Měření kruhu - Measurement of a Circle

Měření kruhu nebo dimenze kruhu ( řecky : Κύκλου μέτρησις , Kuklou metrēsis ) je pojednání, které se skládá ze tří tvrzení Archimeda , ca. 250 př. N. L. Pojednání je jen zlomkem toho, co bylo delší prací.

Propozice

Návrh první

Kruh a trojúhelník mají stejnou plochu.

Tvrzení jedna uvádí: Plocha libovolného kruhu se rovná pravoúhlému trojúhelníku, ve kterém se jedna ze stran kolem pravého úhlu rovná poloměru a druhá obvodu kružnice. Libovolný kruh s obvodem c a poloměrem r má stejnou plochu s pravým trojúhelníkem, přičemž obě nohy jsou c a r . Tento návrh dokazuje metoda vyčerpání .

Tvrzení dva

Tvrzení dva státy:

Plocha kruhu je na čtverci na svém průměru 11 až 14.

Tento návrh nemohl uplatnit Archimedes, protože se spoléhá na výsledek třetího návrhu.

Návrh třetí

Návrh tři uvádí:

Poměr obvodu kteréhokoli kruhu k jeho průměru je větší než, ale menší než .

To se blíží tomu, čemu nyní říkáme matematická konstanta π . Tyto hranice na hodnotě π našel vepsáním a opsáním kruhu dvěma podobnými pravidelnými polygony o 96 stranách .

Aproximace na druhou odmocninu

Tato věta také obsahuje přesné aproximace druhé odmocniny 3 (jedna větší a jedna menší) a dalších větších nedokonalých odmocnin ; Archimedes však neposkytuje žádné vysvětlení, jak zjistil tato čísla. Horní a dolní hranici dává 3 jako 1351 / 780 > 3 > 265 / 153 . Tyto hranice jsou však známé ze studia Pellovy rovnice a konvergentů souvisejícího pokračujícího zlomku , což vede k mnoha spekulacím o tom, kolik z této teorie čísel mohlo být přístupné Archimédovi. Diskuse o tomto přístupu sahá přinejmenším do Thomas Fantet de Lagny , FRS (srovnej Chronologii výpočtu π ) v roce 1723, ale explicitněji s ním zacházel Hieronymus Georg Zeuthen . Na počátku 80. let 19. století si Friedrich Otto Hultsch (1833–1906) a Karl Heinrich Hunrath (nar. 1847) všimli, jak lze hranice rychle najít pomocí jednoduchých binomických hranic na druhou odmocninu blízkých dokonalému čtverci po vzoru prvků II.4. , 7; tuto metodu upřednostňuje Thomas Little Heath . Ačkoli je zmíněna pouze jedna cesta k hranici, ve skutečnosti existují dvě další, takže hranice jsou téměř nevyhnutelné, avšak metoda je funkční. Hranice však může být také vytvořena iterativní geometrickou konstrukcí navrženou Archimedovým žaludkem v prostředí pravidelného dodekagonu. V tomto případě je úkolem dát racionální aproximace tečny π / 12.

Reference