Znamenat - Mean

Existuje několik druhů průměr v matematice , zejména v statistik .

Pro sadu dat je aritmetický průměr , známý také jako aritmetický průměr, ústřední hodnotou konečného souboru čísel: konkrétně součtem hodnot děleným počtem hodnot. Aritmetický průměr sady čísel x 1 , x 2 , ..., x n je obvykle označen . Pokud byl soubor dat založen na sérii pozorování získaných výběrem ze statistické populace , aritmetický průměr je průměr vzorku (označený ), aby se odlišil od průměru nebo očekávané hodnoty základního rozdělení, průměru populace (označeného nebo ).

Mimo pravděpodobnost a statistiku se v geometrii a matematické analýze často používá široká škála dalších pojmů průměru ; příklady jsou uvedeny níže.

Druhy prostředků

Pythagorean znamená

Aritmetický průměr (AM)

Aritmetický průměr (nebo prostě střední ) ze seznamu čísel, je součet všech čísel děleno počtem čísel. Podobně je průměr vzorku , obvykle označován , součtem vybraných hodnot děleno počtem položek ve vzorku

Aritmetický průměr z pěti hodnot: 4, 36, 45, 50, 75 je například:

Geometrický průměr (GM)

Geometrický průměr je průměr, který je užitečný pro sady kladná čísla, která jsou interpretovány podle jejich produktu (jako je tomu v případě rychlosti růstu) a ne jejich součtu (jak je tomu v případě aritmetický průměr):

Například geometrický průměr z pěti hodnot: 4, 36, 45, 50, 75 je:

Harmonický průměr (HM)

Harmonická střední je průměr, který je vhodný pro sady čísel, které jsou definovány ve vztahu k nějaké jednotce , jako je tomu v případě, že rychlost (tj vzdálenost za jednotku času):

Například harmonický průměr z pěti hodnot: 4, 36, 45, 50, 75 je

Vztah mezi AM, GM a HM

Důkaz beze slov o nerovnosti aritmetických a geometrických průměrů :
PR je průměr kruhu se středem na O; její poloměr AO je aritmetický průměr z a b . Použití eukleidova věta , Trojúhelník PGR je nadmořská výška GQ je geometrický průměr . Pro jakýkoli poměr a : b , AO ≥ GQ.

AM, GM a HM splňují tyto nerovnosti:

Rovnost platí, pokud jsou všechny prvky daného vzorku stejné.

Statistická poloha

je to Srovnání aritmetického průměru, mediánu a režimu dvou šikmých ( log-normálních ) distribucí.
Geometrická vizualizace režimu, medián a průměr libovolné funkce hustoty pravděpodobnosti.

V popisné statistice může být průměr zaměňován s mediánem , módem nebo středním rozsahem , protože kterémukoli z nich lze říkat „průměr“ (formálněji měřítkem centrální tendence ). Průměr ze souboru pozorování je aritmetický průměr hodnot; u šikmých distribucí však průměr nutně není stejný jako střední hodnota (medián) nebo nejpravděpodobnější hodnota (režim). Například průměrný příjem je obvykle vychýlen nahoru malým počtem lidí s velmi vysokými příjmy, takže většina má příjem nižší než průměr. Naproti tomu střední příjem je úroveň, na které je polovina populace pod a polovina nad ní. Režimový příjem je nejpravděpodobnějším příjmem a upřednostňuje větší počet lidí s nižšími příjmy. Zatímco medián a režim jsou často intuitivnějšími měřítky pro takováto zkosená data, mnoho zkosených distribucí je ve skutečnosti nejlépe popsáno jejich průměrem, včetně exponenciální a Poissonovy distribuce.

Průměr rozdělení pravděpodobnosti

Průměr rozdělení pravděpodobnosti je dlouhodobá aritmetická průměrná hodnota náhodné veličiny, která má toto rozdělení. Pokud je náhodná proměnná označeny , pak je také známý jako očekávané hodnoty z (označený ). Pro diskrétní rozdělení pravděpodobnosti je průměr dán vztahem , kde součet převezme všechny možné hodnoty náhodné veličiny a je funkcí pravděpodobnostní hmotnosti . Pro spojité rozdělení je průměr , kde je funkce hustoty pravděpodobnosti . Ve všech případech, včetně těch, ve kterých distribuce není ani diskrétní, ani spojitá, je průměr Lebesgueův integrál náhodné proměnné s ohledem na její míru pravděpodobnosti . Průměr nemusí existovat ani být konečný; u některých rozdělení pravděpodobnosti je průměr nekonečný ( +∞ nebo −∞ ), zatímco u jiných je průměr nedefinovaný .

