Střední anomálie - Mean anomaly

Oblast vymetená za jednotku času předmětem na eliptické dráze a imaginárním předmětem na kruhové dráze (se stejnou oběžnou periodou). Oba zametají stejné oblasti ve stejnou dobu, ale úhlová rychlost rozmítání se mění pro eliptickou dráhu a je konstantní pro kruhovou dráhu. Zobrazeny jsou průměrná anomálie a skutečná anomálie pro dvě časové jednotky. (Všimněte si, že pro vizuální jednoduchost je znázorněna nepřekrývající se kruhová dráha, takže tato kruhová dráha se stejnou oběžnou periodou není zobrazena ve skutečném měřítku s touto eliptickou oběžnou dráhou: aby měřítko platilo pro obě oběžné dráhy stejné periody, tyto oběžné dráhy se musí protnout.)

V nebeské mechanice je průměrná anomálie zlomkem období eliptické orbity, které uplynulo od doby, kdy obíhající těleso prošlo periapsí , vyjádřené jako úhel, který lze použít při výpočtu polohy tohoto tělesa při klasickém problému s dvěma tělesy . Je to úhlová vzdálenost od pericentra, kterou by mělo fiktivní těleso, kdyby se pohybovalo po kruhové dráze konstantní rychlostí ve stejné oběžné době jako skutečné těleso na eliptické dráze.

Definice

Definujte $T$ jako čas potřebný pro konkrétní těleso k dokončení jedné oběžné dráhy. V čase $T$ , se poloměr vektor zametá z 2 $n$ radiánů, nebo 360 °. Průměrná rychlost rozmítání, $n$ , je pak

{\ Displaystyle n = {\ frac {\, 2 \, \ pi \,} {T}} = {\ frac {\, 360^{\ circle} \,} {T}} ~,}

který se nazývá střední úhlový pohyb tělesa s rozměry radiánů za jednotku času nebo stupňů za jednotku času.

Definujte $τ$ jako čas, ve kterém je tělo v pericentru. Z výše uvedených definic lze definovat novou veličinu $M$ , střední anomálii

{\ Displaystyle M = n \, (t- \ tau) ~,}

který udává úhlovou vzdálenost od pericentra v libovolném čase $t$ . s rozměry radiánů nebo stupňů.

Protože rychlost nárůstu, $n$ , je konstantní průměr, průměrná anomálie se zvyšuje rovnoměrně (lineárně) od 0 do 2 $π$ radiánů nebo 0 ° až 360 ° během každé oběžné dráhy. Je rovna 0, když je tělo v pericentru, $π$ radiánů (180 °) v apocentru a 2 $π$ radiánů (360 °) po jedné úplné otáčce. Pokud je průměrná anomálie v daném okamžiku známá, lze ji vypočítat v libovolném pozdějším (nebo předchozím) okamžiku prostým sečtením (nebo odečtením) $n\cdotδt,$ kde $δt$ představuje malý časový rozdíl.

Průměrná anomálie neměří úhel mezi fyzickými objekty. Je to jednoduše pohodlné jednotné měřítko toho, jak daleko kolem své oběžné dráhy tělo od pericentra pokročilo. Střední anomálie je jedním ze tří úhlových parametrů (historicky známých jako „anomálie“), které definují polohu podél oběžné dráhy, přičemž další dva jsou excentrická anomálie a skutečná anomálie .

Vzorce

Střední anomálii $M$ lze vypočítat z excentrické anomálie $E$ a excentricity $e$ pomocí Keplerovy rovnice :

{\ Displaystyle M = Ee \, \ sin E ~.}

Střední anomálie je také často vnímána jako

{\ Displaystyle M = M_ {0}+n \ left (t-t_ {0} \ right) ~,}

kde $M$ ₀ je průměrná anomálie v epochě a $t$ ₀ je epocha , referenční čas, na který se vztahují orbitální prvky , který se může, ale nemusí shodovat s $τ$ , čas pericentrického průchodu. Klasickou metodou zjišťování polohy objektu na eliptické dráze ze sady orbitálních prvků je vypočítat střední anomálii pomocí této rovnice a poté vyřešit Keplerovu rovnici pro excentrickou anomálii.

Definujte $ϖ$ jako délku pericentra , úhlovou vzdálenost pericentra od referenčního směru. Definujte $ℓ$ jako střední délku , úhlovou vzdálenost tělesa od stejného referenčního směru, za předpokladu, že se pohybuje rovnoměrným úhlovým pohybem jako u střední anomálie. Průměrná anomálie je tedy také

{\ Displaystyle M = \ ell -\ varpi ~.}

Lze také vyjádřit střední úhlový pohyb ,

{\ Displaystyle n = {\ sqrt {{\ frac {\ mu} {\; a^{3} \,}} \,}} ~,}

kde $μ$ je gravitační parametr, který se mění s hmotností objektů, a $a$ je hlavní poloosou oběžné dráhy. Střední anomálii lze poté rozšířit,

{\ Displaystyle M = {\ sqrt {{\ frac {\ mu} {\; a^{3} \,}} \,}} \, \ left (t- \ tau \ right) ~,}

a zde průměrná anomálie představuje rovnoměrný úhlový pohyb v kruhu o poloměru $a$ .

Střední anomálie může být vyjádřen jako řada rozšíření o excentricity $e$ a pravého anomálie $f$ ,

{\ Displaystyle M = f+\ sum _ {n = 1}^{\ infty} (-1)^{n} {\ Big \ {} {\ frac {1} {n}}+{\ sqrt {1- e ^{2}}} {\ Big \}} \ beta ^{n} \ sin {nf}}

s

{\ displaystyle \ beta = {\ frac {1-{\ sqrt {1-e^{2}}}} {e}}}

{\ Displaystyle M = f-2 \, e \ sin f+\ left ({\ frac {3} {4}} e^{2}+{\ frac {1} {8}} e^{4} \ right ) \ sin 2f-{\ frac {1} {3}} e^{3} \ sin 3f+{\ frac {5} {32}} e^{4} \ sin 4f+\ operatorname {\ mathcal {O}} \ left (e^{5} \ right)}

Podobný vzorec uvádí skutečnou anomálii přímo z hlediska průměrné anomálie:

{\ Displaystyle f = M+\ left (2 \, e-{\ frac {1} {4}} e^{3} \ right) \ sin M+{\ frac {5} {4}} e^{2} \ sin 2M+{\ frac {13} {12}} e^{3} \ sin 3M+\ operatorname {\ mathcal {O}} \ left (e^{4} \ right)}

Obecnou formulaci výše uvedené rovnice lze zapsat jako rovnici středu :

{\ Displaystyle f = M+2 \ sum _ {s = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {s}} {\ Big \ {} J_ {s} (se)+\ sum _ {p = 1} ^{\ infty} \ beta ^{p} {\ big (} J_ {sp} (se)+J_ {s+p} (se) {\ big)} {\ Big \}} \ sin ( sM)}

Viz také

Reference

externí odkazy

Glosářová anomálie vstupu , průměr na astronomickém almanachu online americké námořní observatoře

Languages

In other projects