Matematická ekonomie - Mathematical economics

Matematická ekonomie je aplikace matematických metod k reprezentaci teorií a analýze problémů v ekonomii . Podle konvence tyto aplikované metody přesahují jednoduchou geometrii, jako je diferenciální a integrální počet , diferenciální a diferenciální rovnice , maticová algebra , matematické programování a další výpočetní metody . Zastánci tohoto přístupu tvrdí, že umožňuje formulování teoretických vztahů s přísností, obecností a jednoduchostí.

Matematika umožňuje ekonomům vytvářet smysluplné, testovatelné výroky o rozsáhlých a složitých předmětech, které lze méně snadno vyjádřit neformálně. Jazyk matematiky dále umožňuje ekonomům činit konkrétní, pozitivní tvrzení o kontroverzních nebo sporných předmětech, které by bez matematiky nebyly možné. Velká část ekonomické teorie je v současné době prezentována z hlediska matematických ekonomických modelů , souboru stylizovaných a zjednodušených matematických vztahů uplatňovaných k objasnění předpokladů a implikací.

Mezi široké aplikace patří:

  • optimalizační problémy, pokud jde o rovnováhu cílů, ať už jde o domácnost, obchodní firmu nebo tvůrce politik
  • statická (nebo rovnovážná ) analýza, ve které je ekonomická jednotka (například domácnost) nebo ekonomický systém (například trh nebo ekonomika ) modelován jako neměnný
  • srovnávací statika, pokud jde o změnu z jedné rovnováhy do druhé vyvolanou změnou jednoho nebo více faktorů
  • dynamická analýza, sledování změn v ekonomickém systému v čase, například z ekonomického růstu .

Formální ekonomické modelování začalo v 19. století s využitím diferenciálního počtu k reprezentaci a vysvětlení ekonomického chování, jako je maximalizace užitku , raná ekonomická aplikace matematické optimalizace . Ekonomie se stala více matematickou disciplínou v celé první polovině 20. století, ale zavedení nových a zobecněných technik v období kolem druhé světové války , stejně jako v teorii her , by značně rozšířilo používání matematických formulací v ekonomii.

Tato rychlá systematizace ekonomiky znepokojila kritiky této disciplíny i některé známé ekonomy. John Maynard Keynes , Robert Heilbroner , Friedrich Hayek a další kritizovali široké využití matematických modelů pro lidské chování a tvrdili, že některé lidské volby jsou pro matematiku neredukovatelné.

Dějiny

Využití matematiky ve službách sociální a ekonomické analýzy se datuje do 17. století. Poté, hlavně na německých univerzitách, se objevil styl výuky, který se zabýval konkrétně podrobnou prezentací dat týkajících se veřejné správy. Gottfried Achenwall přednášel tímto způsobem a razil termín statistika . Ve stejné době, malá skupina profesorů v Anglii zavedla metodu „uvažování pomocí čísel o věcech týkajících se vlády“ a označovala tuto praxi jako politickou aritmetiku . Sir William Petty dlouze psal o problémech, které by se později týkaly ekonomů, jako jsou daně, rychlost peněz a národní důchod , ale zatímco jeho analýza byla numerická, odmítl abstraktní matematickou metodologii. Pettyho použití podrobných numerických dat (spolu s Johnem Grauntem ) by nějakou dobu ovlivnilo statistiky a ekonomy, přestože Pettyho díla byla anglickými učenci do značné míry ignorována.

Matematizace ekonomiky začala vážně v 19. století. Většina tehdejších ekonomických analýz byla tím, čemu se později říkalo klasická ekonomie . Subjekty byly diskutovány a upuštěno od nich algebraickými prostředky, ale počet nebyl použit. Ještě důležitější je, dokud Johann Heinrich von Thünen to Izolovaný stát v roce 1826, ekonomové nevyvíjel explicitní a abstraktní modely pro chování za účelem uplatnění nástroje matematiky. Thünenův model využití zemědělské půdy představuje první příklad okrajové analýzy. Thünenova práce byla z velké části teoretická, ale také těžil empirická data, aby se pokusil podpořit jeho zobecnění. Ve srovnání se svými současníky stavěl Thünen spíše ekonomické modely a nástroje, než aplikovat předchozí nástroje na nové problémy.

Mezitím nová kohorta učenců vyškolených v matematických metodách fyzikálních věd tíhla k ekonomii, obhajovala a aplikovala tyto metody na svůj předmět a dnes je popsána jako přechod od geometrie k mechanice . Mezi ně patřil WS Jevons, který v roce 1862 předložil referát o „obecné matematické teorii politické ekonomie“ a poskytl nástin pro použití teorie mezní užitečnosti v politické ekonomii. V roce 1871 vydal Principy politické ekonomie a prohlásil, že předmět jako věda „musí být matematický jednoduše proto, že se zabývá kvantitami“. Jevons očekával, že pouze sběr statistik o cenách a množstvích umožní, aby se předmět, jak byl předložen, stal exaktní vědou. Ostatní předcházeli a následovali v rozšiřování matematických reprezentací ekonomických problémů .

Marginalisté a kořeny neoklasické ekonomie

Rovnovážné veličiny jako řešení dvou reakčních funkcí v Cournotově duopolu. Každá reakční funkce je vyjádřena jako lineární rovnice závislá na požadovaném množství.

Augustin Cournot a Léon Walras postavili nástroje disciplíny axiomaticky kolem užitku a tvrdili, že jednotlivci se snažili maximalizovat svůj užitek napříč volbami způsobem, který by mohl být popsán matematicky. V té době se mělo za to, že užitečnost je kvantifikovatelná v jednotkách známých jako utils . Cournot, Walras a Francis Ysidro Edgeworth jsou považováni za předchůdce moderní matematické ekonomie.

