Střední pohyb - Mean motion

V orbitální mechanice je střední pohyb (představovaný n ) úhlová rychlost potřebná k tomu, aby těleso dokončilo jednu oběžnou dráhu, za předpokladu konstantní rychlosti na kruhové oběžné dráze, která se dokončí ve stejnou dobu jako eliptická oběžná dráha skutečné tělesa s proměnnou rychlostí . Koncept platí stejně dobře pro malé těleso, které se točí kolem velkého masivního primárního tělesa, nebo pro dvě tělesa relativně stejné velikosti, která se točí kolem společného těžiště . Zatímco nominálně průměr , a teoreticky tak v případě pohybu dvou těles , v praxi není průměrný pohyb obvykle průměrem v čase pro oběžné dráhy skutečných těles, který se pouze přibližuje předpokladu dvou těles. Je to spíše okamžitá hodnota, která splňuje výše uvedené podmínky vypočtené ze současných gravitačních a geometrických okolností neustále se měnící, narušené oběžné dráhy těla .

Střední pohyb se používá jako aproximace skutečné orbitální rychlosti při počátečním výpočtu polohy těla na oběžné dráze, například ze sady orbitálních prvků . Tato průměrná poloha je vylepšena Keplerovou rovnicí, aby vznikla skutečná poloha.

Definice

Definujte oběžnou dobu (časovou periodu, aby tělo dokončilo jednu oběžnou dráhu) jako P , s dimenzí času. Střední pohyb je jednoduše jedna revoluce dělená touto dobou, nebo

${\ displaystyle n = {\ frac {2 \ pi} {P}}, \ qquad n = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {P}}, \ quad {\ mbox {or}} \ quad n = {\ frac {1} {P}},}$

s rozměry radiánů za jednotku času, stupňů za jednotku času nebo otáček za jednotku času.

Hodnota středního pohybu závisí na okolnostech konkrétního gravitačního systému. V systémech s větší hmotností budou těla obíhat rychleji, v souladu s Newtonovým zákonem univerzální gravitace . Podobně budou i těla blíže k sobě obíhat rychleji.

Střední pohyb a Keplerovy zákony

Keplerův třetí zákon pohybu planet států čtverec o periodické času je přímo úměrná krychle na střední vzdálenosti , nebo

${\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {P ^ {2}}} \ propto \ mu,}$

kde a je poloviční hlavní osa nebo střední vzdálenost, P je oběžná doba, jak je uvedeno výše, a μ je konstanta pro jakýkoli konkrétní gravitační systém.

Z výše uvedené definice středního pohybu odvozte

${\ displaystyle P = {\ frac {1} {n}},}$

kde n je v otáčkách za jednotku času. V kombinaci s výše uvedenou definicí 3. Keplerova zákona,

${\ displaystyle \ mu = {\ frac {a ^ {3}} {\ vlevo ({\ frac {1} {n}} \ vpravo) ^ {2}}},}$

a snižování,

${\ displaystyle \ mu = a ^ {3} n ^ {2},}$

což je další definice 3. Keplerova zákona. μ je konstanta úměrnosti, je gravitační parametr , je definován masy orgánů dotčených a ze strany newtonovské gravitační konstanta , G ; viz. níže. Proto je také definováno n

${\ displaystyle n ^ {2} = {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}, \ quad {\ mbox {nebo}} \ quad n = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}}.}$

Rozšíření průměrného pohybu rozšířením μ ,

${\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {G (M + m)} {a ^ {3}}}} \, \ !,}$

kde M je obvykle hmotnost primárního tělesa systému am je hmotnost menšího tělesa.

Toto je úplná gravitační definice středního pohybu v systému dvou těles . V nebeské mechanice je primární tělo často mnohem větší než kterékoli ze sekundárních těles systému, tj. M ≫ m . Za těchto okolností se m stává nedůležitým a Keplerův třetí zákon je přibližně konstantní pro všechny menší tělesa.

Keplerův 2. zákon planetárních pohybových stavů, čára spojující planetu a Slunce vymetá stejné oblasti ve stejných časech , nebo

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} A} {\ operatorname {d} t}} = {\ text {stálá}}}$

na oběžnou dráhu dvou těles, kde d A/d tje časová rychlost změny zametané oblasti .

Necháme-li dt  =  P , orbitální období, tažená plocha je celá plocha elipsy , d A  =  π ab , kde a je polořadovka hlavní osy a b je polořadovka menší osy elipsy. Proto,

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} A} {\ operatorname {d} t}} = {\ frac {\ pi ab} {P}}.}$

Vynásobením této rovnice 2,

${\ displaystyle 2 \ left ({\ frac {\ operatorname {d} A} {\ operatorname {d} t}} \ right) = 2 \ left ({\ frac {\ pi ab} {P}} \ right) .}$

Z výše uvedené definice znamená střední pohyb n  = 2 π/P. Nahrazení,

${\ displaystyle 2 {\ frac {\ operatorname {d} A} {\ operatorname {d} t}} = nab,}$

a střední pohyb je také

${\ displaystyle n = {\ frac {2} {ab}} {\ frac {\ operatorname {d} A} {\ operatorname {d} t}},}$

což je samo o sobě konstantní jako a , b ad A/d t jsou všechny konstantní v pohybu dvou těl.

