Markovova nerovnost - Markov's inequality

Markovova nerovnost dává horní mez pro míru množiny (označená červeně), kde překračuje danou úroveň . Vazba kombinuje úroveň s průměrnou hodnotou .

{\ displaystyle f (x)}

{\ displaystyle \ varepsilon}

{\ displaystyle \ varepsilon}

{\ displaystyle f}

V teorii pravděpodobnosti , Markova nerovnost připisovat horní hranice pro pravděpodobnost , že nezáporné funkce z náhodné veličiny je větší než nebo rovný určité pozitivní konstanty . Je pojmenována po ruském matematikovi Andreji Markovovi , přestože se objevila již dříve v díle Pafnutyého Chebyševa (Markovova učitelka) a mnoho zdrojů, zejména v analýze , ji označuje jako Chebyševovu nerovnost (někdy ji nazývá první Chebyševskou nerovností, zatímco odkazující na Chebyshevovu nerovnost jako na druhou Chebyshevovu nerovnost) nebo Bienayméinu nerovnost.

Markovova nerovnost (a další podobné nerovnosti) spojují pravděpodobnosti s očekáváním a poskytují (často volné, ale stále užitečné) hranice kumulativní distribuční funkce náhodné proměnné.

Prohlášení

Pokud $X$ je nezáporná náhodná proměnná a $> 0$ , pak pravděpodobnost, že $X$ je alespoň je nejvýše očekávání $X$ děleno :

{\ displaystyle \ operatorname {P} (X \ geq a) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (X)} {a}}.}

Nech (kde ); pak můžeme přepsat předchozí nerovnost jako ${\ displaystyle a = {\ tilde {a}} \ cdot \ operatorname {E} (X)}$ ${\ displaystyle {\ tilde {a}}> 0}$

{\ displaystyle \ operatorname {P} (X \ geq {\ tilde {a}} \ cdot \ operatorname {E} (X)) \ leq {\ frac {1} {\ tilde {a}}}.}

V jazyce teorie měření Markovova nerovnost uvádí, že pokud $(X, Σ, μ)$ je prostor měření , je měřitelnou rozšířenou funkcí s reálným hodnocením a $ε$ $> 0$ , pak ${\ displaystyle f}$

{\ Displaystyle \ mu (\ {x \ in X: | f (x) | \ geq \ varepsilon \}) \ leq {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ int _ {X} | f | \, d \ mu.}

Tato míra-teoretická definice je někdy označována jako Čebyševova nerovnost .

Rozšířená verze pro monotónně rostoucí funkce

Pokud $φ$ je monotónně rostoucí nezáporná funkce pro nezáporné reality, $X$ je náhodná proměnná $a \geq 0$ a $φ (a)> 0$ , pak

{\ displaystyle \ operatorname {P} (| X | \ geq a) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (\ varphi (| X |))} {\ varphi (a)}}.}

Okamžitý důsledek, který používá vyšší momenty $X$ podporované na hodnotách větších než 0, je

{\ displaystyle \ operatorname {P} (| X | \ geq a) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (| X | ^ {n})} {a ^ {n}}}.}

Důkazy

Oddělujeme případ, ve kterém je měřicí prostor pravděpodobnostním prostorem, od obecnějšího případu, protože případ pravděpodobnosti je pro obecného čtenáře přístupnější.

Intuice

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ operatorname {P} (X <a) \ cdot \ operatorname {E} (X | X <a)+\ operatorname {P} (X \ geq a) \ cdot \ operatorname {E} (X | X \ geq a)}$ kde je větší než 0, protože rv je nezáporné a je větší než proto, že podmíněné očekávání zohledňuje pouze hodnoty větší, než které rv může trvat. ${\ displaystyle \ operatorname {E} (X | X <a)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} (X | X \ geq a)}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle X}$

Proto intuitivně , což přímo vede k . ${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) \ geq \ operatorname {P} (X \ geq a) \ cdot \ operatorname {E} (X | X \ geq a) \ geq a \ cdot \ operatorname {P} ( X \ geq a)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P} (X \ geq a) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (X)} {a}}}$

Pravděpodobnost-teoretický důkaz

Metoda 1: Z definice očekávání:

{\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}

X je však nezáporná náhodná proměnná, tedy

{\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} xf (x) \, dx = \ int _ {0}^{\ infty} xf (x) \, dx}

Z toho můžeme odvodit,

{\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {0}^{a} xf (x) \, dx+\ int _ {a}^{\ infty} xf (x) \, dx \ geq \ int _ {a} ^ {\ infty} xf (x) \, dx \ geq \ int _ {a} ^ {\ infty} af (x) \, dx = a \ int _ {a} ^ {\ infty} f (x) \, dx = a \ jméno operátora {Pr} (X \ geq a)}

Odtud nám to rozdělení umožňuje vidět ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle \ Pr (X \ geq a) \ leq \ operatorname {E} (X) / a}

Metoda 2: Pro každou událost nechť je indikátor náhodná proměnná , tj. Pokud nastane a jinak. ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle I_ {E}}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle I_ {E} = 1}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle I_ {E} = 0}$

Pomocí této notace máme, jestli k události dojde, a jestli . Pak, vzhledem k tomu , ${\ displaystyle I _ {(X \ geq a)} = 1}$ ${\ Displaystyle X \ geq a}$ ${\ displaystyle I _ {(X \ geq a)} = 0}$ ${\ displaystyle X <a}$ ${\ displaystyle a> 0}$

