Maticová mechanika - Matrix mechanics

Maticová mechanika je formulace kvantové mechaniky vytvořená Wernerem Heisenbergem , Maxem Bornem a Pascualem Jordanem v roce 1925. Byla to první koncepčně autonomní a logicky konzistentní formulace kvantové mechaniky. Jeho zpráva o kvantové skoky nahradil modelem Bohra ‚s elektronové orbity . Stalo se tak interpretací fyzikálních vlastností částic jako matic, které se vyvíjejí v čase. To je ekvivalent k vlnové formulaci Schrödinger kvantové mechaniky, jak je projevuje v Dirac ‚s Diracova notace .

Na rozdíl od formulace vln produkuje spektra (většinou energetických) operátorů čistě algebraickými metodami žebříkových operátorů . Na základě těchto metod odvodil Wolfgang Pauli spektrum atomů vodíku v roce 1926, před vývojem vlnové mechaniky.

Vývoj maticové mechaniky

V roce 1925 formulovali Werner Heisenberg , Max Born a Pascual Jordan reprezentaci maticové mechaniky kvantové mechaniky.

Zjevení Páně v Helgolandu

V roce 1925 byl Werner Heisenberg pracoval v Göttingen na problém výpočtu spektrální čáry z vodíku . V květnu 1925 se začal pokoušet popsat atomové systémy pouze pozorovatelnými . 7. června Heisenberg , aby unikl následkům špatného útoku senné rýmy , odešel na pylský severomorský ostrov Helgoland . Zatímco tam, mezi horolezectví a zapamatování básní z Goethe ‚s West-Östlicher Diwan , pokračoval k zamyšlení spektrální problém a nakonec si uvědomil, že přijetí non-dojíždět pozorovatelné může problém vyřešit. Později napsal:

Bylo asi tři hodiny v noci, když přede mnou ležel konečný výsledek výpočtu. Nejprve jsem byl hluboce otřesen. Byl jsem tak nadšený, že jsem nemohl myslet na spánek. Tak jsem odešel z domu a čekal na východ slunce na skále.

Tři základní dokumenty

Poté, co se Heisenberg vrátil do Göttingenu, ukázal Wolfgangovi Paulimu své výpočty a na jednom místě komentoval:

Všechno je pro mě stále nejasné a nejasné, ale zdá se, jako by se elektrony již na oběžných drahách nepohybovaly.

9. července předal Heisenberg stejný článek svých výpočtů Maxi Bornovi s tím, že „napsal šílený příspěvek a neodvážil se jej poslat ke zveřejnění a že by si ho Born měl přečíst a poradit mu“ před zveřejněním. Heisenberg poté na chvíli odešel a nechal Borna analyzovat papír.

V článku Heisenberg formuloval kvantovou teorii bez ostrých elektronových drah. Hendrik Kramers dříve vypočítal relativní intenzity spektrálních čar v Sommerfeldově modelu interpretací Fourierových koeficientů oběžných drah jako intenzit. Ale jeho odpověď, stejně jako všechny ostatní výpočty ve staré kvantové teorii , byla správná pouze pro velké oběžné dráhy .

Heisenberg po spolupráci s Kramersem začal chápat, že pravděpodobnosti přechodu nejsou zcela klasické veličiny, protože jediné frekvence, které se objevují v Fourierově řadě, by měly být ty, které jsou pozorovány v kvantových skokech, nikoli fiktivní, které pocházejí z Fourierových -analyzující ostré klasické dráhy. Nahradil klasickou Fourierovu řadu maticí koeficientů, fuzzovaným kvantovým analogem Fourierovy řady. Klasicky Fourierovy koeficienty dávají intenzitu emitovaného záření , takže v kvantové mechanice byla velikost prvků matice operátoru polohy intenzitou záření ve spektru jasných čar. Veličiny v Heisenbergově formulaci byly klasickou pozicí a hybností, ale nyní již nebyly ostře definovány. Každá veličina byla reprezentována kolekcí Fourierových koeficientů se dvěma indexy, odpovídajícími počátečnímu a konečnému stavu.

Když Born četl článek, poznal formulaci jako formulaci, kterou lze přepsat a rozšířit na systematický jazyk matic , který se naučil ze své studie u Jakoba Rosanese na univerzitě ve Vratislavi . Born, s pomocí svého asistenta a bývalého studenta Pascual Jordan, okamžitě zahájil přepis a rozšíření a své výsledky předložili ke zveřejnění; článek byl přijat k publikaci pouhých 60 dní po Heisenbergově článku.

Všichni tři autoři do konce roku předložili ke zveřejnění příspěvek. (Stručný přehled role Borna ve vývoji formulace maticové mechaniky kvantové mechaniky spolu s diskusí o klíčovém vzorci zahrnujícím nekomutivitu amplitud pravděpodobnosti lze najít v článku Jeremyho Bernsteina . Podrobná historická a technická Účet lze nalézt v knize Mehra a Rechenberg Historický vývoj kvantové teorie. Svazek 3. Formulace maticové mechaniky a její modifikace 1925–1926. )

Tři základní dokumenty:

W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , 33 , 879-893, 1925 (přijato 29. července 1925). [Anglický překlad v: BL van der Waerden, editor, Zdroje kvantové mechaniky (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (anglický název: Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations ).]
M. Born a P. Jordan, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , 34 , 858-888, 1925 (přijato 27. září 1925). [Anglický překlad v: BL van der Waerden, editor, Zdroje kvantové mechaniky (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (anglický název: On Quantum Mechanics ).]
M. Born, W. Heisenberg a P. Jordan, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , 35 , 557-615, 1926 (přijato 16. listopadu 1925). [Anglický překlad v: BL van der Waerden, editor, Zdroje kvantové mechaniky (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (anglický název: On Quantum Mechanics II ).]

Až do této doby fyzici matice zřídka používali; považovali se za členy říše čisté matematiky. Gustav Mie je použil v článku o elektrodynamice v roce 1912 a Born je použil ve své práci o teorii mřížky krystalů v roce 1921. Zatímco v těchto případech byly použity matice, algebra matic s jejich množením nevstoupila do obrazu, protože udělali to v maticové formulaci kvantové mechaniky.

Born se však naučil maticovou algebru od Rosanese, jak již bylo zmíněno, ale Born se také naučil Hilbertovu teorii integrálních rovnic a kvadratických forem pro nekonečné množství proměnných, jak bylo patrné z citace práce Born of Hilbert Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen publikoval v roce 1912.

Jordan byl pro tento úkol také dobře vybaven. Za několik let, býval asistentem Richard Courant v Göttingenu v přípravě Courant a David Hilbert ‚s knize Methoden der Physik mathematischen I , která byla zveřejněna v roce 1924. Tato kniha, náhodně, obsahoval velmi mnoho z matematické nástroje nezbytné pro další vývoj kvantové mechaniky.

V roce 1926 se John von Neumann stal asistentem Davida Hilberta a označil termín Hilbertův prostor popisující algebru a analýzu, které byly použity při vývoji kvantové mechaniky.

Příspěvek k této formulaci byl dosažen v Diracově reinterpretační / syntézní práci z roku 1925, která vynalezla jazyk a rámec, které se dnes obvykle používají, při plném zobrazení nekomutativní struktury celé konstrukce.

Heisenbergova úvaha

Před mechanikou matice popsala stará kvantová teorie pohyb částice klasickou oběžnou dráhou s dobře definovanou polohou a hybností X ( t ), P ( t ), s omezením, že časový integrál během jedné periody T časů hybnosti rychlost musí být kladným celočíselným násobkem Planckovy konstanty

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} P \; {dX \ přes dt} \; dt = \ int _ {0} ^ {T} P \; dX = nh}

.

Zatímco toto omezení správně vybírá oběžné dráhy s víceméně správnými energetickými hodnotami E _n , starý kvantově mechanický formalismus nepopisoval časově závislé procesy, jako je emise nebo absorpce záření.