Augustin Cournot

Cournot, profesor matematiky, vyvinul v roce 1838 matematické zpracování duopolu - tržní podmínky definované konkurencí mezi dvěma prodejci. Toto pojednání o konkurenci, poprvé publikované ve Výzkumech matematických principů bohatství , se označuje jako Cournot duopoly . Předpokládá se, že oba prodejci měli stejný přístup na trh a mohli své zboží vyrábět bez nákladů. Dále předpokládal, že obě zboží jsou homogenní . Každý prodejce by měnil svou produkci na základě produkce druhého a tržní cena by byla určena celkovým dodaným množstvím. Zisk pro každou firmu by byl určen vynásobením jejich produkce a tržní ceny za jednotku . Rozlišením funkce zisku s ohledem na množství dodávané pro každou firmu zůstal systém lineárních rovnic, jejichž souběžné řešení dávalo rovnovážné množství, cenu a zisky. Cournotovy příspěvky k matematizaci ekonomiky by byly po desetiletí opomíjeny, ale nakonec ovlivnily mnoho okrajových . Cournotovy modely duopolu a oligopolu také představují jednu z prvních formulací nespolupracujících her . Dnes lze toto řešení považovat za Nashovu rovnováhu, ale Cournotova práce předcházela moderní teorii her o více než 100 let.

Léon Walras

Zatímco Cournot poskytl řešení pro to, čemu by se později říkalo částečná rovnováha, Léon Walras se pokusil formalizovat diskusi o ekonomice jako celku prostřednictvím teorie obecné konkurenční rovnováhy . Chování každého ekonomického aktéra by bylo zvažováno na straně produkce i spotřeby. Walras původně představil čtyři samostatné modely směny, každý rekurzivně zahrnutý v dalším. Řešením výsledného systému rovnic (lineárních i nelineárních) je obecná rovnováha. V té době nebylo možné pro systém libovolně mnoha rovnic vyjádřit obecné řešení, ale Walrasovy pokusy přinesly dva slavné výsledky v ekonomii. Prvním je Walrasův zákon a druhým je princip utónování . Walrasova metoda byla na tu dobu považována za vysoce matematickou a Edgeworth se k této skutečnosti dlouze vyjadřoval ve svém přehledu Éléments d'économie politique pure (Elements of Pure Economics).

Walrasův zákon byl představen jako teoretická odpověď na problém určování řešení v obecné rovnováze. Jeho zápis se liší od moderního zápisu, ale lze jej zkonstruovat pomocí modernějšího součtového zápisu. Walras předpokládal, že v rovnováze budou všechny peníze vynaloženy na veškeré zboží: každé zboží bude za toto zboží prodáno za tržní cenu a každý kupující vynaloží svůj poslední dolar na koš zboží. Na základě tohoto předpokladu by Walras mohl ukázat, že pokud by existovalo n trhů a n-1 trhů se vyčistilo (dosáhlo rovnovážných podmínek), že by se vyčistil i n-tý trh. Nejsnáze si to lze představit na dvou trzích (ve většině textů jsou považovány za trh se zbožím a trh s penězi). Pokud jeden ze dvou trhů dosáhl rovnovážného stavu, žádné další zboží (nebo naopak peníze) nemůže vstoupit nebo vystoupit na druhý trh, takže musí být také ve stavu rovnováhy. Walras použil toto prohlášení k přechodu k důkazu existence řešení obecné rovnováhy, ale dnes se běžně používá k ilustraci zúčtování trhu na peněžních trzích na bakalářské úrovni.

Tâtonnement (zhruba francouzsky tápání směrem ) měl sloužit jako praktické vyjádření valrasovské obecné rovnováhy. Walras abstrahoval trh jako aukci zboží, kde dražitel vyvolával ceny a účastníci trhu čekali, až každý uspokojí své osobní rezervační ceny na požadované množství (pamatuje si zde, že se jedná o aukci všeho zboží, takže každý má rezervační cena za požadovaný košík zboží).

K transakcím dochází pouze tehdy, když jsou všichni kupující s danou tržní cenou spokojeni. Trh by se za tuto cenu „vyčistil“ - neexistoval by žádný přebytek ani nedostatek. Slovo tantonement se používá k popisu směrů, kterými se trh ubírá směrem k rovnováze, usazování vysokých nebo nízkých cen u různých statků, dokud není u všeho zboží dohodnuta cena. Přestože se tento proces jeví jako dynamický, Walras představil pouze statický model, protože k žádným transakcím nedojde, dokud nebudou všechny trhy v rovnováze. V praxi tímto způsobem funguje velmi málo trhů.

Francis Ysidro Edgeworth

Edgeworth představil matematické prvky ekonomie výslovně matematické psychiky: Esej o aplikace matematiky k Morální věd , publikoval v roce 1881. On přijal Jeremy Bentham ‚s felicific kalkul na ekonomické chování, takže výsledek každé rozhodnutí, které mají být převedeny do změna obslužnosti. Pomocí tohoto předpokladu Edgeworth postavil model výměny na třech předpokladech: jednotlivci se zajímají sami o sebe, jednotlivci jednají tak, aby maximalizovali užitečnost, a jednotlivci „mohou volně jednat s jiným nezávisle na ... jakékoli třetí straně“.

Edgeworth box zobrazující křivku smlouvy na ekonomiku se dvěma účastníky. V moderní řeči je označováno jako „jádro“ ekonomiky a v ekonomikách se dvěma účastníky existuje nekonečně mnoho řešení.

Vzhledem k dvěma jednotlivcům je soubor řešení, kde mohou oba jednotlivci maximalizovat užitečnost, popsán kontrakční křivkou na nyní známém jako Edgeworth Box . Technicky byla konstrukce dvoučlenného řešení Edgeworthova problému graficky vyvinuta až v roce 1924 Arthurem Lyonem Bowleym . Kontraktová křivka boxu Edgeworth (nebo obecněji u jakékoli sady řešení Edgeworthova problému pro více aktérů) se označuje jako jádro ekonomiky.

