Metrika (matematika) - Metric (mathematics)
V matematiky , je metrický nebo vzdálenost funkce je funkce , která dává vzdálenost mezi každým párem bodových prvků sady . Sada s metrikou se nazývá metrický prostor . Metrika indukuje topologii na sadě, ale ne všechny topologie lze generovat pomocí metriky. Topologický prostor , jejíž topologie lze popsat metriky se nazývá metrizable .
Jeden důležitý zdroj metrik v diferenciální geometrie jsou metrické tenzory , bilineární formy , které mohou být definovány z tečných vektorů jednoho diferencovatelné potrubí na skalární. Metrický tenzor umožňuje pomocí integrace určit vzdálenosti podél křivek, a tak určuje metriku.
Definice
Metrika na sadě X je funkce (nazývaná funkce vzdálenosti nebo jednoduše vzdálenost )
kde je množina nezáporných reálných čísel a pro všechny jsou splněny následující tři axiomy:
Metrika (podle definice) je nezáporná funkce s reálnou hodnotou. To, společně s axiomem 1, poskytuje podmínku oddělení , kde odlišné nebo oddělené body jsou přesně ty, které mají kladnou vzdálenost mezi nimi.
Požadavek, který má rozsah, je objasňující (ale zbytečné) omezení v definici, protože kdybychom měli nějakou funkci, která by splňovala stejné tři axiomy, bylo by možné dokázat, že tato funkce je stále nezáporná, a to následovně (pomocí axiomů 1, 3 a 2 v uvedeném pořadí):
což znamená .
Metrika se nazývá ultrametrická, pokud splňuje následující silnější verzi trojúhelníkové nerovnosti, kde body nemohou nikdy spadat „mezi“ jiné body:
pro všechny
Metrika d na X se nazývá vnitřní, pokud jakékoli dva body x a y v X lze spojit křivkou s délkou libovolně blízkou d ( x , y ) .
Metrika d na skupině G (psaná multiplikativně) se říká, že je invariantní vlevo (resp. Vpravo invariantní ), pokud máme
- [resp. ]
pro všechny x , y , a z, v G .
Metrika na komutativní aditivní skupině se říká, že je translačně neměnná, pokud pro všechny nebo ekvivalentně, pokud pro všechny Každý vektorový prostor je také komutativní aditivní skupina a metrika ve skutečném nebo komplexním vektorovém prostoru, který je indukován normou, je vždy překlad invariantní. Metrika na skutečném nebo komplexním vektorovém prostoru je normou indukována tehdy a jen tehdy, je -li translačně neměnná a absolutně homogenní , kde druhé znamená, že pro všechny skaláry a všechny v takovém případě funkce definuje normu a kanonickou metriku indukovanou by se rovná
Poznámky
Tyto podmínky vyjadřují intuitivní představy o pojmu vzdálenosti . Například, že vzdálenost mezi různými body je kladná a vzdálenost od x do y je stejná jako vzdálenost od y do x . Trojúhelníková nerovnost znamená, že vzdálenost od x do z přes y je přinejmenším stejně velká jako od x do z přímo. Euclid ve své práci uvedl, že nejkratší vzdálenost mezi dvěma body je čára; to byla trojúhelníková nerovnost jeho geometrie.
Příklady
- Diskrétní metrický : je-li x = y pak d ( x , y ) = 0. V opačném případě, d ( x , y ) = 1.
- Euclidean metrický je překlad a rotace neměnný.
- Taxík metrika je překlad neměnný.
- Obecněji platí, že jakákoli metrika indukovaná normou je translačně invariantní.