Když je klasická částice slabě spojena s radiačním polem, takže lze radiační tlumení zanedbávat, bude vyzařovat záření ve vzoru, který se opakuje každou oběžnou dobu . Frekvence, které tvoří odchozí vlny jsou pak celé násobky orbitální frekvence, a to je odrazem toho, že X ( t ) je periodické, tak, že jeho Fourierova reprezentace má frekvencí 2n n / T pouze.

{\ displaystyle X (t) = \ součet _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {2 \ pi int / T} X_ {n}}

.

Koeficienty X _n jsou komplexní čísla . Ty se zápornými frekvencemi musí být komplexní konjugáty těch s kladnými frekvencemi, takže X ( t ) bude vždy skutečné,

{\ displaystyle X_ {n} = X _ {- n} ^ {*}}

.

Kvantová mechanická částice na druhé straně nemůže emitovat záření nepřetržitě, může emitovat pouze fotony. Za předpokladu, že kvantová částice začala na oběžné dráze číslo n , emitovala foton a poté skončila na oběžné dráze číslo m , je energie fotonu $E n - E m$ , což znamená, že její frekvence je $(E n - E m) / h$ .

Pro velké n a m , ale s n - m relativně malý, jedná se o klasické frekvence podle Bohra je princip korespondence

{\ displaystyle E_ {n} -E_ {m} \ přibližně h (nm) / T}

.

Ve výše uvedeném vzorci je T klasická perioda buď oběžné dráhy n, nebo oběžné dráhy m , protože rozdíl mezi nimi je v h vyššího řádu . Ale pro n a m malé, nebo je-li n - m velké, frekvence nejsou celočíselnými násobky jakékoli jednotlivé frekvence.

Protože frekvence, které částice emituje, jsou stejné jako frekvence v Fourierově popisu jejího pohybu, naznačuje to, že něco v časově závislém popisu částice osciluje s frekvencí $(E n - E m) / h$ . Heisenberg nazval tuto veličinu X _nm a požadoval, aby se snížila na klasické Fourierovy koeficienty v klasickém limitu. Pro velké hodnoty n , m , ale s nm relativně malé, X _nm je $($ $nm$ $)$ th Fourierova koeficientu klasického pohybu na oběžné dráze n . Protože X _nm má opačnou frekvenci než X _mn , stává se podmínka, že X je skutečné

{\ displaystyle X_ {nm} = X_ {mn} ^ {*}}

.

Podle definice má X _nm pouze frekvenci $(E n - E m) / h$ , takže jeho časový vývoj je jednoduchý:

{\ displaystyle X_ {nm} (t) = e ^ {2 \ pi i (E_ {n} -E_ {m}) t / h} X_ {nm} (0)}

.

Toto je původní forma Heisenbergovy pohybové rovnice.

Vzhledem k tomu, že dvě pole X _nm a P _nm popisují dvě fyzikální veličiny, mohl Heisenberg vytvořit nové pole stejného typu kombinací termínů X _nk P _km , které také oscilují se správnou frekvencí. Protože Fourierovy koeficienty součinu dvou veličin jsou konvolucí Fourierových koeficientů každé z nich zvlášť, korespondence s Fourierovými řadami umožnila Heisenbergovi odvodit pravidlo, kterým by se pole měla vynásobit,

{\ displaystyle (XP) _ {mn} = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} X_ {mk} P_ {kn}}

.

Born poukázal na to, že se jedná o zákon násobení matic , takže poloha, hybnost, energie, všechny pozorovatelné veličiny v teorii jsou interpretovány jako matice. Podle tohoto pravidla násobení závisí produkt na objednávce: XP se liší od PX .

X matrice je kompletní popis pohybu kvantové mechanické částice. Protože frekvence v kvantovém pohybu nejsou násobky společné frekvence, nelze maticové prvky interpretovat jako Fourierovy koeficienty ostré klasické trajektorie . Nicméně jako matice splňují X ( t ) a P ( t ) klasické pohybové rovnice; viz také Ehrenfestova věta níže.

Základy matice

Když ji v roce 1925 představili Werner Heisenberg, Max Born a Pascual Jordan, nebyla maticová mechanika okamžitě přijata a byla zpočátku zdrojem kontroverze. Schrödingerovo pozdější zavedení vlnové mechaniky bylo velmi oblíbené.

Důvodem bylo to, že Heisenbergova formulace byla v té době v lichém matematickém jazyce, zatímco Schrödingerova formulace byla založena na známých vlnových rovnicích. Existoval však také hlubší sociologický důvod. Kvantová mechanika se vyvíjela dvěma cestami, jednou vedenou Einsteinem, který zdůrazňoval dualitu vln-částic, kterou navrhoval pro fotony, a druhou vedenou Bohrem, která zdůrazňovala jednotlivé energetické stavy a kvantové skoky, které Bohr objevil. De Broglie reprodukoval diskrétní energetické stavy v Einsteinově rámci - kvantová podmínka je podmínka stojatých vln, a to dalo naději těm v Einsteinově škole, že všechny diskrétní aspekty kvantové mechaniky budou zahrnuty do mechaniky spojitých vln.

Maticová mechanika naproti tomu pocházela z Bohrovy školy, která se zabývala diskrétními energetickými stavy a kvantovými skoky. Bohrovi následovníci neocenili fyzické modely, které zobrazovaly elektrony jako vlny, nebo jako cokoli jiného. Raději se zaměřili na veličiny, které byly přímo spojeny s experimenty.

V atomové fyzice poskytla spektroskopie pozorovací údaje o atomových přechodech vznikajících při interakcích atomů se světelnými kvantami . Bohrova škola požadovala, aby se v teorii objevila pouze ta množství, která byla v zásadě měřitelná spektroskopií. Tyto veličiny zahrnují energetické úrovně a jejich intenzity, ale nezahrnují přesné umístění částice na její oběžné dráze. Je velmi těžké si představit experiment, který by mohl určit, zda je elektron v základním stavu atomu vodíku napravo nebo nalevo od jádra. Bylo hluboké přesvědčení, že takové otázky nemají odpověď.

Maticová formulace byla postavena na předpokladu, že všechny fyzikální pozorovatelnosti jsou reprezentovány maticemi, jejichž prvky jsou indexovány dvěma různými energetickými hladinami. Sada vlastních čísel matice byla nakonec chápána jako sada všech možných hodnot, které pozorovatelný může mít. Protože Heisenbergovy matice jsou hermitovské , vlastní čísla jsou skutečná.

Pokud je měřena pozorovatelná a výsledkem je určitá vlastní hodnota, odpovídající vlastní vektor je stav systému bezprostředně po měření. Akt měření v maticové mechanice „zhroutí“ stav systému. Pokud jeden změří dvě pozorovatelné současně, stav systému se zhroutí na společný vlastní vektor dvou pozorovatelných. Protože většina matic nemá společné žádné vlastní vektory, většinu pozorovatelných nelze nikdy přesně měřit současně. To je princip nejistoty .

Pokud dvě matice sdílejí své vlastní vektory, mohou být současně diagonalizovány. Na základě toho, kde jsou obě úhlopříčky, je jasné, že jejich produkt nezávisí na jejich pořadí, protože násobení diagonálních matic je pouze násobení čísel. Princip neurčitosti je naopak vyjádřením skutečnosti, že dvě matice A a B ne vždy dojíždějí, tj. Že AB - BA se nemusí nutně rovnat 0. Základní komutační vztah maticové mechaniky,

{\ displaystyle \ sum _ {k} (X_ {nk} P_ {km} -P_ {nk} X_ {km}) = {ih \ over 2 \ pi} ~ \ delta _ {nm}}

z toho vyplývá, že neexistují žádné stavy, které by současně měly určitou pozici a hybnost .