Střední pohyb a konstanty pohybu

Vzhledem k povaze pohybu dvou těles v konzervativním gravitačním poli se dva aspekty pohybu nemění: moment hybnosti a mechanická energie .

První konstantu, nazývanou specifický moment hybnosti , lze definovat jako

${\ displaystyle h = 2 {\ frac {\ operatorname {d} A} {\ operatorname {d} t}},}$

a dosazením do výše uvedené rovnice je také střední pohyb

${\ displaystyle n = {\ frac {h} {ab}}.}$

Druhá konstanta, nazývaná specifická mechanická energie , může být definována,

${\ displaystyle \ xi = - {\ frac {\ mu} {2a}}.}$

Přeskupení a násobení 1/a ²,

${\ displaystyle {\ frac {-2 \ xi} {a ^ {2}}} = {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}.}$

Shora čtverec středního pohybu n ²  = μ/a ³. Nahrazením a přeskupením lze vyjádřit i střední pohyb,

${\ displaystyle n = {\ frac {1} {a}} {\ sqrt {-2 \ xi}},}$

kde −2 ukazuje, že ξ musí být definováno jako záporné číslo, jak je zvykem v nebeské mechanice a astrodynamice .

Střední pohyb a gravitační konstanty

V nebeské mechanice sluneční soustavy se běžně používají dvě gravitační konstanty : G , Newtonova gravitační konstanta a k , Gaussova gravitační konstanta . Z výše uvedených definic je střední pohyb

${\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {G (M + m)} {a ^ {3}}}} \, \ !.}$

Normalizací částí této rovnice a vytvořením některých předpokladů je možné ji zjednodušit a odhalit vztah mezi středním pohybem a konstantami.

Nastavení hmotnosti Slunce k jednotě, M  = 1. masy planety jsou mnohem menší, m « M . Proto pro každou konkrétní planetu

${\ displaystyle n \ cca {\ sqrt {\ frac {G} {a ^ {3}}}},}$

a také brát poloviční hlavní osu jako jednu astronomickou jednotku ,

${\ displaystyle n_ {1 \; {\ text {AU}}} \ přibližně {\ sqrt {G}}.}$

Gaussova gravitační konstanta k  =  √ G , tedy za stejných podmínek jako výše, pro jakoukoli konkrétní planetu

${\ displaystyle n \ cca {\ frac {k} {\ sqrt {a ^ {3}}}},}$

a opět brát poloviční hlavní osu jako jednu astronomickou jednotku,

${\ displaystyle n_ {1 \; {\ text {AU}}} \ přibližně k.}$

Střední pohyb a střední anomálie

Střední pohyb také představuje rychlost změny průměrné anomálie , a proto jej lze také vypočítat,

${\ displaystyle n = {\ frac {M_ {1} -M_ {0}} {t}}}$

kde M ₁ a M ₀ jsou průměrné anomálie v konkrétních časových bodech at je čas uplynulý mezi těmito dvěma. M ₀ se označuje jako střední anomálie v epoše , a t je doba od epochy .

Vzorce

U orbitálních parametrů pozemské družice se střední pohyb obvykle měří v otáčkách za den . V tom případě,

${\ displaystyle n = {\ frac {d} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {G (M + m)} {a ^ {3}}}} = d {\ sqrt {\ frac {G (M + m)} {4 \ pi ^ {2} a ^ {3}}}} \, \!}$

kde

• d je množství času za den ,
• G je gravitační konstanta ,
• M a m jsou hmotnosti obíhajících těles,
• a je délka hlavní osy .

Chcete-li převést z radiánů za jednotku času na otáčky za den, zvažte následující:

${\ displaystyle {\ rm {{\ frac {radians} {time \ unit}} \ times {\ frac {1 \ revoluce} {2 \ pi \ radians}} \ times}} {\ frac {d \ {\ rm {čas \ jednotky}}} {1 {\ rm {\ den}}}} = {\ frac {d} {2 \ pi}} {\ rm {\ revoluce \ za \ den}}}$

Z výše uvedeného je střední pohyb v radiánech za jednotku času:

${\ displaystyle n = {\ frac {2 \ pi} {P}},}$

proto je průměrný pohyb v otáčkách za den

${\ displaystyle n = {\ frac {d} {2 \ pi}} {\ frac {2 \ pi} {P}} = {\ frac {d} {P}},}$

kde P je oběžná doba , jak je uvedeno výše.

Viz také

• Gaussova gravitační konstanta
• Keplerova dráha
• Střední anomálie
• Střední zeměpisná délka
• Orbitální prvky

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Vstup do glosáře znamená pohyb v Astronomickém almanachu americké námořní observatoře online