- Pokud je sekvence z seminorms definování ( lokálně konvexní ) topologické vektorový prostor E , potom
- Normed prostor je Banachův prostor , kde je absolutní hodnota je norma na reálné ose , která vyvolává obvyklá euklidovská topologie na Definovat metrika na které pro všechny stejně jako s indukovanou metrikou, metrika také indukuje obvyklé Euklidovské topologii na R . Nicméně, není kompletní metrický, protože sekvence definované je -Cauchy sekvence , ale není konvergovat na jakýkoliv bod R . V důsledku nekonvergence tato -Cauchyova sekvence nemůže být Cauchyho posloupností v (tj. Není to Cauchyova posloupnost s ohledem na normu ), protože kdyby to byla -Cauchy, pak skutečnost, že je Banachovým prostorem, by naznačovala, že konverguje (rozpor).
- Grafická metrika , metrika definovaná z hlediska vzdáleností v určitém grafu.
- Hammingova vzdálenost v teorii kódování.
- Riemannova metrika , typ metrické funkce, kterou je vhodné vložit na jakékoli diferencovatelné potrubí . U každého takového potrubí si člověk v každém bodě p zvolí symetrickou, kladnou, definitivní, bilineární formu L : T p × T p → R na tečném prostoru T p při p , přičemž to dělá hladce. Tento formulář určuje délku libovolného tečného vektoru v na potrubí prostřednictvím definice . Potom pro jakoukoli diferencovatelnou cestu na sběrném potrubí je její délka definována jako integrál délky vektoru tangenty k dráze v libovolném bodě, kde je integrace provedena s ohledem na parametr cesty. Nakonec, abychom získali metriku definovanou na libovolném páru { x , y } bodů potrubí, vezmeme infimum ze všech délek od x do y ze sady délek cest. Hladké potrubí vybavené riemannianskou metrikou se nazývá riemannianské potrubí .
- Fubiniho-Study metrika na komplexní projektivní prostoru . Toto je příklad riemannianské metriky.
- Metriky řetězců , jako je vzdálenost Levenshtein a další vzdálenosti pro úpravy řetězců , definují metriku přes řetězce .
- Vzdálenost pro úpravu grafu definuje funkci vzdálenosti mezi grafy .
- Wasserstein metrika je funkcí vzdálenost definovaná mezi dvěma rozdělení pravděpodobnosti .
- Finsler metrika je spojitá nezáporná funkce F: TM → [0, + ∞) definované na svazku tangenty.
Ekvivalence metrik
Pro danou sadu X se dvě metriky d 1 a d 2 nazývají topologicky ekvivalentní ( jednotně ekvivalentní ), pokud mapování identity
je homeomorfismus ( uniformní izomorfismus ).
Pokud je například metrika, pak a jsou metriky ekvivalentní
Normálně indukovaná metrika
Normy ve vektorových prostorech jsou ekvivalentní určitým metrikám, konkrétně homogenním, translačně invariantním. Jinými slovy, každá norma určuje metriku a některé metriky určují normu.
Vzhledem k tomu, normovaný lineární prostor můžeme definovat metrický na nazývanou metrika indukovaná nebo prostě norma indukovaná metrika , tím
Říká se, že metrika je vyvolána normou
Naopak pokud metrika ve vektorovém prostoru splňuje vlastnosti
- Překlad invariance: ;
- Absolutní homogenita : ;
pak normu na lze definovat pomocí
kde metrika indukovaná touto normou je původní daná metrika
Podobně seminorm indukuje pseudometrická (viz níže) a homogenní pseudometrická invariantní translace.
Metriky na více sadách
Můžeme zobecnit pojem metriky ze vzdálenosti mezi dvěma prvky na vzdálenost mezi dvěma neprázdnými konečnými množinami prvků. Multiset je zevšeobecňování ponětí o sadu tak, že prvek může vyskytnout více než jednou. Definujte, jestli je vícenásobná sada skládající se z prvků vícenásobných sad, a tedy pokud se vyskytuje jednou za a jednou za, pak se vyskytuje dvakrát za . Funkce vzdálenosti u množiny neprázdných konečných vícenásobných sad je metrika, pokud
- pokud jsou všechny prvky stejné a jinak ( pozitivní definitivita ), tj. ( non-negativita plus identita nerozeznatelných )
- je neměnný při všech permutacích ( symetrie )
- ( nerovnost trojúhelníku )
Všimněte si toho, že známá metrika mezi dvěma prvky má za následek, že víceset má dva prvky v 1 a 2 a více sad má po jednom prvku ve 3. Například pokud se skládá ze dvou výskytů , pak podle 1.
