Metrika (matematika) - Metric (mathematics)

Ilustrace porovnávající metriku taxíku s euklidovskou metrikou v rovině: Podle metriky taxíku mají červená, žlutá a modrá cesta stejnou délku (12). Podle euklidovské metriky má zelená cesta délku a je jedinečnou nejkratší cestou.

V matematiky , je metrický nebo vzdálenost funkce je funkce , která dává vzdálenost mezi každým párem bodových prvků sady . Sada s metrikou se nazývá metrický prostor . Metrika indukuje topologii na sadě, ale ne všechny topologie lze generovat pomocí metriky. Topologický prostor , jejíž topologie lze popsat metriky se nazývá metrizable .

Jeden důležitý zdroj metrik v diferenciální geometrie jsou metrické tenzory , bilineární formy , které mohou být definovány z tečných vektorů jednoho diferencovatelné potrubí na skalární. Metrický tenzor umožňuje pomocí integrace určit vzdálenosti podél křivek, a tak určuje metriku.

Definice

Metrika na sadě X je funkce (nazývaná funkce vzdálenosti nebo jednoduše vzdálenost )

kde je množina nezáporných reálných čísel a pro všechny jsou splněny následující tři axiomy:

1. identita nerozeznatelných
2. symetrie
3. nerovnost trojúhelníku

Metrika (podle definice) je nezáporná funkce s reálnou hodnotou. To, společně s axiomem 1, poskytuje podmínku oddělení , kde odlišné nebo oddělené body jsou přesně ty, které mají kladnou vzdálenost mezi nimi.

Požadavek, který má rozsah, je objasňující (ale zbytečné) omezení v definici, protože kdybychom měli nějakou funkci, která by splňovala stejné tři axiomy, bylo by možné dokázat, že tato funkce je stále nezáporná, a to následovně (pomocí axiomů 1, 3 a 2 v uvedeném pořadí):

což znamená .

Metrika se nazývá ultrametrická, pokud splňuje následující silnější verzi trojúhelníkové nerovnosti, kde body nemohou nikdy spadat „mezi“ jiné body:

pro všechny

Metrika d na X se nazývá vnitřní, pokud jakékoli dva body x a y v X lze spojit křivkou s délkou libovolně blízkou d ( x , y ) .

Metrika d na skupině G (psaná multiplikativně) se říká, že je invariantní vlevo (resp. Vpravo invariantní ), pokud máme

[resp. ]

pro všechny x , y , a z, v G .

Metrika na komutativní aditivní skupině se říká, že je translačně neměnná, pokud pro všechny nebo ekvivalentně, pokud pro všechny Každý vektorový prostor je také komutativní aditivní skupina a metrika ve skutečném nebo komplexním vektorovém prostoru, který je indukován normou, je vždy překlad invariantní. Metrika na skutečném nebo komplexním vektorovém prostoru je normou indukována tehdy a jen tehdy, je -li translačně neměnná a absolutně homogenní , kde druhé znamená, že pro všechny skaláry a všechny v takovém případě funkce definuje normu a kanonickou metriku indukovanou by se rovná

Poznámky

Tyto podmínky vyjadřují intuitivní představy o pojmu vzdálenosti . Například, že vzdálenost mezi různými body je kladná a vzdálenost od x do y je stejná jako vzdálenost od y do x . Trojúhelníková nerovnost znamená, že vzdálenost od x do z přes y je přinejmenším stejně velká jako od x do z přímo. Euclid ve své práci uvedl, že nejkratší vzdálenost mezi dvěma body je čára; to byla trojúhelníková nerovnost jeho geometrie.