Edgeworth věnoval značné úsilí tomu, aby trval na tom, že matematické důkazy jsou vhodné pro všechny myšlenkové směry v ekonomii. Zatímco v čele The Economic Journal , publikoval několik článků kritizujících matematickou přísnost soupeřících výzkumníků, včetně Edwina Roberta Andersona Seligmana , významného skeptika matematické ekonomie. Články se zaměřily na tam a zpět ohledně daňového dopadu a reakcí producentů. Edgeworth si všiml, že monopol produkující zboží, které má společnou nabídku, ale ne společnou poptávku (jako je první třída a ekonomika v letadle, pokud letadlo létá, obě sady sedadel létají s ním), může ve skutečnosti snížit cenu, kterou vidí spotřebitele na jednu ze dvou komodit, pokud by byla uplatněna daň. Zdálo se, že zdravý rozum a tradičnější numerická analýza naznačují, že to bylo absurdní. Seligman trval na tom, že výsledky, kterých Edgeworth dosáhl, byly podivností jeho matematické formulace. Navrhl, aby předpoklad kontinuální poptávkové funkce a nekonečně malé změny daně vyústil v paradoxní předpovědi. Harold Hotelling později ukázal, že Edgeworth byl správný a že stejný výsledek („snížení ceny v důsledku daně“) by mohl nastat s přerušovanou funkcí poptávky a velkými změnami daňové sazby.

Moderní matematická ekonomie

Od pozdních 30. let 20. století byla řada nových matematických nástrojů z diferenciálního počtu a diferenciálních rovnic, konvexních množin a teorie grafů nasazena k posílení ekonomické teorie způsobem podobným novým matematickým metodám dříve aplikovaným na fyziku. Proces byl později popsán jako přechod od mechaniky k axiomatice .

Diferenciální počet

Vilfredo Pareto analyzoval mikroekonomii tím, že považoval rozhodnutí ekonomických aktérů za pokusy změnit daný příděl zboží na jiný, výhodnější příděl. Sady alokací by pak mohly být považovány za Paretově efektivní (Pareto optimum je ekvivalentní termín), když by nemohlo dojít k výměnám mezi aktéry, kteří by mohli přinést alespoň jednomu jednotlivci lepší situaci, aniž by se jiný jednotlivec měl ještě hůře. Pareto důkaz je obyčejně sjednocen s Walrassian rovnováze či neformálně připisováno Adam Smith je neviditelná ruka hypotézy. Paretovo prohlášení bylo spíše prvním formálním tvrzením o tom, co by bylo známé jako první základní věta ekonomie blahobytu . Tyto modely postrádaly nerovnosti příští generace matematické ekonomie.

V přelomovém pojednání Foundations of Economic Analysis (1947) Paul Samuelson identifikoval společné paradigma a matematickou strukturu napříč více obory v předmětu, navazující na předchozí práci Alfreda Marshalla . Nadace převzala matematické pojmy z fyziky a aplikovala je na ekonomické problémy. Tento široký pohled (například srovnání Le Chatelierova principu s utónováním ) pohání základní premisu matematické ekonomie: systémy ekonomických aktérů lze modelovat a jejich chování popisovat podobně jako jakýkoli jiný systém. Toto rozšíření navázalo na práci marginalistů v předchozím století a výrazně ji rozšířilo. Samuelson přistoupil k problémům aplikace individuální maximalizace užitku na agregované skupiny pomocí srovnávací statiky , která porovnává dva různé stavy rovnováhy po exogenní změně proměnné. Tato a další metody v knize poskytly základ pro matematickou ekonomii ve 20. století.

Lineární modely

Omezené modely obecné rovnováhy formuloval John von Neumann v roce 1937. Na rozdíl od dřívějších verzí měly modely von Neumanna omezení nerovnosti. Pro svůj model expandující ekonomiky dokázal von Neumann existenci a jedinečnost rovnováhy pomocí zobecnění Brouwerovy věty o pevném bodě . Von Neumannův model expandující ekonomiky uvažoval o maticové tužce  A - λ B s nezápornými maticemi  A a B ; von Neumann hledal pravděpodobnostní vektory pq a kladné číslo  λ, které by vyřešilo rovnici komplementarity  

p T  ( A - λ  Bq = 0,

spolu se dvěma systémy nerovnosti vyjadřujícími ekonomickou účinnost. V tomto modelu ( transponovaný ) vektor pravděpodobnosti p představuje ceny zboží, zatímco vektor pravděpodobnosti q představuje „intenzitu“, při které by běžel výrobní proces. Unikátní řešení λ představuje rychlost růstu ekonomiky, která se rovná úrokové sazbě . Dokázat existenci kladného tempa růstu a dokázat, že se tempo růstu rovná úrokové sazbě, bylo pozoruhodným úspěchem, a to i pro von Neumanna. Výsledky Von Neumanna byly vnímány jako zvláštní případ lineárního programování , kde von Neumannův model používá pouze nezáporné matice. Studium von Neumannova modelu expandující ekonomiky nadále zajímá matematické ekonomy se zájmy ve výpočetní ekonomii.

Ekonomika vstupu a výstupu

V roce 1936 ruský ekonom Wassily Leontief postavil svůj model analýzy vstupů a výstupů z tabulek „materiální bilance“ sestavených sovětskými ekonomy, kteří sami navázali na dřívější práci fyziokratů . Se svým modelem, který popisoval systém výroby a poptávkové procesy, Leontief popsal, jak změny poptávky v jednom ekonomickém sektoru ovlivní produkci v jiném. V praxi Leontief odhadoval koeficienty svých jednoduchých modelů, aby odpověděl na ekonomicky zajímavé otázky. V ekonomii výroby „technologie Leontief“ produkují výstupy pomocí konstantního podílu vstupů, bez ohledu na cenu vstupů, čímž se snižuje hodnota modelů Leontief pro porozumění ekonomikám, ale umožňuje relativně snadno odhadnout jejich parametry. Naproti tomu von Neumannův model expandující ekonomiky umožňuje výběr technik , ale koeficienty musí být odhadnuty pro každou technologii.

Matematická optimalizace

Červená tečka ve směru z jako maximum pro paraboloidní funkci vstupů (x, y)

V matematice se matematická optimalizace (nebo optimalizace nebo matematické programování) týká výběru nejlepšího prvku z nějaké sady dostupných alternativ. V nejjednodušším případě je problém optimalizace zahrnuje maximalizovat nebo minimalizovat na skutečnou funkci volbou vstupních hodnot funkce a výpočet odpovídající hodnoty z funkce. Proces řešení zahrnuje splnění obecných nezbytných a dostatečných podmínek optimality . Pro problémy s optimalizací lze použít speciální notaci, pokud jde o funkci a její vstup (y). Obecněji řečeno, optimalizace zahrnuje nalezení nejlepšího dostupného prvku nějaké funkce v definované doméně a může využívat řadu různých technik výpočetní optimalizace .

