Matematické finance - Mathematical finance

Matematické finance , také známé jako kvantitativní finance a finanční matematika , je oblast aplikované matematiky , zabývající se matematickým modelováním finančních trhů . Viz kvantitativní analytik .

Obecně existují dvě oddělené finanční oblasti, které vyžadují pokročilé kvantitativní techniky: oceňování derivátů na jedné straně a správa rizik a portfolia na straně druhé. Matematické finance se silně překrývá s oblastmi výpočetního financování a finančního inženýrství . Ten se zaměřuje na aplikace a modelování, často pomocí stochastických modelů aktiv , zatímco první se kromě analýzy zaměřuje na vytváření nástrojů implementace modelů. Souvisí také s kvantitativním investováním , které se opírá o tradiční fundamentální analýzu při správě portfolií , která se opírá o statistické a numerické modely (a v poslední době o strojové učení ) ; viz také Algoritmické obchodování .

Francouzský matematik Louis Bachelier je považován za autora první vědecké práce o matematických financích, publikované v roce 1900. Ale matematické finance se objevily jako disciplína v 70. letech 20. století, po práci Fischera Blacka , Myrona Scholese a Roberta Mertona na teorii oceňování opcí. Matematické investování pochází z výzkumu matematika Edwarda Thorpa, který pomocí statistických metod nejprve vynalezl počítání karet v blackjacku a poté aplikoval jeho principy na moderní systematické investování.

Předmět má blízký vztah k disciplíně finanční ekonomie , která se zabývá velkou částí základní teorie, která se zabývá finanční matematikou. Matematické finance budou obecně odvozovat a rozšiřovat matematické nebo numerické modely, aniž by nutně vytvářely vazbu na finanční teorii, přičemž jako vstup berou pozorované tržní ceny. Je vyžadována matematická konzistence, nikoli kompatibilita s ekonomickou teorií. Tak například, zatímco finanční ekonom mohl studovat strukturální důvody, proč společnost může mít určité ceny akcií , finanční matematik může mít cenu akcií za dané, a pokusit se použít stochastické kalkulu získat odpovídající hodnotu derivátů z sklad . Viz: Ocenění opcí ; Finanční modelování ; Ceny aktiv . Základní teorém arbitráž bez cen je jedním z klíčových vět v matematické finance, zatímco Black-Scholes rovnice a vzorce patří mezi klíčové výsledky.

Dnes mnoho univerzit nabízí studijní a výzkumné programy v oblasti matematických financí.

Historie: Q versus P

Existují dvě oddělená odvětví financí, která vyžadují pokročilé kvantitativní techniky: oceňování derivátů a řízení rizik a portfolia. Jedním z hlavních rozdílů je, že používají různé pravděpodobnosti, jako je rizikově neutrální pravděpodobnost (nebo pravděpodobnost stanovení ceny za arbitráž) označená „Q“ a skutečná (nebo pojistně-matematická) pravděpodobnost označená „P“.

Ceny derivátů: svět Q

Svět Q

Fotbalová branka	„extrapolovat současnost“
životní prostředí	rizikově neutrální pravděpodobnost ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
Procesy	martingales nepřetržitého času
Dimenze	nízký
Nástroje	Jeho počet, PDE
Výzvy	kalibrace
Podnikání	prodejní strana

Cílem stanovení cen derivátů je stanovit reálnou cenu daného cenného papíru z hlediska likvidnějších cenných papírů, jejichž cena je stanovena zákonem nabídky a poptávky . Význam „férového“ samozřejmě závisí na tom, zda člověk zvažuje nákup nebo prodej cenného papíru. Příklady ceněných cenných papírů jsou obyčejné vanilkové a exotické opce , konvertibilní dluhopisy atd.

Jakmile je stanovena férová cena, může obchodník na straně prodeje vytvořit trh s cenným papírem. Stanovení ceny derivátů je tedy složitým „extrapolačním“ postupem k definování aktuální tržní hodnoty cenného papíru, který pak používá komunita na straně prodávajícího. Ceny kvantitativních derivátů inicioval Louis Bachelier v The Theory of Speculation („Théorie de la spéculation“, publikované 1900), se zavedením toho nejzákladnějšího a nejvlivnějšího z procesů, Brownova pohybu a jeho aplikací na oceňování opcí . Brownův pohyb je odvozen pomocí Langevinovy ​​rovnice a diskrétní náhodné procházky . Bachelier modeloval časovou řadu změn v logaritmu cen akcií jako náhodnou procházku, ve které měly krátkodobé změny konečný rozptyl . To způsobí, že dlouhodobější změny budou následovat Gaussovu distribuci .

Teorie zůstal spící dokud Fischer Black a Myron Scholes , spolu se základními příspěvků Robert C. Merton , aplikoval druhý nejvlivnější proces, geometrický Brownův pohyb , k oceňování opcí . Za to byli M. Scholes a R. Merton v roce 1997 oceněni Nobelovou pamětní cenou za ekonomické vědy . Black byl nezpůsobilý pro cenu kvůli jeho smrti v roce 1995.

Dalším důležitým krokem byla základní věta o oceňování aktiv Harrisonem a Pliskou (1981), podle které je vhodně normalizovaná aktuální cena P ₀ cenného papíru bez arbitráže, a tedy skutečně spravedlivá, pouze pokud existuje stochastický proces P _t s konstantní očekávanou hodnotou, která popisuje jeho budoucí vývoj:

${\ displaystyle P_ {0} = \ mathbf {E} _ {0} (P_ {t})}$

( 1 )

Proces uspokojující ( 1 ) se nazývá „ martingale “. Martingale neodměňuje riziko. Pravděpodobnost normalizovaného cenového procesu cenného papíru se proto nazývá „rizikově neutrální“ a obvykle se označuje písmenem „ “ na tabuli . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Vztah ( 1 ) musí platit po celou dobu t: proto jsou procesy používané pro oceňování derivátů přirozeně nastaveny v souvislém čase.

