Kruhový průměr - Circular mean

V matematiky a statistiky , je kruhová střední nebo úhlový průměr je průměr určený pro úhly a podobné cyklické množství, jako například přes den , a dílčí části z reálných čísel . To je nezbytné, protože většina obvyklých prostředků nemusí být vhodná pro úhlová množství. Například aritmetický průměr 0 ° a 360 ° je 180 °, což je zavádějící, protože 360 ​​° se rovná 0 ° modulo celý cyklus. Jako další příklad je „průměrný čas“ mezi 23:00 a 1:00 buď půlnoc nebo poledne, podle toho, zda jsou tyto dva časy součástí jedné noci nebo části jednoho kalendářního dne. Kruhový průměr je jedním z nejjednodušších příkladů kruhové statistiky a statistiky neeuklidovských prostorů .

Definice

Vzhledem k tomu, že aritmetický průměr není vždy vhodný pro úhly, lze k získání průměrné hodnoty i míry rozptylu úhlů použít následující metodu :

Převést všechny úhly s odpovídajícími body na kruhu jednotky , například, k . To znamená, převést polární souřadnice na karteziánské souřadnice . Potom spočítejte aritmetický průměr těchto bodů. Výsledný bod bude ležet na disku jednotky. Převeďte tento bod zpět na polární souřadnice. Úhel je rozumným průměrem vstupních úhlů. Výsledný poloměr bude 1, pokud jsou všechny úhly stejné. Pokud jsou úhly rovnoměrně rozloženy na kružnici, bude výsledný poloměr 0 a neexistuje žádný kruhový průměr. (Ve skutečnosti není možné definovat spojitou střední operaci na kružnici.) Jinými slovy, poloměr měří koncentraci úhlů. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle (\ cos \ alpha, \ sin \ alpha)}$

Vzhledem k úhlům je běžný vzorec průměru pomocí varianty atan2 arktangentové funkce ${\ Displaystyle \ alpha _ {1}, \ tečky, \ alpha _ {n}}$

${\ Displaystyle {\ bar {\ alpha}} = \ operatorname {atan2} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {j = 1}^{n} \ sin \ alpha _ {j} , {\ frac {1} {n}} \ sum _ {j = 1}^{n} \ cos \ alpha _ {j} \ right) = \ operatorname {atan2} \ left (\ sum _ {j = 1 }^{n} \ sin \ alpha _ {j}, \ sum _ {j = 1}^{n} \ cos \ alpha _ {j} \ right)}$

nebo pomocí komplexních čísel :

${\ Displaystyle {\ bar {\ alpha}} = \ arg \ left (\ sum _ {j = 1}^{n} \ exp (i \ cdot \ alpha _ {j}) \ right)}$

Aby se shoda s derivací pomocí aritmetických průměrů bodů shodovala, musely by být částky děleny . Na škálování však nezáleží, a proto ji lze vynechat. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ operatorname {atan2}}$${\ Displaystyle \ arg}$

Tento výpočet vytváří jiný výsledek než aritmetický průměr, přičemž rozdíl je větší, když jsou úhly široce distribuovány. Například aritmetický průměr tří úhlů 0 °, 0 ° a 90 ° je (0+0+90)/3 = 30 °, ale vektorový průměr je 26,565 °. Navíc s aritmetickým průměrem je kruhový rozptyl definován pouze ± 180 °.

Vlastnosti

Kruhový průměr ${\ displaystyle {\ bar {\ alpha}}}$

• maximalizuje pravděpodobnost průměrného parametru von Misesova rozdělení a
• minimalizuje součet určité vzdálenosti na kruhu, přesněji

${\ displaystyle {\ bar {\ alpha}} = {\ underset {\ beta} {\ operatorname {argmin}}} \ sum _ {j = 1}^{n} d (\ alpha _ {j}, \ beta ), {\ text {where}} d (\ varphi, \ beta) = 1- \ cos (\ varphi -\ beta).}$

Vzdálenost se rovná polovině druhé mocniny euklidovské vzdálenosti mezi dvěma body na jednotkové kružnici spojené s a .${\ Displaystyle d (\ varphi, \ beta)}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ beta}$