Ekonomika je úzce dostatečně souvisí s optimalizací pomocí agentů v ekonomice , která vlivná definice tím souvisí popisuje ekonomie qua vědu jako „studium lidského chování jako vztah mezi čely a omezených prostředků“ s alternativní využití. Problémy s optimalizací procházejí moderní ekonomikou, mnohé s výslovnými ekonomickými nebo technickými omezeními. V mikroekonomii je problém maximalizace užitku a jeho dvojí problém , problém minimalizace výdajů pro danou úroveň užitku, problémy ekonomické optimalizace. Teorie předpokládá, že spotřebitelé maximalizují svou užitečnost v závislosti na svých rozpočtových omezeních a že firmy maximalizují své zisky v závislosti na produkčních funkcích , vstupních nákladech a poptávce na trhu .

Ekonomická rovnováha je studována v optimalizační teorii jako klíčová složka ekonomických vět, které by v zásadě mohly být testovány na empirických datech. Novější vývoj nastal v oblasti dynamického programování a optimalizace modelování s rizikem a nejistotou , včetně aplikací na teorii portfolia , ekonomiku informací a teorii vyhledávání .

Vlastnosti optimality pro celý systém na trhu , může být uvedeno v matematické vyjádření, jak je ve formulaci dvou základních teorém ekonomického sociální péče a v modelu Arrow-Debreu ze všeobecné rovnováhy (také diskutováno níže ). Přesněji řečeno, mnoho problémů je přístupných analytickému (formulačnímu) řešení. Mnoho dalších může být dostatečně složitých, aby vyžadovaly numerické metody řešení, podporované softwarem. Ještě další jsou složité, ale dostatečně traktovatelné, aby umožňovaly vypočítatelné metody řešení, zejména vypočítatelné obecné rovnovážné modely pro celou ekonomiku.

Lineární a nelineární programování hluboce ovlivnilo mikroekonomii, která dříve zvažovala pouze omezení rovnosti. Mnoho matematických ekonomů, kteří obdrželi Nobelovy ceny za ekonomii, provedlo pozoruhodný výzkum pomocí lineárního programování: Leonid Kantorovich , Leonid Hurwicz , Tjalling Koopmans , Kenneth J. Arrow , Robert Dorfman , Paul Samuelson a Robert Solow . Kantorovich i Koopmans uznali, že George B. Dantzig si zaslouží sdílet jejich Nobelovu cenu za lineární programování. Ekonomové, kteří prováděli výzkum v nelineárním programování, také získali Nobelovu cenu, zejména Ragnar Frisch kromě Kantorovich, Hurwicz, Koopmans, Arrow a Samuelson.

Lineární optimalizace

Lineární programování bylo vyvinuto s cílem pomoci alokaci zdrojů ve firmách a v průmyslových odvětvích během 30. let v Rusku a během 40. let ve Spojených státech. Během berlínského přepravního letu (1948) bylo k plánování přepravy zásob použito lineární programování, aby se zabránilo Berlínu po sovětské blokádě vyhladovět.

Nelineární programování

Rozšíření nelineární optimalizace s omezeními nerovností bylo dosaženo v roce 1951 Albertem W. Tuckerem a Haroldem Kuhnem , kteří zvažovali problém nelineární optimalizace :

Minimalizujte podle toho, kde a kde
je funkce, kterou je třeba minimalizovat
jsou funkce omezení nerovnosti kde
jsou funkce omezení rovnosti kde .

Aby Kuhn – Tuckerův přístup umožnil omezení nerovnosti, zobecnil klasickou metodu Lagrangeových multiplikátorů , která (do té doby) umožňovala pouze omezení rovnosti. Kuhn -Tuckerův přístup inspiroval další výzkum Lagrangeovy duality, včetně léčby omezení nerovnosti. Teorie dualita nelineární programování je zvláště vyhovující při použití na konvexní minimalizaci problémů, které se těší na konvexní-analytická dualita teorie, z Fenchel a Rockafellar ; tato konvexní dualita je obzvláště silná pro polyhedrální konvexní funkce , jako jsou ty, které vznikají v lineárním programování . Lagrangeova dualita a konvexní analýza se denně používají v operačním výzkumu , při plánování elektráren, plánování výrobních plánů pro továrny a směrování leteckých společností (trasy, lety, letadla, posádky).

Variační počet a optimální kontrola

Ekonomická dynamika umožňuje změny ekonomických proměnných v čase, včetně dynamických systémů . Problém hledání optimálních funkcí pro takové změny je studován ve variačním počtu a v teorii optimálního řízení . Před druhou světovou válkou používali Frank Ramsey a Harold Hotelling k tomuto účelu variační počet.

Po práci Richarda Bellmana na dynamickém programování a anglickém překladu dřívějších prací L. Pontryagina a kol . Z roku 1962 byla v ekonomii při řešení dynamických problémů, zejména pokud jde o rovnováhu hospodářského růstu a stabilitu ekonomiky, v teorii optimálního řízení použita rozsáhlejší teorie. systémy, z nichž je učebnicovým příkladem optimální spotřeba a úspora . Zásadní rozdíl je mezi deterministickými a stochastickými kontrolními modely. Mezi další aplikace optimální teorie řízení patří například finance, zásoby a výroba.

Funkční analýza

To bylo v průběhu prokázání existence optimální rovnováhy v jeho 1937 modelu ekonomického růstu , které John von Neumann zavedeny funkční analytické metody, které zahrnují topologii v ekonomické teorii, zejména, s pevným bodem teorie přes jeho zobecnění Brouwerův fixním bodová věta . Podle von Neumannova programu Kenneth Arrow a Gérard Debreu formulovali abstraktní modely ekonomické rovnováhy pomocí konvexních množin a teorie pevných bodů. Zavedením modelu Arrow – Debreu v roce 1954 dokázali existenci (ale ne jedinečnost) rovnováhy a také dokázali, že každá Walrasova rovnováha je Paretově účinná ; rovnováhy obecně nemusí být jedinečné. V jejich modelech reprezentoval („primární“) vektorový prostor veličiny, zatímco „duální“ vektorový prostor představoval ceny .

