Matematika a umění - Mathematics and art

Matematika v umění: rytina měděné desky Albrechta Dürera Melencolia I , 1514. Mezi matematické odkazy patří kompas pro geometrii , magický čtverec a komolý kosočtverec , zatímco měření je indikováno stupnicemi a přesýpacími hodinami .
Skeletové kresba vázy ve formě rotačního tělesa podle Paolo Uccello . 15. století

Matematika a umění spolu souvisí různými způsoby. Matematika byla sama o sobě popsána jako umění motivované krásou . Matematiku lze rozeznat v umění, jako je hudba , tanec , malba , architektura , sochařství a textil . Tento článek se však zaměřuje na matematiku ve výtvarném umění.

Matematika a umění mají dlouhý historický vztah. Matematiku umělci používají od 4. století př. N. L., Kdy řecký sochař Polykleitos napsal svůj kánon , přičemž předepisoval poměry, o nichž se předpokládalo, že byly založeny na poměru 1: √ 2 pro ideální mužský akt. O používání zlatého řezu ve starověkém umění a architektuře byla učiněna trvalá populární tvrzení bez spolehlivých důkazů. V italské renesance , Luca Pacioli napsal vlivné pojednání De divina Proportione (1509), ilustrovaný s dřevořezy od Leonardo da Vinci , o využití zlatého řezu v umění. Další italský malíř Piero della Francesca rozvinul Euclidovy představy o perspektivě v pojednáních jako De Prospectiva Pingendi a ve svých obrazech. Rytec Albrecht Dürer ve své práci Melencolia I učinil mnoho odkazů na matematiku . V moderní době grafik M. C. Escher intenzivně využíval mozaikování a hyperbolickou geometrii za pomoci matematika HSM Coxetera , zatímco hnutí De Stijl vedené Theem van Doesburgem a Pietem Mondrianem geometrické formy výslovně přijalo. Matematika inspirovala textilní umění, jako je prošívání , pletení , křížkové stehy , háčkování , vyšívání , tkaní , turecké a jiné výroby koberců a také kilim . V islámském umění jsou symetrie evidentní v různých formách, jako jsou perské girih a marocké zellige dlaždice, kamenné zástěny Mughal jali a rozšířené klenby muqarnas .

Matematika přímo ovlivnila umění pomocí konceptuálních nástrojů, jako je lineární perspektiva , analýza symetrie a matematických objektů, jako je mnohostěn a Möbiusův pás . Magnus Wenninger vytváří barevné hvězdné mnohostěny , původně jako modely pro výuku. Matematické koncepty, jako je rekurze a logický paradox, lze vidět na obrazech René Magritte a na rytinách MC Eschera. Počítačové umění často využívá fraktálů včetně Mandelbrotovy sady a někdy zkoumá další matematické objekty, jako jsou mobilní automaty . Sporně, umělec David Hockney tvrdil, že umělci od renesance a dále používali fotoaparát lucida k tomu, aby přesně vykreslili scény; architekt Philip Steadman podobně tvrdil, že Vermeer použil ve svých výrazně pozorovaných obrazech camera obscura .

Mezi další vztahy patří algoritmická analýza uměleckých děl pomocí rentgenové fluorescenční spektroskopie , zjištění, že tradiční batiky z různých oblastí Javy mají odlišné fraktální dimenze , a podněty k matematickému výzkumu, zejména Filippo Brunelleschiho teorie perspektivy, která nakonec vedla k Girardovi Desargues ‚s projektivní geometrie . Trvalý pohled, založený nakonec na Pythagorově pojmu harmonie v hudbě, tvrdí, že vše zařídilo Number, že Bůh je geometrem světa, a že proto je geometrie světa posvátná .

Původy: od starověkého Řecka po renesanci

Další informace: Umělecké kánony tělesných proporcí

Polykleitosův kánon a symetrie

Římská kopie z mramoru Doryphoros , původně bronz Polykleitos
Další informace: Polykleitos

Polykleitos starší (asi 450–420 př. N. L.) Byl řecký sochař ze školy v Argosu a současník Phidiase . Jeho díla a sochy sestávaly převážně z bronzu a pocházely ze sportovců. Podle filozofa a matematika Xenocrata je Polykleitos považován za jednoho z nejvýznamnějších sochařů klasické antiky za práci na Doryforu a soše Héry v Heraionu z Argosu . Ačkoli jeho sochy nemusí být tak slavné jako u Phidias, jsou velmi obdivovány. Ve svém Canon , pojednání Psal navržen tak, aby dokumentovat „dokonalý“ tělesné proporce z Mužský akt, Polykleitos nám dává matematický přístup k sochařství těla člověka.

Samotný Canon byl ztracen, ale předpokládá se, že Polykleitos použil posloupnost proporcí, kde každá délka je úhlopříčka čtverce nakresleného na jeho předchůdci 1: √ 2 (asi 1: 1,4142).

Vliv kánonu Polykleitos je obrovský v klasické řecké , římské a renesanční plastice, mnoho sochařů podle Polykleitosova předpisu. Ačkoli žádná z původních Polykleitosových děl nepřežila, římské kopie demonstrují jeho ideál fyzické dokonalosti a matematické přesnosti. Někteří učenci tvrdí, že Pythagorova myšlenka ovlivnila Kánon Polykleitos. Canon použije základní matematické pojmy řecké geometrie, jako je poměr, poměr a symmetria (řecké pro „harmonické proporce“) a stáčí se do systému, který je schopen popisuje lidskou formu přes sérii kontinuálních geometrické posloupnosti .

Perspektiva a proporce

Hlavní článek: Perspektiva (grafická)
Brunelleschiho experiment s lineární perspektivou

V klasických dobách, místo aby vzdálené postavy byly menší s lineární perspektivou , malíři měnili objekty a postavy podle jejich tematické důležitosti. Ve středověku používali někteří umělci pro zvláštní důraz obrácenou perspektivu . Muslimský matematik Alhazen (Ibn al-Haytham) popsal teorii optiky ve své knize optiky v roce 1021, ale nikdy ji neaplikoval na umění. Renaissance viděl znovuzrození klasické řecké a římské kultury a myšlenek, mezi nimi studium matematiky pro pochopení přírody a umění . Dva hlavní motivy vedly umělce v pozdním středověku a renesanci k matematice. Nejprve museli malíři přijít na to, jak znázornit trojrozměrné scény na dvourozměrném plátně. Za druhé, filozofové i umělci byli přesvědčeni, že matematika je skutečnou podstatou fyzického světa a že celý vesmír, včetně umění, lze vysvětlit geometrickými pojmy.