Tento princip nejistoty platí i pro mnoho dalších dvojic pozorovatelných. Energie například nedojíždí s pozicí, takže je nemožné přesně určit polohu a energii elektronu v atomu.

Nobelova cena

V roce 1928 Albert Einstein nominoval Heisenberga, Borna a Jordana na Nobelovu cenu za fyziku . Vyhlášení Nobelovy ceny za fyziku za rok 1932 bylo odloženo až do listopadu 1933. Právě v té době bylo oznámeno, že Heisenberg získal Cenu za rok 1932 „za vytvoření kvantové mechaniky, jejíž aplikace mimo jiné vedla k objevu alotropních forem vodíku “a Erwin Schrödinger a Paul Adrien Maurice Dirac se podělili o cenu z roku 1933„ za objev nových produktivních forem atomové teorie “.

Mohlo by se zeptat, proč Born nebyl spolu s Heisenbergem v roce 1932 oceněn Cenou a Bernstein nabízí spekulace o této záležitosti. Jeden z nich souvisí s tím, že se Jordánsko 1. května 1933 připojilo k nacistické straně a stalo se z něj bouřkař . Přidružení jordánské strany a spojení Jordana s Bornem mohlo dobře ovlivnit Bornovu šanci v té době na Cenu. Bernstein dále konstatuje, že když Born nakonec vyhrál Cenu v roce 1954, Jordan byl stále naživu, zatímco Cena byla udělena za statistickou interpretaci kvantové mechaniky, kterou lze přičíst samotnému Bornovi.

Heisenbergovy reakce na to, že Born pro Heisenberga získal cenu za rok 1932 a pro Born, který získal cenu v roce 1954, jsou také poučné při hodnocení, zda se Born měl o tuto cenu podělit s Heisenbergem. 25. listopadu 1933 Born obdržel dopis od Heisenberga, ve kterém uvedl, že byl písemně opožděn kvůli „špatnému svědomí“, že pouze on dostal Cenu “za práci ve spolupráci v Göttingenu - vy, Jordan a já . “ Heisenberg dále uvedl, že příspěvek Borna a Jordana k kvantové mechanice nelze změnit „špatným rozhodnutím zvenčí“.

V roce 1954 napsal Heisenberg článek, který ocenil Maxe Plancka za jeho pohled v roce 1900. V tomto článku Heisenberg připsal Bornovi a Jordanovi konečnou matematickou formulaci maticové mechaniky a Heisenberg dále zdůrazňoval, jak velké jsou jejich příspěvky ke kvantové mechanice, které byly není „dostatečně uznáno v očích veřejnosti“.

Matematický vývoj

Jakmile Heisenberg představil matice pro X a P , mohl ve zvláštních případech najít jejich maticové prvky pomocí dohadů vedených principem korespondence . Protože prvky matice jsou kvantově mechanické analogy Fourierových koeficientů klasických drah, nejjednodušším případem je harmonický oscilátor , kde klasická poloha a hybnost X ( t ) a P ( t ) jsou sinusové.

Harmonický oscilátor

V jednotkách, kde se hmotnost a frekvence oscilátoru rovnají jedné (viz nedimenzionalizace ), je energie oscilátoru

{\ displaystyle H = {1 \ nad 2} (P ^ {2} + X ^ {2}) ~.}

Tyto sady úrovně z $H$ jsou ve směru hodinových ručiček oběžné dráhy, a jsou vnořené kruhy ve fázovém prostoru. Klasická dráha s energií $E$ je

{\ displaystyle X (t) = {\ sqrt {2E}} \ cos (t), \ qquad P (t) = - {\ sqrt {2E}} \ sin (t) ~.}

Stará kvantová podmínka stanoví, že integrál $P dX$ na oběžné dráze, což je oblast kruhu ve fázovém prostoru, musí být celočíselným násobkem Planckovy konstanty . Plocha kruhu o poloměru $\sqrt 2 E$ je $2 πE$ . Tak

{\ displaystyle E = {nh \ nad 2 \ pi} ~,}

nebo v přírodních jednotkách, kde $ħ = 1$ , je energie celé číslo.

Tyto Fourierových složek z $X (t)$ a $P (t)$ jsou jednoduché, a proto v případě, že jsou kombinovány do množství

{\ displaystyle A (t) = X (t) + iP (t) = {\ sqrt {2E}} \, e ^ {- it}, \ quad A ^ {\ dagger} (t) = X (t) -iP (t) = {\ sqrt {2E}} \, e ^ {it}}

.

Oba a $†$ mají pouze jednu frekvenci, a X a P, se může získat z jejich součtu a rozdílu.

Jelikož $A (t)$ má klasickou Fourierovu řadu pouze s nejnižší frekvencí a maticový prvek $A mn$ je $(m - n)$ th Fourierův koeficient klasické dráhy, matice pro $A$ je nenulová pouze na přímce těsně nad úhlopříčka, kde se rovná $\sqrt 2 E n$ . Matice pro $A †$ je rovněž pouze nenulová na linii pod úhlopříčkou, se stejnými prvky.

Tak, z $A$ a $A †$ , rekonstrukce výnosy

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} X (0) = {\ sqrt {\ frac {h} {2 \ pi}}} \; {\ begin {bmatrix} 0 & {\ sqrt {1}} & 0 & 0 & 0 & \ cdots \\ {\ sqrt {1}} & 0 & {\ sqrt {2}} & 0 & 0 & \ cdots \\ 0 & {\ sqrt {2}} & 0 & {\ sqrt {3}} & 0 & \ cdots \\ 0 & 0 & {\ sqrt {3} } & 0 & {\ sqrt {4}} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \\\ end {bmatrix}},}

a

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} P (0) = {\ sqrt {\ frac {h} {2 \ pi}}} \; {\ begin {bmatrix} 0 & -i {\ sqrt {1}} & 0 & 0 & 0 & \ cdots \\ i {\ sqrt {1}} & 0 & -i {\ sqrt {2}} & 0 & 0 & \ cdots \\ 0 & i {\ sqrt {2}} & 0 & -i {\ sqrt {3}} & 0 & \ cdots \\ 0 a 0 & i {\ sqrt {3}} & 0 & -i {\ sqrt {4}} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \\\ end {bmatrix}},}

což jsou až do výběru jednotek Heisenbergovy matice pro harmonický oscilátor. Obě matice jsou hermitovské , protože jsou konstruovány z Fourierových koeficientů reálných veličin.

Nalezení $X (t)$ a $P (t)$ je přímé, protože jsou kvantovými Fourierovými koeficienty, takže se vyvíjejí jednoduše s časem,

{\ displaystyle X_ {mn} (t) = X_ {mn} (0) e ^ {i (E_ {m} -E_ {n}) t}, \ quad P_ {mn} (t) = P_ {mn} (0) e ^ {i (E_ {m} -E_ {n}) t} ~.}

Maticový produkt $X$ a $P$ není poustevník, ale má skutečnou a imaginární část. Skutečná část je polovina symetrického výrazu $XP + PX$ , zatímco imaginární část je úměrná komutátoru

{\ displaystyle [X, P] = (XP-PX)}

.

Je jednoduché explicitně ověřit, že $XP - PX$ v případě harmonického oscilátoru je $iħ$ , vynásobený identitou .

Je také jednoduché ověřit, že matice

{\ displaystyle H = {1 \ nad 2} (X ^ {2} + P ^ {2})}

je diagonální matice s vlastními hodnotami $E i$ .