V Rusku matematik Leonid Kantorovich vyvinul ekonomické modely v částečně uspořádaných vektorových prostorech , které zdůrazňovaly dualitu mezi veličinami a cenami. Kantorovich přejmenoval ceny na „objektivně stanovená ocenění“, která byla v ruštině zkrácena na „o. O. O.“, S narážkou na obtížnost diskuse o cenách v Sovětském svazu.

I v konečnými rozměry, pojmy funkční analýzy byly osvětleny ekonomické teorie, a to zejména v objasnění úlohy cen jako normální vektorů mailem nadrovině podporujících konvexní sady, což představuje produkce nebo spotřeby možnosti. Problémy s popisem optimalizace v čase nebo za nejistoty však vyžadují použití nekonečně dimenzionálních funkčních prostorů, protože agenti volí mezi funkcemi nebo stochastickými procesy .

Diferenciální pokles a vzestup

Práce Johna von Neumanna na funkční analýze a topologii přinesla nové základy v matematice a ekonomické teorii. Rovněž zanechalo pokročilou matematickou ekonomii s menším počtem aplikací diferenciálního počtu. Zejména teoretici obecné rovnováhy používali obecnější topologii , konvexní geometrii a optimalizační teorii více než diferenciální počet, protože přístup diferenciálního počtu nedokázal stanovit existenci rovnováhy.

Úpadek diferenciálního počtu by však neměl být přehnaný, protože diferenciální počet byl vždy používán v absolventské přípravě a v aplikacích. Diferenciální počet se navíc vrátil k nejvyšším úrovním matematické ekonomie, obecné teorii rovnováhy (GET), jak ji praktikuje „ sada GET “ (vtipné označení díky Jacquesu H. Drèzeovi ). V šedesátých a sedmdesátých letech však Gérard Debreu a Stephen Smale vedli oživení používání diferenciálního počtu v matematické ekonomii. Zejména byli schopni prokázat existenci obecné rovnováhy, kde dřívější spisovatelé selhali, kvůli jejich nové matematice: kategorie Baire z obecné topologie a Sardovo lemma z diferenciální topologie . Mezi další ekonomy spojené s používáním diferenciální analýzy patří Egbert Dierker, Andreu Mas-Colell a Yves Balasko . Tyto pokroky změnily tradiční vyprávění o historii matematické ekonomie po von Neumannovi, který oslavoval opuštění diferenciálního počtu.

Herní teorie

John von Neumann, pracující s Oskarem Morgensternem na teorii her , zlomil v roce 1944 nové matematické základy rozšířením funkčních analytických metod souvisejících s konvexními množinami a topologickou teorií pevných bodů o ekonomickou analýzu. Jejich práce se tak vyhnula tradičnímu diferenciálnímu počtu , pro který operátor maximum neplatil pro nediferencovatelné funkce. Pokračování von Neumannovy práce v kooperativní teorii her, teoretici her Lloyd S. Shapley , Martin Shubik , Hervé Moulin , Nimrod Megiddo , Bezalel Peleg ovlivnili ekonomický výzkum v politice a ekonomii. Například výzkum na cenách veletrhu v kooperativních her a hodnoty spravedlivé pro hlasovací hry vedly k změnám pravidel pro hlasování v zákonodárných sborech a účtování nákladů na veřejných prací projektů. Kooperativní teorie her byla například použita při navrhování systému distribuce vody v jižním Švédsku a při stanovování sazeb pro vyhrazené telefonní linky v USA.

Dříve neoklasicistní teorie byla ohraničena pouze rozsah výsledků vyjednávání a ve zvláštních případech, například dvoustranné monopolu nebo podél křivky zakázky na Edgeworth krabici . Výsledky Von Neumanna a Morgensterna byly podobně slabé. Podle von Neumannova programu však John Nash použil teorii pevných bodů k prokázání podmínek, za nichž problém vyjednávání a nespolupracující hry mohou generovat jedinečné rovnovážné řešení. Nekooperativní teorie her byla přijata jako základní aspekt experimentální ekonomie , behaviorální ekonomiky , informační ekonomiky , průmyslové organizace a politické ekonomie . To také dalo podnět k tématu mechanismu designu (někdy nazývané teorie reverzních her), který má soukromé a veřejné politiky aplikace, pokud jde o způsoby, jak zlepšit ekonomickou účinnost prostřednictvím pobídek pro sdílení informací.

V roce 1994 obdrželi Nash, John Harsanyi a Reinhard Selten Nobelovu pamětní cenu za ekonomické vědy za práci na nespolupracujících hrách. Harsanyi a Selten byli oceněni za práci na opakovaných hrách . Pozdější práce rozšířila jejich výsledky na výpočetní metody modelování.

Agent-based computational economics

Agent-based computational economics (ACE) jako pojmenovaný obor je relativně nedávný, datuje se přibližně od 90. let minulého století k publikované práci. Studuje ekonomické procesy, včetně celých ekonomik , jako dynamické systémy interagujících agentů v čase. Jako takový, to spadá do paradigmatu o komplexních adaptivních systémů . V odpovídajících modelech založených na agentech nejsou agenti skuteční lidé, ale „výpočetní objekty modelované jako interagující podle pravidel“ ... ”, jejichž interakce na mikroúrovni vytvářejí vznikající vzory“ v prostoru a čase. Pravidla jsou formulována tak, aby předpovídala chování a sociální interakce na základě pobídek a informací. Teoretický předpoklad matematické optimalizace trhy agentů je nahrazen méně restriktivním postulátem agentů s omezenou racionalitou přizpůsobujících se tržním silám.

