Sada Mandelbrot - Mandelbrot set

Sada Mandelbrot (černá) v souvisle barevném prostředí

Přehrávejte média

Progresivní nekonečné iterace sekce „Nautilus“ sady Mandelbrot vykreslené pomocí webGL

Animace Mandelbrot založená na statickém počtu iterací na pixel

Detail sady Mandelbrot

Set Mandelbrot ( / m Æ n d əl b r ɒ t / ) je sada z komplexních čísel , pro které je funkce není rozbíhají do nekonečna, když iterovat z , tj, pro které je sekvence , atd, zůstává ohraničený v absolutní hodnota. Jeho definice je připsána Adrienovi Douadymu, který ji pojmenoval na počest matematika Benoita Mandelbrota , průkopníka fraktální geometrie. ${\ displaystyle c}$ ${\ Displaystyle f_ {c} (z) = z^{2}+c}$ ${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle f_ {c} (0)}$ ${\ displaystyle f_ {c} (f_ {c} (0))}$

Přiblížení do sady Mandelbrot

Obrázky Mandelbrotovy sady vykazují propracovanou a nekonečně komplikovanou hranici, která odhaluje postupně stále jemnější rekurzivní detaily při rostoucích zvětšeních, čímž je hranice Mandelbrotovy sady fraktální křivkou . „Styl“ tohoto opakujícího se detailu závisí na oblasti zkoumaného souboru. Obrázky sady Mandelbrot mohou být vytvořeny vzorkováním komplexních čísel a testováním, pro každý bod vzorku, zda se sekvence dostane do nekonečna . Ošetření skutečné a imaginární část z jako obraz poloha na komplexní rovině , pixely pak může být barevné podle toho, jak brzy sekvence protíná libovolně zvolenou prahovou hodnotu (prahová hodnota musí být alespoň 2, ale jinak je libovolný). Pokud je udržována konstantní a místo toho se mění počáteční hodnota , získá se odpovídající Julia nastavená pro bod . ${\ displaystyle c,}$ ${\ Displaystyle f_ {c} (0), f_ {c} (f_ {c} (0)), \ dotsc}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle | f_ {c} (0) |, | f_ {c} (f_ {c} (0)) |, \ dotsc}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ Displaystyle z}$ ${\ displaystyle c}$

Sada Mandelbrot se stala populární mimo matematiku jak pro svou estetickou přitažlivost, tak jako příklad složité struktury vyplývající z aplikace jednoduchých pravidel. Je to jeden z nejznámějších příkladů matematické vizualizace , matematické krásy a motivu .

Dějiny

První publikovaný snímek sady Mandelbrot od Roberta W. Brookse a Petera Matelského v roce 1978

Mandelbrotova sada má svůj původ ve složité dynamice , oboru, který poprvé zkoumali francouzští matematici Pierre Fatou a Gaston Julia na počátku 20. století. Tento fraktál byl poprvé definován a nakreslen v roce 1978 Robertem W. Brooksem a Peterem Matelskim jako součást studie Kleinianových skupin . Dne 1. března 1980, na IBM ‚s Thomas J. Watson Research Center v Yorktown Heights , New York , Benoit Mandelbrot poprvé viděl vizualizaci sadě.

Mandelbrot zkoumal parametrů prostoru a kvadratických polynomů v článku, který se objevil v roce 1980. Matematický Studie Mandelbrot set opravdu začal s prací matematiků Adrien Douady a John H. Hubbard (1985), kdo založil mnoho z jeho základních vlastností a pojmenovaných soubor na počest Mandelbrota za jeho vlivnou práci ve fraktální geometrii .

Matematici Heinz-Otto Peitgen a Peter Richter se proslavili propagací souboru fotografiemi, knihami (1986) a mezinárodně putovním exponátem německého Goethe-Institutu (1985).

Titulní článek časopisu Scientific American ze srpna 1985 seznámil širokou veřejnost s algoritmem pro výpočet Mandelbrotovy sady. Kryt představoval obrázek umístěný na -0,909 + -0,275 i a byl vytvořen Peitgen et al. Sada Mandelbrot se proslavila v polovině osmdesátých let minulého století jako ukázka počítačové grafiky , kdy se osobní počítače staly dostatečně výkonnými na vykreslení a zobrazení sady ve vysokém rozlišení.

