {H}} '}

{\ Displaystyle \ det {\ mathfrak {H}} = \ det {\ mathfrak {H}} '= 1}

{\ displaystyle \ operatorname {tr} ^{2} {\ mathfrak {H}} = \ operatorname {tr} ^{2} {\ mathfrak {H}} '.}

Parabolické transformace

Neidentifikovaná Möbiova transformace definovaná maticí determinantní je prý

parabolická, pokud

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle \ operatorname {tr} ^{2} {\ mathfrak {H}} = (a+d) ^{2} = 4}

(takže stopa je plus nebo mínus 2; buď může pro danou transformaci nastat, protože je určena pouze k podepsání). Ve skutečnosti má jedna z voleb pro stejný charakteristický polynom X ² −2 X +1 jako matice identity, a je proto unipotentní . Möbiova transformace je parabolická právě tehdy, pokud má v rozšířené komplexní rovině právě jeden pevný bod , což se stane právě tehdy, když ji lze definovat maticovým konjugátem

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}} = \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

který popisuje překlad v komplexní rovině.

Množina všech parabolických Möbiových transformací s daným pevným bodem v , spolu s identitou, tvoří podskupinu izomorfní ke skupině matic ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}}}$

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ mid b \ in \ mathbb {C} \ right \};}

toto je příklad z unipotentní zbytek z Borel podskupiny (skupiny Möbius, nebo SL (2, C ) pro skupinu matice, pojem je definován pro jakékoliv redukční Lieova skupiny ).

Charakteristická konstanta

Všechny neparabolické transformace mají dva pevné body a jsou definovány maticí spojenou s

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ lambda & 0 \\ 0 & \ lambda ^{-1} \ end {pmatrix}}}

s komplexním číslem λ nerovným 0, 1 nebo −1, což odpovídá dilataci/rotaci prostřednictvím násobení komplexním číslem k = λ ² , které se nazývá charakteristická konstanta nebo multiplikátor transformace.

Eliptické transformace

Smithův diagram , použitý elektrotechniků pro analýzu přenosové linky , je vizuální znázornění eliptického Möbius transformace y = (Z-1) / (z + 1). Každý bod na Smithově grafu současně představuje jak hodnotu z (dole vlevo), tak odpovídající hodnotu Γ (vpravo dole) pro | Γ | <1.

Transformace se říká, že eliptická , pokud může být reprezentován maticí , jehož stopa je skutečný s ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$

{\ displaystyle 0 \ leq \ operatorname {tr} ^{2} {\ mathfrak {H}} <4.}

Transformace je eliptická právě tehdy, když | λ | = 1 a λ ≠ ± 1. Při psaní je spojena eliptická transformace ${\ Displaystyle \ lambda = e^{i \ alpha}}$

{\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha &-\ sin \ alpha \\\ sin \ alpha & \ cos \ alpha \ end {pmatrix}}}

s α skutečným.

Všimněte si, že pro jakýkoli s charakteristickou konstantní k je charakteristická konstanta je k ⁿ . Všechny Möbiovy transformace konečného řádu jsou tedy eliptické transformace, konkrétně přesně ty, kde λ je kořenem jednoty , nebo ekvivalentně kde α je racionální násobek $π$ . Nejjednodušší možnost zlomkového násobku znamená α = $π$ /2, což je také jedinečný případ , se také označuje jako ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}^{n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tr} {\ mathfrak {H}} = 0}$ kruhová transformace ; to geometricky odpovídá otáčení o 180 ° kolem dvou pevných bodů. Tato třída je ve formě matice reprezentována jako:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}

K dispozici jsou 3 zástupci upevňovací {0, 1, ∞}, které jsou tři transpozice v symetrie skupiny těchto 3 body: který fixuje 1 a swapy 0 s ∞ (otáčení o 180 ° kolem bodu 1 a -1), , který fixuje ∞ a prohodí 0 s 1 (otočení o 180 ° kolem bodů 1/2 a ∞ ), a který fixuje 0 a zamění 1 s ∞ (otočení o 180 ° kolem bodů 0 a 2).

