Metoda základních řešení - Method of fundamental solutions

Ve vědecké výpočty a simulace je způsob řešení základních ( MFS ) je stále rostoucí pozornost. Tato metoda je v podstatě založena na základním roztoku jednoho parciální diferenciální rovnice zájmu jako základ funkci. MFS byl vyvinut s cílem překonat hlavní nevýhody metody hraničních prvků (BEM), která také využívá základní řešení k uspokojení řídící rovnice. V důsledku toho jsou MFS i BEM numerickou technikou diskretizace na hranici a snižují výpočetní složitost o jednu dimenzionálnost a mají zvláštní výhodu nad numerickými technikami typu domény, jako jsou metody konečných prvků a konečných objemů při řešení nekonečné domény, tenkostěnné struktury a inverzní problémy .

Na rozdíl od BEM se MFS vyhýbá numerické integraci singulárního základního řešení a je vlastní metodou bez sítí . Metoda je však ohrožena požadavkem na kontroverzní fiktivní hranici mimo fyzickou doménu, aby se obešla singularita základního řešení, což vážně omezilo její použitelnost na problémy v reálném světě. Přesto se ukázalo, že MFS je velmi konkurenceschopný v některých aplikačních oblastech, jako jsou problémy s nekonečnými doménami.

MFS je v literatuře znám také několika různými jmény. Mezi ně patří metoda simulace náboje, metoda superpozice, metoda desingularizace, metoda nepřímých hraničních prvků a metoda virtuálních hraničních prvků, abychom jmenovali alespoň některé.

Formulace MFS

Zvažte parciální diferenciální rovnici, která řídí určitý typ problémů

${\ displaystyle Lu = f \ left (x, y \ right), \ \ \ left (x, y \ right) \ in \ Omega,}$

${\ displaystyle u = g \ left (x, y \ right), \ \ \ left (x, y \ right) \ in \ partial \ Omega _ {D},}$

${\ displaystyle {\ frac {\ částečné u} {\ částečné n}} = h \ levé (x, y \ pravé), \ \ \ levé (x, y \ pravé) \ v \ částečné \ Omega _ {N} ,}$

kde je diferenciální parciální operátor, představuje výpočetní doménu a označuje Dirichletovu a Neumannovu hranici a . ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ částečné \ Omega _ {D}}$${\ displaystyle \ částečné \ Omega _ {N}}$${\ displaystyle \ částečné \ Omega _ {D} \ pohár \ částečné \ Omega _ {N} = \ částečné \ Omega}$${\ displaystyle \ částečné \ Omega _ {D} \ čepice \ částečné \ Omega _ {N} = \ varnothing}$

MFS využívá základní řešení operátoru jako svou základní funkci, která představuje aproximaci neznámé funkce u následujícím způsobem

${\ displaystyle {{u} ^ {*}} \ left (x, y \ right) = \ sum \ limity _ {i = 1} ^ {N} \ alpha _ {i} \ phi \ left (r_ {i }\že jo)}$

kde označuje euklidovskou vzdálenost mezi kolokačními body a zdrojovými body , je základním řešením, které vyhovuje ${\ displaystyle r_ {i} = \ levý \ | \ levý (x, y \ pravý) - \ levý (sx_ {i}, sy_ {i} \ pravý) \ pravý \ |}$${\ displaystyle \ left (x, y \ right)}$${\ displaystyle \ left (sx_ {i}, sy_ {i} \ right)}$${\ displaystyle \ phi \ left (\ cdot \ right)}$

${\ displaystyle L \ phi = \ delta \,}$

kde označuje delta funkci Dirac a jsou neznámými koeficienty. ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle {{\ alpha} _ {i}}}$

Se zdrojovými body umístěnými mimo fyzickou doménu se MFS vyhne singularitě základního řešení. Nahrazením aproximace do okrajových podmínek se získá následující maticová rovnice

${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} \ phi \ left (\ left.r_ {j} \ right | _ {x_ {i}, y_ {i}} \ right) \\ {\ frac {\ částečné \ phi \ left (\ left.r_ {j} \ right | _ {x_ {k}, y_ {k}} \ right)} {\ částečný n}} \\\ end {matrix}} \ right] \ \ cdot \ \ alpha = \ left ({\ begin {matrix} g \ left (x_ {i}, y_ {i} \ right) \\ h \ left (x_ {k}, y_ {k} \ right) \\ \ end {matrix}} \ right),}$

kde a označte kolokační body na Dirichletově a Neumannově hranici. Neznámé koeficienty lze jednoznačně určit pomocí výše uvedené algebraické rovnice. A pak můžeme vyhodnotit numerické řešení na jakémkoli místě ve fyzické doméně. ${\ displaystyle \ left (x_ {i}, y_ {i} \ right)}$${\ displaystyle \ left (x_ {k}, y_ {k} \ right)}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$

Historie a nedávný vývoj

Myšlenky MFS existují již několik desetiletí a byly vyvinuty především VD Kupradze a MA Alexidze na konci 50. a počátku 60. let. Metoda však byla jako výpočetní technika navržena mnohem později R. Mathonem a RL Johnstonem na konci 70. let, následovaná řadou článků Mathon, Johnston a Graeme Fairweather s aplikacemi. MFS se pomalu, ale jistě stává užitečným nástrojem pro řešení nejrůznějších fyzikálních a technických problémů.

Hlavní překážka byla překonána, když v 90. letech MA Golberg a CS Chen rozšířili MFS o řešení nehomogenních rovnic a časově závislých problémů. Poslední vývoj naznačuje, že MFS lze použít k řešení parciálních diferenciálních rovnic s proměnnými koeficienty. Ukázalo se, že MFS je zvláště účinný pro určité třídy problémů, jako jsou inverzní, neomezená doména a problémy s volnými hranicemi.

Některé nové techniky byly v nedávné době vyvinuty vyléčit fiktivní okrajové problém v MFS, jako je hraniční metodu uzlu , singulární hraniční metody a regularizované metodou meshless .

Viz také

• Radiální základní funkce
• Metoda hraničních prvků
• Metoda hraničního uzlu
• Metoda hraničních částic
• Singulární hraniční metoda
• Regularizovaná metoda bez sítě

Reference

externí odkazy

• Mezinárodní centrum pro numerický simulační software ve strojírenství a vědách