Měřitelná funkce - Measurable function

V matematice a zejména v teorii opatření je měřitelná funkce funkcí mezi základními sadami dvou měřitelných prostorů, která zachovává strukturu prostorů: je možné měřit předobraz jakékoli měřitelné sady. To je v přímé analogii s definicí, že spojitá funkce mezi topologickými prostory zachovává topologickou strukturu: předobraz jakékoli otevřené množiny je otevřený. V reálné analýze jsou měřitelné funkce použity při definování Lebesgueova integrálu . V teorii pravděpodobnosti je měřitelná funkce v prostoru pravděpodobnosti známá jako náhodná proměnná .

Formální definice

Dovolit a být měřitelné prostory, což znamená, že a jsou množiny vybavené příslušnými -algebrami a funkce A se říká, že je měřitelná, pokud je pro každý pre-image podsvětí v ; to znamená pro všechny${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ displaystyle (Y, \ mathrm {T})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ mathrm {T}.}$${\ displaystyle f: X \ až Y}$${\ displaystyle E \ in \ mathrm {T}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle E \ in \ mathrm {T}}$

To znamená, kde je σ-algebra generovaná f . Pokud je měřitelná funkce, budeme psát ${\ displaystyle \ sigma (f) \ subseteq \ Sigma,}$${\ Displaystyle \ sigma (f)}$${\ displaystyle f: X \ až Y}$

zdůraznit závislost na -algebrách a${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ mathrm {T}.}$

Varianty použití termínu

Volba -algeber ve výše uvedené definici je někdy implicitní a ponechána na kontextu. Například pro nebo jiné topologické prostory je běžnou volbou Borelova algebra (obsahující všechny otevřené množiny). Někteří autoři definují měřitelné funkce jako výhradně reálné s ohledem na borelskou algebru. ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C},}$

Pokud hodnoty funkce leží v nekonečně trojrozměrném vektorovém prostoru , existují další neekvivalentní definice měřitelnosti, jako je slabá měřitelnost a Bochnerova měřitelnost .

Pozoruhodné třídy měřitelných funkcí

• Náhodné proměnné jsou podle definice měřitelné funkce definované v prostorech pravděpodobnosti.
• Pokud a jsou Borelovy prostory , měřitelná funkce se také nazývá Borelova funkce . Kontinuální funkce jsou funkce Borel, ale ne všechny funkce Borel jsou spojité. Měřitelná funkce je však téměř spojitá funkce; viz Luzinova věta . Pokud je funkce Borel náhodou částí mapy , nazývá se to částí Borel .${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ displaystyle (Y, T)}$${\ displaystyle f: (X, \ Sigma) \ až (Y, T)}$${\ displaystyle Y \ xrightarrow {~ \ pi ~} X,}$
• Lebesgue měřitelná funkce je měřitelná funkce , kde je algebra Lebesgueovy měřitelných souborů, a je algebra Borel na komplexních číslech Lebesgueovy měřitelná funkce mají zájem o matematické analýzy , protože mohou být integrovány. V případě, že je Lebesgue měřitelný iff je měřitelný pro všechny To je také ekvivalentní tomu, že je měřitelný pro všechny nebo předobraz jakékoli měřitelné otevřené sady. Spojité funkce, monotónní funkce, krokové funkce, polokontinuální funkce, Riemannovy integrovatelné funkce a funkce omezené variace jsou všechny Lebesgue měřitelné. Funkce je měřitelná, pokud jsou měřitelné skutečné a imaginární části.${\ displaystyle f: (\ mathbb {R}, {\ mathcal {L}}) \ to (\ mathbb {C}, {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {C}}),}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {C}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ {f> \ alfa \} = \ {x \ v X: f (x)> \ alfa \}}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle \ {f \ geq \ alpha \}, \ {f <\ alpha \}, \ {f \ leq \ alpha \}}$${\ displaystyle \ alpha,}$${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {C}}$

Vlastnosti měřitelných funkcí

• Součet a součin dvou měřitelných funkcí s komplexními hodnotami jsou měřitelné. Stejně tak kvocient, pokud není dělení nulou.
• Pokud a jsou měřitelné funkce, pak také jejich složení${\ displaystyle f: (X, \ Sigma _ {1}) \ to (Y, \ Sigma _ {2})}$${\ displaystyle g: (Y, \ Sigma _ {2}) \ to (Z, \ Sigma _ {3})}$${\ displaystyle g \ circ f: (X, \ Sigma _ {1}) \ to (Z, \ Sigma _ {3}).}$
• Jsou - li a jsou měřitelné funkce, jejich složení nemusí být měřitelné, ledaže by dvě Lebesgue-měřitelné funkce mohly být konstruovány takovým způsobem, aby bylo jejich složení neměřitelné Lebesgue.${\ displaystyle f: (X, \ Sigma _ {1}) \ to (Y, \ Sigma _ {2})}$${\ displaystyle g: (Y, \ Sigma _ {3}) \ to (Z, \ Sigma _ {4})}$${\ displaystyle g \ circ f: X \ až Z}$${\ displaystyle (\ Sigma _ {1}, \ Sigma _ {4})}$${\ displaystyle \ Sigma _ {3} \ subseteq \ Sigma _ {2}.}$
• Měřitelné jsou také (bodově) supremum , infimum , limit superior a limit inferior posloupnosti (viz. Spočetně mnoho) měřitelných funkcí se skutečnou hodnotou.
• Bodová limita posloupnosti měřitelných funkcí je měřitelná, kde je metrický prostor (obdařen Borel algebry). To obecně neplatí, pokud je neměřitelné. Všimněte si, že odpovídající příkaz pro spojité funkce vyžaduje silnější podmínky než bodová konvergence, například uniformní konvergence.${\ displaystyle f_ {n}: X \ až Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$

Neměřitelné funkce

Skutečné funkce, se kterými se v aplikacích setkáváme, bývají měřitelné; není však těžké prokázat existenci neměřitelných funkcí. Takové důkazy se podstatným způsobem opírají o axiom volby , v tom smyslu, že teorie množin Zermelo – Fraenkel bez axiomu volby neprokazuje existenci těchto funkcí.

V jakémkoli měřicím prostoru s neměřitelnou množinou lze vytvořit funkci neměřitelného indikátoru : ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ displaystyle A \ podmnožina X,}$ ${\ displaystyle A \ notin \ Sigma,}$

kde je vybaven obvyklou Borel algebrou . Toto je neměřitelná funkce, protože preimage měřitelné množiny je neměřitelná${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ {1 \}}$${\ displaystyle A.}$  

Jako další příklad je jakákoli nekonstantní funkce neměřitelná vzhledem k triviální algebře, protože preimage kteréhokoli bodu v rozsahu je nějaká správná, neprázdná podmnožina, která není prvkem triviální${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ Sigma = \ {\ varnothing, X \},}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ Sigma.}$

Viz také

• Bochnerova měřitelná funkce
• Bochnerův prostor
• Lp prostor  - Funkční prostory zobecňující konečněrozměrné p normované prostory - Vektorové prostory měřitelných funkcí:

prostory${\ displaystyle L ^ {p}}$

Dynamický systém zachovávající míru  - předmět studia v ergodické teorii

Vektorové opatření

Slabě měřitelná funkce

Poznámky

externí odkazy

• Měřitelná funkce v Encyclopedia of Mathematics
• Funkce Borel v Encyclopedia of Mathematics