Markovovo číslo - Markov number

První úrovně Markovova číselného stromu

Markov číslo nebo číslo Markoff je kladné celé číslo x , y nebo z , která je součástí řešení Markov Diophantine rovnice

studoval Andrey Markoff  ( 1879 , 1880 ).

Prvních pár Markovových čísel je

1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433, 610, 985, 1325, ... (sekvence A002559 v OEIS )

objevující se jako souřadnice Markovových trojic

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1 , 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169 , 985), (13, 34, 1325), ...

Markovských čísel a Markovských trojic je nekonečně mnoho.

Markovský strom

Existují dva jednoduché způsoby, jak získat nový Markovův trojnásobek ze starého ( xyz ). Nejprve je možné permutovat 3 čísla x , y , z , takže zejména lze normalizovat trojky tak, že x  ≤  y  ≤  z . Za druhé, pokud ( xyz ) je Markovův trojnásobek, pak Vieta, která skočí , je ( xy , 3 xy  -  z ). Použitím této operace dvakrát vrátíte stejný trojitý, s nímž jste začali. Spojením každé normalizované Markovovy trojky s 1, 2 nebo 3 normalizovanými trojkami lze získat z toho graf začínající od (1,1,1) jako v diagramu. Tento graf je propojen; jinými slovy, každá Markovova trojka může být spojena s (1,1,1) sledem těchto operací. Začneme -li například (1, 5, 13), získáme jeho tři sousedy (5, 13, 194), (1, 13, 34) a (1, 2, 5) v Markovově stromu, pokud z je nastaveno na 1, 5 a 13. Například počínaje (1, 1, 2) a obchodování y a z před každou iterací transformace uvádí Markovovy trojky s Fibonacciho čísly. Počínaje stejným tripletem a obchodováním x a z před každou iterací získáme trojky s Pell čísly.

Všechna čísla Markov na sousedících s oblastí 2 jsou lichá indexovaných čísla Pell (nebo čísla n takové, že 2 n 2  - 1 je čtverec, OEISA001653 ), a všechna čísla Markov na sousedících s oblastí 1 jsou lichá indexovaná Fibonacciho čísla ( OEISA001519 ). Markovských trojic formy je tedy nekonečně mnoho

kde F x je x th Fibonacciho číslo. Stejně tak existuje nekonečně mnoho markovských trojic formy

kde P x je x th Pell číslo .

Další vlastnosti

Kromě dvou nejmenších singulárních trojic (1,1,1) a (1,1,2) se každé Markovovo triple skládá ze tří odlišných celých čísel.

Jednoznačnost hypotéza říká, že pro danou Markov číslo c , tam je přesně jedna normalizovaná řešení s c jako jeho největší element: důkazy o této domněnky byly nárokovány, ale nikdo se zdá být v pořádku.

Lichá Markovova čísla jsou 1 více než násobky 4, zatímco dokonce Markovova čísla jsou 2 více než násobky 32.

Ve svém příspěvku z roku 1982 Don Zagier usoudil, že n. Markovovo číslo je dáno asymptoticky

Chyba je vykreslena níže.

Chyba v aproximaci velkých Markovových čísel

Kromě toho poukázal na to , že aproximace původní diofantské rovnice je ekvivalentní s f ( t ) = arcosh (3 t /2). Domněnku dokázali Greg McShane a Igor Rivin v roce 1995 pomocí technik z hyperbolické geometrie.

N th počtu Lagrangeova lze vypočítat z n -té číslo Markov se vzorcem

Markovova čísla jsou součty (nejedinečných) párů čtverců.

Markovova věta

Markoff ( 1879 , 1880 ) ukázal, že kdyby

je neurčitá binární kvadratická forma se skutečnými koeficienty a diskriminační , pak existují celá čísla xy, pro která f bere nenulovou hodnotu absolutní hodnoty nanejvýš

pokud f není Markovova forma : konstanta krát forma

takové to

kde ( pqr ) je Markovova trojka.

K dispozici je také Markov teorém v topologii , pojmenoval syna Andreje Markova, Andrey Andrejevič Markov .

Matice

Nechť Tr označuje funkci trasování přes matice. Pokud jsou X a Y v SL 2 ( ), pak

Tr ( X ) Tr ( Y ) Tr ( X Y ) + Tr ( XYX −1Y −1 ) + 2 = Tr ( X ) 2 + Tr ( Y ) 2 + Tr ( XY ) 2

takže když Tr ( XYX −1Y −1 ) = −2 pak

Tr ( X ) Tr ( Y ) Tr ( XY ) = Tr ( X ) 2 + Tr ( Y ) 2 + Tr ( XY ) 2

Zejména pokud X a Y mají také celočíselné položky, pak Tr ( X )/3, Tr ( Y )/3 a Tr ( XY )/3 jsou Markovovy trojky. Pokud XYZ  =  1 potom Tr ( XY ) = Tr ( Z ) tak, aby více symetricky, když X , Y , a Z jsou v SL 2 (ℤ) s XYZ  = 1 a komutátorem z dva z nich mají stopu −2, pak jejich stopy/3 jsou Markovovy trojky.

Viz také

Poznámky

  1. ^ Cassels (1957) str.28
  2. ^ OEISA030452 uvádí Markovova čísla, která se objevují v řešeních, kde jeden z dalších dvou výrazů je 5.
  3. ^ Cassels (1957) str.27
  4. ^ Guy (2004) s.263
  5. ^ Zhang, Ying (2007). „Shoda a jedinečnost některých Markovových čísel“ . Acta Arithmetica . 128 (3): 295–301. arXiv : matematika/0612620 . Bibcode : 2007AcAri.128..295Z . doi : 10,4064/aa128-3-7 . MR  2313995 . S2CID  9615526 .
  6. ^ Zagier, Don B. (1982). „O počtu Markoffových čísel pod danou hranicí“ . Matematika výpočtu . 160 (160): 709–723. doi : 10,2307/2007348 . JSTOR  2007348 . MR  0669663 .
  7. ^ Greg McShane; Igor Rivin (1995). „Jednoduché křivky na hyperbolických tori“. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série já . 320 (12).
  8. ^ Cassels (1957) s.39
  9. ^ Louis H. Kauffman, Uzly a fyzika , s. 95, ISBN  978-9814383011
  10. ^ Aigner, Martin (2013), „Cohnův strom“, Markovova věta a 100 let dohadů o jedinečnosti , Springer, s. 63–77, doi : 10,1007/978-3-319-00888-2_4 , ISBN 978-3-319-00887-5, MR  3098784.

Reference

Markoff, A. (1879). „První vzpomínka“ . Mathematische Annalen . 15 (3–4): 381–406. doi : 10,1007/BF02086269 . S2CID  179177894 .
Markoff, A. (1880). „Druhá paměť“ . Mathematische Annalen . 17 (3): 379–399. doi : 10,1007/BF01446234 . S2CID  121616054 .