Matematická tabulka - Mathematical table
Matematické tabulky jsou seznamy čísel ukazující výsledky výpočtu s různými argumenty. Tabulky trigonometrických funkcí byly použity ve starověkém Řecku a Indii pro aplikace v astronomii a nebeské navigaci . I nadále byly široce používány, dokud nebyly elektronické kalkulačky levné a hojné, aby se zjednodušily a drasticky zrychlily výpočty . Tabulky logaritmů a goniometrických funkcí byly běžné v učebnicích matematiky a přírodních věd a pro řadu aplikací byly publikovány specializované tabulky.
Historie a použití
První tabulky trigonometrických funkcí, o nichž bylo známo, že byly vytvořeny, byly Hipparchus (c.190 - c.120 BCE) a Menelaus (c.70-140 CE), ale obě byly ztraceny. Spolu s dochovanou tabulkou Ptolemaia (asi 90-c. 168 n. L.) To byly všechny tabulky akordů, a ne půlordů, tedy sinusové funkce. Tabulky předložené indickou matematik Aryabhata (476-550 CE) je považován za první sine tabulka vůbec postavena. Āryabhaṭův stůl zůstal standardním sinusovým stolem starověké Indie. Došlo k neustálým pokusům o zlepšení přesnosti této tabulky, které vyvrcholily objevením rozšíření silových řad funkcí sinus a kosinus Madhavou ze Sangamagramy (c.1350 - c.1425) a tabelací sinusové tabulky Madhavou s hodnotami přesnými na sedm nebo osm desetinných míst.
Tabulky běžných logaritmů se používaly až do vynálezu počítačů a elektronických kalkulaček k rychlému násobení, dělení a umocňování, včetně extrakce n -tých kořenů.
V 19. století byly navrženy mechanické účelové počítače známé jako rozdílové motory pro tabelaci polynomických aproximací logaritmických funkcí-tedy pro výpočet velkých logaritmických tabulek. To bylo motivováno hlavně chybami v logaritmických tabulkách vyrobených tehdejšími lidskými počítači . Rané digitální počítače byly vyvinuty během druhé světové války částečně k výrobě specializovaných matematických tabulek pro zaměřování dělostřelectva . Od roku 1972, se spuštěním a rostoucím používáním vědeckých kalkulaček , většina matematických tabulek skončila.
Jedním z posledních velkých úsilí o vytvoření takových tabulek byl projekt Mathematical Tables, který byl zahájen ve Spojených státech v roce 1938 jako projekt Works Progress Administration (WPA), zaměstnávající 450 úředníků mimo práci k tabulování vyšších matematických funkcí. Trvalo to přes druhou světovou válku.
Tabulky speciálních funkcí jsou stále používány. Například, použití tabulek hodnot kumulativní distribuční funkce k normálnímu rozdělení - takzvané standardní normální stoly - zůstane dnes běžnou záležitostí, a to zejména ve školách, ačkoli použití vědeckých a grafických kalkulaček dosahuje takových tabulek nadbytečné.
Vytváření tabulek uložených v paměti s náhodným přístupem je běžnou technikou optimalizace kódu v počítačovém programování, kde použití takových tabulek zrychluje výpočty v případech, kdy je vyhledávání tabulek rychlejší než odpovídající výpočty (zvláště pokud dotyčný počítač nemá mít hardwarovou implementaci výpočtů). V podstatě se obchoduje s výpočetní rychlostí pro paměť počítače potřebnou k ukládání tabulek.
Tabulky logaritmů
Tabulky obsahující běžné logaritmy (základ-10) byly široce používány ve výpočtech před příchodem elektronických kalkulaček a počítačů, protože logaritmy převádějí problémy násobení a dělení na mnohem jednodušší problémy sčítání a odčítání. Logaritmy základny 10 mají další vlastnost, která je jedinečná a užitečná: Společný logaritmus čísel větších než jeden, které se liší pouze faktorem o síle deseti, mají všechny stejnou zlomkovou část, známou jako mantisa . Tabulky běžných logaritmů obvykle obsahovaly pouze mantisy ; celočíselnou část logaritmu, známou jako charakteristiku , lze snadno určit počítáním číslic v původním čísle. Podobný princip umožňuje rychlý výpočet logaritmů kladných čísel menších než 1. Lze tedy použít jedinou tabulku společných logaritmů pro celý rozsah kladných desetinných čísel. Podrobnosti o použití charakteristik a mantis viz běžný logaritmus .
Dějiny
V roce 1544 vydal Michael Stifel Arithmetica integra , která obsahuje tabulku celých čísel a mocnin 2, která byla považována za ranou verzi logaritmické tabulky.