{\ displaystyle aI _ {(X \ geq a)} \ leq X}

což je zřejmé, vezmeme -li v úvahu dvě možné hodnoty . Pokud tedy , a tak . Jinak máme , pro které a tak . ${\ Displaystyle X \ geq a}$ ${\ displaystyle X <a}$ ${\ displaystyle I _ {(X \ geq a)} = 0}$ ${\ Displaystyle aI _ {(X \ geq a)} = 0 \ leq X}$ ${\ Displaystyle X \ geq a}$ ${\ displaystyle I_ {X \ geq a} = 1}$ ${\ displaystyle aI_ {X \ geq a} = a \ leq X}$

Protože je to monotónně rostoucí funkce, přijetí očekávání obou stran nerovnosti ji nemůže zvrátit. Proto, ${\ displaystyle \ operatorname {E}}$

{\ displaystyle \ operatorname {E} (aI _ {(X \ geq a)}) \ leq \ operatorname {E} (X).}

Nyní, s použitím linearity očekávání, je levá strana této nerovnosti stejná jako

{\ displaystyle a \ operatorname {E} (I _ {(X \ geq a)}) = a (1 \ cdot \ operatorname {P} (X \ geq a) +0 \ cdot \ operatorname {P} (X <a )) = a \ operatorname {P} (X \ geq a).}

Tak to máme

{\ displaystyle a \ operatorname {P} (X \ geq a) \ leq \ operatorname {E} (X)}

a protože a > 0 můžeme obě strany rozdělit a .

Opatření teoretické míry

Můžeme předpokládat, že funkce není záporná, protože do rovnice vstupuje pouze její absolutní hodnota. Nyní vezměte v úvahu skutečné hodnoty s na X dané vztahem ${\ displaystyle f}$

{\ Displaystyle s (x) = {\ begin {cases} \ varepsilon, & {\ text {if}} f (x) \ geq \ varepsilon \\ 0, & {\ text {if}} f (x) < \ varepsilon \ end {cases}}}

Pak . Podle definice Lebesgueova integrálu ${\ displaystyle 0 \ leq s (x) \ leq f (x)}$

{\ displaystyle \ int _ {X} f (x) \, d \ mu \ geq \ int _ {X} s (x) \, d \ mu = \ varepsilon \ mu (\ {x \ v X: \, f (x) \ geq \ varepsilon \})}

a protože obě strany lze rozdělit pomocí , získání ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$

{\ Displaystyle \ mu (\ {x \ in X: \, f (x) \ geq \ varepsilon \}) \ leq {1 \ over \ varepsilon} \ int _ {X} f \, d \ mu.}

Dodatky

Čebyševova nerovnost

Čebyševova nerovnost využívá rozptyl k omezení pravděpodobnosti, že se náhodná proměnná odchýlí daleko od průměru. Konkrétně

{\ displaystyle \ operatorname {P} (| X- \ operatorname {E} (X) | \ geq a) \ leq {\ frac {\ operatorname {Var} (X)} {a ^ {2}}},}

pro jakékoli $a > 0$ . Zde $Var (X)$ je rozptyl X, definovaný jako:

{\ displaystyle \ operatorname {Var} (X) = \ operatorname {E} [(X- \ operatorname {E} (X))^{2}].}

Čebyševova nerovnost vyplývá z Markovovy nerovnosti zvážením náhodné proměnné

{\ displaystyle (X- \ operatorname {E} (X))^{2}}

a konstanta, pro kterou se čte Markovova nerovnost ${\ displaystyle a ^ {2},}$

{\ displaystyle \ operatorname {P} ((X- \ operatorname {E} (X))^{2} \ geq a^{2}) \ leq {\ frac {\ operatorname {Var} (X)} {a ^ {2}}}.}

Tento argument lze shrnout (kde „MI“ označuje použití Markovovy nerovnosti):

{\ displaystyle \ operatorname {P} (| X- \ operatorname {E} (X) | \ geq a) = \ operatorname {P} \ left ((X- \ operatorname {E} (X)) ^ {2} \ geq a ^ {2} \ right) \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {MI}} {}} {\ leq}} \, {\ frac {\ operatorname {E} \ left ((X- \ operatorname {E} (X)) ^ {2} \ right)} {a ^ {2}}} = {\ frac {\ operatorname {Var} (X)} {a ^ {2}}}.}

Další důsledky

„Monotónní“ výsledek lze prokázat:

${\ displaystyle \ operatorname {P} (| X | \ geq a) = \ operatorname {P} {\ big (} \ varphi (| X |) \ geq \ varphi (a) {\ big)} \, {\ přesahující {\ underset {\ mathrm {MI}} {}} {\ leq}} \, {\ frac {\ operatorname {E} (\ varphi (| X |))}} {\ varphi (a)}}}$
Výsledek, že pro nezáporné náhodné veličiny $X$ je kvantil funkce z $X$ splňuje:

${\ displaystyle Q_ {X} (1-p) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (X)} {p}},}$

důkaz pomocí

${\ displaystyle p \ leq \ operatorname {P} (X \ geq Q_ {X} (1-p)) \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {MI}} {}} {\ leq}} \, {\ frac {\ operatorname {E} (X)} {Q_ {X} (1-p)}}.}$
Dovolit být self-adjoint matrix-cenil náhodnou proměnnou a $> 0$ . Pak ${\ displaystyle M \ succeq 0}$

${\ displaystyle \ operatorname {P} (M \ npreceq a \ cdot I) \ leq {\ frac {\ operatorname {tr} \ left (E (M) \ right)} {na}}.}$

lze zobrazit podobným způsobem.