Práce Douadyho a Hubbarda se časově shodovala s obrovským nárůstem zájmu o komplexní dynamiku a abstraktní matematiku a studium Mandelbrotovy sady je od té doby středobodem tohoto oboru. Vyčerpávající seznam všech, kteří od té doby přispěli k pochopení této sady, je dlouhý, ale bude zahrnovat Jean-Christophe Yoccoze , Mitsuhiro Shishikuru , Curt McMullen , John Milnor a Michail Lyubich .

Formální definice

Mandelbrot souboru je množina hodnot c v komplexní rovině , pro které obíhají v kritickém bodu Z = 0 v rámci iteraci z kvadratické mapy

{\ displaystyle z_ {n+1} = {z_ {n}}^{2}+c}

zůstává ohraničený . Tak, komplexní číslo c je členem Mandelbrot, pokud se při počínaje Z ₀ = 0 a opakovaně použití iterace je absolutní hodnota o Z _n zbytků ohraničené pro všechna n > 0.

Například pro c = 1 je posloupnost 0, 1, 2, 5, 26, ..., která má sklon k nekonečnu , takže 1 není prvek Mandelbrotovy sady. Na druhou stranu, pro c = −1 je posloupnost 0, −1, 0, −1, 0, ..., která je ohraničená, takže −1 do množiny patří.

Mandelbrotovu množinu lze také definovat jako lokus propojenosti rodiny polynomů .

Základní vlastnosti

Sada Mandelbrot je kompaktní sada , protože je uzavřená a obsažená v uzavřeném disku o poloměru 2 kolem počátku . Přesněji řečeno, bod náleží do sady Mandelbrotů právě tehdy, když za všechny . Jinými slovy, absolutní hodnota z musí zůstat na nebo pod 2 pro být v Mandelbrot, jako v případě, že absolutní hodnota přesáhne 2, sekvence unikne do nekonečna. ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle | z_ {n} | \ leq 2}$ ${\ Displaystyle n \ geq 0}$ ${\ displaystyle z_ {n}}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle M}$

Korespondence mezi Mandelbrot souboru a rozvětvení diagramu na logistické mapy

S iteracemi vykreslenými na svislé ose je Mandelbrotova sada vidět, že rozdvojuje, kde je množina konečná

{\ displaystyle z_ {n}}

Průnik z s reálné ose je přesně interval [-2, 1/4]. Parametry v tomto intervalu lze dát do vzájemné korespondence s parametry skutečné logistické rodiny , ${\ displaystyle M}$

{\ Displaystyle x_ {n+1} = rx_ {n} (1-x_ {n}), \ quad r \ in [1,4].}

Korespondence je poskytována uživatelem

{\ Displaystyle z = r \ left ({\ frac {1} {2}}-x \ right), \ quad c = {\ frac {r} {2}} \ left (1-{\ frac {r} {2}} \ right).}

Ve skutečnosti to dává korespondenci mezi celým prostorem parametrů logistické rodiny a prostorem Mandelbrotovy sady.

Douady a Hubbard ukázali, že sada Mandelbrot je propojená . Ve skutečnosti zkonstruovali explicitní konformní izomorfismus mezi komplementem Mandelbrotovy sady a komplementem disku uzavřené jednotky . Mandelbrot původně předpokládal, že Mandelbrotova sada je odpojená . Tato domněnka byla založena na počítačových obrázcích generovaných programy, které nejsou schopny detekovat tenká vlákna spojující různé části . Po dalších experimentech revidoval své dohady a rozhodl, že by to mělo být spojeno. Existuje také topologický důkaz propojenosti, který v roce 2001 objevil Jeremy Kahn . ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$

Vnější paprsky probuzení poblíž období 1 kontinentu v Mandelbrotově sadě

Dynamický vzorec pro uniformizaci komplementu Mandelbrotovy sady, vyplývající z Douadyova a Hubbardova důkazu propojenosti , dává vznik externím paprskům Mandelbrotovy sady. Tyto paprsky mohou být použity ke studiu Mandelbrotovy sady kombinatorickými termíny a tvoří páteř Yoccozovy parapuzzle . ${\ displaystyle M}$