Uchování energie

Harmonický oscilátor je důležitý případ. Nalezení matic je jednodušší než stanovení obecných podmínek z těchto speciálních formulářů. Z tohoto důvodu Heisenberg zkoumal anharmonický oscilátor s Hamiltonianem

{\ displaystyle H = {1 \ nad 2} P ^ {2} + {1 \ nad 2} X ^ {2} + \ epsilon X ^ {3} ~.}

V tomto případě matice $X$ a $P$ již nejsou jednoduché mimo diagonální matice, protože odpovídající klasické oběžné dráhy jsou mírně rozmačkané a posunuté, takže mají Fourierovy koeficienty na každé klasické frekvenci. K určení prvků matice Heisenberg požadoval, aby byly poslouchány klasické pohybové rovnice jako maticové rovnice,

{\ displaystyle {dX \ over dt} = P \ quad {dP \ over dt} = - X-3 \ epsilon X ^ {2} ~.}

Všiml si, že pokud by to bylo možné, pak $H$ , považovaný za maticovou funkci $X$ a $P$ , bude mít nulovou časovou derivaci.

{\ displaystyle {dH \ over dt} = P * {dP \ over dt} + (X + 3 \ epsilon X ^ {2}) * {dX \ over dt} = 0 ~,}

kde $A * B$ je anticommutator ,

{\ displaystyle A * B = {1 \ nad 2} (AB + BA) ~}

.

Vzhledem k tomu, že všechny off diagonální prvky mají nenulovou frekvenci; $H$ konstantní znamená, že $H$ je úhlopříčka. Heisenbergovi bylo jasné, že v tomto systému může být energie přesně zachována v libovolném kvantovém systému, což je velmi povzbudivé znamení.

Zdálo se, že proces emise a absorpce fotonů vyžaduje, aby zachování energie vydrželo v průměru přinejlepším. Pokud vlna obsahující přesně jeden foton prochází přes některé atomy a jeden z nich ji absorbuje, musí tento atom ostatním říct, že už foton nemohou absorbovat. Ale pokud jsou atomy daleko od sebe, žádný signál se nemůže včas dostat k ostatním atomům a mohly by nakonec stejně absorbovat stejný foton a rozptýlit energii do prostředí. Když se k nim signál dostal, ostatní atomy by si tuto energii musely nějak vybavit . Tento paradox vedl Bohra, Kramerse a Slatera k upuštění od přesné úspory energie. Heisenbergův formalismus, když se rozšířil o elektromagnetické pole, se evidentně tomuto problému vyhnul, což naznačuje, že interpretace teorie bude zahrnovat kolaps vlnových funkcí .

Diferenciační trik - kanonické komutační vztahy

Požadovat zachování klasických pohybových rovnic není dostatečně silná podmínka pro určení prvků matice. Planckova konstanta se neobjevuje v klasických rovnicích, takže matice by mohly být konstruovány pro mnoho různých hodnot $ħ$ a stále uspokojovat pohybové rovnice, ale s různými energetickými hladinami.

Aby mohl Heisenberg implementovat svůj program, potřeboval použít starou kvantovou podmínku k fixaci energetických hladin, poté vyplnit matice Fourierovými koeficienty klasických rovnic, poté mírně změnit maticové koeficienty a energetické úrovně, aby se ujistil, že klasické rovnice jsou splněny. To zjevně není uspokojivé. Staré kvantové podmínky se vztahují k oblasti ohraničené ostrými klasickými drahami, které v novém formalismu neexistují.

Nejdůležitější věcí, kterou Heisenberg objevil, je, jak převést starou kvantovou podmínku na jednoduchý výrok v maticové mechanice.

Za tímto účelem zkoumal akční integrál jako maticovou veličinu,

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} \ sum _ {k} P_ {mk} (t) {dX_ {kn} \ nad dt} dt \, \, {\ stackrel {\ scriptstyle?} {\ cca}} \, \, J_ {mn} ~.}

Existuje několik problémů s tímto integrálem, všechny pramení z nekompatibility maticového formalismu se starým obrazem oběžných drah. Které období T by mělo být použito? Semiklasicky by to mělo být buď m nebo n , ale rozdíl je v pořadí $ħ$ a hledá se odpověď na objednávku $ħ$ . Kvantový stav nám říká, že J _Mn je 2π n na diagonále, tak skutečnost, že J je klasicky konstantní nám říká, že mimo diagonální prvky jsou nulové.

Jeho klíčovým poznatkem bylo diferencovat kvantovou podmínku s ohledem na n . Tato myšlenka má smysl pouze v klasickém limitu, kde n není celé číslo, ale spojitá proměnná J , ale Heisenberg provedl analogické manipulace s maticemi, kde mezilehlé výrazy jsou někdy diskrétní rozdíly a někdy deriváty.

V následující diskusi bude z důvodu jasnosti provedena diferenciace klasických proměnných a poté bude proveden přechod na maticovou mechaniku, přičemž se bude řídit principem korespondence.

V klasickém nastavení je derivace derivací vzhledem k J integrálu, který definuje J , takže je tautologicky rovna 1.

{\ displaystyle {d \ over dJ} \ int _ {0} ^ {T} PdX = 1}

{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {T} dt \ left ({dP \ over dJ} {dX \ over dt} + P {d \ over dJ} {dX \ over dt} \ right) = \ int _ {0} ^ {T} dt \ left ({dP \ over dJ} {dX \ over dt} - {dP \ over dt} {dX \ over dJ} \ right) \,}

kde by deriváty dP / dJ a dX / dJ měly být interpretovány jako rozdíly vzhledem k J v odpovídajících dobách na blízkých drahách, přesně to, co by bylo získáno, kdyby byly diferencovány Fourierovy koeficienty orbitálního pohybu. (Tyto deriváty jsou ve fázovém prostoru symplectically ortogonální k časovým derivátům dP / dt a dX / dt ).

Konečný výraz je objasněn zavedením proměnné kanonicky konjugované s J , která se nazývá úhlová proměnná θ : Derivace vzhledem k času je derivací vzhledem k θ , až do faktoru 2π T ,

{\ displaystyle {2 \ pi \ over T} \ int _ {0} ^ {T} dt \ left ({dp \ over dJ} {dX \ over d \ theta} - {dP \ over d \ theta} {dX \ over dJ} \ right) = 1 \ ,.}

Takže kvantovací podmínka integrál je průměrná hodnota v průběhu jednoho cyklu Poissonova držáku z X a P .

Analogická diferenciace Fourierovy řady P dX ukazuje, že off-diagonální prvky Poissonovy závorky jsou všechny nulové. Poissonova závorka dvou kanonicky konjugovaných proměnných, například X a P , je konstantní hodnota 1, takže tento integrál je ve skutečnosti průměrná hodnota 1; takže je to 1, jak jsme to celou dobu věděli, protože je to koneckonců dJ / dJ . Ale Heisenberg, Born a Jordan, na rozdíl od Diraca, nebyli obeznámeni s teorií Poissonových závorek, takže pro ně byla diferenciace účinně hodnocena { X, P } v souřadnicích J, θ .

Poissonova závorka, na rozdíl od akčního integrálu, má jednoduchý překlad do maticové mechaniky −− normálně odpovídá imaginární části součinu dvou proměnných, komutátoru .

Chcete-li to vidět, prozkoumejte (antisymetrizovaný) produkt dvou matic A a B v limitu korespondence, kde prvky matice jsou pomalu se měnící funkce indexu, přičemž mějte na paměti, že odpověď je klasicky nulová.

V limitu korespondence, když jsou indexy m , n velké a blízké, zatímco k , r jsou malé, je rychlost změny maticových prvků v úhlopříčném směru maticovým prvkem J derivace odpovídající klasické veličiny. Je tedy možné posunout libovolný prvek matice diagonálně přes korespondenci,

{\ displaystyle A _ {(m + r) (n + r)} - A_ {mn} \ přibližně r \; \ vlevo ({dA \ nad dJ} \ vpravo) _ {mn} \,}

kde pravá strana je ve skutečnosti pouze ( m - n ). Fourierovou složkou dA / dJ na oběžné dráze poblíž m k tomuto semiklasickému řádu, nikoli plně dobře definovanou maticí.