Příklady

  • Diskrétní metrický : je-li x = y pak d ( x , y ) = 0. V opačném případě, d ( x , y ) = 1.
  • Euclidean metrický je překlad a rotace neměnný.
  • Taxík metrika je překlad neměnný.
  • Obecněji platí, že jakákoli metrika indukovaná normou je translačně invariantní.
  • Pokud je sekvence z seminorms definování ( lokálně konvexní ) topologické vektorový prostor E , potom
    je metrika definující stejnou topologii . (Lze nahradit libovolnou
    sčítatelnou posloupností přísně kladných čísel .)
  • Normed prostor je Banachův prostor , kde je absolutní hodnota je norma na reálné ose , která vyvolává obvyklá euklidovská topologie na Definovat metrika na které pro všechny stejně jako  s indukovanou metrikou, metrika také indukuje obvyklé Euklidovské topologii na R . Nicméně, není kompletní metrický, protože sekvence definované je -Cauchy sekvence , ale není konvergovat na jakýkoliv bod R . V důsledku nekonvergence tato -Cauchyova sekvence nemůže být Cauchyho posloupností v (tj. Není to Cauchyova posloupnost s ohledem na normu ), protože kdyby to byla -Cauchy, pak skutečnost, že je Banachovým prostorem, by naznačovala, že konverguje (rozpor).
  • Grafická metrika , metrika definovaná z hlediska vzdáleností v určitém grafu.
  • Hammingova vzdálenost v teorii kódování.
  • Riemannova metrika , typ metrické funkce, kterou je vhodné vložit na jakékoli diferencovatelné potrubí . U každého takového potrubí si člověk v každém bodě p zvolí symetrickou, kladnou, definitivní, bilineární formu L : T p × T pR na tečném prostoru T p při p , přičemž to dělá hladce. Tento formulář určuje délku libovolného tečného vektoru v na potrubí prostřednictvím definice . Potom pro jakoukoli diferencovatelnou cestu na sběrném potrubí je její délka definována jako integrál délky vektoru tangenty k dráze v libovolném bodě, kde je integrace provedena s ohledem na parametr cesty. Nakonec, abychom získali metriku definovanou na libovolném páru { x , y } bodů potrubí, vezmeme infimum ze všech délek od x do y ze sady délek cest. Hladké potrubí vybavené riemannianskou metrikou se nazývá riemannianské potrubí .
  • Fubiniho-Study metrika na komplexní projektivní prostoru . Toto je příklad riemannianské metriky.
  • Metriky řetězců , jako je vzdálenost Levenshtein a další vzdálenosti pro úpravy řetězců , definují metriku přes řetězce .
  • Vzdálenost pro úpravu grafu definuje funkci vzdálenosti mezi grafy .
  • Wasserstein metrika je funkcí vzdálenost definovaná mezi dvěma rozdělení pravděpodobnosti .
  • Finsler metrika je spojitá nezáporná funkce F: TM → [0, + ∞) definované na svazku tangenty.

Ekvivalence metrik

Pro danou sadu X se dvě metriky d 1 a d 2 nazývají topologicky ekvivalentní ( jednotně ekvivalentní ), pokud mapování identity

id: ( X , d 1 ) → ( X , d 2 )

je homeomorfismus ( uniformní izomorfismus ).

Pokud je například metrika, pak a jsou metriky ekvivalentní

Normálně indukovaná metrika

Normy ve vektorových prostorech jsou ekvivalentní určitým metrikám, konkrétně homogenním, translačně invariantním. Jinými slovy, každá norma určuje metriku a některé metriky určují normu.

Vzhledem k tomu, normovaný lineární prostor můžeme definovat metrický na nazývanou metrika indukovaná nebo prostě norma indukovaná metrika , tím

Říká se, že metrika je vyvolána normou

Naopak pokud metrika ve vektorovém prostoru splňuje vlastnosti

  • Překlad invariance: ;
  • Absolutní homogenita : ;

pak normu na lze definovat pomocí

kde metrika indukovaná touto normou je původní daná metrika

Podobně seminorm indukuje pseudometrická (viz níže) a homogenní pseudometrická invariantní translace.