Hranice sady Mandelbrot je přesně rozdvojení locus kvadratické rodiny; to znamená, že soubor parametrů, u nichž se dynamika při malých změnách prudce mění, lze sestrojit jako limitní množinu posloupnosti rovinných algebraických křivek , Mandelbrotových křivek obecného typu známého jako polynomiální lemniscates . Mandelbrotovy křivky jsou definovány nastavením p ₀ = z , p _n₊₁ = p _n² + z , a poté interpretací sady bodů | p _n ( z ) | = 2 v komplexní rovině jako křivka ve skutečné karteziánské rovině stupně 2 ⁿ⁺¹ v x a y . Každá křivka n > 0 je mapováním počáteční kružnice o poloměru 2 pod p _n . Tyto algebraické křivky se objevují na obrázcích Mandelbrotovy sady vypočítané pomocí níže uvedeného „algoritmu doby úniku“. ${\ displaystyle c}$ ${\ Displaystyle c.}$

Další vlastnosti

Hlavní kardioidní a dobové žárovky

Období hyperbolických komponent

Při pohledu na obrázek Mandelbrotovy sady si člověk okamžitě všimne velké oblasti ve tvaru kardioidů ve středu. Tento hlavní kardioid je oblast parametrů, pro které je mapa ${\ displaystyle c}$

{\ Displaystyle f_ {c} (z) = z^{2}+c}

má přitažlivý pevný bod . Skládá se ze všech parametrů formuláře

{\ Displaystyle c = {\ frac {\ mu} {2}} \ left (1-{\ frac {\ mu} {2}} \ right)}

pro některé na disku otevřené jednotky . ${\ Displaystyle \ mu}$

Vlevo od hlavního kardioidu, připojeného k němu v bodě , je vidět žárovka kruhového tvaru . Tato žárovka se skládá z parametrů, pro které má cyklus přitahování období 2 . Tato sada parametrů je skutečná kružnice, a to o poloměru 1/4 kolem -1. ${\ displaystyle c = -3/4}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle f_ {c}}$

Existuje nekonečně mnoho dalších žárovek tečných k hlavnímu kardioidu: pro každé racionální číslo , s p a q coprime , existuje taková žárovka, která je tangenta k parametru ${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$

{\ Displaystyle c _ {\ frac {p} {q}} = {\ frac {e^{2 \ pi i {\ frac {p} {q}}}} {2}} \ left (1-{\ frac {e^{2 \ pi i {\ frac {p} {q}}}} {2}} \ right).}

Cyklus přitahování ve 2/5 žárovkách vykreslený na sadě Julia (animace)

Tato žárovka se nazývá -žárovka Mandelbrotovy sady. Skládá se z parametrů, které mají přitahovací cyklus období a kombinační rotační číslo . Přesněji řečeno, periodické složky Fatou obsahující přitahovací cyklus se dotýkají ve společném bodě (běžně nazývaném -fixovaný bod ). Pokud tyto součásti označíme proti směru hodinových ručiček, pak součást namapujeme na součást . ${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$ ${\ displaystyle q}$ $\alpha$ ${\ displaystyle U_ {0}, \ dots, U_ {q-1}}$ ${\ displaystyle f_ {c}}$ ${\ displaystyle U_ {j}}$ ${\ displaystyle U_ {j+p \, (\ operatorname {mod} q)}}$

Přitahování cyklů a sad Julie pro parametry v žárovkách 1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4 a 1/5

Změna chování vyskytující se na je známý jako rozdvojení : zaujetí pevných bodech „srazí“ s odpuzující období q -cycle. Když procházíme parametrem rozdvojení do -žárovky, přitažlivý pevný bod se změní na odpuzující pevný bod (pevný bod) a perioda q -cyklus se stává přitažlivou. ${\ displaystyle c _ {\ frac {p} {q}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

Hyperbolické komponenty

Všechny žárovky, se kterými jsme se setkali v předchozí části, byly vnitřní součásti sady Mandelbrot, ve které mají mapy atraktivní periodický cyklus. Takovým komponentám se říká hyperbolické komponenty . ${\ displaystyle f_ {c}}$