Jednoduchým příkladem je množina všech neprázdných konečných více sad celých čísel s . Složitějšími příklady jsou informační vzdálenost ve více sadách; a normalizovaná kompresní vzdálenost (NCD) ve více sadách.
Obecné metriky
Existuje mnoho způsobů, jak uvolnit axiomy metrik, což vede k vzniku různých pojmů zobecněných metrických prostorů. Tyto zobecnění lze také kombinovat. Terminologie použitá k jejich popisu není zcela standardizována. Nejpozoruhodnější je, že ve funkční analýze pseudometrie často pocházejí ze seminormů o vektorových prostorech, a proto je přirozené jim říkat „semimetrics“. To je v rozporu s použitím termínu v topologii .
Rozšířené metriky
Někteří autoři umožňují funkci vzdálenosti d dosáhnout hodnoty ∞, tj. Vzdálenosti jsou nezáporná čísla na rozšířené reálné číselné ose . Taková funkce se nazývá rozšířená metrika nebo „∞-metrika“. Každá rozšířená metrika může být transformována na konečnou metriku tak, že metrické prostory jsou ekvivalentní, pokud jde o pojmy topologie (například kontinuita nebo konvergence ). To lze provést pomocí subaditivní monotónně rostoucí omezené funkce, která je nulová na nule, např. D '( x , y ) = d ( x , y ) / (1 + d ( x , y )) nebo d ' '( x , y ) = min (1, d ( x , y )).
Požadavek, aby metrika nabírala hodnoty v [0, ∞), může být dokonce uvolněn, aby se zvážily metriky s hodnotami v jiných směrovaných sadách . Reformulace axiomů v tomto případě vede ke konstrukci jednotných prostorů : topologické prostory s abstraktní strukturou umožňující porovnat místní topologie různých bodů.
Pseudometrie
Pseudometric na X je funkce , která splňuje Axiómy pro metrický, s výjimkou, že místo druhého (identifikace indiscernibles) pouze D ( x , x ) = 0 pro všechny x je nutné. Jinými slovy, axiomy pro pseudometrický jsou:
- d ( x , y ) ≥ 0
- d ( x , x ) = 0 (ale možná d ( x , y ) = 0 pro některé odlišné hodnoty x ≠ y .)
- d ( x , y ) = d ( y , x )
- d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).
V některých kontextech jsou pseudometrics označovány jako semimetrics kvůli jejich vztahu k seminorms .
Quasimetrics
Občas je kvazimetrický definován jako funkce, která splňuje všechny axiomy pro metriku s možnou výjimkou symetrie. Název této generalizace není zcela standardizován.
- d ( x , y ) ≥ 0 ( pozitivita )
- d ( x , y ) = 0 právě tehdy, když x = y ( kladná určitost )
-
d ( x , y ) = d ( y , x )( symetrie , upuštěno) - d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( nerovnost trojúhelníku )
Quasimetrics jsou běžné v reálném životě. Například vzhledem k množině X horských vesnic tvoří typické doby chůze mezi prvky X kvazimetrii, protože cesta do kopce trvá déle než cesta z kopce. Dalším příkladem je taxi geometrie topologie, které mají jednosměrné ulice, kde cesta z bodu A do bodu B, zahrnuje jinou sadu ulic než cesty z B do A .
Kvazimetriku na realitách lze definovat nastavením
- d ( x , y ) = x - y, pokud x ≥ y , a
- d ( x , y ) = 1 jinak. Číslo 1 lze nahradit nekonečnem nebo .
