Millerův index - Miller index

Letadla s různými Millerovými indexy v krychlových krystalech
Příklady směrů

Millerovy indexy tvoří v krystalografii notační systém pro mřížkové roviny v krystalových (Bravaisových) mřížích .

Zejména rodina mřížkových rovin dané (přímé) Bravaisovy mřížky je určena třemi celými čísly h , k , Millerovými indexy . Jsou psány (hkℓ), a označuje rodinu (paralelní) rovinami mřížky (dané Bravais mříží) kolmé k , kde se o základ nebo primitivní překlad vektory z reciproké mřížky pro danou Bravais mříží. (Všimněte si, že rovina není vždy ortogonální k lineární kombinaci přímých nebo původních vektorů mřížky, protože přímé mřížkové vektory nemusí být vzájemně ortogonální.) To je založeno na skutečnosti, že reciproční vektor mřížky (vektor označující reciproční bod mřížky z reciproční mřížky) je vlnovač rovinné vlny ve Fourierově řadě prostorové funkce (např. funkce elektronické hustoty), jejíž periodicita navazuje na původní Bravaisovu mřížku, takže vlnoplochy rovinné vlny se shodují s rovnoběžnými mřížkovými rovinami původní mříž. Vzhledem k tomu, že změřený vektor rozptylu v rentgenové krystalografii , přičemž jako odchozí (rozptýlený z krystalové mřížky) rentgenový vlnovník a jako příchozí (směrem ke krystalové mřížce) rentgenový vlnovač, je roven recipročnímu vektoru mřížky, jak je uvedeno podle Laueových rovnic je naměřený rozptýlený vrchol rentgenového záření v každém měřeném rozptylovém vektoru označen Millerovými indexy . Podle konvence se záporná celá čísla zapisují čárou, jako v případě 3 pro −3. Celá čísla jsou obvykle psána nejnižšími termíny, tj. Jejich největší společný dělitel by měl být 1. Millerovy indexy se také používají k označení odrazů v rentgenové krystalografii . V tomto případě nejsou celá čísla nutně v nejnižších termínech a lze je považovat za odpovídající rovinám rozmístěným tak, že odrazy od sousedních rovin budou mít fázový rozdíl přesně o jedné vlnové délce (2π), bez ohledu na to, zda jsou atomy na všech tato letadla nebo ne.

Existuje také několik souvisejících zápisů:

  • notace {hkℓ} označuje množinu všech rovin, které jsou symetrií mřížky ekvivalentní (hkℓ).

V souvislosti s krystalovými směry (nikoli rovinami) jsou odpovídající notace:

  • [hkℓ], se čtvercovými místo kulatých závorek, označuje směr na základě vektorů přímé mřížky místo reciproční mřížky; a
  • podobně notace <hkℓ> označuje množinu všech směrů, které jsou symetrií ekvivalentní [hkℓ].

Millerovy indexy zavedl v roce 1839 britský mineralog William Hallowes Miller , přestože téměř identický systém ( Weissovy parametry ) již používal německý mineralog Christian Samuel Weiss od roku 1817. Metoda byla také historicky známá jako millerovský systém a indexy jako Millerian, ačkoli toto je nyní vzácné.

Millerovy indexy jsou definovány s ohledem na jakýkoli výběr jednotkové buňky a nejen s ohledem na primitivní bazické vektory, jak se někdy uvádí.

Definice

Příklady určování indexů pro rovinu pomocí zachycení s osami; vlevo (111), vpravo (221)

Existují dva ekvivalentní způsoby, jak definovat význam Millerových indexů: prostřednictvím bodu ve vzájemné mřížce nebo jako inverzní zachycení podél vektorů mřížky. Obě definice jsou uvedeny níže. V obou případech je třeba zvolit tři příhradové vektorů 1 , je 2 , a je 3, které definují jednotkovou buňku (Všimněte si, že konvenční jednotková buňka může být větší, než je primitivní buňce Bravais mříží , jak níže příklady ilustrují ). S ohledem na tyto jsou také určeny tři primitivní reciproční mřížkové vektory (označené b 1 , b 2 a b 3 ).