Modely ACE aplikují numerické analytické metody na počítačové simulace komplexních dynamických problémů, pro které konvenčnější metody, jako je formulace vět, nemusí najít připravené použití. Počínaje stanovenými počátečními podmínkami je výpočetní ekonomický systém modelován tak, jak se vyvíjí v průběhu času, protože jeho složky opakovaně vzájemně interagují. V těchto ohledech byl ACE charakterizován jako přístup ke studiu ekonomiky zdola nahoru. Na rozdíl od jiných standardních metod modelování jsou události ACE řízeny pouze počátečními podmínkami, bez ohledu na to, zda rovnováhy existují nebo nejsou, nebo jsou výpočetně zpracovatelné. ACE modelování však zahrnuje adaptaci agenta, autonomii a učení. Má podobnost s teorií her a překrývá se s ní jako agentovou metodou modelování sociálních interakcí. Mezi další dimenze přístupu patří takové standardní ekonomické subjekty, jako je konkurence a spolupráce , struktura trhu a průmyslová organizace , transakční náklady , ekonomika blahobytu a návrh mechanismu , informace a nejistota a makroekonomie .

Metodě se říká, že těží z pokračujícího zlepšování technik modelování počítačové vědy a zlepšování počítačových schopností. Mezi problémy patří problémy obecné pro experimentální ekonomii obecně a pro srovnání a pro vývoj společného rámce pro empirickou validaci a řešení otevřených otázek v modelování založeném na agentech. Konečný vědecký cíl metody byl popsán jako „testování [teoretických] poznatků na datech z reálného světa způsoby, které umožňují empiricky podporované teorie kumulovat v průběhu času, přičemž práce každého výzkumníka vhodně navazuje na práci, která již proběhla“.

Matematizace ekonomie

Povrch úsměvu Volatility je 3-D povrch, přičemž současná tržní implikovaná volatilita (osa Z) u všech opcí na podkladové bázi je zakreslena proti realizační ceně a době do splatnosti (osy X a Y).

V průběhu 20. století byly články v „hlavních časopisech“ v ekonomii téměř výhradně psány ekonomy na akademické půdě . Výsledkem je, že velká část materiálu přenášeného v těchto časopisech se týká ekonomické teorie a „samotná ekonomická teorie byla nepřetržitě abstraktnější a matematičtější“. Subjektivní hodnocení matematických technik používaných v těchto hlavních časopisech ukázalo pokles článků, které nepoužívají ani geometrickou reprezentaci, ani matematický zápis, z 95% v roce 1892 na 5,3% v roce 1990. Průzkum deseti nejlepších ekonomických časopisů z roku 2007 zjistil, že pouze 5,8% u článků publikovaných v letech 2003 a 2004 chyběla statistická analýza dat a chyběly zobrazené matematické výrazy, které byly indexovány čísly na okraji stránky.

Ekonometrie

Mezi světovými válkami vedly pokroky v matematické statistice a kádr matematicky vzdělaných ekonomů k ekonometrii , což byl název navržený pro disciplínu rozvíjející se ekonomie pomocí matematiky a statistiky. V rámci ekonomie byla „ekonometrie“ často používána spíše pro statistické metody v ekonomii než pro matematickou ekonomii. Statistická ekonometrie nabízí aplikaci lineární regrese a analýzy časových řad na ekonomická data.

Ragnar Frisch vytvořil slovo „ekonometrie“ a pomohl založit jak Econometrickou společnost v roce 1930, tak časopis Econometrica v roce 1933. Frischův student Trygve Haavelmo publikoval v roce 1944 publikaci Pravděpodobný přístup v ekonometrii , kde tvrdil, že by bylo možné provést přesnou statistickou analýzu. používá se jako nástroj k ověření matematických teorií o ekonomických aktérech pomocí údajů ze složitých zdrojů. Toto propojení statistické analýzy systémů s ekonomickou teorií bylo také vyhlášeno Cowlesovou komisí (nyní Cowlesova nadace ) v průběhu 30. a 40. let minulého století.

Kořeny moderní ekonometrie lze vysledovat u amerického ekonoma Henryho L. Moora . Moore studoval produktivitu zemědělství a pokusil se přizpůsobit měnící se hodnoty produktivity pro grafy kukuřice a dalších plodin křivce s použitím různých hodnot elasticity. Moore ve své práci udělal několik chyb, některé z jeho výběru modelů a některé z omezení v používání matematiky. Přesnost Moorových modelů byla také omezena špatnými daty pro národní účty ve Spojených státech v té době. Zatímco jeho první modely výroby byly statické, v roce 1925 publikoval dynamický model „pohyblivé rovnováhy“ navržený k vysvětlení hospodářských cyklů-tato periodická variace z nadměrné korekce křivek nabídky a poptávky je nyní známá jako pavučinový model . Formálnější odvození tohoto modelu provedl později Nicholas Kaldor , který se z velké části zasloužil o jeho výklad.

aplikace

Model IS / LM je keynesiánský makroekonomický model, navržen tak, aby předpovědi o průsečíku „skutečné“ ekonomické aktivity (např výdaje, příjmy , míry úspor) a rozhodnutí učiněná na finančních trzích ( peněžní zásoby a preference likvidity ). Tento model se již široce nevyučuje na úrovni absolventů, ale je běžný v bakalářských kurzech makroekonomie.

Velká část klasické ekonomie může být prezentována v jednoduchých geometrických termínech nebo elementárních matematických zápisech. Matematická ekonomie však běžně využívá v ekonomické analýze kalkul a maticovou algebru , aby vytvořila silná tvrzení, která by bez takových matematických nástrojů byla obtížnější. Tyto nástroje jsou předpokladem pro formální studium, a to nejen v matematické ekonomii, ale v současné ekonomické teorii obecně. Ekonomické problémy často zahrnují tolik proměnných, že matematika je jediným praktickým způsobem, jak je napadat a řešit. Alfred Marshall tvrdil, že každý ekonomický problém, který lze kvantifikovat, analyticky vyjádřit a vyřešit, by měl být řešen pomocí matematické práce.

Ekonomika je stále více závislá na matematických metodách a matematické nástroje, které používá, jsou stále sofistikovanější. V důsledku toho se matematika stala pro profesionály v ekonomii a financích podstatně důležitější. Absolventské programy v oboru ekonomie a finance vyžadují silnou vysokoškolskou přípravu z matematiky pro přijetí, a proto přitahují stále vyšší počet matematiků . Aplikovaní matematici aplikují matematické principy na praktické problémy, jako je ekonomická analýza a další problémy související s ekonomikou, a mnoho ekonomických problémů je často definováno jako integrované do rozsahu aplikované matematiky.