Předpokládá se, že toto jsou jediné vnitřní oblasti . Tento problém, známý jako hustota hyperbolicity , může být nejdůležitějším otevřeným problémem v oblasti komplexní dynamiky . Hypotetické nehyperbolické komponenty Mandelbrotovy sady jsou často označovány jako „queer“ nebo duchové komponenty. U skutečných kvadratických polynomů byla na tuto otázku kladně zodpovězena v 90. letech nezávisle od Lyubicha a Graczyka a Świątka. (Všimněte si, že hyperbolické komponenty protínající skutečnou osu přesně odpovídají periodickým oknům ve Feigenbaumově diagramu . Tento výsledek tedy uvádí, že taková okna existují blízko každého parametru v diagramu.) ${\ displaystyle M}$

Ne každé hyperbolické složky lze dosáhnout sledem přímých rozdvojení od hlavního kardioidu Mandelbrotovy sady. K takovéto složce však lze dosáhnout sledem přímých rozdvojení od hlavního kardioidu malé Mandelbrotovy kopie (viz níže).

Každá z hyperbolických složek má střed , což je bod c takový, že vnitřní doména Fatou má super přitažlivý cyklus-to znamená, že přitažlivost je nekonečná (viz obrázek zde ). To znamená, že cyklus obsahuje kritický bod 0, takže 0 je po několika iteracích iterován zpět k sobě. Máme to tedy pro některé n . Nazýváme -li tento polynom (necháme jej záviset na c místo na z ), máme to a ten stupeň je . Můžeme tedy sestrojit centra hyperbolických složek postupným řešením rovnic . Počet nových center vyrobených v každém kroku udává Sloane's OEIS : A000740 . ${\ displaystyle f_ {c} (z)}$ ${\ displaystyle f_ {c}^{n} (0) = 0}$ ${\ displaystyle Q^{n} (c)}$ ${\ Displaystyle Q^{n+1} (c) = Q^{n} (c)^{2}+c}$ ${\ displaystyle Q^{n} (c)}$ ${\ Displaystyle 2^{n-1}}$ ${\ Displaystyle Q^{n} (c) = 0, n = 1,2,3, ...}$

Místní připojení

Předpokládá se, že sada Mandelbrot je lokálně připojena . Tato slavná domněnka je známá jako MLC (pro Mandelbrot lokálně připojený ). Díky práci Adriena Douadyho a Johna H. Hubbarda by tato domněnka vedla k jednoduchému abstraktnímu modelu Mandelbrotovy sady „sevřeného disku“. Zejména by to znamenalo výše uvedenou důležitou domněnku o hyperbolicitě .

Práce Jeana-Christophe Yoccoze zavedla místní konektivitu sady Mandelbrot u všech konečně renormalizovatelných parametrů; to znamená zhruba řečeno ty, které jsou obsaženy pouze v konečném množství malých Mandelbrotových kopií. Od té doby byla místní konektivita prokázána v mnoha dalších bodech , ale úplné dohady jsou stále otevřené. ${\ displaystyle M}$

Sebe podobnost

Self-podobnost v Mandelbrot set znázorněno přiblížením v kulatém znaku, zatímco rýžování ve negative- x směru. Střed displeje se pohybuje od (−1, 0) do (−1,31, 0), zatímco pohled se zvětšuje od 0,5 × 0,5 do 0,12 × 0,12, aby se přiblížil poměru Feigenbaum .

{\ Displaystyle \ delta}

Sada Mandelbrot je podobná zvětšení v sousedstvích Misiurewiczových bodů . Rovněž se předpokládá, že je podobný generalizovaným Feigenbaumovým bodům (např. −1,401155 nebo −0,1528 + 1,0397 i ), ve smyslu konvergence k stanovené hranici. Sada Mandelbrot obecně není striktně podobná sobě, ale je kvazi-sobě podobná, protože malé mírně odlišné verze sebe sama lze nalézt v libovolně malých měřítcích. Tyto malé kopie sady Mandelbrot se mírně liší, většinou kvůli tenkým vláknům, která je spojují s hlavním tělem sady.

Další výsledky

Hausdorff na hranici sady Mandelbrot rovná 2 jak je stanoveno v důsledku Mitsuhiro Shishikura . Není známo, zda hranice Mandelbrotovy sady má kladnou planární Lebesgueovu míru .

V modelu reálného výpočtu Blum – Shub – Smale není Mandelbrotova sada vyčíslitelná, ale její doplněk je vyčíslitelně vyčíslitelný . Mnoho jednoduchých objektů ( např . Graf umocnění) však také nelze v modelu BSS spočítat. V současné době není známo, zda je Mandelbrotova sada spočítatelná v modelech skutečných výpočtů založených na vypočítatelné analýze , které více odpovídají intuitivnímu pojmu „vykreslení sady počítačem“. Hertling ukázal, že Mandelbrotova sada je v tomto modelu vyčíslitelná, pokud je hypotéza hyperbolicity pravdivá.