Metriky na více sadách

Můžeme zobecnit pojem metriky ze vzdálenosti mezi dvěma prvky na vzdálenost mezi dvěma neprázdnými konečnými množinami prvků. Multiset je zevšeobecňování ponětí o sadu tak, že prvek může vyskytnout více než jednou. Definujte, jestli je vícenásobná sada skládající se z prvků vícenásobných sad, a tedy pokud se vyskytuje jednou za a jednou za, pak se vyskytuje dvakrát za . Funkce vzdálenosti u množiny neprázdných konečných vícenásobných sad je metrika, pokud

  1. pokud jsou všechny prvky stejné a jinak ( pozitivní definitivita ), tj. ( non-negativita plus identita nerozeznatelných )
  2. je neměnný při všech permutacích ( symetrie )
  3. ( nerovnost trojúhelníku )

Všimněte si toho, že známá metrika mezi dvěma prvky má za následek, že víceset má dva prvky v 1 a 2 a více sad má po jednom prvku ve 3. Například pokud se skládá ze dvou výskytů , pak podle 1.

Jednoduchým příkladem je množina všech neprázdných konečných více sad celých čísel s . Složitějšími příklady jsou informační vzdálenost ve více sadách; a normalizovaná kompresní vzdálenost (NCD) ve více sadách.

Obecné metriky

Existuje mnoho způsobů, jak uvolnit axiomy metrik, což vede k vzniku různých pojmů zobecněných metrických prostorů. Tyto zobecnění lze také kombinovat. Terminologie použitá k jejich popisu není zcela standardizována. Nejpozoruhodnější je, že ve funkční analýze pseudometrie často pocházejí ze seminormů o vektorových prostorech, a proto je přirozené jim říkat „semimetrics“. To je v rozporu s použitím termínu v topologii .

Rozšířené metriky

Někteří autoři umožňují funkci vzdálenosti d dosáhnout hodnoty ∞, tj. Vzdálenosti jsou nezáporná čísla na rozšířené reálné číselné ose . Taková funkce se nazývá rozšířená metrika nebo „∞-metrika“. Každá rozšířená metrika může být transformována na konečnou metriku tak, že metrické prostory jsou ekvivalentní, pokud jde o pojmy topologie (například kontinuita nebo konvergence ). To lze provést pomocí subaditivní monotónně rostoucí omezené funkce, která je nulová na nule, např. D '( x , y ) = d ( x , y ) / (1 + d ( x , y )) nebo d ' '( x , y ) = min (1, d ( x , y )).

Požadavek, aby metrika nabírala hodnoty v [0, ∞), může být dokonce uvolněn, aby se zvážily metriky s hodnotami v jiných směrovaných sadách . Reformulace axiomů v tomto případě vede ke konstrukci jednotných prostorů : topologické prostory s abstraktní strukturou umožňující porovnat místní topologie různých bodů.

Pseudometrie

Pseudometric na X je funkce , která splňuje Axiómy pro metrický, s výjimkou, že místo druhého (identifikace indiscernibles) pouze D ( x , x ) = 0 pro všechny x je nutné. Jinými slovy, axiomy pro pseudometrický jsou:

  1. d ( x , y ) ≥ 0
  2. d ( x , x ) = 0 (ale možná d ( x , y ) = 0 pro některé odlišné hodnoty xy .)
  3. d ( x , y ) = d ( y , x )
  4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).

V některých kontextech jsou pseudometrics označovány jako semimetrics kvůli jejich vztahu k seminorms .

Quasimetrics

Občas je kvazimetrický definován jako funkce, která splňuje všechny axiomy pro metriku s možnou výjimkou symetrie. Název této generalizace není zcela standardizován.