Semiklasická časová derivace maticového prvku se získá až na faktor i vynásobením vzdáleností od úhlopříčky,

{\ displaystyle ikA_ {m (m + k)} \ přibližně \ doleva ({T \ nad 2 \ pi} {dA \ nad dt} \ doprava) _ {m (m + k)} = \ doleva ({dA \ přes d \ theta} \ doprava) _ {m (m + k)} \ ,.}

protože koeficient A _{m (m + k)} je semiklasicky k ' Fourierův koeficient m - té klasické dráhy.

Imaginární část součinu A a B lze vyhodnotit posunutím maticových prvků tak, aby reprodukovaly klasickou odpověď, která je nulová.

Přední nenulový zbytek je pak dán zcela posunem. Protože všechny prvky matice jsou v indexech, které mají malou vzdálenost od polohy velkého indexu ( m, m ), pomůže zavést dvě dočasné notace: $A$ $[$ $r, k$ $] =$ $A$ $(m + r) (m + k)$ pro matice a $($ $dA / dJ$ $) [$ $r$ $]$ pro třetí Fourierovu složku klasických veličin,

{\ displaystyle (AB-BA) [0, k] = \ součet _ {r = - \ infty} ^ {\ infty} \ vlevo (A [0, r] B [r, k] -A [r, k ] B [0, r] \ vpravo)}

{\ displaystyle = \ sum _ {r} \ left (\; A [-r + k, k] + (rk) {dA \ over dJ} [r] \; \ right) \ left (\; B [0 , kr] + r {dB \ nad dJ} [rk] \; \ vpravo) - \ součet _ {r} A [r, k] B [0, r] \ ,.}

Převrácením proměnné součtu v prvním součtu z $r$ na r ' = k - r se maticový prvek stane,

{\ displaystyle \ sum _ {r '} (\; A [r', k] -r '{dA \ nad dJ} [k-r'] \;) \ left (\; B [0, r '] + (k-r ') {dB \ over dJ} [r'] \; \ right) - \ sum _ {r} A [r, k] B [0, r] \,}

a je jasné, že hlavní (klasická) část se ruší.

Hlavní kvantová část, která zanedbává produkt vyšších řádů derivátů ve zbytkové expresi, je tedy

=

{\ displaystyle \ sum _ {r '} \ left (\; {dB \ over dJ} [r'] (k-r ') A [r', k] - {dA \ over dJ} [k-r ' ] r'B [0, r '] \ vpravo)}

takže nakonec

{\ displaystyle (AB-BA) [0, k] = \ součet _ {r '} \ vlevo (\; {dB \ nad dJ} [r'] i {dA \ nad d \ theta} [k-r ' ] - {dA \ nad dJ} [k-r '] i {dB \ nad d \ theta} [r'] \ vpravo) \,}

kterou lze identifikovat s $i$ krát $k$ - tou klasickou Fourierovou složkou Poissonovy závorky.

Heisenbergův originální diferenciační trik byl nakonec ve spolupráci s Bornem a Jordanem rozšířen na úplné semiklasické odvození kvantové podmínky. Jakmile to dokázali zjistit

{\ displaystyle {\ frac {ih} {2 \ pi}} \ {X, P \} _ {\ mathrm {PB}} \ qquad \ qquad \ longmapsto \ qquad \ qquad [X, P] \ equiv XP-PX = {\ frac {ih} {2 \ pi}} \,}

,

tato podmínka nahradila a rozšířila staré kvantizační pravidlo, což umožnilo stanovit maticové prvky P a X pro libovolný systém jednoduše z formy Hamiltonian.

Předpokládalo se, že nové kvantizační pravidlo je všeobecně pravdivé , i když odvození od staré kvantové teorie vyžadovalo poloklasické uvažování. (Úplné kvantové zpracování však pro složitější argumenty v závorkách bylo oceněno ve 40. letech 20. století, což znamenalo rozšíření Poissonových závorek na Moyalské závorky .)

Stavové vektory a Heisenbergova rovnice

Pro přechod na standardní kvantovou mechaniku byl nejdůležitějším doplňkem vektor kvantového stavu , nyní psaný | v | ⟩, což je vektor, který matice působí na. Bez stavového vektoru není jasné, jaký konkrétní pohyb Heisenbergovy matice popisuje, protože někde obsahují všechny pohyby.

Interpretaci stavového vektoru, jehož složky jsou psány $ψ m$ , poskytl Born. Tato interpretace je statistická: výsledek měření fyzikální veličiny odpovídající matici $A$ je náhodný s průměrnou hodnotou rovnou

{\ displaystyle \ sum _ {mn} \ psi _ {m} ^ {*} A_ {mn} \ psi _ {n} ~.}

Alternativně a ekvivalentně dává vektor stavu pravděpodobnostní amplitudu $ψ n,$ aby byl kvantový systém v energetickém stavu $n$ .

Jakmile byl zaveden stavový vektor, mechanika matice mohla být otočena na jakýkoli základ , kde $H$ matice již nemusí být diagonální. Heisenbergova pohybová rovnice v původní podobě uvádí, že $A mn se$ vyvíjí v čase jako Fourierova složka,

{\ displaystyle A_ {mn} (t) = e ^ {i (E_ {m} -E_ {n}) t} A_ {mn} (0) ~,}

které lze přepracovat v diferenciální formě

{\ displaystyle {dA_ {mn} \ over dt} = i (E_ {m} -E_ {n}) A_ {mn} ~,}

a může být přepracován tak, aby platil libovolně, a to tím, že $H$ matice je úhlopříčka s úhlopříčnými hodnotami $E m$ ,

{\ displaystyle {dA \ over dt} = i (HA-AH) ~.}

Toto je nyní maticová rovnice, takže platí na jakémkoli základě. Toto je moderní forma Heisenbergovy pohybové rovnice.

Jeho formální řešení je:

{\ displaystyle \, A (t) = e ^ {iHt} A (0) e ^ {- iHt} ~.}

Všechny tyto formy pohybové rovnice nahoře říkají totéž, že $A (t)$ je ekvivalentní $A (0)$ , a to prostřednictvím základní rotace pomocí jednotkové matice $e iHt$ , systematického obrazu objasněného Diracem v jeho $Bra-ketově$ notaci .

Naopak, rotací základny pro stavový vektor v každém okamžiku pomocí $e iHt$ lze časovou závislost v maticích vrátit zpět. Matice jsou nyní nezávislé na čase, ale stavový vektor se otáčí,

{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- iHt} | \ psi (0) \ rangle, \; \; \; \; {d | \ psi \ rangle \ over dt} = - iH | \ psi \ rangle ~.}

Toto je Schrödingerova rovnice pro stavový vektor a tato časově závislá změna báze se rovná transformaci na Schrödingerův obrázek s with x | ψ ⟩ = ψ (x) .

V kvantové mechanice v Heisenberg obraz o stavu vektor , | v | ⟩ nemění s časem, zatímco pozorovatelných A splňuje Heisenbergův rovnice pohybu ,

${\ displaystyle {\ frac {dA} {dt}} = {i \ over \ hbar} [H, A] + {\ frac {\ částečné A} {\ částečné t}} ~.}$

Extra termín je pro operátory jako

{\ displaystyle A = (X + t ^ {2} P)}

které mají výslovnou časovou závislost , navíc k časové závislosti z diskutované jednotkové evoluce.

Heisenberg obraz nerozlišuje čas z vesmíru, takže je vhodnější pro relativistických teorií než Schrödingerova rovnice. Podobnost s klasickou fyzikou je navíc zjevnější: Hamiltonovské pohybové rovnice pro klasickou mechaniku jsou obnoveny nahrazením komutátoru výše Poissonovou závorkou (viz také níže). Podle věty Stone – von Neumann musí být Heisenbergův obraz a Schrödingerův obraz jednotně ekvivalentní, jak je podrobně uvedeno níže.