Vztahy s Julií se nastavují

V důsledku definice Mandelbrotovy množiny existuje úzká shoda mezi geometrií Mandelbrotovy množiny v daném bodě a strukturou odpovídající Juliiny sady . Například bod je v sadě Mandelbrot přesně tehdy, když je připojena odpovídající sada Julia.

Tento princip je využíván prakticky ve všech hlubokých výsledcích sady Mandelbrot. Shishikura například dokázal, že pro hustou sadu parametrů na hranici Mandelbrotovy množiny má sada Julia Hausdorffovu dimenzi dvě, a poté tyto informace přenese do roviny parametrů. Podobně Yoccoz nejprve prokázal místní konektivitu sad Julia, než ji stanovil pro Mandelbrotovu sadu na odpovídajících parametrech. Adrien Douady formuluje tento princip jako:

Pluh v dynamické rovině a sklizeň v prostoru parametrů.

Geometrie

Pro každé racionální číslo , kde p a q jsou relativně prvočísla , se z hlavního kardioidu bifurkáta hyperbolická složka období q . Část Mandelbrotovy sady spojená s hlavním kardioidem v tomto rozdvojovacím bodě se nazývá p / q -limb . Počítačové experimenty naznačují, že průměr končetiny má sklon k nule . Nejlepší současný odhad je Yoccozova nerovnost , která uvádí, že velikost má tendenci k nule . ${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {q^{2}}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {q}}}$

Perioda- q končetina bude mít v horní části své končetiny q- 1 „antén“. Počítáním těchto antén tedy můžeme určit periodu dané žárovky. Můžeme také najít čitatele rotačního čísla p tak , že každou anténu očíslujeme proti směru hodinových ručiček od končetiny od 1 do q - 1 a zjistíme, která anténa je nejkratší.

Pi v sadě Mandelbrot

Ve snaze prokázat, že tloušťka p / q -limb je nulová, provedl David Boll v roce 1991 počítačový experiment, kde vypočítal počet iterací potřebných k tomu, aby se série rozcházela pro z = -3/4+ iε ( -3/4jejich umístění). Protože řada se neliší pro přesnou hodnotu z = -3/4, počet požadovaných iterací se zvyšuje s malým ε . Ukazuje se, že vynásobení hodnoty ε počtem požadovaných iterací vede k aproximaci π, která se stává lepší pro menší ε . Například pro ε = 0,0000001 je počet iterací 31415928 a produkt je 3,1415928. V roce 2001 Aaron Klebanoff prokázal Bollův objev.

Fibonacciho posloupnost v Mandelbrotově sadě

Lze ukázat, že Fibonacciho posloupnost se nachází v Mandelbrotově sadě a že existuje vztah mezi hlavním kardioidem a Fareyovým diagramem . Po namapování hlavního kardioidu na disk si lze všimnout, že množství antén, které se rozprostírá od další největší hyperbolické komponenty a které se nachází mezi dvěma dříve vybranými komponentami, následuje s Fibonacciho sekvencí. Množství antén také koreluje s Fareyho diagramem a jmenovatelem v rámci odpovídajících zlomkových hodnot, z nichž se týkají vzdálenosti kolem disku. Obě části těchto zlomkových hodnot lze poté sečíst dohromady, aby se vytvořilo umístění další hyperbolické složky v sekvenci. Fibonacciho posloupnost 1, 2, 3, 5, 8, 13 a 21 lze tedy nalézt v Mandelbrotově sadě. ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}}}$

Galerie obrázků sekvence zoomu

Sada Mandelbrot zobrazuje složitější detaily, čím blíže se člověk dívá nebo zvětšuje obraz, obvykle se tomu říká „přiblížení“. Následující příklad zvětšení obrazové sekvence na vybranou hodnotu c dává dojem nekonečného bohatství různých geometrických struktur a vysvětluje některá jejich typická pravidla.