Topologickým prostorem, který je základem tohoto kvazimetrického prostoru, je Sorgenfreyova linie . Tento prostor popisuje proces skládání kovové tyče: je snadné zmenšit její velikost, ale je obtížné nebo nemožné ji pěstovat.
Jestliže d je kvazimetrický na X , může být metrický d ' na X vytvořen odebráním
- d ' ( x , y ) = 1/2( d ( x , y ) + d ( y , x )).
Metametrics
V metametrii jsou splněny všechny axiomy metriky kromě toho, že vzdálenost mezi identickými body není nutně nulová. Jinými slovy, axiomy pro metametrické jsou:
- d ( x , y ) ≥ 0
- d ( x , y ) = 0 znamená x = y (ale ne naopak.)
- d ( x , y ) = d ( y , x )
- d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).
Metametrie se objevují při studiu hyperbolických metrických prostorů Gromova a jejich hranic. Vizuální metametric na takový prostor splňuje d ( x , x ) = 0 pro body x na hranici, ale jinak d ( x , x ) je přibližně vzdálenost od x na hranici. Metametrics poprvé definoval Jussi Väisälä.
Semimetrics
Semimetric na X je funkce , která splňuje první tři axiomy, ale nemusí být nutně trojúhelník nerovnosti:
- d ( x , y ) ≥ 0
- d ( x , y ) = 0 právě tehdy, když x = y
- d ( x , y ) = d ( y , x )
Někteří autoři pracují se slabší formou trojúhelníkové nerovnosti, například:
- d ( x , z ) ≤ ρ ( d ( x , y ) + d ( y , z )) (ρ-uvolněná trojúhelníková nerovnost)
- d ( x , z ) ≤ ρ max ( d ( x , y ), d ( y , z )) (ρ-inframetrická nerovnost).
Ρ-inframetrická nerovnost znamená nerovnost ρ uvolněného trojúhelníku (za předpokladu prvního axiomu) a nerovnost ρ-uvolněný trojúhelník znamená 2ρ-inframetrickou nerovnost. Semimetrics splňující tyto ekvivalentní podmínky byly někdy označovány jako „kvazimetrics“, „nearmetrics“ nebo inframetrics .
Ρ-inframetrické nerovnosti byly zavedeny pro modelování časů zpoždění zpátečky na internetu . Trojúhelníková nerovnost znamená 2-inframetrickou nerovnost a ultrametrická nerovnost je přesně 1-inframetrická nerovnost.
Premetrics
Uvolnění posledních tří axiomů vede k pojmu premetric , tj. Funkce splňující následující podmínky:
- d ( x , y ) ≥ 0
- d ( x , x ) = 0
Toto není standardní termín. Někdy se používá k označení jiných zobecnění metrik, jako jsou pseudosemimetrie nebo pseudometriky; v překladech ruských knih se někdy jeví jako „prametrický“. Říká se mu také vzdálenost.
Jakýkoli premetric dává vzniknout topologii následovně. Pro kladné reálné r je kulička r soustředěná v bodě p definována jako
- B r ( p ) = { x | d ( x , p ) <r}.
Sada se nazývá otevřená, pokud pro jakýkoli bod p v sadě existuje r -ball se středem na p, který je obsažen v sadě. Každý premetrický prostor je topologickým prostorem a ve skutečnosti prostorem sekvenčním . Obecně platí, že samotné koule r nemusí být s ohledem na tuto topologii otevřené sady. Pokud jde o metriky, vzdálenost mezi dvěma sadami A a B je definována jako
- d ( A , B ) = inf x ∊ A , y ∊ B d ( x , y ).
To definuje premetriku na silové sadě premetrického prostoru. Pokud začneme s (pseudosemi-) metrickým prostorem, dostaneme pseudosemimetrický, tedy symetrický premetrický. Jakákoli premetrika vede k operátorovi předběžného uzavření cl následujícím způsobem:
- cl ( A ) = { x | d ( x , A ) = 0}.