Tyto základy pohledu dorazil Giotto (1266/7 - 1337), který se pokusil čerpat v perspektivě s použitím algebraická metoda pro určení umístění vzdálených linek. V roce 1415 italský architekt Filippo Brunelleschi a jeho přítel Leon Battista Alberti předvedli geometrickou metodu aplikace perspektivy ve Florencii za použití podobných trojúhelníků, jak ji formuloval Euclid, k nalezení zdánlivé výšky vzdálených objektů. Brunelleschiho vlastní perspektivní obrazy jsou ztraceny, ale Masacciov obraz Nejsvětější Trojice ukazuje jeho principy při práci.

Paolo Uccello inovativně využil perspektivu v The Battle of San Romano (c. 1435–1460).

Italského malíře Paola Uccella (1397–1475) fascinovala perspektiva, jak ukazuje jeho obraz Bitva u San Romana (asi 1435–1460): rozbité kopí leží pohodlně podél perspektivních linií.

Malíř Piero della Francesca (c. 1415–1492) byl příkladem tohoto nového posunu v italském renesančním myšlení. Byl odborníkem na matematiku a geometr a psal knihy o pevné geometrii a perspektivě , včetně De prospectiva pingendi (O perspektivě malby) , Trattato d'Abaco (Pojednání o Abacusu ) a De quinque corporibus regularibus (O pěti pravidelných tělesech) . Historik Vasari ve svých Životech malířů nazývá Piera „největším geometrem své doby, nebo snad jakékoli doby“. Pierův zájem o perspektivu je vidět na jeho obrazech včetně Polyptychu Perugie , oltářního obrazu San Agostino a Kristova bičování . Jeho práce na geometrii ovlivnila pozdější matematiky a umělce včetně Luca Pacioliho v jeho De divina proporci a Leonarda da Vinciho . Piero studoval klasickou matematiku a díla Archimeda . Naučil se obchodní aritmetice ve „abakusových školách“; jeho spisy jsou formátovány jako školní učebnice počítadla, možná včetně 1202 Liber Abaci Leonarda Pisana ( Fibonacciho ) . Lineární perspektiva byla právě zaváděna do uměleckého světa. Alberti ve své knize De pictura 1435 vysvětlil : „světelné paprsky se pohybují po přímkách z bodů pozorované scény do oka a tvoří jakousi pyramidu s okem jako vrcholem“. Obraz vytvořený s lineární perspektivou je průřezem této pyramidy.

V knize De Prospectiva Pingendi transformuje Piero svá empirická pozorování toho, jak se aspekty postavy mění pohledem na matematické důkazy. Jeho pojednání začíná v duchu Euclida: definuje bod jako „nejmenší věc, kterou oko může pochopit“. On používá deduktivní logiku , aby vedl čtenáře k perspektivnímu znázornění trojrozměrného tělesa.

Umělec David Hockney ve své knize Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters argumentoval, že umělci začali používat fotoaparát lucida od 20. let 14. století, což mělo za následek náhlou změnu přesnosti a realismu, a že v této praxi pokračovali významní umělci mj. Ingres , Van Eyck a Caravaggio . Kritici se neshodují v tom, zda měl Hockney pravdu. Podobně architekt Philip Steadman kontroverzně tvrdil, že Vermeer použil jiné zařízení, Camera obscura , aby mu pomohl vytvořit jeho výrazně pozorované obrazy.

V roce 1509 publikoval Luca Pacioli (c. 1447–1517) De divina proporce o matematickém a uměleckém poměru , a to i v lidské tváři. Leonardo da Vinci (1452–1519) ilustroval text dřevoryty z pravidelných těles, zatímco studoval u Pacioliho v 90. letech 14. století. Leonardovy kresby jsou pravděpodobně prvními ilustracemi kosterních těles. Ty, jako například rhombicuboctahedron , byly mezi prvními, které byly kresleny, aby demonstrovaly perspektivu tím, že byly překryty jedna na druhou. Práce pojednává o perspektivě v dílech Piero della Francesca , Melozzo da Forlì a Marco Palmezzano . Da Vinci studoval Pacioliho Summu , z níž kopíroval tabulky rozměrů. V Mona Lisa a Poslední večeři zahrnovala Da Vinciho práce lineární perspektivu s úběžníkem, který poskytoval zjevnou hloubku. Poslední večeře je konstruován v těsném poměru 12: 6: 4: 3, jako je Raphael ‚s School of Athens , která zahrnuje Pythagorovo s tabletou ideálních poměrů, zasvěcený Pythagoreans. V Vitruvian Man Leonardo vyjádřil myšlenky římského architekta Vitruvius , inovativně zobrazující mužskou postavu dvakrát a centrování s ním jak v kruhu a čtverce.

Už v 15. století se křivočará perspektiva dostala do obrazů umělců zajímajících se o zkreslení obrazu. Jan van Eyck je 1434 Arnolfini Portrait obsahuje konvexní zrcadlo s odrazy lidí ve scéně, zatímco Parmigianino 's Autoportrét ve vypouklém zrcadle , c. 1523–1524, ukazuje umělcovu převážně nezkreslenou tvář uprostřed, se silně zakřiveným pozadím a umělcovou rukou kolem okraje.

Trojrozměrný prostor lze v umění, stejně jako v technické kresbě , přesvědčivě reprezentovat jinými prostředky než perspektivou. Šikmé projekce , včetně kavalírské perspektivy (používané francouzskými vojenskými umělci k zobrazení opevnění v 18. století), byly nepřetržitě a všudypřítomně používány čínskými umělci od prvního nebo druhého století až do 18. století. Číňané získali techniku ​​z Indie, která ji získala ze starověkého Říma. V japonském umění je vidět šikmá projekce, například na obrazech Ukiyo-e Torii Kiyonaga (1752–1815).