Další výsledky

Maticová mechanika se rychle vyvinula v moderní kvantovou mechaniku a poskytla zajímavé fyzikální výsledky ve spektrech atomů.

Vlnová mechanika

Jordan poznamenal, že komutační vztahy zajišťují, že P funguje jako diferenciální operátor .

Identita operátora

{\ displaystyle [a, bc] = abc-bca = abc-bac + bac-bca = [a, b] c + b [a, c] \,}

umožňuje vyhodnocení komutátoru P s jakoukoli mocninou X , a to z toho vyplývá

{\ displaystyle [P, X ^ {n}] = - v ~ X ^ {n-1} \,}

která společně s linearita, znamená, že P -commutator účinně rozlišuje žádné analytické matice funkce X .

Za předpokladu, že limity jsou definovány rozumně, rozšíří se to na libovolné funkce −−, ale rozšíření není nutné explicitně vyjadřovat, dokud není vyžadován určitý stupeň matematické přesnosti,

${\ displaystyle [P, f (X)] = - pokud '(X) \ ,.}$

Protože X je hermitovská matice, měla by být diagonalizovatelná a z případné formy P bude zřejmé, že každé reálné číslo může být vlastní hodnotou. Díky tomu je některá matematika jemná, protože pro každý bod ve vesmíru existuje samostatný vlastní vektor.

Na základě, kde X je úhlopříčka, lze libovolný stav zapsat jako superpozici stavů s vlastními hodnotami x ,

{\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ int _ {x} \ psi (x) | x \ rangle \,}

,

tak, že ψ ( x ) = ⟨ x | v | ⟩ a operátor X násobí každý vlastní vektor podle x ,

{\ displaystyle X | \ psi \ rangle = \ int _ {x} x \ psi (x) | x \ rangle ~.}

Definujte lineární operátor D, který rozlišuje $ψ$ ,

{\ displaystyle D \ int _ {x} \ psi (x) | x \ rangle = \ int _ {x} \ psi '(x) | x \ rangle \,}

,

a všimněte si toho

{\ displaystyle (DX-XD) | \ psi \ rangle = \ int _ {x} \ doleva [\ doleva (x \ psi (x) \ doprava) '- x \ psi' (x) \ doprava] | x \ rangle = \ int _ {x} \ psi (x) | x \ rangle = | \ psi \ rangle \,}

,

takže operátor - iD se řídí stejnou komutační vztah jako P . Rozdíl mezi P a - iD tedy musí dojíždět s X ,

{\ displaystyle [P + iD, X] = 0 \,}

,

takže může být současně diagonalizován pomocí X : jeho hodnota působící na libovolný vlastní stav X je nějaká funkce f vlastní hodnoty x .

Tato funkce musí být skutečná, protože P i - iD jsou Hermitian,

{\ displaystyle (P + iD) | x \ rangle = f (x) | x \ rangle \,}

,

rotace každého stavu o fázi $f$ $($ $x$ $)$ , tj. předefinování fáze vlnové funkce: ${\ displaystyle | x \ rangle}$

{\ displaystyle \ psi (x) \ pravá šipka e ^ {- pokud (x)} \ psi (x) \,}

.

Operátor iD je předefinován částkou:

{\ displaystyle iD \ rightarrow iD + f (X) \,}

,

což znamená, že na otočené bázi je P rovno - iD .

Proto vždy existuje základ pro vlastní hodnoty X, kde je známa akce P na jakoukoli vlnovou funkci:

{\ displaystyle P \ int _ {x} \ psi (x) | x \ rangle = \ int _ {x} -i \ psi '(x) | x \ rangle \,}

,

a hamiltonián je na tomto základě lineární diferenciální operátor na složkách stav-vektor,

{\ displaystyle \ left [{P ^ {2} \ přes 2m} + V (X) \ right] \ int _ {x} \ psi _ {x} | x \ rangle = \ int _ {x} \ left [ - {1 \ nad 2 m} {\ částečné ^ {2} \ nad \ částečné x ^ {2}} + V (x) \ vpravo] \ psi _ {x} | x \ rangle}

Pohybová rovnice pro stavový vektor je tedy jen oslavovanou diferenciální rovnicí,

${\ displaystyle i {\ částečné \ nad \ částečné t} \ psi _ {t} (x) = \ vlevo [- {1 \ nad 2m} {\ částečné ^ {2} \ nad \ částečné x ^ {2}} + V (x) \ vpravo] \ psi _ {t} (x) \ ,.}$

Protože D je operátor diferenciálu, aby mohl být rozumně definován, musí existovat vlastní čísla X, která sousedí s každou danou hodnotou. To naznačuje, že jedinou možností je, že prostor všech vlastních čísel X jsou všechna reálná čísla a že P je iD, až do fázové rotace .

Aby to bylo přísné, vyžaduje rozumnou diskusi o omezujícím prostoru funkcí, a v tomto prostoru jde o Stone – von Neumannovu větu : operátory X a P, které se řídí komutačními vztahy, lze donutit, aby jednaly v prostoru vlnových funkcí, s P derivační operátor. To znamená, že Schrödingerův obrázek je vždy k dispozici.

Maticová mechanika se přirozeným způsobem snadno rozšíří na mnoho stupňů volnosti. Každý stupeň volnosti má samostatný operátor X a samostatný efektivní diferenciální operátor P a vlnová funkce je funkcí všech možných vlastních čísel nezávislých proměnných X pro dojíždění .

{\ displaystyle [X_ {i}, X_ {j}] = 0 \,}

{\ displaystyle [P_ {i}, P_ {j}] = 0 \,}

{\ displaystyle [X_ {i}, P_ {j}] = i \ delta _ {ij} \ ,.}

To zejména znamená, že systém N interagujících částic ve 3 rozměrech je popsán jedním vektorem, jehož komponenty na bázi, kde jsou všechny X diagonální, jsou matematickou funkcí 3 N -dimenzionálního prostoru popisujícího všechny jejich možné polohy , účinně mnohem větší sbírka hodnot než pouhá sbírka N trojrozměrných vlnových funkcí v jednom fyzickém prostoru. Schrödinger dospěl ke stejnému závěru samostatně a nakonec dokázal rovnocennost svého vlastního formalismu s Heisenbergovým.

Vzhledem k tomu, že vlnová funkce je majetkem celého systému, nikoli žádné jeho části, není popis v kvantové mechanice zcela místní. Popis několika kvantových částic má jejich korelaci nebo zapletení . Toto zapletení vede k podivným korelacím mezi vzdálenými částicemi, které narušují klasickou Bellovu nerovnost .

I když částice mohou být pouze ve dvou polohách, vyžaduje vlnová funkce pro N částice 2 ^N komplexní čísla, jedno pro každou celkovou konfiguraci poloh. To je exponenciálně mnoho čísel v N , takže simulace kvantové mechaniky v počítači vyžaduje exponenciální zdroje. To naopak naznačuje, že by bylo možné najít kvantové systémy o velikosti N, které fyzicky spočítají odpovědi na problémy, jejichž vyřešení klasicky vyžaduje 2 ^N bity. Toto je touha za kvantovým výpočtem .

