Minimální polynom (teorie pole) - Minimal polynomial (field theory)

V teorii pole , odvětví matematiky , je minimální polynom hodnoty α zhruba řečeno polynomem nejnižšího stupně, který má koeficienty specifikovaného typu, takže α je kořen polynomu. Pokud minimální polynom α existuje, je jedinečný. Koeficient termínu nejvyššího stupně v polynomu musí být 1 a zadaný typ pro zbývající koeficienty může být celá čísla , racionální čísla , reálná čísla nebo jiné.

Více formálně, minimální polynom je definován vzhledem k rozšíření pole E / F a prvku na rozšíření pole E . Minimální polynom prvku, pokud existuje, je členem F [ x ], v kruhu polynomů v proměnné x s koeficienty v F . Vzhledem k prvku α z E nechť J _α je množina všech polynomů f ( x ) v F [ x ] tak, že f ( α ) = 0. Element α se nazývá kořen nebo nula každého polynomu v J _α . Souprava J _α je tak pojmenovaný protože to je ideální z F [ x ]. Nulový polynom, jehož všechny koeficienty jsou 0, je v každém J _α, protože 0 α ⁱ = 0 pro všechna α a i . Díky tomu je nulový polynom zbytečný pro klasifikaci různých hodnot α do typů, takže je vyloučen. Pokud v J _α existují nějaké nenulové polynomy , pak α se nazývá algebraický prvek nad F a v J _α existuje monický polynom s nejmenším stupněm . Jedná se o minimální polynom alfa vzhledem k E / F . Jedná se o unikátní a nesnížitelný přes F . Je-li nula polynom je jediný člen J _alfa , pak α se nazývá transcendentní prvek přes F a nemá minimální polynom s ohledem na E / F .

Minimální polynomy jsou užitečné pro konstrukci a analýzu rozšíření pole. Když α je algebraický s minimální polynom a ( x ), nejmenší pole, které obsahuje jak F a alfa je izomorfní s faktorokruh F [ x ] / ⟨ ( x )⟩, kde ⟨ ( x )⟩ je ideál F [ x ] generované a ( x ). Minimální polynomy se také používají k definování konjugovaných prvků .

Definice

Nechť E / F být pole rozšíření , α prvku E , a F [ x ] kruh polynomů v x více než F . Prvek α má minimální polynom, když je α algebraické nad F , tj. Když f ( α ) = 0 pro nějaký nenulový polynom f ( x ) ve F [ x ]. Potom je minimální polynom α α definován jako monický polynom s nejmenším stupněm mezi všemi polynomy F [ x ], které mají α jako kořen.

Jedinečnost

Nechť ( x ) je minimální polynom alfa vzhledem k E / F . Jedinečnost a ( x ) je stanovena zvážením kruhového homomorfismu sub _α od F [ x ] do E, který nahrazuje α za x , tj. Sub _α ( f ( x )) = f ( α ). Jádro sub _α , ker (sub _α ), je množina všech polynomů v F [ x ], které mají α jako kořen. To znamená, že ker (sub _α ) = J _α shora. Protože sub _α je kruhový homomorfismus, je ker (sub _α ) ideálem F [ x ]. Protože F [ x ] je hlavní kruh, kdykoli F je pole, v ker (sub _α ) je alespoň jeden polynom, který generuje ker (sub _α ). Takový polynom bude mít nejmenší stupeň mezi všemi nenulovými polynomy v jádru (sub _α ) a a ( x ) je považován za jedinečný monický polynom mezi nimi.

Jedinečnost monického polynomu

Předpokládejme, že p a q jsou monické polynomy v J _α minimálního stupně n > 0. Protože p - q ∈ J _α a deg ( p - q ) < n vyplývá, že p - q = 0, tj. P = q .

Vlastnosti

Minimální polynom je neredukovatelný. Nechť E / F je rozšíření pole nad F, jak je uvedeno výše, α ∈ E a f ∈ F [ x ] minimální polynom pro α . Předpokládejme, že f = gh , kde g , h ∈ F [ x ] jsou nižšího stupně než f . Nyní f ( α ) = 0. Protože pole jsou také integrálními doménami , máme g ( α ) = 0 nebo h ( α ) = 0. To je v rozporu s minimem stupně f . Minimální polynomy jsou tedy neredukovatelné.

Příklady

Minimální polynom rozšíření pole Galois

Vzhledem k rozšíření pole Galois lze minimální polynom libovolného ne v vypočítat jako ${\ displaystyle L / K}$ ${\ displaystyle \ alpha \ v L}$ ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {\ sigma \ in {\ text {Gal}} (L / K)} (x- \ sigma (\ alpha))}$

pokud nemá žádné stabilizátory v akci Galois. Protože je neredukovatelný, což lze odvodit pohledem na kořeny , jedná se o minimální polynom. Všimněte si, že stejný druh vzorce lze nalézt nahrazením s , kde je stabilizátor skupina . Například pokud je jeho stabilizátor, je tedy jeho minimální polynom. ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle f '}$ ${\ displaystyle G = {\ text {Gal}} (L / K)}$ ${\ displaystyle G / N}$ ${\ displaystyle N = {\ text {Stab}} (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha \ v K}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle (x- \ alpha)}$

Kvadratická rozšíření pole

Q ( √ 2 )

Pokud F = Q , E = R , α = √ 2 , pak minimální polynom pro α je a ( x ) = x ² - 2. Základní pole F je důležité, protože určuje možnosti pro koeficienty a ( x ) . Například pokud vezmeme F = R , pak minimální polynom pro α = √ 2 je a ( x ) = x - √ 2 .

Q ( √ d )

Obecně platí, že pro kvadratickou příponu danou bez čtverců lze vypočítat minimální polynom prvku pomocí Galoisovy teorie. Pak ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {d}}}$

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} f (x) & = (x- (a + b {\ sqrt {d}})) (x- (ab {\ sqrt {d}})) \\ & = x ^ {2} -2ax + (a ^ {2} -b ^ {2} d) \ end {zarovnáno}}}$

zejména z toho vyplývá a . To lze použít k určení prostřednictvím řady vztahů pomocí modulární aritmetiky . ${\ displaystyle 2a \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} d \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}}$

Bikvadratická rozšíření pole

Pokud α = √ 2 + √ 3 , pak minimální polynom v Q [ x ] je a ( x ) = x ⁴ - 10 x ² + 1 = ( x - √ 2 - √ 3 ) ( x + √ 2 - √ 3 ) ( x - √ 2 + √ 3 ) ( x + √ 2 + √ 3 ).

Všimněte si, jestli se pak akce Galois na stabilizuje . Proto lze minimální polynom najít pomocí skupiny kvocientů . ${\ displaystyle \ alpha = {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle {\ text {Gal}} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) / \ mathbb {Q}) / {\ text {Gal}} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {3}}) / \ mathbb {Q})}$

Kořeny jednoty

Minimální polynomy v Q [ x ] kořenů jednoty jsou cyklotomické polynomy .

Swinnerton-Dyerovy polynomy

Minimální polynom v Q [ x ] součtu odmocnin prvních n prvočísel je sestaven analogicky a nazývá se Swinnerton-Dyerův polynom .

Viz také

Reference

Weisstein, Eric W. „Algebraic Number Minimal Polynomial“ . MathWorld .
Minimální polynom na PlanetMath .
Pinter, Charles C. Kniha abstraktní algebry . Dover Books on Mathematics Series. Publikace Dover, 2010, str. 270–273. ISBN 978-0-486-47417-5

Languages

In other projects