Zlatý řez

Další informace: Seznam děl navržených se zlatým řezem

Zlatý poměr (přibližně rovna 1,618) byl znám Euklida . Zlatý řez byl v moderní době vytrvale prohlašován za používaný v umění a architektuře starověky v Egyptě, Řecku a jinde, bez spolehlivých důkazů. Toto tvrzení může pocházet ze záměny se „zlatou střední cestou“, což pro starověké Řeky znamenalo „vyhýbání se přebytku v obou směrech“, nikoli poměr. Pyramidologové od 19. století argumentovali z pochybných matematických důvodů zlatým poměrem v pyramidovém designu. O Parthenonu , chrámu z 5. století př. N. L. V Aténách, se tvrdí, že ve své fasádě a půdorysu používá zlatý řez, ale tato tvrzení jsou také vyvrácena měřením. Velká mešita Kairouan v Tunisku podobně byl prohlašoval, že použití zlatý poměr svým designem, ale poměr se neobjeví v originálních částech mešity. Historik architektury Frederik Macody Lund v roce 1919 tvrdil, že katedrála v Chartres (12. století), Notre-Dame of Laon (1157–1205) a Notre Dame de Paris (1160) jsou navrženy podle zlatého řezu , přičemž kreslí čáry regulátorů do předložit jeho případ. Jiní učenci tvrdí, že až do Pacioliho práce v roce 1509 nebyl zlatý řez umělcům a architektům znám. Například výška a šířka přední části Notre-Dame of Laon mají poměr 8/5 nebo 1,6, nikoli 1,618. Takové Fibonacciho poměry se rychle stávají obtížně odlišitelnými od zlatého řezu. Po Pacioli je zlatý řez rozhodně rozpoznatelný v uměleckých dílech, včetně Leonardovy Mony Lisy .

Další poměr, jediné jiné morfické číslo, pojmenovalo v roce 1928 nizozemské architekta Hans van der Laan (původně pojmenované le nombre radiant ve francouzštině) jako plastické číslo . Jeho hodnota je řešením kubické rovnice

,

iracionální číslo, které je přibližně 1,325. Podle architekta Richarda Padovana to má charakteristické poměry3/4 a 1/7, které řídí limity lidského vnímání ve vztahu jedné fyzické velikosti k druhé. Van der Laan použil tyto poměry při navrhování kostela opatství St. Benedictusberg v Nizozemsku v roce 1967 .

Rovinné symetrie

Další informace: Rovinná symetrie , skupina tapet , islámské geometrické vzory a Kilim
Silná přítomnost: koberec s dvojitým medailonem. Střední Anatolie (Konya - Karapınar), přelom 16./17. století. Alâeddinova mešita

Rovinné symetrie byly po tisíciletí využívány v uměleckých dílech, jako jsou koberce , mříže, textilie a obklady.

Mnoho tradičních koberce, zda plyšáci nebo flatweave kilims , jsou rozděleny do centrální oblasti a hranice rámování; oba mohou mít symetrii, i když v ručně tkaných kobercích jsou často mírně rozbité malými detaily, variacemi vzoru a barevnými posuny zavedenými tkalcem. V kilims z Anatolie , že motivy se používají samy o sobě obvykle symetrické. Obvykle je také přítomno obecné rozložení s aranžmá, jako jsou pruhy, pruhy střídající se s řadami motivů, a zabalená pole zhruba hexagonálních motivů. Pole je obvykle rozloženo jako tapeta se skupinou tapet, jako je pmm, zatímco ohraničení může být rozloženo jako vlys skupiny vlysů pm11, pmm2 nebo pma2. Turecké a středoasijské kilimy mají často tři nebo více hranic v různých vlysových skupinách. Tkalci určitě měli v úmyslu symetrii, aniž by výslovně znali její matematiku. Matematik a teoretik architektury Nikos Salingaros naznačuje, že „mocná přítomnost“ (estetický efekt) „velkého koberce“, jakým jsou nejlepší dvouk medailonové koberce Konya 17. století, je vytvořen matematickými technikami souvisejícími s teoriemi architekta Christophera Alexandre . Mezi tyto techniky patří párování protikladů; protichůdné hodnoty barev; geometrické rozlišení oblastí, ať už pomocí komplementárních tvarů nebo vyvážením směrovosti ostrých úhlů; poskytování komplexnosti v malém měřítku (od úrovně uzlu výše) a symetrie v malém i velkém měřítku; opakující se prvky v hierarchii různých měřítek (s poměrem asi 2,7 z každé úrovně na další). Salingaros tvrdí, že „všechny úspěšné koberce splňují alespoň devět z výše uvedených deseti pravidel“, a navrhuje, aby z těchto pravidel bylo možné vytvořit metriku.

Propracované mříže se nacházejí v indické džalijské práci, vytesané do mramoru, které zdobí hrobky a paláce. Čínské mříže, vždy s určitou symetrií, existují ve 14 ze 17 skupin tapet; často mají zrcadlo, dvojité zrcadlo nebo rotační symetrii. Některé mají centrální medailon a některé mají ohraničení ve vlysové skupině. Daniel S. Dye matematicky analyzoval mnoho čínských mřížek; identifikuje Sichuan jako centrum plavidla.

Dlaždice Girih

Symetrie jsou v textilním umění prominentní, včetně prošívání , pletení , křížkových stehů , háčkování , vyšívání a tkaní , kde mohou být čistě dekorativní nebo mohou být známkou postavení. Rotační symetrie se nachází v kruhových strukturách, jako jsou kupole ; ty jsou někdy komplikovaně zdobeny symetrickými vzory uvnitř i vně, jako v mešitě Sheikh Lotfollah v 1619 v Isfahánu . Předměty výšivek a krajek, jako jsou ubrusy a podložky na stůl, vyrobené pomocí cívek nebo potrháním , mohou mít širokou škálu reflexních a rotačních symetrií, které jsou matematicky zkoumány.