Ehrenfestova věta

Pro časově nezávislé provozovatele X a P , $\partial / \partial t = 0$ , takže Heisenberg rovnice výše redukuje na:

{\ displaystyle i \ hbar {dA \ over dt} = [A, H] = AH-HA}

,

kde hranaté závorky [,] označují komutátor. Pro Hamiltonian, což je , operátory X a P splňují: ${\ displaystyle p ^ {2} / 2m + V (x)}$

{\ displaystyle {dX \ over dt} = {P \ over m}, \ quad {dP \ over dt} = - \ nabla V}

,

kde první je klasicky rychlost a druhý je klasicky síla nebo potenciální gradient . Ty reprodukují Hamiltonovu formu Newtonových pohybových zákonů . Na Heisenbergově snímku operátory X a P uspokojují klasické pohybové rovnice. Můžete využít očekávanou hodnotu obou stran rovnice a zjistit, že v jakémkoli stavu | cp ⟩:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle X \ rangle = {\ frac {d} {dt}} \ langle \ psi | X | \ psi \ rangle = {\ frac {1} {m} } \ langle \ psi | P | \ psi \ rangle = {\ frac {1} {m}} \ langle P \ rangle}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle P \ rangle = {\ frac {d} {dt}} \ langle \ psi | P | \ psi \ rangle = \ langle \ psi | (- \ nabla V) | \ psi \ rangle = - \ langle \ nabla V \ rangle \ ,.}

Newtonovy zákony se tedy přesně řídí očekávanými hodnotami operátorů v daném státě. Toto je Ehrenfestova věta , která je zjevným důsledkem Heisenbergových pohybových rovnic, ale je méně triviální na Schrödingerově snímku, kde ji Ehrenfest objevil.

Teorie transformace

V klasické mechanice je kanonická transformace souřadnic fázového prostoru taková, která zachovává strukturu Poissonových závorek. Nové proměnné $x ', p'$ mají navzájem stejné Poissonovy závorky jako původní proměnné $x, p$ . Vývoj času je kanonická transformace, protože fázový prostor je kdykoli stejně dobrou volbou proměnných jako fázový prostor kdykoli jindy.

Hamiltoniánský tok je kanonická transformace :

{\ displaystyle x \ rightarrow x + dx = x + {\ částečné H \ přes \ částečné p} dt}

{\ displaystyle p \ rightarrow p + dp = p - {\ částečné H \ přes \ částečné x} dt ~.}

Protože Hamiltonián může být libovolnou funkcí x a p , existují takové nekonečně malé kanonické transformace odpovídající každé klasické veličině $G$ , kde $G$ slouží jako Hamiltonián ke generování toku bodů ve fázovém prostoru s přírůstkem času s ,

{\ displaystyle dx = {\ částečné G \ nad \ částečné p} ds = \ {G, X \} ds \,}

{\ displaystyle dp = - {\ částečné G \ nad \ částečné x} ds = \ {G, P \} ds \ ,.}

Pro obecnou funkci $A (x, p)$ ve fázovém prostoru je její nekonečně malá změna v každém kroku ds pod touto mapou

{\ displaystyle dA = {\ částečné A \ přes \ částečné x} dx + {\ částečné A \ přes \ částečné p} dp = \ {A, G \} ds \ ,.}

Veličina $G$ se nazývá infinitezimální generátor kanonické transformace.

V kvantové mechanice je kvantový analog $G$ nyní hermitovská matice a pohybové rovnice jsou dány komutátory,

{\ displaystyle dA = i [G, A] ds \ ,.}

Infinitezimální kanonické pohyby lze formálně integrovat, stejně jako byla integrována Heisenbergova pohybová rovnice,

{\ displaystyle A '= U ^ {\ dagger} AU \,}

kde $U = e iGs$ a $s$ je libovolný parametr.

Definice kvantové kanonické transformace je tedy libovolnou jednotnou změnou základny v prostoru všech stavových vektorů. $U$ je libovolná unitární matice, komplexní rotace ve fázovém prostoru,

{\ displaystyle U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} \ ,.}

Tyto transformace ponechávají součet absolutního čtverce složek vlnové funkce neměnný , zatímco berou stavy, které jsou navzájem násobky (včetně stavů, které jsou navzájem imaginárními násobky), do stavů, které jsou navzájem stejné .

Interpretace matic spočívá v tom, že fungují jako generátory pohybů v prostoru států .

Například pohyb generovaný P lze nalézt řešením Heisenbergovy pohybové rovnice pomocí P jako Hamiltonian,

{\ displaystyle dX = i [X, P] ds = ds \,}

{\ displaystyle dP = i [P, P] ds = 0 \ ,.}

Jedná se o překlady matice X násobkem matice identity,

{\ displaystyle X \ rightarrow X + sI ~.}

Toto je interpretace derivačního operátoru D : $e iPs = e D$ , exponenciál derivačního operátoru je překlad (tedy Lagrangeův operátor posunu ).

X operátor rovněž generuje překlady v P . Hamiltonián generuje překlady v čase , moment hybnosti generuje rotace ve fyzickém prostoru a operátor $X 2 + P 2$ generuje rotace ve fázovém prostoru .

Když transformace, jako rotace ve fyzickém prostoru, dojíždí s hamiltoniánem, nazývá se transformace symetrie (za degenerací) hamiltoniánu −−, hamiltonián vyjádřený v rotovaných souřadnicích je stejný jako původní Hamiltonian. To znamená, že změna v hamiltoniánu pod infinitezimálním generátorem symetrie L zmizí,

{\ displaystyle {dH \ over ds} = i [L, H] = 0 \ ,.}

Z toho pak vyplývá, že změna generátoru při časovém překladu také zmizí,

{\ displaystyle {dL \ over dt} = i [H, L] = 0 \,}

takže matice L je v čase konstantní: je konzervovaná.

Sdružení one-to-one infinitezimálních generátorů symetrie a zákonů zachování bylo objeveno Emmy Noetherovou pro klasickou mechaniku, kde komutátory jsou Poissonovy závorky , ale kvantově-mechanické uvažování je identické. V kvantové mechanice poskytuje jakákoli transformace jednotné symetrie zákon zachování, protože pokud má matice U tuto vlastnost

{\ displaystyle U ^ {- 1} HU = H \,}

z toho vyplývá

{\ displaystyle UH = HU}

a že časová derivace U je nula - je konzervovaná.

Vlastní čísla jednotkových matic jsou čisté fáze, takže hodnota jednotné konzervované veličiny je komplexní číslo velikosti jednotky, nikoli skutečné číslo. Jiným způsobem, jak to říci, je, že unitární matice je exponenciál i krát hermitovské matice, takže aditivní konzervovaná reálná veličina, fáze, je dobře definovaná pouze do celočíselného násobku 2π . Pouze tehdy, když je matice jednotné symetrie součástí rodiny, která se libovolně přibližuje identitě, jsou konzervované reálné veličiny jednohodnotové, a požadavek na jejich zachování se stává mnohem náročnějším omezením.

Symetrie, které lze spojit s identitou, se nazývají spojité a jako příklady lze uvést překlady, rotace a zesílení. Symetrie, které nelze kontinuálně spojit s identitou, jsou diskrétní a příkladem je operace inverze prostoru nebo parity a konjugace náboje .

Interpretaci matic jako generátorů kanonických transformací má na svědomí Paul Dirac . Soulad mezi symetriemi a maticemi ukázal Eugene Wigner jako úplný, pokud jsou zahrnuty antiunitární matice, které popisují symetrie, které zahrnují obrácení času.

Pravidla výběru

Heisenbergovi bylo fyzicky jasné, že absolutní čtverce prvků matice $X$ , které jsou Fourierovými koeficienty oscilace, způsobí rychlost emise elektromagnetického záření.

V klasickém limitu velkých drah, pokud náboj s pozicí $X (t)$ a nábojem $q$ osciluje vedle stejného a opačného náboje v poloze 0, je okamžitý dipólový moment $q X (t)$ a časová variace tohoto moment se promítá přímo do časoprostorové variace vektorového potenciálu, která poskytuje vnořené odchozí sférické vlny.

U atomů je vlnová délka emitovaného světla asi 10 000krát větší než poloměr atomu a dipólový moment je jediným příspěvkem do radiačního pole, zatímco všechny ostatní podrobnosti rozložení atomového náboje lze ignorovat.