Pseudoquasimetrics
Předpony pseudo- , kvázi a semi- lze také kombinovat, např. Pseudoquasimetric (někdy nazývaný hemimetric ) uvolňuje jak axiom nerozeznatelnosti, tak axiom symetrie a je prostě premetric, který splňuje nerovnost trojúhelníku. Pro pseudoquasimetric prostory otevřené r -balls tvoří základ otevřených sad. Zcela základním příkladem pseudoquasimetrického prostoru je množina {0,1} s premetrikou danou d (0,1) = 1 a d (1,0) = 0. Přidružený topologický prostor je Sierpińského prostor .
Sady vybavené rozšířenou pseudoquasimetric studoval William Lawvere jako „zobecněné metrické prostory“. Z kategorického hlediska jsou rozšířené pseudometrické prostory a rozšířené pseudoquasimetrické prostory spolu s jejich odpovídajícími neexpansivními mapami nejlépe chovány z kategorií metrických prostorů. Lze vzít libovolné produkty a koprodukty a vytvářet kvocientové objekty v rámci dané kategorie. Pokud někdo upustí „prodloužený“, může si vzít pouze konečné produkty a koprodukty. Pokud někdo upustí „pseudo“, nemůže přijmout kvocienty. Prostory přiblížení jsou zobecněním metrických prostorů, které udržují tyto dobré kategorické vlastnosti.
Vzdálenost Łukaszyk-Karmowski
Łukaszyk-Karmowski vzdálenost je funkce definující vzdálenost mezi dvěma náhodnými proměnnými nebo dvěma náhodnými vektory . Axiomy této funkce jsou:
- d ( x , y )> 0
- d ( x , y ) = d ( y , x )
- d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).
Tato funkce vzdálenost uspokojuje identita indiscernibles stavu tehdy, když oba argumenty jsou popsány v idealizovaných delta Diracových hustotou rozdělení pravděpodobnosti funkce .
Důležité případy zobecněných metrik
V diferenciální geometrii se uvažuje o metrickém tenzoru , o kterém lze uvažovat jako o „nekonečně malé“ kvadratické metrické funkci. Tato je definována jako nedegenerovaného symetrické bilineární formy na tangenty prostoru části potrubí s vhodnou diferencovatelnost požadavku. Přestože se nejedná o metrické funkce, jak jsou definovány v tomto článku, indukují to, čemu se říká pseudosemimetrická funkce, integrací jeho druhé odmocniny podél cesty přes potrubí. Pokud někdo na metrický tenzor uloží požadavek kladné definitivity vnitřního produktu , omezí se to na případ riemannianského rozdělovače a integrace cesty poskytne metriku.
V obecné relativitě je příbuzným konceptem metrický tenzor (obecná relativita), který vyjadřuje strukturu pseudo-Riemannovského potrubí . Ačkoli je použit termín „metrický“, základní myšlenka je odlišná, protože v tečném prostoru těchto variet jsou nenulové nulové vektory a vektory mohou mít záporné čtvercové normy. Tento zobecněný pohled na „metriky“, ve kterém se nulová vzdálenost není předpokládají identitu, má vplížil do nějakého matematického psaní příliš:
Viz také
Poznámky
Reference
- Aldrovandi, Ruben; Pereira, José Geraldo (2017), An Introduction to Geometrical Physics (2. vyd.), Hackensack, New Jersey: World Scientific, s. 20, ISBN 978-981-3146-81-5, MR 3561561
- Arkhangel'skii, AV ; Pontryagin, LS (1990), General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer , ISBN 3-540-18178-4
- Buldygin, VV; Kozachenko, Yu. V. (2000), Metric Characterization of Random Variables and Random Orocesses , Translations of Mathematical Monographs, 188 , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, str. 129, doi : 10,1090/mmono/188 , ISBN 0-8218-0533-9, MR 1743716