Potom, vzhledem ke třem Millerovým indexům h, k, ℓ, (hkℓ) označuje roviny ortogonální k vektoru reciproční mřížky:

To znamená, že (hkℓ) jednoduše označuje normálu k rovinám na základě primitivních recipročních vektorů mřížky. Protože souřadnice jsou celá čísla, je tento normál sám vždy vektorem reciproční mřížky. Požadavek nejnižších členů znamená, že je to nejkratší reciproční vektor mřížky v daném směru.

Ekvivalentně (hkℓ) označuje rovinu, která zachycuje tři body a 1 / h , a 2 / k a a 3 / , nebo jejich několikanásobek. To znamená, že Millerovy indexy jsou úměrné inverzím interceptů roviny, na základě vektorů mřížky. Pokud je jeden z indexů nula, znamená to, že roviny tuto osu neprotínají (průsečík je „v nekonečnu“).

Vzhledem k tomu pouze (hkℓ) roviny protínající jeden nebo více bodů mřížky (se rovinami mřížky ), kolmá vzdálenost d mezi sousedními rovinami mřížky se vztahuje k (nejkratší) reciproká mřížka vektor kolmý k rovinám podle vzorce: .

Související zápis [hkℓ] označuje směr :

To znamená, že používá místo přímé mřížky základ přímé mřížky. Všimněte si, že [hkℓ] není obecně normální pro (hkℓ) roviny, s výjimkou krychlové mřížky, jak je popsáno níže.

Případ kubických struktur

Ve zvláštním případě jednoduchých krychlových krystalů jsou mřížkové vektory ortogonální a stejně dlouhé (obvykle označované a ), stejně jako ve vzájemné mřížce. V tomto běžném případě tedy Millerovy indexy (hkℓ) a [hkℓ] jednoduše označují normály/směry v kartézských souřadnicích .

Pro krychlové krystaly s mřížkovou konstantou a je rozteč d mezi sousedními (hkℓ) mřížkovými rovinami (shora)

.

Vzhledem k symetrii krychlových krystalů je možné změnit místo a znaménko celých čísel a mít ekvivalentní směry a roviny:

  • Indexy v hranatých závorkách , jako ⟨100⟩ označení rodiny směrů, které jsou ekvivalentní vzhledem k operací symetrie, jako je například [100], [010], [001] nebo záporné kteréhokoli z těchto směrů.
  • Indexy v závorkách nebo složených závorkách, jako například {100}, označují rodinu normálových rovin, které jsou ekvivalentní v důsledku operací symetrie, podobně jako úhlové závorky označují skupinu směrů.

Pro krychlové mřížky zaměřené na obličej a na tělo nejsou primitivní mřížkové vektory ortogonální. V těchto případech jsou však Millerovy indexy běžně definovány vzhledem k mřížkovým vektorům kubické supercely, a jsou tedy opět jednoduše karteziánskými směry.

Případ hexagonálních a romboedrických struktur

Miller-Bravaisovy indexy

U šestihranných a romboedrických mřížových systémů je možné použít systém Bravais-Miller , který používá čtyři indexy ( h k i ), které dodržují omezení

h + k + i = 0.

Zde jsou h , k a totožné s odpovídajícími Millerovými indexy a i je nadbytečný index.

Toto schéma se čtyřmi indexy pro značení rovin v hexagonální mřížce činí permutační symetrie zjevnou. Například podobnost mezi (110) ≡ (11 2 0) a (1 2 0) ≡ (1 2 10) je zjevnější, když je zobrazen nadbytečný index.

Na obrázku vpravo má rovina (001) trojnásobnou symetrii: zůstává nezměněna otáčením o 1/3 (2π/3 rad, 120 °). Směr [100], [010] a [ 1 1 0] je opravdu podobný. Pokud S je průsečík roviny s osou [ 1 1 0], pak

i = 1/ s .

Existují také schémata ad hoc (např. V literatuře o transmisní elektronové mikroskopii ) pro indexování šestihranných mřížkových vektorů (spíše než recipročních mřížkových vektorů nebo rovin) se čtyřmi indexy. Nefungují však podobným přidáním nadbytečného indexu do běžné sady tří indexů.