  1. d ( x , y ) ≥ 0 ( pozitivita )
  2. d ( x , y ) = 0 právě tehdy, když   x = y ( kladná určitost )
  3. d ( x , y ) = d ( y , x )( symetrie , upuštěno)
  4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( nerovnost trojúhelníku )

Quasimetrics jsou běžné v reálném životě. Například vzhledem k množině X horských vesnic tvoří typické doby chůze mezi prvky X kvazimetrii, protože cesta do kopce trvá déle než cesta z kopce. Dalším příkladem je taxi geometrie topologie, které mají jednosměrné ulice, kde cesta z bodu A do bodu B, zahrnuje jinou sadu ulic než cesty z B do A .

Kvazimetriku na realitách lze definovat nastavením

d ( x , y ) = x - y, pokud xy , a
d ( x , y ) = 1 jinak. Číslo 1 lze nahradit nekonečnem nebo .

Topologickým prostorem, který je základem tohoto kvazimetrického prostoru, je Sorgenfreyova linie . Tento prostor popisuje proces skládání kovové tyče: je snadné zmenšit její velikost, ale je obtížné nebo nemožné ji pěstovat.

Jestliže d je kvazimetrický na X , může být metrický d ' na X vytvořen odebráním

d ' ( x , y ) = 1/2( d ( x , y ) + d ( y , x )).

Metametrics

V metametrii jsou splněny všechny axiomy metriky kromě toho, že vzdálenost mezi identickými body není nutně nulová. Jinými slovy, axiomy pro metametrické jsou:

  1. d ( x , y ) ≥ 0
  2. d ( x , y ) = 0 znamená x = y (ale ne naopak.)
  3. d ( x , y ) = d ( y , x )
  4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).

Metametrie se objevují při studiu hyperbolických metrických prostorů Gromova a jejich hranic. Vizuální metametric na takový prostor splňuje d ( x , x ) = 0 pro body x na hranici, ale jinak d ( x , x ) je přibližně vzdálenost od x na hranici. Metametrics poprvé definoval Jussi Väisälä.

Semimetrics

Semimetric na X je funkce , která splňuje první tři axiomy, ale nemusí být nutně trojúhelník nerovnosti:

  1. d ( x , y ) ≥ 0
  2. d ( x , y ) = 0 právě tehdy, když   x = y
  3. d ( x , y ) = d ( y , x )

Někteří autoři pracují se slabší formou trojúhelníkové nerovnosti, například:

d ( x , z ) ≤ ρ ( d ( x , y ) + d ( y , z ))  (ρ-uvolněná trojúhelníková nerovnost)
d ( x , z ) ≤ ρ max ( d ( x , y ), d ( y , z ))  (ρ-inframetrická nerovnost).

Ρ-inframetrická nerovnost znamená nerovnost ρ uvolněného trojúhelníku (za předpokladu prvního axiomu) a nerovnost ρ-uvolněný trojúhelník znamená 2ρ-inframetrickou nerovnost. Semimetrics splňující tyto ekvivalentní podmínky byly někdy označovány jako „kvazimetrics“, „nearmetrics“ nebo inframetrics .

Ρ-inframetrické nerovnosti byly zavedeny pro modelování časů zpoždění zpátečky na internetu . Trojúhelníková nerovnost znamená 2-inframetrickou nerovnost a ultrametrická nerovnost je přesně 1-inframetrická nerovnost.

Premetrics

Uvolnění posledních tří axiomů vede k pojmu premetric , tj. Funkce splňující následující podmínky:

  1. d ( x , y ) ≥ 0
  2. d ( x , x ) = 0

Toto není standardní termín. Někdy se používá k označení jiných zobecnění metrik, jako jsou pseudosemimetrie nebo pseudometriky; v překladech ruských knih se někdy jeví jako „prametrický“. Říká se mu také vzdálenost.

Jakýkoli premetric dává vzniknout topologii následovně. Pro kladné reálné r je kulička r soustředěná v bodě p definována jako

B r ( p ) = { x | d ( x , p ) <r}.