Islámské umění využívá symetrii v mnoha svých uměleckých formách, zejména v girih obkladech . Ty jsou vytvořeny pomocí sady pěti tvarů dlaždic, a to pravidelného dekagonu, prodlouženého šestiúhelníku, motýlka, kosočtverce a pravidelného pětiúhelníku. Všechny strany těchto dlaždic mají stejnou délku; a všechny jejich úhly jsou násobky 36 ° (π/5 radiánů ), které nabízejí pětinásobnou a desetinásobnou symetrii. Dlaždice jsou zdobeny popruhy (girih), obecně viditelnější než hranice dlaždic. V roce 2007 fyzici Peter Lu a Paul Steinhardt tvrdili, že girih připomíná kvazikrystalické penroské obklady . Propracovaná geometrická zellige dlaždice je výrazným prvkem v marocké architektuře. Klenby Muqarnas jsou trojrozměrné, ale byly navrženy ve dvou rozměrech s kresbami geometrických buněk.

Mnohostěn

První tištěná ilustrace kosočtverce , od Leonarda da Vinciho , publikovaná v De Divina Proportione , 1509

Tyto platonické pevné látky a jiné polyhedra jsou opakující se téma v západním umění. Nacházejí se například v mramorové mozaice s malým hvězdným dodecahedronem , připisovaným Paolovi Uccellovi, v podlaze baziliky San Marco v Benátkách; v Leonardových da Vinciho diagramech pravidelných mnohostěnů nakreslených jako ilustrace ke knize Lucy Pacioliho z roku 1509 Božská proporce ; jako skleněný kosočtverec v portrétu Jacoba de Barbariho Pacioliho, namalovaného v roce 1495; ve zkráceném mnohostěnu (a různých dalších matematických předmětech) v rytině Albrechta Dürera Melencolia I ; a v obraze Salvadora Dalího Poslední večeře, kde je Kristus a jeho učedníci zobrazeni uvnitř obřího dvanáctistěnu .

Albrecht Dürer (1471–1528) byl německý renesanční grafik, který ve své knize Underweysung der Messung (Vzdělávání o měření) , určené k výuce předmětů lineární perspektivy , geometrie v architektuře , platonických těles a významně přispěl k polyedrické literatuře. pravidelné mnohoúhelníky . Dürer byl pravděpodobně ovlivněn díly Luca Pacioli a Piero della Francesca během svých cest do Itálie . Zatímco příklady perspektivy v Underweysung der Messung jsou nedostatečně rozvinuté a obsahují nepřesnosti, existuje podrobná diskuse o mnohostěnu. Dürer je také první, kdo v textu představil myšlenku polyedrických sítí , mnohostěnů rozložených tak, aby ležely naplocho pro tisk. V roce 1528 vydal Dürer další vlivnou knihu o lidských proporcích s názvem Vier Bücher von Menschlicher Proportion (Čtyři knihy o lidské proporci) .

Salvador Dalí je ukřižování (Corpus Hypercubus) , 1954, líčí Krista na matematickém síti jednoho hyperkrychli , (olej na plátně, 194,3 x 123,8 cm, Metropolitní muzeum umění , New York)

Dürerova známá rytina Melencolia I zobrazuje frustrovaného myslitele, který sedí u komolého trojúhelníkového lichoběžníku a magického čtverce . Tyto dva objekty a rytina jako celek byly předmětem modernější interpretace než obsah téměř jakéhokoli jiného tisku, včetně dvoudílné knihy Petera-Klause Schustera a vlivné diskuse v monografii Erwina Panofského Dürera.

Salvador Dali je korpus Hypercubus znázorňuje rozvinutého trojrozměrné sítě pro hyperkrychli , také známý jako tesseract ; rozvinutí tesseraktu do těchto osmi kostek je analogické rozvinutí boků krychle do křížového tvaru šesti čtverců, který zde představuje božskou perspektivu se čtyřrozměrným pravidelným mnohostěnem.

Fraktální rozměry

Batiky ze Surakarty v Javě, stejně jako tento vzor meče parang klithik , mají fraktální rozměr mezi 1,2 a 1,5.

Tradiční indonéské vzory batikování odolného vůči vosku na látce kombinují reprezentativní motivy (například květinové a rostlinné prvky) s abstraktními a poněkud chaotickými prvky, včetně nepřesnosti při nanášení voskové rezistence a náhodné variace způsobené praskáním vosku. Batikované vzory mají fraktální rozměr mezi 1 a 2, liší se v různých regionálních stylech. Batika Cirebon má například fraktální rozměr 1,1; batiky Yogyakarty a Surakarty (Solo) ve střední Jávě mají fraktální rozměr 1,2 až 1,5; a batiky Lasemu na severním pobřeží Jávy a Tasikmalaya v Západní Jávě mají fraktální rozměr mezi 1,5 a 1,7.

Kapání malování díla moderního umělce Jacksona Pollocka jsou podobně výrazný jejich fraktální dimenzi. Jeho číslo 14 z roku 1948 má rozměr podobný pobřeží 1,45, zatímco jeho pozdější obrazy měly postupně vyšší fraktální rozměry a podle toho propracovanější vzory. Vytvoření jednoho z jeho posledních děl, Blue Poles , trvalo šest měsíců a má fraktální rozměr 1,72.

Složitý vztah

Astronom Galileo Galilei ve své knize Il Saggiatore napsal, že „[vesmír] je psán jazykem matematiky a jeho znaky jsou trojúhelníky, kruhy a další geometrické obrazce.“ Umělci, kteří usilují o studium přírody a snaží se ji studovat, musí nejprve z pohledu Galilea plně porozumět matematice. Matematici se naopak snažili interpretovat a analyzovat umění optikou geometrie a racionality. Matematik Felipe Cucker naznačuje, že matematika, a zejména geometrie, je zdrojem pravidel pro „uměleckou tvorbu řízenou pravidly“, i když ne jedinou. Některé z mnoha vláken výsledného komplexního vztahu jsou popsány níže.

Matematik GH Hardy definoval soubor kritérií pro matematickou krásu .