Zobecněné prostředky

Moc znamená

Generalizované střední , také známý jako síla střední nebo držitel střední, je abstrakcí kvadratických, aritmetické, geometrické a harmonické prostředky. Je definována pro množinu n kladných čísel x i pomocí

Volbou různých hodnot pro parametr m se získají následující typy prostředků:

maximální of
kvadratický průměr
aritmetický průměr
geometrický průměr
harmonický průměr
minimum of

f -průměr

To lze dále zobecnit jako zobecněné f -průměr

a opět vhodný výběr invertibilního f

aritmetický průměr ,
harmonický průměr ,
moc znamená ,
geometrický průměr .

Vážený aritmetický průměr

Vážený aritmetický průměr (nebo vážený průměr) se používá, pokud někdo chce spojit průměrných hodnot z různě velkých vzorků téže populace:

Kde a kde jsou průměr a velikost vzorku . V jiných aplikacích představují měřítko spolehlivosti vlivu na průměr příslušnými hodnotami.

Zkrácený průměr

Někdy může sada čísel obsahovat odlehlé hodnoty (tj. Datové hodnoty, které jsou mnohem nižší nebo mnohem vyšší než ostatní). Odlehlé hodnoty jsou často chybná data způsobená artefakty . V tomto případě lze použít zkrácenou střední hodnotu . Zahrnuje vyřazení daných částí dat na horním nebo dolním konci, obvykle stejné množství na každém konci, a poté se vezme aritmetický průměr zbývajících dat. Počet odstraněných hodnot je uveden jako procento z celkového počtu hodnot.

Mezikvartilní průměr

Interkvartilní Průměrná je specifickým příkladem komolého střední. Je to jednoduše aritmetický průměr po odstranění nejnižší a nejvyšší čtvrtiny hodnot.

za předpokladu, že hodnoty byly uspořádány, tak je to jednoduše konkrétní příklad váženého průměru pro konkrétní sadu hmotností.

Průměr funkce

Za určitých okolností mohou matematici vypočítat průměr z nekonečné (nebo dokonce nepočitatelné ) sady hodnot. To se může stát při výpočtu střední hodnoty funkce . Intuitivně lze průměr funkce chápat jako výpočet plochy pod úsekem křivky a dělení délkou tohoto úseku. To lze provést hrubě počítáním čtverců na milimetrovém papíru, přesněji integrací . Integrační vzorec je napsán jako:

V tomto případě je třeba dbát na to, aby integrál konvergoval. Průměr však může být konečný, i když samotná funkce má v některých bodech sklon k nekonečnu.

Průměr úhlů a cyklických veličin

Úhly , denní doby a další cyklické veličiny vyžadují modulární aritmetiku pro sčítání a jiné kombinování čísel. Ve všech těchto situacích nebude existovat jedinečný prostředek. Například časy hodinu před a po půlnoci jsou stejně vzdálené od půlnoci i poledne. Je také možné, že žádný průměr neexistuje. Zvažte barevné kolečko - pro sadu všech barev to neznamená. V těchto situacích se musíte rozhodnout, který prostředek je nejužitečnější. Můžete to provést úpravou hodnot před zprůměrováním nebo použitím specializovaného přístupu pro průměr kruhových veličin .

Fréchet znamená

Fréchet Průměrná poskytuje způsob pro určení „střed“ o hmotnostní distribuce na povrchu nebo, obecněji, Riemannově potrubí . Na rozdíl od mnoha jiných prostředků je Fréchetův průměr definován v prostoru, jehož prvky nelze nutně sčítat nebo násobit skaláry. Někdy je také známý jako Karcherův průměr (pojmenovaný po Hermannu Karcherovi).

Swansonovo pravidlo

Toto je aproximace průměru mírně šikmé distribuce. Používá se při průzkumu uhlovodíků a je definován jako

kde P 10 , P 50 a P 90 10., 50. a 90. percentil distribuce.

Jiné prostředky

Viz také

Poznámky

Reference