Například reciproční mřížkový vektor (hkℓ), jak je naznačeno výše, lze zapsat ve smyslu recipročních mřížkových vektorů jako . U hexagonálních krystalů to lze vyjádřit pomocí vektorů přímých mřížek a 1 , a 2 a a 3 jako

Zónové indexy směru kolmého na rovinu (hkℓ) jsou tedy ve vhodně normalizované trojité formě jednoduše . Když se však pro zónu kolmou k rovině (hkℓ) používají čtyři indexy , literatura často místo toho používá . Jak tedy vidíte, zónové indexy se čtyřmi indexy ve čtvercových nebo úhlových závorkách někdy mísí jeden přímý index mřížky vpravo s indexy reciproční mřížky (obvykle v kulatých nebo složených závorkách) vlevo.

A všimněte si, že pro hexagonální meziplanární vzdálenosti mají formu

Krystalografické roviny a směry

Husté krystalografické roviny

Krystalografické směry jsou čáry spojující uzly ( atomy , ionty nebo molekuly ) krystalu. Podobně krystalografické roviny jsou roviny spojující uzly. Některé směry a roviny mají vyšší hustotu uzlů; tyto husté roviny mají vliv na chování krystalu:

  • optické vlastnosti : v kondenzované hmotě světlo „přeskakuje“ z jednoho atomu na druhý pomocí Rayleighova rozptylu ; rychlost světla a tím se mění v závislosti na směrech, ať už atomy jsou blízko nebo daleko; to dává dvojlom
  • adsorpce a reaktivita : adsorpce a chemické reakce mohou nastat na atomech nebo molekulách na krystalových površích, tyto jevy jsou tedy citlivé na hustotu uzlů;
  • povrchové napětí : kondenzace materiálu znamená, že atomy, ionty nebo molekuly jsou stabilnější, pokud jsou obklopeny jinými podobnými druhy; povrchové napětí rozhraní se tedy mění podle hustoty na povrchu
  • dislokace ( plastická deformace )
    • dislokační jádro má tendenci šířit se v hustých rovinách (pružná porucha je „zředěná“); tím se snižuje tření ( síla Peierls – Nabarro ), klouzání se vyskytuje častěji v hustých rovinách;
    • odchylka nesená dislokací ( Burgersův vektor ) probíhá podél hustého směru: posunutí jednoho uzlu v hustém směru je menší zkreslení;
    • dislokační linie má tendenci sledovat hustý směr, dislokační linie je často přímka, dislokační smyčka je často polygon .

Ze všech těchto důvodů je důležité určit roviny a tedy mít notační systém.

Integer vs. iracionální Millerovy indexy: Mřížkové roviny a kvazikrystaly

Millerovy indexy jsou podle definice vždy celá čísla a toto omezení je fyzicky významné. Abychom to pochopili, předpokládejme, že povolíme rovinu (abc), kde Miller „indexy“ a , b a c (definované výše) nejsou nutně celá čísla.

Pokud a , b a c mají racionální poměry, pak lze stejnou rodinu rovin zapsat pomocí celočíselných indexů (hkℓ) tak, že přiměřeně změníme a , b a c : vydělíme největším ze tří čísel a poté vynásobíme nejméně společný jmenovatel . Celočíselné Millerovy indexy tedy implicitně zahrnují indexy se všemi racionálními poměry. Důvodem, proč jsou zvláště zajímavé roviny, ve kterých mají složky (na základě reciproční mřížky) racionální poměry, jsou to mřížkové roviny : jsou to jediné roviny, jejichž průsečíky s krystalem jsou 2d-periodické.

Pro rovinu (abc), kde a , b a c mají iracionální poměry, na druhé straně průsečík roviny s krystalem není periodický. Tvoří neperiodický obrazec známý jako kvazikrystal . Tato konstrukce přesně odpovídá standardní metodě „cut-and-project“ definování kvazikrystalu pomocí roviny s Millerovými indexy s iracionálním poměrem. (Ačkoli mnoho kvazikrystalů, jako je Penroseův obklad , je tvořeno „řezy“ periodických mřížek ve více než třech dimenzích, zahrnujících průnik více než jedné takové hyperplane .)

Viz také

Reference

externí odkazy