Zvětšení posledního obrázku vzhledem k prvnímu je asi 10 ¹⁰ až 1. Pokud jde o běžný monitor, představuje část Mandelbrotovy sady o průměru 4 miliony kilometrů. Jeho hranice by ukázala astronomický počet různých fraktálních struktur.

Start. Sada Mandelbrot s kontinuálně barevným prostředím.
Mezera mezi „hlavou“ a „tělem“, nazývanou také „údolí mořských koní“
Vlevo dvojité spirály, vpravo „mořští koně“
„Mořský koník“ vzhůru nohama

„Tělo“ mořského koníka je složeno z 25 „paprsků“, které se skládají ze dvou skupin, z nichž každá má 12 „paprsků“ a jeden „paprsek“ spojující hlavní kardioid. Tyto dvě skupiny lze určitým druhem metamorfózy připsat dvěma „prstům“ „horní ruky“ Mandelbrotovy sady; proto se počet „paprsků“ zvyšuje z jednoho „mořského koníka“ na další o 2; „rozbočovač“ je takzvaný Misiurewiczův bod . Mezi „horní částí těla“ a „ocasem“ lze rozeznat zkreslenou malou kopii Mandelbrotovy sady zvanou satelit.

Centrální koncový bod „ocasu mořského koníka“ je také bod Misiurewicz .
Část „ocasu“ - existuje pouze jedna cesta sestávající z tenkých struktur, které vedou celým „ocasem“. Tato klikatá cesta prochází „rozbočovači“ velkých objektů s 25 „paprsky“ na vnitřním a vnějším okraji „ocasu“; sada Mandelbrot je tedy jednoduše připojená sada, což znamená, že kolem díry nejsou žádné ostrovy ani žádné smyčkové silnice.
Družice. Dva „ocásky mořských koní“ jsou začátkem řady soustředných korun se satelitem uprostřed. Otevřete toto umístění v interaktivním prohlížeči.
Každá z těchto korun se skládá z podobných „ocásků mořských koní“; jejich počet roste s mocninami 2, což je typický jev v prostředí satelitů. Unikátní cesta do spirálového centra prochází satelitem z drážky kardioidu do horní části „antény“ na „hlavě“.
„Anténa“ satelitu. Může být rozpoznáno několik satelitů druhého řádu.
„Údolí mořských koní“ satelitu. Znovu se objeví všechny struktury od začátku zoomu.
Dvojité spirály a „mořští koníci“-na rozdíl od 2. obrázku od začátku mají přílohy tvořené strukturami jako „ocasy mořských koní“; to ukazuje typické propojení n + 1 různých struktur v prostředí satelitů řádu n , zde pro nejjednodušší případ n = 1.
Dvojspirály se satelity druhého řádu-analogicky k „mořským koním“ lze dvojspirály interpretovat jako metamorfózu „antény“
Ve vnější části příloh mohou být uznány ostrovy struktur; mají tvar jako Julia sady J _c ; největší z nich najdete ve středu „dvojháčku“ na pravé straně
Část „dvojitého háku“
Ostrovy
Detail jednoho ostrova
Detail spirály. Otevřete toto umístění v interaktivním prohlížeči.

Zdá se, že ostrovy ve třetím až posledním kroku se skládají z nekonečně mnoha částí, jako jsou sady Cantor , jak je tomu ve skutečnosti u odpovídající sady Julia J _c . Jsou však spojeny drobnými strukturami, takže celek představuje jednoduše spojenou množinu. Drobné struktury se navzájem setkávají na satelitu ve středu, který je příliš malý na to, aby byl při tomto zvětšení rozpoznán. Hodnota c pro odpovídající J _c není středem obrazu, ale vzhledem k hlavnímu tělu Mandelbrotovy sady má stejnou polohu jako střed tohoto obrazu vzhledem k satelitu zobrazenému v 6. kroku zoomu.

Zobecnění

Přehrávejte média

Animace sady Multibrot pro d od 0 do 5 (vlevo) a od 0,05 do 2 (vpravo).

Sada 4D Julia může být promítána nebo řezána do 3D, a proto je také možný 4D Mandelbrot.