Matematika jako umění

Hlavní článek: Matematická krása

Matematik Jerry P. King popisuje matematiku jako umění a prohlašuje, že „klíčem k matematice je krása a elegance, nikoli otupělost a technicita“ a že krása je motivující silou matematického výzkumu. King cituje esej matematika GH Hardyho z roku 1940 Matematická omluva . Hardy v něm pojednává o tom, proč považuje za první rychlost dvě věty z klasické doby , konkrétně Euclidův důkaz, že existuje nekonečně mnoho prvočísel , a důkaz, že druhá odmocnina ze 2 je iracionální . King hodnotí toto poslední na základě Hardyho kritérií pro matematickou eleganci : „ vážnost, hloubka, obecnost, neočekávanost, nevyhnutelnost a hospodárnost “ (Kingova kurzíva) a důkaz označuje jako „esteticky příjemný“. Maďarský matematik Paul Erdős souhlasil s tím, že matematika ovládá krásu, ale zvažoval důvody, které nelze vysvětlit: „Proč jsou čísla krásná? Je to jako ptát se, proč je Beethovenova Devátá symfonie krásná. Pokud nevidíte proč, někdo vám to nemůže říct. Vím čísla jsou krásná. "

Matematické nástroje pro umění

Další informace: Seznam matematických umělců , fraktálového umění a počítačového umění

Matematiku lze rozeznat v mnoha uměních, jako je hudba , tanec , malba , architektura a sochařství . Každý z nich je bohatě spojen s matematikou. Mezi spojeními s výtvarným uměním může matematika poskytnout nástroje umělcům, jako jsou pravidla lineární perspektivy, jak popsali Brook Taylor a Johann Lambert , nebo metody deskriptivní geometrie , které se nyní používají v softwarovém modelování těles, sahající až do Albrechtu Dürer a Gaspard Monge . Umělci od Lucy Pacioli ve středověku a Leonarda da Vinciho a Albrechta Dürera v renesanci využili a rozvíjeli matematické myšlenky při výkonu své umělecké práce. Navzdory některým embryonálním zvyklostem v architektuře starověkého Řecka začalo používání perspektivy s italskými malíři, jako byl Giotto ve 13. století; pravidla, jako je úběžník, poprvé zformuloval Brunelleschi asi v roce 1413, jeho teorie ovlivnila Leonarda a Dürera. Isaac Newton ‚s prací na optickém spektru ovlivněn Goethe ‘ s teorií barev a zase umělci jako Philipp Otto Runge , JMW Turnera , v prerafaelovského a Wassily Kandinsky . Umělci se také mohou rozhodnout analyzovat symetrii scény. Nástroje mohou být použity matematiky, kteří zkoumají umění, nebo umělci inspirovanými matematikou, jako je MC Escher (inspirovaný HSM Coxeter ) a architekt Frank Gehry , který vhodněji tvrdil, že počítačem podporovaný design mu umožnil vyjádřit se v úplně novém. způsob.

Octopod od Mikaela Hvidtfeldta Christensena. Algoritmické umění vytvořené pomocí softwaru Structure Synth

Umělec Richard Wright tvrdí, že matematické objekty, které lze sestrojit, lze vnímat buď „jako procesy pro simulaci jevů“, nebo jako díla „ počítačového umění “. Uvažuje o povaze matematického myšlení a pozoruje, že fraktály byly matematikům známy již celé století, než byly jako takové uznány. Wright na závěr uvádí, že je vhodné podrobit matematické objekty jakýmkoli metodám používaným k „vyrovnání se s kulturními artefakty, jako je umění, napětí mezi objektivitou a subjektivitou, jejich metaforické významy a charakter reprezentačních systémů“. Jako příklad uvádí obrázek ze sady Mandelbrotů , obraz generovaný algoritmem celulárního automatu a počítačem vykreslený obrázek a s odkazem na Turingův test diskutuje , zda mohou být algoritmické produkty uměním. Sasho Kalajdzievski's Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics má podobný přístup, hledá vhodně vizuální matematická témata, jako jsou obklady, fraktály a hyperbolická geometrie.

Některá z prvních děl počítačového umění byla vytvořena „kreslícím strojem 1“ Desmonda Paula Henryho , analogovým strojem založeným na počítači zaměřujícím zaměřovač, který byl vystaven v roce 1962. Stroj byl schopen vytvářet složité, abstraktní, asymetrické, křivočaré, ale opakující se perokresby. V nedávné době vytvořil Hamid Naderi Yeganeh tvary připomínající objekty skutečného světa, jako jsou ryby a ptáci, pomocí vzorců, které se postupně mění, aby kreslily rodiny křivek nebo šikmých čar. Umělci jako Mikael Hvidtfeldt Christensen vytvářejí díla generativního nebo algoritmického umění psaním skriptů pro softwarový systém, jako je Structure Synth : umělec efektivně nasměruje systém tak, aby na zvolenou sadu dat aplikoval požadovanou kombinaci matematických operací.

Od matematiky k umění

Proto-kubismus : Obraz Pabla Picassa z roku 1907 Les Demoiselles d'Avignon používá projekci čtvrté dimenze k zobrazení postavy jak celé tváře, tak v profilu.
Další informace: Proto-kubismus , mozaikování , MC Escher , Matematika skládání papíru a Matematika a umění z vláken

Matematik a teoretický fyzik Henri Poincaré ‚s Science and hypotéza byla široce čtena z kubismu , včetně Pabla Picassa a Jean Metzinger . Poincaré, který byl důkladně obeznámen s prací Bernharda Riemanna na neeuklidovské geometrii, si více než uvědomoval, že euklidovská geometrie je jen jednou z mnoha možných geometrických konfigurací, nikoli jako absolutní objektivní pravda. Možná existence čtvrté dimenze inspirovala umělce ke zpochybňování klasické renesanční perspektivy : neeuklidovská geometrie se stala platnou alternativou. Koncept, že malbu lze vyjádřit matematicky, barvou a formou, přispěl ke kubismu, uměleckému hnutí, které vedlo k abstraktnímu umění . Metzinger v roce 1910 napsal, že: „[Picasso] stanoví volnou, mobilní perspektivu, ze které tento důmyslný matematik Maurice Princet odvodil celou geometrii“. Později Metzinger ve svých pamětech napsal:

Maurice Princet se k nám často připojoval ... jako umělec pojímal matematiku, jako estetik vyvolával n -dimenzionální kontinua. Miloval, aby se umělci zajímali o nové pohledy na prostor , které otevřel Schlegel a někteří další. To se mu podařilo.