Příklad

Jednoduchý způsob, jak vypočítat průměr řady úhlů (v intervalu [0 °, 360 °)), je vypočítat průměr kosinusů a sinusů každého úhlu a získat úhel výpočtem inverzní tangenty. Zvažte následující tři úhly jako příklad: 10, 20 a 30 stupňů. Intuitivně by výpočet průměru zahrnoval sčítání těchto tří úhlů dohromady a dělení 3, v tomto případě skutečně výsledkem správného středního úhlu 20 stupňů. Otočením tohoto systému proti směru hodinových ručiček o 15 stupňů získají tři úhly 355 stupňů, 5 stupňů a 15 stupňů. Naivní průměr je nyní 125 stupňů, což je špatná odpověď, protože by mělo být 5 stupňů. Průměr vektoru lze vypočítat následujícím způsobem pomocí průměrného sinusu a průměrného kosinu : ${\ textstyle {\ bar {\ theta}}}$${\ textstyle {\ bar {s}}}$${\ textstyle {\ bar {c}} \ not = 0}$

${\ Displaystyle {\ bar {s}} = {\ frac {1} {3}} (\ sin (355^{\ circle})+\ sin (5^{\ circle})+\ sin (15^{ \ circ})) = {\ frac {1} {3}} (-0,087+0,087+0,259) \ přibližně 0,086}$

${\ Displaystyle {\ bar {c}} = {\ frac {1} {3}} (\ cos (355^{\ circle})+\ cos (5^{\ circle})+\ cos (15^{ \ circ})) = {\ frac {1} {3}} (0,996+0,996+0,966) \ přibližně 0,986}$

${\ Displaystyle {\ bar {\ theta}} = \ left. {\ begin {cases} \ arctan \ left ({\ frac {\ bar {s}} {\ bar {c}}} \ right) & {\ bar {s}}> 0, \ {\ bar {c}}> 0 \\\ arctan \ left ({\ frac {\ bar {s}} {\ bar {c}}} \ right)+180^{ \ circ} & {\ bar {c}} <0 \\\ arctan \ left ({\ frac {\ bar {s}} {\ bar {c}}} \ right) +360^{\ circ} & { \ bar {s}} <0, \ {\ bar {c}}> 0 \ end {cases}} \ right \} = \ arctan \ left ({\ frac {0,086} {0,986}} \ right) = \ arctan (0,087) = 5^{\ circ}.}$

To může být stručněji řečeno, když si uvědomíme, že směrová data jsou ve skutečnosti vektory o délce jednotky. V případě jednorozměrných dat lze tyto datové body pohodlně znázornit jako komplexní čísla jednotkové velikosti , kde je naměřený úhel. Průměrný výsledný vektor pro vzorek je pak: ${\ Displaystyle z = \ cos (\ theta)+i \, \ sin (\ theta) = e^{i \ theta}}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {\ rho}}} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1}^{N} z_ {n}.}$

Střední úhel vzorku je pak argumentem průměrné výslednice:

${\ displaystyle {\ overline {\ theta}} = \ operatorname {Arg} ({\ overline {\ mathbf {\ rho}}}).}$

Délka průměrného výsledného vektoru je:

${\ displaystyle {\ overline {R}} = | {{\ overline {\ mathbf {\ rho}}} |}$

a bude mít hodnotu mezi 0 a 1. Průměrný výsledný vektor vzorku tedy může být reprezentován jako:

${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {\ rho}}} = {\ overline {R}} \, e^{i {\ overline {\ theta}}}.}$

Podobné výpočty se také používají k definování kruhového rozptylu .

Viz také

• Kruhové rozdělení
• Kruhová směrodatná odchylka
• Směrová statistika
• Těžiště
• Těžiště

Reference

Další čtení

Jammalamadaka, S.Rao a SenGupta, A. (2001). Témata v cirkulární statistice , Oddíl 1.3, World Scientific Press, Singapur. ISBN  981-02-3778-2

externí odkazy

• Kruhové hodnoty Matematika a statistika s infrastrukturou C ++ 11 , A C ++ 11 pro kruhové hodnoty (úhly, denní doba atd.), Matematika a statistika