Multibrotové sady

Multibrotové sady jsou ohraničené množiny nalezené v komplexní rovině pro členy obecné monické univariační polynomiální rodiny rekurzí

{\ Displaystyle z \ mapsto z^{d}+c. \}

Pro celé číslo d jsou tyto sady lokusy propojenosti pro sady Julia postavené ze stejného vzorce. Rovněž byl studován lokus plné kubické propojenosti; zde se uvažuje o rekurzi se dvěma parametry , jejíž dva kritické body jsou komplexní odmocniny parametru k . Pokud jsou oba kritické body stabilní, je parametr v lokusu kubické propojenosti. U obecných rodin holomorfních funkcí se hranice Mandelbrotovy sady zobecňuje na bifurkační lokus , což je přirozený objekt ke studiu, i když lokus propojenosti není užitečný. ${\ Displaystyle z \ mapsto z^{3}+3 kz+c}$

Sada Multibrot se získá změnou hodnoty exponentu d . Výrobek má video, které ukazuje vývoj od d = 0 až 7, přičemž v tomto okamžiku ještě 6 i ( d - 1) laloky po celém obvodu . Podobný vývoj s negativními exponenty má za následek (1 - d ) rozštěpy na vnitřní straně prstence.

Vyšší rozměry

Neexistuje dokonalé rozšíření sady Mandelbrot do 3D. Důvodem je, že neexistuje 3D analog komplexních čísel, na kterých by bylo možné iterovat. Existuje však rozšíření komplexních čísel do 4 dimenzí, nazývaných kvaterniony , které vytváří dokonalé rozšíření sady Mandelbrot a Julia se nastavuje do 4 dimenzí. Ty pak mohou být buď v řezu nebo promítnuty do 3D struktury. Kvaternionová (4-dimenzionální) Mandelbrotova množina je však jednoduše revolučním tělesem 2-dimenzionální Mandelbrotovy sady (v rovině JK), a je tedy do značné míry nezajímavá na pohled, protože nemá žádnou z vlastností, které by se dalo očekávat od 4-dimenzionálního fraktálu. Když vezmeme 3-dimenzionální průřez v d = 0 (q = a + bi + cj + dk), dostaneme rotaci 2-dimenzionální Mandelbrotovy sady kolem skutečné osy.

Jiná, neanalytická mapování

Obrázek fraktálu Tricorn / Mandelbar

Obzvláště zajímavý je fraktální tricorn , lokus propojenosti anti-holomorfní rodiny

{\ Displaystyle z \ mapsto {\ bar {z}}^{2}+c.}

Na trojúhelník (někdy také nazývaný Mandelbar ) narazil Milnor ve své studii parametrických řezů skutečných kubických polynomů . Je to lokálně souvislá. Tato vlastnost je zděděna lokusem propojenosti skutečných kubických polynomů.

Další neanalytickou generalizací je fraktál Burning Ship , který se získává iterací následujícího:

{\ Displaystyle z \ mapsto (| \ Re \ left (z \ right) |+i | \ Im \ left (z \ right) |)^{2}+c.}

Počítačové kresby

Existuje velké množství různých algoritmů pro vykreslení Mandelbrotovy sady pomocí výpočetního zařízení. Zde bude ukázán nejpoužívanější a nejjednodušší algoritmus, konkrétně naivní „algoritmus únikového času“. V algoritmu doby úniku je proveden opakující se výpočet pro každý bod x , y v oblasti vykreslení a na základě chování tohoto výpočtu je pro tento pixel vybrána barva.

Umístění x a y každého bodu se používají jako počáteční hodnoty při opakujícím se nebo iteračním výpočtu (podrobně popsáno níže). Výsledek každé iterace se použije jako výchozí hodnoty pro další. Hodnoty se kontrolují během každé iterace, aby se zjistilo, zda dosáhly kritického stavu „úniku“ nebo „záchrany“. Pokud je této podmínky dosaženo, výpočet se zastaví, nakreslí se pixel a prozkoumá se další bod x , y .

Barva každého bodu představuje, jak rychle hodnoty dosáhly únikového bodu. Černá barva se často používá k zobrazení hodnot, které neuniknou před limitem iterace, a postupně se pro body, které unikají, používají jasnější barvy. To dává vizuální představu o tom, kolik cyklů bylo zapotřebí před dosažením podmínky úniku.