Metodu logaritmů veřejně navrhl John Napier v roce 1614 v knize s názvem Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Popis báječného pravidla logaritmů ). Kniha obsahovala padesát sedm stran vysvětlujících látek a devadesát stran tabulek souvisejících s přirozenými logaritmy . Anglický matematik Henry Briggs navštívil Napier v roce 1615 a navrhl změnu měřítka Napierových logaritmů, aby se vytvořil to, co je nyní známé jako běžné nebo základní 10 logaritmy. Napier delegoval na Briggse výpočet revidované tabulky. V roce 1617 vydali Logarithmorum Chilias Prima („Prvních tisíc logaritmů“), které poskytlo stručný popis logaritmů a tabulku pro prvních 1000 celých čísel vypočítanou na 14. desetinné místo.
Výpočetní záloha dostupná prostřednictvím běžných logaritmů, konverze mocninných čísel nebo exponenciální notace , byla taková, že prováděla ruční výpočty mnohem rychleji.
Trigonometrické tabulky
Trigonometrické výpočty hrály důležitou roli v raných studiích astronomie. Počáteční tabulky byly konstruovány opakovaným používáním goniometrických identit (jako jsou identity polovičního úhlu a součtu úhlů) pro výpočet nových hodnot ze starých.
Jednoduchý příklad
Chcete -li vypočítat sinusovou funkci 75 stupňů, 9 minut a 50 sekund pomocí tabulky goniometrických funkcí, jako je tabulka Bernegger z roku 1619 znázorněná výše, lze jednoduše zaokrouhlit nahoru na 75 stupňů, 10 minut a poté najít 10minutový záznam na Stránka 75 stupňů, zobrazená vpravo nahoře, což je 0,9666746.
Tato odpověď je však přesná pouze na čtyři desetinná místa. Pokud by někdo chtěl větší přesnost, mohl by interpolovat lineárně následovně:
Z tabulky Bernegger:
- sin (75 ° 10 ') = 0,9666746
- sin (75 ° 9 ′) = 0,9666001
Rozdíl mezi těmito hodnotami je 0,0000745.
Protože za minutu oblouku je 60 sekund, vynásobíme rozdíl 50/60, abychom získali opravu (50/60)*0,0000745 ≈ 0,0000621; a poté přidejte tuto opravu k hříchu (75 ° 9 ′), abyste získali:
- sin (75 ° 9 ′ 50 ″) ≈ sin (75 ° 9 ′) + 0,0000621 = 0,9666001 + 0,0000621 = 0,9666622
Moderní kalkulačka dává sin (75 ° 9 ′ 50 ″) = 0,96666219991, takže naše interpolovaná odpověď je přesná na 7místnou přesnost Berneggerovy tabulky.
U tabulek s větší přesností (více číslic na hodnotu) může být k dosažení plné přesnosti zapotřebí interpolace vyššího řádu. V éře před elektronickými počítači byla interpolace tabulkových dat tímto způsobem jediným praktickým způsobem, jak získat vysoké hodnoty přesnosti matematických funkcí potřebných pro aplikace, jako je navigace, astronomie a zeměměřičství.
Abychom pochopili důležitost přesnosti v aplikacích, jako je navigace, uvědomte si, že na úrovni hladiny moře se jedna minuta oblouku podél zemského rovníku nebo poledníku (vlastně jakéhokoli velkého kruhu ) rovná přibližně jedné námořní míli (1,852 km nebo 1,151 mi).
Viz také
- Abramowitz and Stegun Handbook of Mathematical Functions
- Diferenční motor
- Efemeridy
- Skupinový stůl
- Historie logaritmů
- Námořní almanach
- Matice
- Násobilka
- Tabulka náhodných čísel
- Tabulka (informace)
- Pravdivá tabulka
- Jurij Vega
Reference
- ^ a b J J O'Connor a EF Robertson (červen 1996). „Goniometrické funkce“ . Vyvolány 4 March 2010 .
- ^ ER Hedrick, logaritmické a trigonometrické tabulky (Macmillan, New York, 1913).
- ^ Stifelio, Michaele (1544), Arithmetica Integra , London: Iohan Petreium
- ^ Bukhshtab, AA; Pechaev, VI (2001) [1994], „aritmetika“ , encyklopedie matematiky , EMS Press
- ^ Vivian Shaw Groza a Susanne M. Shelley (1972), Precalculus matematika , New York: Holt, Rinehart a Winston, str. 182, ISBN 978-0-03-077670-0
- ^ Ernest William Hobson (1914), John Napier a vynález logaritmů, 1614 , Cambridge: The University Press
- ^ Abramowitz a Stegun Handbook of Mathematical Functions, Úvod §4
- Campbell-Kelly, Martin (2003), Historie matematických tabulek: od Sumeru k tabulkám , Oxfordské stipendium online, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850841-0
externí odkazy
- Chisholm, Hugh, ed. (1911). . Encyclopædia Britannica (11. vydání). Cambridge University Press.
- LOCOMAT : Sčítání matematických a astronomických tabulek.