Tyto quants , kteří působí v Q světě derivátů stanovení cen jsou specialisté s hlubokými znalostmi specifických produktů, které model.

Cenné papíry jsou oceňovány individuálně, a proto jsou problémy ve světě Q svou povahou nízko dimenzionální. Kalibrace je jednou z hlavních výzev světa Q: jakmile byl kontinuální parametrický proces kalibrován na sadu obchodovaných cenných papírů prostřednictvím vztahu, jako je ( 1 ), podobný vztah se používá k definování ceny nových derivátů.

Hlavními kvantitativními nástroji nezbytnými pro zvládnutí Q-procesů s kontinuálním časem jsou Itôův stochastický kalkul , simulace a parciální diferenciální rovnice (PDE).

Správa rizik a portfolia: svět P

Svět P

Fotbalová branka	„modelovat budoucnost“
životní prostředí	pravděpodobnost reálného světa ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$
Procesy	diskrétní časové řady
Dimenze	velký
Nástroje	vícerozměrné statistiky
Výzvy	odhad
Podnikání	strana nákupu

Správa rizik a portfolia se zaměřuje na modelování statisticky odvozeného rozdělení pravděpodobnosti tržních cen všech cenných papírů v daném budoucím investičním horizontu.
Toto „skutečné“ rozdělení pravděpodobnosti tržních cen je obvykle označováno písmenem „ “ na tabuli , na rozdíl od „pravděpodobnosti neutrální vůči riziku “, používané při oceňování derivátů. Na základě rozdělení P přijímá komunita na straně kupujících rozhodnutí, které cenné papíry nakoupit, aby zlepšila potenciální profil zisků a ztrát svých pozic považovaných za portfolio. Prvky tohoto procesu jsou stále více automatizovány; Seznam příslušných článků naleznete v části Nástin financí § Kvantitativní investování . ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Markowitz a Sharpe spolu s Mertonem Millerem sdíleli za svou průkopnickou práci Nobelovu pamětní cenu za ekonomické vědy v roce 1990 , což bylo poprvé uděleno za práci ve financích.

Práce na výběru portfolia Markowitze a Sharpe zavedla matematiku do správy investic . Postupem času se matematika stala sofistikovanější. Díky Robertu Mertonovi a Paulu Samuelsonovi byly jednorodové modely nahrazeny spojitým časem, modely s Brownovým pohybem a kvadratická užitná funkce implicitní v optimalizaci průměrné variace byla nahrazena obecnějšími zvyšujícími se konkávními užitkovými funkcemi. V posledních letech se navíc pozornost přesunula k odhadu rizika, tj. Nebezpečí nesprávného předpokladu, že samotná pokročilá analýza časových řad může poskytnout zcela přesné odhady tržních parametrů.

Velká část úsilí byla věnována studiu finančních trhů a toho, jak se ceny v čase mění. Charles Dow , jeden ze zakladatelů společností Dow Jones & Company a The Wall Street Journal , sdělil soubor myšlenek na toto téma, které se nyní nazývají Dow Theory . To je základem takzvané metody technické analýzy pokusu o předpověď budoucích změn. Jedním z principů „technické analýzy“ je, že tržní trendy naznačují budoucnost, alespoň v krátkodobém horizontu. Tvrzení technických analytiků mnoho akademiků zpochybňuje.

Kritika

V průběhu let byly vyvíjeny stále sofistikovanější matematické modely a derivátové cenové strategie, ale jejich důvěryhodnost byla poškozena finanční krizí v letech 2007–2010 . Současná praxe matematických financí byla podrobena kritice z postav v oboru, zejména od Paula Wilmotta a Nassima Nicholase Taleba ve své knize Černá labuť . Taleb tvrdí, že ceny finančních aktiv nelze charakterizovat jednoduchými modely, které se v současné době používají, takže většina současné praxe je přinejlepším irelevantní a v nejhorším případě nebezpečně zavádějící. Wilmott a Emanuel Derman vydali v lednu 2009 Manifest finančních modelářů, který řeší některé z nejzávažnějších obav. Orgány, jako je Institut pro nové ekonomické myšlení, se nyní pokoušejí vyvinout nové teorie a metody.

Obecně je modelování změn distribucemi s konečným rozptylem stále více považováno za nevhodné. V 60. letech 20. století Benoit Mandelbrot zjistil, že změny cen se neřídí gaussovskou distribucí , ale jsou lépe modelovány alfa- stabilními distribucemi Lévyho . Rozsah změn neboli volatilita závisí na délce časového intervalu k síle o něco více než 1/2. Velké změny nahoru nebo dolů jsou pravděpodobnější, než jaké by bylo možné vypočítat pomocí Gaussova rozdělení s odhadovanou standardní odchylkou . Problém ale je, že problém neřeší, protože parametrizace je mnohem těžší a řízení rizik méně spolehlivé.

Viz také

Matematické nástroje

Ceny derivátů

Modelování portfolia

jiný

Poznámky

Další čtení

• Nicole El Karoui , „Budoucnost finanční matematiky“ , ParisTech Review , 6. září 2013
• Harold Markowitz , „Výběr portfolia“, The Journal of Finance , 7, 1952, s. 77–91
• Attilio Meucci , „P Versus Q“: Rozdíly a společné rysy mezi dvěma oblastmi kvantitativního financování “ , GARP Risk Professional , únor 2011, s. 41–44
• William F. Sharpe , Investice , Prentice-Hall, 1985