{\ Displaystyle 1/z,}

{\ Displaystyle 1-z}

{\ Displaystyle z/(z-1)}

Hyperbolické transformace

Transformační se říká, že hyperbolické , pokud může být reprezentován maticí , jehož stopa je

skutečný s

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle \ operatorname {tr} ^{2} {\ mathfrak {H}}> 4.}

Transformace je hyperbolická právě tehdy, je -li λ skutečná a λ ≠ ± 1.

Loxodromické transformace

Transformace je loxodromická, pokud není v [0,4]. Transformace je loxodromická právě tehdy, když . ${\ displaystyle \ operatorname {tr} ^{2} {\ mathfrak {H}}}$ ${\ Displaystyle | \ lambda | \ neq 1}$

Historicky, navigace podle loxodrome nebo loxodromy odkazuje na dráze konstantní ložiska ; výsledná cesta je logaritmická spirála , tvarem podobná transformacím komplexní roviny, kterou vytváří loxodromická Möbiova transformace. Viz níže geometrické obrázky.

Obecná klasifikace

Proměna	Trace na druhou	Multiplikátory	Zástupce třídy
Oběžník	σ = 0	k = −1	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \ end {pmatrix}}}$	z ↦ - z
Eliptický	0 ≤ σ <4	\| k \| = 1 ${\ Displaystyle k = e^{\ pm i \ theta} \ neq 1}$	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} e^{i \ theta /2} & 0 \\ 0 & e^{-i \ theta /2} \ end {pmatrix}}}$	z ↦ e ^{i θ} z
Parabolický	σ = 4	k = 1	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$	z ↦ z + a
Hyperbolický	4 <σ <∞	${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {R} ^{+}}$ ${\ Displaystyle k = e^{\ pm \ theta} \ neq 1}$	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} e^{\ theta /2} & 0 \\ 0 & e^{-\ theta /2} \ end {pmatrix}}}$	z ↦ e ^θ z
Loxodromic	σ ∈ C \ [0,4]	${\ displaystyle \| k \| \ neq 1}$ ${\ Displaystyle k = \ lambda ^{2}, \ lambda ^{-2}}$	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ lambda & 0 \\ 0 & \ lambda ^{-1} \ end {pmatrix}}}$	z ↦ kz

Skutečný případ a poznámka k terminologii

Nad reálnými čísly (pokud musí být koeficienty reálné) neexistují žádné nehyperbolické loxodromické transformace a klasifikace je na eliptické, parabolické a hyperbolické, jako pro skutečné kužely . Terminologie je kvůli zvažuje polovinu absolutní hodnotu trasování | tr | / 2, jako výstřednost transformace - dělení 2 koriguje dimenzi, takže identita má výstřednost 1 (tr / n je někdy používán jako alternativa pro stopu z tohoto důvodu) a absolutní hodnota koriguje, že stopa je definována pouze do faktoru ± 1 kvůli práci v PSL. Alternativně lze použít polovinu stopy na druhou jako proxy pro druhou mocninu excentricity, jak bylo provedeno výše; tyto klasifikace (ale ne přesné hodnoty excentricity, protože kvadratura a absolutní hodnoty jsou různé) souhlasí se skutečnými stopami, ale ne s komplexními stopami. Stejná terminologie se používá pro klasifikaci prvků SL (2, R ) (2násobný obal) a analogické klasifikace se používají jinde. Loxodromické transformace jsou v podstatě komplexním jevem a odpovídají komplexním excentricitám.

Geometrická interpretace charakteristické konstanty

Následující obrázek zobrazuje (po stereografické transformaci z koule do roviny) dva pevné body Möbiovy transformace v neparabolickém případě:

Charakteristickou konstantu lze vyjádřit logaritmem :

{\ Displaystyle e^{\ rho +\ alpha i} = k.}

Když je vyjádřen tímto způsobem, skutečné číslo ρ se stane faktorem expanze. Udává, jak odpudivý je pevný bod γ ₁ a jak atraktivní je γ ₂ . Skutečné číslo α je rotační faktor, který udává, do jaké míry transformace otočí rovinu proti směru hodinových ručiček o γ ₁ a ve směru hodinových ručiček o γ ₂ .