- Čech, Eduard (1969), Point Sets , New York: Academic Press, s. 42
- Cecil, Thomas E. (2008), Lie Sphere Geometry: With Applications to Submanifolds , Universitext (2nd ed.), New York: Springer, p. 9, ISBN 978-0-387-74655-5, MR 2361414
- Cohen, Andrew R .; Vitányi, Paul MB (2012), „Normalizovaná kompresní vzdálenost více sad s aplikacemi“, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence , 37 (8): 1602–1614, arXiv : 1212.5711 , doi : 10.1109/TPAMI.2014.2375175 , PMC 4566858 , PMID 26352998
- Deza, Michel Marie ; Laurent, Monique (1997), Geometry of Cuts and Metrics , Algorithms and Combinatorics, 15 , Springer-Verlag, Berlin, p. 27, doi : 10.1007/978-3-642-04295-9 , ISBN 3-540-61611-X, MR 1460488
- Fraigniaud, P .; Lebhar, E .; Viennot, L. (2008), „Inframetrický model pro internet“, 2008 IEEE INFOCOM - 27. konference o počítačové komunikaci , s. 1085–1093 , CiteSeerX 10.1.1.113.6748 , doi : 10.1109/INFOCOM.2008.163 , ISBN 978-1-4244-2026-1, S2CID 5733968
- Helemskii, A. Ya. (2006), Přednášky a cvičení z funkční analýzy , Překlady matematických monografií, 233 , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, s. 14, doi : 10,1090/mmono/233 , ISBN 978-0-8218-4098-6, MR 2248303
- Lawvere, F. William (2002), „Metrické prostory, zobecněná logika a uzavřené kategorie“ (PDF) , Dotisky v teorii a aplikace kategorií (1): 1–37, MR 1925933; přetištěno s přidaným komentářem z Lawvere, F. William (1973), „Metrické prostory, zobecněná logika a uzavřené kategorie“, Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano , 43 : 135–166 (1974), doi : 10,1007/BF02924844 , MR 0352214
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011), Topologické vektorové prostory , čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání.), Boca Raton, FL: CRC Press, ISBN 978-1584888666, OCLC 144216834
- Parrott, Stephen (1987), Relativistic Electrodynamics and Differential Geometry , New York: Springer-Verlag, s. 4, doi : 10.1007/978-1-4612-4684-8 , ISBN 0-387-96435-5, MR 0867408
- Rolewicz, Stefan (1987), Funkční analýza a řídicí teorie: Lineární systémy , Springer , ISBN 90-277-2186-6
- Smyth, M. (1987), „Kvazi uniformity: sladění domén s metrickými prostory“, in Main, M .; Melton, A .; Mislove, M .; Schmidt, D. (eds.), 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics , Lecture Notes in Computer Science, 298 , Springer-Verlag, pp. 236–253, doi : 10.1007/3-540-19020-1_12
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology , Dover , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
- Vitányi, Paul MB (2011), „Informační vzdálenost v násobcích“, IEEE Transactions on Information Theory , 57 (4): 2451–2456, arXiv : 0905.3347 , doi : 10.1109/TIT.2011.2110130 , S2CID 6302496
- Väisälä, Jussi (2005), "Gromov hyperbolické prostory" (PDF) , Expositiones Mathematicae , 23 (3): 187–231, doi : 10,1016/j.exmath.2005.01.010 , MR 2164775
- Vickers, Steven (2005), „Lokální dokončení zobecněných metrických prostorů, I“ , Teorie a aplikace kategorií , 14 (15): 328–356, MR 2182680
- Xia, Qinglan (2008), „The geodesic problem in nearmetric spaces“, Journal of Geometric Analysis , 19 (2): 452–479, arXiv : 0807.3377
- Xia, Q. (2009), "The geodesic problem in quasimetric spaces", Journal of Geometric Analysis , 19 (2): 452–479, arXiv : 0807.3377 , doi : 10.1007/s12220-008-9065-4 , S2CID 17475581