Impuls vytvořit výukové nebo výzkumné modely matematických forem přirozeně vytváří objekty, které mají symetrii a překvapivé nebo příjemné tvary. Někteří z nich inspirovali umělce, jako jsou Dadaists Man Ray , Marcel Duchamp a Max Ernst a po Man Rayovi Hiroshi Sugimoto .

Enneper vystupuje jako dadaismus : Man Rayova matematika Objet z roku 1934

Man Ray fotografoval některé matematické modely na pařížském Institutu Henri Poincaré , včetně Objet mathematique (Matematický objekt). Všiml si, že to představuje Enneper plochy s konstantní negativní zakřivení , odvozený z pseudo-koule . Tento matematický základ byl pro něj důležitý, protože mu umožnil popřít, že by předmět byl „abstraktní“, místo toho tvrdil, že je stejně skutečný jako pisoár, který Duchamp vytvořil v umělecké dílo. Man Ray připustil, že vzorec objektu [povrch Enneper] „pro mě nic neznamenal, ale samotné formy byly stejně rozmanité a autentické jako všechny v přírodě“. Použil své fotografie matematických modelů jako postavy ve svých sériích, které udělal o Shakespearových hrách, jako například jeho obraz Antony a Kleopatra z roku 1934 . Reportér umění Jonathan Keats, který píše ve ForbesLife , tvrdí, že Man Ray fotografoval „eliptické paraboloidy a kuželové body ve stejném smyslném světle jako jeho obrázky Kiki de Montparnasse “ a „důmyslně přetváří chladné výpočty matematiky, aby odhalil topologii touha". Sochaři dvacátého století, jako Henry Moore , Barbara Hepworth a Naum Gabo, se inspirovali matematickými modely. Moore o své strunné matce a dítěti z roku 1938 napsal : „Zdrojem mých strunných figur bylo nepochybně Muzeum vědy  ... Fascinovaly mě matematické modely, které jsem tam viděl ... Nebyla to vědecká studie těchto modelů, ale schopnost dívat se skrz struny jako v ptačí kleci a vidět jednu formu v jiné, což mě vzrušovalo. "

Theo van Doesburg je šest momenty ve vývoji Plane do vesmíru , 1926 nebo 1929

Umělci Theo van Doesburg a Piet Mondrian založili hnutí De Stijl , které chtěli „vytvořit vizuální slovník složený z elementárních geometrických tvarů srozumitelných všem a přizpůsobitelných jakékoli disciplíně“. Mnoho z jejich děl viditelně sestává z vládnutých čtverců a trojúhelníků, někdy také s kruhy. Umělci De Stijl pracovali v malbě, nábytku, interiérovém designu a architektuře. Po rozpadu De Stijla založil Van Doesburg avantgardní hnutí Art Concret , popisující jeho aritmetickou kompozici 1929–1930 , sérii čtyř černých čtverců na diagonále čtvercového pozadí, jako „strukturu, kterou lze ovládat, jednoznačný povrch bez náhodných prvků nebo individuálního rozmaru “, ale„ bez ducha, bez univerzálního a ne ... prázdného, ​​protože existuje vše, co odpovídá vnitřnímu rytmu “. Umělecká kritička Gladys Fabreová poznamenává, že v obraze působí dva vývojové trendy, a to rostoucí černé čtverce a střídající se pozadí.

Matematika teselace , mnohostěnů, tvarování prostoru a sebereflexe poskytla grafikovi MC Escherovi (1898–1972) doživotní materiál pro jeho dřevoryty. V Alhambra Sketch Escher ukázal, že umění lze vytvářet pomocí mnohoúhelníků nebo pravidelných tvarů, jako jsou trojúhelníky, čtverce a šestiúhelníky. Escher používal při obkládání letadla nepravidelné mnohoúhelníky a často používal odrazy, klouzavé odrazy a překlady, aby získal další vzory. Mnoho z jeho děl obsahuje nemožné konstrukce, vyrobené pomocí geometrických objektů, které vytvářejí rozpor mezi perspektivní projekcí a třemi dimenzemi, ale jsou příjemné pro lidský zrak. Escherovo Vzestupně a Sestupně vychází z „ nemožného schodiště “, které vytvořil lékařský vědec Lionel Penrose a jeho syn matematik Roger Penrose .

Některé z mnoha Escherových teselačních kreseb byly inspirovány rozhovory s matematikem HSM Coxeterem o hyperbolické geometrii . Eschera zaujalo zejména pět konkrétních mnohostěnů, které se v jeho díle objevují mnohokrát. Tyto platonické pevné látky -tetrahedrons, kostky, osmistěny, dodecahedrons a icosahedrons-jsou obzvláště prominentní v pořádku a chaosu a čtyřech řádných pevných látek . Tyto hvězdné postavy často sídlí v jiném obrázku, který dále narušuje pozorovací úhel a konformaci mnohostěnů a poskytuje mnohostranné perspektivní umělecké dílo.

Vizuální složitost matematických struktur, jako jsou mozaiky a mnohostěny, inspirovala řadu matematických uměleckých děl. Stewart Coffin vyrábí polyedrické hádanky ve vzácných a krásných lesích; George W. Hart pracuje na teorii mnohostěnů a vyřezává jimi inspirované předměty; Magnus Wenninger vyrábí „obzvláště krásné“ modely složitých hvězdných mnohostěnů .

Zkreslené perspektivy anamorfózy byly v umění zkoumány již od šestnáctého století, kdy Hans Holbein mladší zakomponoval do svého obrazu z roku 1533 The Ambassadors značně zkreslenou lebku . Mnoho umělců od té doby, včetně Eschera, používá anamorfní triky.