K vykreslení takového obrázku je oblast komplexní roviny, kterou uvažujeme, rozdělena na určitý počet pixelů . Chcete -li vybarvit jakýkoli takový pixel, ponechte jeho střed. Nyní opakujeme kritický bod 0 pod a v každém kroku kontrolujeme, zda má oběžný bod poloměr větší než 2. V takovém případě víme, že nepatří do Mandelbrotovy sady, a obarvíme náš pixel podle čísla iterací používaných ke zjištění. V opačném případě udržujeme iteraci až do fixního počtu kroků, načež se rozhodneme, že náš parametr je v sadě Mandelbrot „pravděpodobně“, nebo alespoň velmi blízko, a vybarvíme pixel na černo. ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle f_ {c}}$ ${\ displaystyle c}$

V pseudokódu by tento algoritmus vypadal následovně. Algoritmus nepoužívá komplexní čísla a ručně simuluje operace s komplexními čísly pomocí dvou reálných čísel pro ty, kteří nemají složitý datový typ . Program může být zjednodušen, pokud programovací jazyk zahrnuje operace typu komplexních dat .

for each pixel (Px, Py) on the screen do
    x0 := scaled x coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot X scale (-2.00, 0.47))
    y0 := scaled y coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot Y scale (-1.12, 1.12))
    x := 0.0
    y := 0.0
    iteration := 0
    max_iteration := 1000
    while (x*x + y*y ≤ 2*2 AND iteration < max_iteration) do
        xtemp := x*x - y*y + x0
        y := 2*x*y + y0
        x := xtemp
        iteration := iteration + 1
    
    color := palette[iteration]
    plot(Px, Py, color)

Tady, týkající se pseudocode k , a : ${\ displaystyle c}$ ${\ Displaystyle z}$ ${\ displaystyle f_ {c}}$

${\ Displaystyle z = x+iy \}$
${\ Displaystyle z^{2} = x^{2}+i2xy-y^{2} \}$
${\ displaystyle c = x_ {0}+iy_ {0} \}$

a tak, jak je vidět na pseudokódu při výpočtu x a y :

${\ Displaystyle x = \ mathop {\ mathrm {Re}} (z^{2}+c) = x^{2} -y^{2}+x_ {0}}$ a ${\ Displaystyle y = \ mathop {\ mathrm {Im}} (z^{2}+c) = 2xy+y_ {0}. \}$

Chcete -li získat barevné obrázky sady, lze přiřazení barvy každé hodnotě počtu provedených iterací provést pomocí jedné z řady funkcí (lineární, exponenciální atd.).

Reference v populární kultuře

Sada Mandelbrot je mnohými považována za nejpopulárnější fraktál a v populární kultuře na ni bylo několikrát odkazováno .

Píseň Jonathana Coultona „Mandelbrot Set“ je poctou jak samotnému fraktálu, tak muži, po kterém je pojmenována, Benoit Mandelbrot.
Druhá kniha série Mode od Piers Anthony , Fractal Mode , popisuje svět, který je dokonalým 3D modelem sady.
Arthur C. Clarke románu The Ghost od Grand Banks má umělé jezero vyrobený kopírovat tvar Mandelbrot souboru.
Benoit Mandelbrot a stejnojmenná sada byly předmětem Google Doodle 20. listopadu 2020 (96. narozeniny zesnulého Benoita Mandelbrota).
Americká rocková skupina Heart má na obalu svého alba z roku 2004 Jupiters Darling obraz Mandelbrota .
Televizní seriál Dirk Gently's Holistic Detective Agency (2016) prominentně představuje sadu Mandelbrot v souvislosti s vizemi postavy Amandy. Ve druhé sezóně má její bunda na zadní straně velký obraz fraktálu.

Viz také

Reference

Další čtení

Milnor, John W. (2006). Dynamika v jedné komplexní proměnné . Annals of Mathematics Studies. 160 (třetí ed.). Princeton University Press. ISBN 0-691-12488-4.
(Poprvé se objevil v roce 1990 jako předtisk Stony Brook IMS , dostupný jako arXiV: math.DS/9201272 )
Lesmoir-Gordon, Nigel (2004). Barvy nekonečna: Krása, Síla a smysl pro fraktály . ISBN 1-904555-05-5.
(obsahuje DVD s Arthurem C. Clarkem a Davidem Gilmourem )
Peitgen, Heinz-Otto ; Jürgens, Hartmut ; Saupe, Dietmar (2004) [1992]. Chaos a fraktály: Nové hranice vědy . New York: Springer. ISBN 0-387-20229-3.

Languages

In other projects