Sada se nazývá otevřená, pokud pro jakýkoli bod p v sadě existuje r -ball se středem na p, který je obsažen v sadě. Každý premetrický prostor je topologickým prostorem a ve skutečnosti prostorem sekvenčním . Obecně platí, že samotné koule r nemusí být s ohledem na tuto topologii otevřené sady. Pokud jde o metriky, vzdálenost mezi dvěma sadami A a B je definována jako

d ( A , B ) = inf xA , yB d ( x , y ).

To definuje premetriku na silové sadě premetrického prostoru. Pokud začneme s (pseudosemi-) metrickým prostorem, dostaneme pseudosemimetrický, tedy symetrický premetrický. Jakákoli premetrika vede k operátorovi předběžného uzavření cl následujícím způsobem:

cl ( A ) = { x | d ( x , A ) = 0}.

Pseudoquasimetrics

Předpony pseudo- , kvázi a semi- lze také kombinovat, např. Pseudoquasimetric (někdy nazývaný hemimetric ) uvolňuje jak axiom nerozeznatelnosti, tak axiom symetrie a je prostě premetric, který splňuje nerovnost trojúhelníku. Pro pseudoquasimetric prostory otevřené r -balls tvoří základ otevřených sad. Zcela základním příkladem pseudoquasimetrického prostoru je množina {0,1} s premetrikou danou d (0,1) = 1 a d (1,0) = 0. Přidružený topologický prostor je Sierpińského prostor .

Sady vybavené rozšířenou pseudoquasimetric studoval William Lawvere jako „zobecněné metrické prostory“. Z kategorického hlediska jsou rozšířené pseudometrické prostory a rozšířené pseudoquasimetrické prostory spolu s jejich odpovídajícími neexpansivními mapami nejlépe chovány z kategorií metrických prostorů. Lze vzít libovolné produkty a koprodukty a vytvářet kvocientové objekty v rámci dané kategorie. Pokud někdo upustí „prodloužený“, může si vzít pouze konečné produkty a koprodukty. Pokud někdo upustí „pseudo“, nemůže přijmout kvocienty. Prostory přiblížení jsou zobecněním metrických prostorů, které udržují tyto dobré kategorické vlastnosti.

Vzdálenost Łukaszyk-Karmowski

Łukaszyk-Karmowski vzdálenost je funkce definující vzdálenost mezi dvěma náhodnými proměnnými nebo dvěma náhodnými vektory . Axiomy této funkce jsou:

  1. d ( x , y )> 0
  2. d ( x , y ) = d ( y , x )
  3. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).

Tato funkce vzdálenost uspokojuje identita indiscernibles stavu tehdy, když oba argumenty jsou popsány v idealizovaných delta Diracových hustotou rozdělení pravděpodobnosti funkce .

Důležité případy zobecněných metrik

V diferenciální geometrii se uvažuje o metrickém tenzoru , o kterém lze uvažovat jako o „nekonečně malé“ kvadratické metrické funkci. Tato je definována jako nedegenerovaného symetrické bilineární formy na tangenty prostoru části potrubí s vhodnou diferencovatelnost požadavku. Přestože se nejedná o metrické funkce, jak jsou definovány v tomto článku, indukují to, čemu se říká pseudosemimetrická funkce, integrací jeho druhé odmocniny podél cesty přes potrubí. Pokud někdo na metrický tenzor uloží požadavek kladné definitivity vnitřního produktu , omezí se to na případ riemannianského rozdělovače a integrace cesty poskytne metriku.

V obecné relativitě je příbuzným konceptem metrický tenzor (obecná relativita), který vyjadřuje strukturu pseudo-Riemannovského potrubí . Ačkoli je použit termín „metrický“, základní myšlenka je odlišná, protože v tečném prostoru těchto variet jsou nenulové nulové vektory a vektory mohou mít záporné čtvercové normy. Tento zobecněný pohled na „metriky“, ve kterém se nulová vzdálenost není předpokládají identitu, má vplížil do nějakého matematického psaní příliš:

Viz také

Poznámky

Reference