Matematika topologie inspirovala několik umělců v moderní době. Sochař John Robinson (1935-2007) vytvořil díla jako Gordian Knot a Bands of Friendship , zobrazující teorii uzlů v leštěném bronzu. Další díla Robinsona zkoumají topologii torusů . Genesis je založena na borromejských prstencích - sadě tří kruhů, z nichž žádné dva nepropojují, ale ve kterých nelze celou strukturu rozbít bez přerušení. Sochař Helaman Ferguson vytváří složité povrchy a další topologické objekty . Jeho práce jsou vizuální reprezentací matematických objektů; Osminásobná cesta je založena na projektivní speciální lineární skupině PSL (2,7) , konečné skupině 168 prvků. Sochařka Bathsheba Grossmanová podobně staví svou práci na matematických strukturách. Umělec Nelson Saiers ve svém umění začleňuje matematické koncepty a věty od špiček a schémat po čtyřbarevnou větu a iracionalitu π .

Vyšetřovací projekt svobodných umění zkoumá spojení mezi matematikou a uměním prostřednictvím Möbiusova pásu , flexagonů , origami a panoramatické fotografie.

Matematické objekty včetně Lorenzova potrubí a hyperbolické roviny byly vytvořeny pomocí vláken, včetně háčkování. Americká tkalkyně Ada Dietz napsala v roce 1949 monografii Algebraické výrazy v ručně tkaných textiliích , definující vzory tkaní na základě expanze vícerozměrných polynomů . Matematik Daina Taimiņa demonstroval vlastnosti hyperbolické roviny háčkováním v roce 2001. To vedlo Margaret a Christine Wertheimové k uháčkování korálového útesu , skládajícího se z mnoha mořských živočichů, jako jsou nudibranchy, jejichž tvary jsou založeny na hyperbolických rovinách. Matematik JCP Miller použil mobilní automat Rule 90 k návrhu tapisérií zobrazujících jak stromy, tak abstraktní vzory trojúhelníků. „Matheknitici“ Pat Ashforth a Steve Plummer ve své výuce používají pletené verze matematických objektů, jako jsou šestihrany , přestože se jejich Mengerova houba ukázala jako příliš obtížná na pletení a místo toho byla vyrobena z plastového plátna. Jejich projekt „mathghans“ (Afghánci pro školy) zavedl pletení do osnov britské matematiky a technologie.

Semiotic vtip: René Magritte je La stav humaine 1933

Ilustrující matematiku

Přední strana Giotto 's Stefaneschi Triptych , 1320 ilustruje rekurzi .
Detail kardinála Stefaneschiho držícího triptych

Modelování není zdaleka jediným možným způsobem, jak ilustrovat matematické pojmy. Giotto's Stefaneschi Triptych , 1320, ilustruje rekurzi ve formě mise en abyme ; střední panel triptychu obsahuje vlevo dole klečící postavu kardinála Stefaneschiho, která drží triptych jako oběť. Giorgio de Chirico je metafyzické malby, jako je jeho 1917 Velké metafyzické vnitra zkoumat otázku úrovní reprezentace v umění tím, že líčí obrazů v jeho obrazech.

Umění může být příkladem logických paradoxů, jako na některých obrazech surrealisty Reného Magritta , které lze číst jako sémiotické vtipy o zmatku mezi úrovněmi. Ve filmu La condition humaine (1933) Magritte zobrazuje stojan (na skutečném plátně), který plynule podporuje výhled oknem, které je na obraze orámováno „skutečnými“ závěsy. Podobně Escherova tisková galerie (1956) je tisk, který zobrazuje pokřivené město, které obsahuje galerii, která rekurzivně obsahuje obrázek, a tak ad infinitum . Magritte využil koule a kvádry ke zkreslení reality jiným způsobem a namaloval je vedle řady domů ve své mentální aritmetice z roku 1931, jako by to byly dětské stavební bloky, ale velikosti domu. The Guardian poznamenal, že „děsivý obraz hračkářského města“ prorokoval uzurpaci modernismu o „útulných tradičních formách“, ale také si pohrával s lidskou tendencí hledat vzory v přírodě .

Schéma zjevného paradoxu ztělesněného v Litografické tiskové galerii MC Eschera z roku 1956 , jak o ní pojednává Douglas Hofstadter ve své knize z roku 1980 Gödel, Escher, Bach

Salvadora Dalího poslední malba, vlaštovka ocas (1983), byl součástí série inspirované René Thom ‚s teorie katastrof . Španělský malíř a sochař Pablo Palazuelo (1916–2007) se zaměřil na zkoumání formy. Vyvinul styl, který popsal jako geometrii života a geometrii celé přírody. Palazuelo, skládající se z jednoduchých geometrických tvarů s detailním vzorováním a barvením, se v dílech jako Angular I a Automnes vyjádřil v geometrických transformacích.

Umělec Adrian Gray cvičí vyvážení kamene , využívá tření a těžiště a vytváří nápadné a zdánlivě nemožné kompozice.

Litografická tisková galerie od MC Eschera , 1956

Umělci však nemusí nutně brát geometrii doslova. Jak píše Douglas Hofstadter ve své reflexi lidského myšlení z roku 1980, Gödel, Escher, Bach , mimo jiné (mimo jiné) matematikou umění: „Rozdíl mezi Escherovou kresbou a neeuklidovskou geometrií je ten, že v druhé, srozumitelné interpretace lze nalézt pro nedefinované výrazy, což vede ke srozumitelnému celkovému systému, zatímco pro první z nich není konečný výsledek slučitelný s jeho pojetím světa, bez ohledu na to, jak dlouho se člověk dívá na obrázky. " Hofstadter pojednává o zdánlivě paradoxní litografii Print Gallery od MC Eschera; líčí přímořské město obsahující uměleckou galerii, která jako by obsahovala malbu přímořského města s „podivnou smyčkou nebo zamotanou hierarchií“ na úrovně reality v obraze. Samotný umělec, poznamenává Hofstadter, není vidět; jeho realita a jeho vztah k litografii nejsou paradoxní. Centrální prázdnota obrazu přitahovala také zájem matematiků Bart de Smit a Hendrik Lenstra , kteří navrhují, že by mohla obsahovat kopii sebe sama, otočenou a zmenšenou Drosteovým efektem ; to by byla další ukázka rekurze nad rámec toho, co poznamenal Hofstadter.