Ignorování zpětné reakce, síla vyzařovaná v každém odchozím režimu je součtem samostatných příspěvků ze čtverce každého nezávislého času Fourierův režim $d$ ,

{\ displaystyle P (\ omega) = {2 \ nad 3} {\ omega ^ {4}} | d_ {i} | ^ {2} ~.}

Nyní, v reprezentaci Heisenberg, Fourier koeficienty dipólového momentu jsou maticové prvky $X$ . Tato korespondence umožnila Heisenbergovi poskytnout pravidlo pro přechodové intenzity, zlomek času, který počínaje počátečním stavem $i$ , je emitován foton a atom přeskočí do konečného stavu $j$ ,

{\ displaystyle P_ {ij} = {2 \ nad 3} (E_ {i} -E_ {j}) ^ {4} | X_ {ij} | ^ {2} \ ,.}

To pak umožnilo statisticky interpretovat velikost prvků matice: dávají intenzitu spektrálních čar, pravděpodobnost kvantových skoků z emise dipólového záření .

Vzhledem k tomu, že rychlosti přechodu jsou dány maticovými prvky $X$ , kdekoli $X ij$ je nula, odpovídající přechod by neměl být přítomen. Tito se nazývali pravidla výběru , která byla hádankou až do příchodu maticové mechaniky.

Libovolný stav atomu vodíku, ignorující spin, je označen | n ; ℓ, m ⟩, kde hodnota pásmy je mírou celkového orbitálního úhlového momentu a $m$ je jeho $z$ -component, který definuje orientaci oběžné dráze. Složky pseudovektoru momentu hybnosti jsou

{\ displaystyle L_ {i} = \ epsilon _ {ijk} X ^ {j} P ^ {k} \,}

kde produkty v tomto výrazu jsou nezávislé na pořadí a skutečné, protože dojíždějí různé komponenty X a P.

Komutační vztahy L se všemi třemi souřadnicovými maticemi X, Y, Z (nebo s jakýmkoli vektorem) lze snadno najít,

{\ displaystyle [L_ {i}, X_ {j}] = i \ epsilon _ {ijk} X_ {k} \,}

,

což potvrzuje, že operátor L generuje rotace mezi třemi složkami vektoru souřadnic matic X .

Z toho lze odečíst komutátor L _z a souřadnicové matice X, Y, Z ,

{\ displaystyle [L_ {z}, X] = iY \,}

,

{\ displaystyle [L_ {z}, Y] = - iX \,}

.

To znamená, že veličiny $X$ $+$ $iY$ $,$ $X$ $-$ $iY$ mají jednoduché pravidlo komutace,

{\ displaystyle [L_ {z}, X + iY] = (X + iY) \,}

,

{\ displaystyle [L_ {z}, X-iY] = - (X-iY) \,}

.

Stejně jako maticové prvky X + iP a X - iP pro harmonický oscilátor Hamiltonian, tento zákon komutace naznačuje, že tyto operátory mají pouze určité off diagonální maticové prvky ve stavech určitého m ,

{\ Displaystyle L_ {z} ((X + iY) | m \ rangle) = (X + iY) L_ {z} | m \ rangle + (X + iY) | m \ rangle = (m + 1) (X + iY) | m \ rangle \,}

což znamená, že matice $(X + iY)$ vezme vlastní vektor $L z$ s vlastní hodnotou $m$ na vlastní vektor s vlastní hodnotou $m$ + 1. Podobně $(X - iY)$ zmenší $m$ o jednu jednotku, zatímco $Z$ nezmění hodnotu $m$ .

Takže na základě | ℓ, m⟩ stavy, kde $L 2$ a $L z$ mají určité hodnoty, maticové prvky kterékoli ze tří složek polohy jsou nulové, kromě případů, kdy $m$ je stejné nebo se mění o jednu jednotku.

To klade omezení na změnu celkového momentu hybnosti. Lze otočit libovolný stav tak, aby jeho moment hybnosti byl co nejvíce v směru $z$ , kde m = ℓ. Maticový prvek polohy působící na | ℓ, m⟩ může produkovat pouze hodnoty m, které jsou větší o jednu jednotku, takže pokud se souřadnice otočí tak, aby konečný stav byl | ℓ ', ℓ'⟩, hodnota ℓ 'může být maximálně o jednu větší než největší hodnota ℓ, která se vyskytuje v počátečním stavu. Takže ℓ 'je maximálně ℓ + 1.

Maticové prvky zmizí pro ℓ '> ℓ + 1 a prvek reverzní matice je určen Hermiticitou, takže tyto zmizí, i když ℓ' <ℓ - 1: Dipólové přechody jsou zakázány se změnou momentu hybnosti o více než jednu jednotku.

Pravidla součtu

Heisenbergův Pohybová rovnice určuje maticové prvky P do základu Heisenbergova z matrice prvků X .

{\ displaystyle P_ {ij} = m {d \ over dt} X_ {ij} = im (E_ {i} -E_ {j}) X_ {ij} \,}

,

který změní úhlopříčnou část komutačního vztahu na pravidlo součtu pro velikost prvků matice:

{\ displaystyle \ sum _ {j} P_ {ij} x_ {ji} -X_ {ij} p_ {ji} = i \ sum _ {j} 2 m (E_ {i} -E_ {j}) | X_ {ij } | ^ {2} = i \,}

.

Tím se získá vztah pro součet spektroskopických intenzit do a z jakéhokoli daného stavu, i když je to naprosto správné, musí být do součtu zahrnuty příspěvky z pravděpodobnosti radiačního zachycení pro stavy nevázaného rozptylu:

{\ displaystyle \ sum _ {j} 2 m (E_ {i} -E_ {j}) | X_ {ij} | ^ {2} = 1 \,}

.

Viz také

Reference

Další čtení

Bernstein, Jeremy (2005). „Max Born a kvantová teorie“. American Journal of Physics . Americká asociace učitelů fyziky (AAPT). 73 (11): 999–1008. doi : 10,1119 / 1,2060717 . ISSN 0002-9505 .
Max Born Statistická interpretace kvantové mechaniky . Nobelova přednáška - 11. prosince 1954.
Nancy Thorndike Greenspan, „ The End of the Some World: The Life and Science of Max Born “ (Basic Books, 2005) ISBN 0-7382-0693-8 . Také vydáno v Německu: Max Born - Baumeister der Quantenwelt. Eine Biographie ( Spektrum Akademischer Verlag , 2005), ISBN 3-8274-1640-X .
Max Jammer Koncepční vývoj kvantové mechaniky (McGraw-Hill, 1966)
Jagdish Mehra a Helmut Rechenberg Historický vývoj kvantové teorie. Svazek 3. Formulace maticové mechaniky a její modifikace 1925–1926. (Springer, 2001) ISBN 0-387-95177-6
BL van der Waerden, editor, Zdroje kvantové mechaniky (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1
Aitchison, Ian JR; MacManus, David A .; Snyder, Thomas M. (2004). „Porozumění Heisenbergovu„ magickému “článku z července 1925: Nový pohled na podrobnosti výpočtu“. American Journal of Physics . Americká asociace učitelů fyziky (AAPT). 72 (11): 1370–1379. arXiv : quant-ph / 0404009 . doi : 10,1119 / 1,1775243 . ISSN 0002-9505 .
Thomas F. Jordan, Kvantová mechanika ve formě Simple Matrix , (publikace Dover, 2005) ISBN 978-0486445304
Merzbacher, E (1968). "Maticové metody v kvantové mechanice". Dopoledne. J. Phys . 36 : 814–821. doi : 10,1119 / 1,1975154 .

externí odkazy

Přehled maticové mechaniky
Maticové metody v kvantové mechanice
Heisenbergova kvantová mechanika (počátky teorie a její historický vývoj v letech 1925-27)
Werner Heisenberg 1970 CBC radio Interview
Werner Karl Heisenberg Spoluzakladatel kvantové mechaniky
On Matrix Mechanics ve společnosti MathPages

Languages

In other projects