Tato integrace vyplývá z formulace ekonomických problémů jako stylizovaných modelů s jasnými předpoklady a falzifikovatelnými předpověďmi. Toto modelování může být neformální nebo prozaické, jako tomu bylo v Adam Smith je Bohatství národů , nebo to může být formální, přísné a matematické.

Obecně řečeno, formální ekonomické modely lze klasifikovat jako stochastické nebo deterministické a jako diskrétní nebo spojité. Na praktické úrovni je kvantitativní modelování aplikováno na mnoho ekonomických oblastí a několik metodik se vyvinulo víceméně nezávisle na sobě.

Příklad: Vliv snížení daně z příjmu právnických osob na mzdy

Velkou přitažlivostí matematické ekonomie je, že přináší určitou přísnost do ekonomického myšlení, zejména kolem nabitých politických témat. Například během diskuse o účinnosti snížení daně z příjmu právnických osob při zvyšování mezd pracovníků se ukázal jednoduchý matematický model prospěšný pro pochopení aktuálních problémů.

Jako intelektuální cvičení nastolil následující problém prof. Greg Mankiw z Harvardské univerzity :

Otevřená ekonomika má produkční funkci , kde je produkce na pracovníka a je kapitálem na pracovníka. Kapitálový fond se upravuje tak, že mezní produkt kapitálu po zdanění se rovná exogenně dané světové úrokové sazbě ... Jak moc snížení daní zvýší mzdy?

Abychom na tuto otázku odpověděli, sledujeme Johna H. Cochranea z Hoover Institution . Předpokládejme, že otevřená ekonomika má produkční funkci :

Kde proměnné v této rovnici jsou:
  • je celkový výkon
  • je produkční funkcí
  • je celkový kapitál
  • je celková zásoba práce

Standardní volbou pro produkční funkci je Cobb-Douglasova produkční funkce :

kde je faktor produktivity - předpokládá se, že je konstanta. Snížení daně z příjmu právnických osob v tomto modelu je ekvivalentní dani z kapitálu. S daněmi se firmy snaží maximalizovat:
kde je sazba daně z kapitálu, mzdy na pracovníka a exogenní úroková sazba. Pak se
podmínky optimality prvního řádu stanou:
Z podmínek optimality tedy vyplývá, že:
Definujte celkové daně . To znamená, že daně na pracovníka jsou:
Potom změna daní na pracovníka, vzhledem k daňové sazbě, je:
Abychom našli změnu mezd, rozlišujeme druhou podmínku optimality pro mzdu na pracovníka, abychom získali:
Za předpokladu, že je úroková sazba fixována na , takže můžeme rozlišit první podmínku optimality úrokové sazby, abychom našli:
V tuto chvíli se zaměřme pouze na statický efekt snížení daně z kapitálu, takže . Pokud tuto rovnici dosadíme do rovnice pro mzdové změny s ohledem na daňovou sazbu, pak zjistíme, že:
Proto je statický účinek kapitálu snížení daní ze mzdy je:
Na základě modelu se zdá možné, že můžeme dosáhnout zvýšení mzdy pracovníka větší než částka snížení daně. To však bere v úvahu pouze statický efekt a víme, že s dynamickým efektem je třeba počítat. V dynamickém modelu můžeme přepsat rovnici pro změny daní na pracovníka s ohledem na daňovou sazbu jako:
Připomínáme, že máme toto:
Pomocí produkční funkce Cobb-Douglase máme:
Proto je dynamický efekt kapitálu snížení daní ze mzdy je:
Když to vezmeme , pak bude dynamický efekt snižování kapitálových daní na mzdy ještě větší než statický efekt. Navíc pokud existují pozitivní externality k akumulaci kapitálu, účinek snížení daní na mzdy by byl větší než v modelu, který jsme právě odvodili. Je důležité si uvědomit, že výsledkem je kombinace:
  1. Standardní výsledek, že v malé otevřené ekonomice práce nese 100% malé daně z kapitálového příjmu
  2. Skutečnost, že počínaje kladnou daňovou sazbou břemeno zvýšení daně přesahuje výběr příjmů v důsledku ztráty mrtvé váhy prvního řádu

Tento výsledek, který ukazuje, že za určitých předpokladů může snížení daně z příjmu právnických osob zvýšit mzdy pracovníků o více než ušlý příjem, neznamená, že je velikost správná. Spíše navrhuje základ pro analýzu politiky, který není založen na ručním mávání. Pokud jsou předpoklady rozumné, pak je model přijatelnou aproximací reality; pokud nejsou, pak by měly být vyvinuty lepší modely.

Produkční funkce CES

Nyní předpokládejme, že místo Cobb-Douglasovy produkční funkce máme obecnější konstantní elasticitu substituční (CES) produkční funkce :

kde ; je pružnost substituce mezi kapitálem a prací. Příslušné množství, které chceme vypočítat, je
, které lze odvodit jako:
Můžeme to tedy použít ke zjištění, že:
Podle obecného modelu CES je tedy dynamický účinek snížení daně z kapitálu na mzdy:
Obnovíme Cobb-Douglasovo řešení, když . Když , což je případ, kdy existují dokonalé náhrady, zjistíme, že - na mzdy neexistuje žádný vliv změn kapitálových daní. A když , což je případ, kdy existují dokonalé doplňky, zjistíme, že - snížení kapitálových daní zvyšuje mzdy přesně o jeden dolar.

Kritika a obrana

Adekvátnost matematiky pro kvalitativní a komplikovanou ekonomii

Friedrich Hayek tvrdil, že použití formálních technik projektuje vědeckou přesnost, která neodpovídá přiměřeně informačním omezením, jimž čelí skuteční ekonomičtí činitelé.

V rozhovoru v roce 1999 ekonomický historik Robert Heilbroner uvedl:

Myslím, že vědecký přístup začal pronikat a brzy ovládl profesi za posledních dvacet až třicet let. Stalo se to částečně kvůli „vynálezu“ matematické analýzy různého druhu a vskutku značnému zlepšení v této oblasti. Toto je věk, ve kterém máme nejen více dat, ale i sofistikovanější využití dat. Existuje tedy silný pocit, že se jedná o daty nabitou vědu a o data nabitý podnik, který na základě pouhé numeriky, čistých rovnic a pouhého vzhledu stránky deníku vykazuje jistou podobnost s vědou. . . Tato jedna centrální aktivita vypadá vědecky. Rozumím tomu. Myslím, že je to pravé. Blíží se to jako univerzální zákon. Podobat se vědě se ale liší od vědy.

Heilbroner uvedl, že „část/velká část ekonomiky není přirozeně kvantitativní, a proto se nehodí k matematické expozici“.

Testování predikcí matematické ekonomie

Filozof Karl Popper diskutoval o vědeckém postavení ekonomiky ve čtyřicátých a padesátých letech minulého století. Tvrdil, že matematická ekonomie trpí tím, že je tautologická. Jinými slovy, pokud se ekonomie stala matematickou teorií, přestala se matematická ekonomie spoléhat na empirické vyvracení, ale spoléhala spíše na matematické důkazy a vyvrácení. Podle Poppera lze falzifikovatelné předpoklady testovat experimentem a pozorováním, zatímco nefalzovatelné předpoklady lze matematicky prozkoumat z hlediska jejich důsledků a konzistence s jinými předpoklady.

Sdílením Popperových obav z předpokladů v ekonomii obecně, a nejen z matematické ekonomie, Milton Friedman prohlásil, že „všechny předpoklady jsou nerealistické“. Friedman navrhl soudit ekonomické modely podle jejich prediktivního výkonu, nikoli podle shody mezi jejich předpoklady a realitou.

Matematická ekonomie jako forma čisté matematiky

Vzhledem k matematické ekonomii napsal JM Keynes v Obecné teorii :

Je velkou chybou symbolických pseudo-matematických metod formalizace systému ekonomické analýzy ... že výslovně předpokládají přísnou nezávislost mezi zúčastněnými faktory a ztrácejí svou důležitost a autoritu, pokud je tato hypotéza zamítnuta; vzhledem k tomu, že v běžném diskurzu, kde slepě nemanipulujeme a neustále víme, co děláme a co tato slova znamenají, můžeme mít „vzadu za hlavou“ potřebné rezervy a kvalifikace a úpravy, které budeme mít abychom to udělali později, způsobem, ve kterém nemůžeme držet komplikované parciální diferenciály „vzadu“ několika stránek algebry, které předpokládají, že všechny zmizí. Příliš velká část současné „matematické“ ekonomie jsou pouhé výmysly, stejně nepřesné jako původní předpoklady, na nichž spočívají, které umožňují autorovi ztratit ze zřetele složitosti a vzájemné závislosti skutečného světa v bludišti domýšlivých a nepotřebných symbolů.

Obrana matematické ekonomie

V reakci na tyto kritiky Paul Samuelson tvrdil, že matematika je jazyk, opakující tezi Josiah Willard Gibbs . V ekonomii je někdy jazyk matematiky nezbytný pro reprezentaci věcných problémů. Matematická ekonomie navíc vedla k koncepčním pokrokům v ekonomii. Zejména Samuelson dal příklad mikroekonomie , napsal, že „jen málo lidí je důmyslný dost na dosah [jeho] složitější díly ... , aniž by se uchylovat k jazyku matematiky, zatímco většina obyčejných jednotlivců, tak mohou učinit poměrně snadno s pomocí matematika."

Někteří ekonomové uvádějí, že matematická ekonomie si zaslouží podporu stejně jako jiné formy matematiky, zejména její sousedé v matematické optimalizaci a matematické statistice a stále více v teoretické informatice . Matematická ekonomie a další matematické vědy mají historii, ve které teoretické pokroky pravidelně přispívají k reformě více aplikovaných ekonomických odvětví. Zejména podle programu Johna von Neumanna nyní teorie her poskytuje základy pro popis velké části aplikované ekonomie, od teorie statistického rozhodování (jako „hry proti přírodě“) a ekonometrie až po obecnou teorii rovnováhy a průmyslovou organizaci. V posledním desetiletí, s rozmachem internetu, matematičtí ekonomové a odborníci na optimalizaci a počítačoví vědci pracovali na problémech tvorby cen za online služby--na jejich příspěvcích pomocí matematiky z kooperativní teorie her, nediferencovatelné optimalizace a kombinatorických her.

Robert M. Solow dospěl k závěru, že matematická ekonomie byla základní „ infrastrukturou “ současné ekonomiky:

Ekonomika již není vhodnou konverzací pro dámy a pánové. Stalo se z toho technické téma. Jako každý technický předmět přitahuje některé lidi, kteří se více zajímají o techniku ​​než o předmět. To je škoda, ale může to být nevyhnutelné. V každém případě si nedělejte srandu: technické jádro ekonomiky je nepostradatelnou infrastrukturou pro politickou ekonomii. Proto, když budete konzultovat [odkaz v současné ekonomii] hledající osvícení o dnešním světě, budete vedeni k technické ekonomii, historii nebo vůbec ničemu.

Matematičtí ekonomové

Mezi prominentní matematické ekonomy patří následující.

19. století

20. století

Viz také

Reference

Další čtení

Náhled popisu a obsahu .
  • Kenneth L. Judd , 1998. Numerické metody v ekonomii , MIT Press. Popis a kapitola-náhled odkazy .
  • Michael Carter, 2001. Základy matematické ekonomie , MIT Press. Obsah .
  • Ferenc Szidarovszky a Sándor Molnár, 2002. Úvod do maticové teorie: S aplikacemi do obchodu a ekonomiky , World Scientific Publishing. Popis a náhled .
  • D. Wade Hands, 2004. Introductory Mathematical Economics , 2. vyd. Oxford. Obsah .
  • Giancarlo Gandolfo, [1997] 2009. Economic Dynamics , 4. vyd., Springer. Popis a náhled .
  • John Stachurski, 2009. Ekonomická dynamika: teorie a výpočet , MIT Press. Popis a náhled .
  • externí odkazy