Analýza dějin umění

Algoritmická analýza obrazů uměleckých děl, například pomocí rentgenové fluorescenční spektroskopie , může odhalit informace o umění. Takové techniky mohou odhalit obrazy ve vrstvách barvy, které později překryje umělec; pomozte historikům umění vizualizovat umělecké dílo dříve, než praskne nebo vybledne; pomůže rozeznat kopii od originálu nebo odlišit styl tahu štětce od jeho učedníků.

Max Ernst při tvorbě Lissajousových figurek , New York, 1942

Jackson Pollock ‚s odkapávací malování styl má určitou fraktální dimenze ; mezi umělci, kteří mohli ovlivnit Pollockův kontrolovaný chaos , Max Ernst namaloval Lissajousovy postavy přímo tím, že přehodil proražený kbelík barvy přes plátno.

Počítačový vědec Neil Dodgson zkoumal, zda lze pruhové malby Bridget Rileyové charakterizovat matematicky, a dospěl k závěru, že zatímco separační vzdálenost by mohla „poskytnout určitou charakteristiku“ a na některých obrazech fungovala globální entropie , autokorelace selhala, protože Rileyho vzory byly nepravidelné. Místní entropie fungovala nejlépe a dobře korelovala s popisem výtvarného kritika Roberta Kudielky.

Estetické opatření amerického matematika George Birkhoffa z roku 1933 navrhuje kvantitativní metriku estetické kvality uměleckého díla. Nesnaží se měřit konotace díla, například co by obraz mohl znamenat, ale je omezen na „prvky řádu“ polygonální figury. Birkhoff nejprve kombinuje (jako součet) pět takových prvků: zda existuje svislá osa symetrie; zda existuje optická rovnováha; kolik rotačních symetrií má; jak postava vypadá jako tapeta; a zda existují neuspokojivé funkce, jako například mít dva vrcholy příliš blízko sebe. Tato metrika, O , nabývá hodnoty mezi -3 a 7. Druhá metrika, C , počítá prvky obrázku, což je pro mnohoúhelník počet různých přímek obsahujících alespoň jednu z jeho stran. Birkhoff pak definuje svou estetickou míru krásy předmětu jako O/C . To lze interpretovat jako rovnováhu mezi potěšením při pohledu na předmět a množstvím úsilí potřebného k jeho uchopení. Birkhoffův návrh byl kritizován různými způsoby, v neposlední řadě za snahu vložit krásu do vzorce, ale nikdy tvrdil, že to udělal.

Podněty k matematickému výzkumu

Další informace: Projektivní geometrie a matematika skládání papíru

Umění někdy stimulovalo rozvoj matematiky, jako když Brunelleschiho teorie perspektivy v architektuře a malbě zahájila cyklus výzkumu, který vedl k práci Brook Taylor a Johanna Heinricha Lamberta na matematických základech perspektivní kresby a nakonec k matematice projektivní geometrie z Girard Desargues a Jean-Victor Poncelet .

Japonské umění skládání papíru origami bylo matematicky přepracováno Tomoko Fusé pomocí modulů , shodných kusů papíru, jako jsou čtverce, a jejich přeměnou na mnohostěn nebo obklady. Skládání papíru použil v roce 1893 T. Sundara Rao ve svých Geometrických cvičeních při skládání papíru k demonstraci geometrických důkazů. K matematika skládání papíru byly prozkoumány v Maekawa teorému , Kawasakiho teorém , a axiomů Huzita-Hatori .

Iluze op umění

Další informace: Op art
The Fraser spirální iluze , pojmenovaný pro sira Jamese Fraser, který ji objevil v roce 1908.

Optické klamy , jako je Fraserova spirála, nápadně demonstrují omezení lidského vizuálního vnímání a vytvářejí to, co historik umění Ernst Gombrich nazýval „matoucí trik“. Černá a bílá lana, která vypadají jako spirály, jsou ve skutečnosti soustředné kruhy . Op art nebo optický umělecký styl malby a grafiky v polovině dvacátého století využíval těchto efektů k vytváření dojmu pohybu a blikajících nebo vibrujících vzorů, viděných v díle umělců jako Bridget Riley , Spyros Horemis a Victor Vasarely .

Posvátná geometrie

Další informace: Posvátná geometrie a matematika a hudba

V uměleckém proudu od starověkého Řecka je Bůh geometrem světa a geometrie světa je tedy posvátná. Víra, že Bůh stvořil vesmír podle geometrického plánu, má prastarý původ. Plutarch připisoval víru Platónovi a psal, že „Platón řekl, že Bůh geometrizuje nepřetržitě“ ( Convivialiumoubigationationum , liber 8,2). Tento obraz od té doby ovlivňuje západní myšlení. Platónský koncept zase odvozoval z pythagorejského pojmu harmonie v hudbě, kde byly noty rozmístěny v dokonalých proporcích, odpovídajících délkám strun lyry; Pythagorejci skutečně tvrdili, že vše zařídil Number. Stejně tak v platonickém myšlení regulérní nebo platónská tělesa určují proporce nalezené v přírodě a v umění. Osvícení v Codexu Vindobonensis ze 13. století ukazuje, že Bůh kreslí vesmír dvojicí kompasů, které mohou odkazovat na verš Starého zákona: „Když založil nebesa, byl jsem tam: když nastavil kompas na obličej hlubiny “(Přísloví 8:27),. V roce 1596 matematický astronom Johannes Kepler modeloval vesmír jako sadu vnořených platonických těles a určoval relativní velikosti oběžných drah planet. William Blake 's Ancient of Days (zobrazující Urizena , Blakeovo ztělesnění rozumu a práva) a jeho obraz fyzika Isaaca Newtona , nahý, shrbený a kreslící kompasem, pomocí symboliky kompasů kritizuje konvenční rozum a materialismus jako úzké- smýšlející. Ukřižování Salvadora Dalího z roku 1954 (Corpus Hypercubus) zobrazuje kříž jako hyper kostku , která reprezentuje božskou perspektivu se čtyřmi rozměry spíše než obvyklé tři. V Dalího Svátosti poslední večeře (1955) je Kristus a jeho žáci zobrazeni uvnitř obřího dvanáctistěnu .

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy