Maxima a minima - Maxima and minima

Místní a globální maxima a minima pro cos (3π x ) / x , 0,1≤ x ≤1,1

V matematické analýze jsou maxima a minima (příslušné množiny maxima a minima ) funkce známé souhrnně jako extrémy (množné číslo extrému ) největší a nejmenší hodnotou funkce, buď v daném rozsahu ( lokální nebo relativní extrémy) nebo na celé doméně ( globální nebo absolutní extrémy). Pierre de Fermat byl jedním z prvních matematiků, kteří navrhli obecnou techniku, přiměřenost , pro hledání maxim a minim funkcí.

Jak je definováno v teorii množin , maximum a minimum množiny jsou největšími a nejmenšími prvky množiny. Neomezené nekonečné množiny , jako je množina reálných čísel , nemají žádné minimum ani maximum.

Definice

Real-hodnotou funkce f definovaná na doméně X má globální (nebo absolutní ) maximální bodv x ^* , pokud f ( x ^* ) • f ( x ) pro všechny x v X . Podobně má funkce globální (nebo absolutní ) minimální bodv x ^* , pokud f ( x ^* ) ≤ f ( x ) pro všechny x v X . Hodnota funkce v maximálním bodě se nazývá maximální hodnota funkce, označená, a hodnota funkce v minimálním bodě se nazývá${\ displaystyle \ max (f (x))}$minimální hodnota funkce. Symbolicky to lze napsat takto:

${\ displaystyle x_ {0} \ v X}$je globální maximální funkční bod, pokud${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R},}$${\ displaystyle (\ forall x \ in X) \, f (x_ {0}) \ geq f (x).}$

Podobně postupuje i definice globálního minimálního bodu.

V případě, že doména X je metrický prostor , pak f se uvádí, že má lokální (nebo relativní ) maximální bodv bodě x ^∗ , pokud existuje nějaké ε > 0 takové, že f ( x ^∗ ) ≥ f ( x ) pro všechna x v X ve vzdálenosti ε od x ^∗ . Podobně má funkce místní minimální bodna x ^∗ , pokud f ( x ^∗ ) ≤ f ( x ) pro všechna x v X ve vzdálenosti ε od x ^∗ . Podobnou definici lze použít, když X je topologický prostor , protože právě uvedená definice může být přeformulována z hlediska sousedství. Matematicky je daná definice napsána následovně:

Dovolit být metrický prostor a funkce . Pak je lokální maximální funkční bod, pokud je takový${\ displaystyle (X, d_ {X})}$${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x_ {0} \ v X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (\ existuje \ varepsilon> 0)}$${\ displaystyle (\ forall x \ in X) \, d_ {X} (x, x_ {0}) <\ varepsilon \ znamená f (x_ {0}) \ geq f (x).}$

Obdobně může postupovat i definice místního minimálního bodu.

V globálním i lokálním případě je koncept a lze definovat přísné extremum . Napříkladx^∗je apřísný globální maximální bod, pokud pro všechnaxvXs x ≠ x ^∗ máme f ( x ^∗ )> f ( x )ax^∗je apřísné místní maximální bod v případě, že existuje určitý e > 0tak, že pro všechnaxvXve vzdálenostieox^*s x ≠ x ^* , máme f ( x ^* )> f ( x ). Všimněte si, že bod je přísný globální maximální bod právě tehdy, pokud se jedná o jedinečný globální maximální bod, a podobně pro minimální body.

Kontinuální reálná funkce s kompaktním doméně má vždy maximální bod a minimální teplotu. Významným příkladem je funkce jehož doména je uzavřený a ohraničený interval z reálných čísel (viz graf výše).

Vyhledávání

Nalezení globálních maxim a minim je cílem matematické optimalizace . Pokud je funkce spojitá v uzavřeném intervalu, pak podle věty o extrémní hodnotě existují globální maxima a minima. Globální maximum (nebo minimum) navíc musí být buď lokálním maximem (nebo minimem) uvnitř domény, nebo musí ležet na hranici domény. Metoda nalezení globálního maxima (nebo minima) je tedy podívat se na všechna lokální maxima (nebo minima) v interiéru a také se podívat na maxima (nebo minima) bodů na hranici a vzít největší ( nebo nejmenší) jeden.

Pravděpodobně nejdůležitější, přesto zcela zřejmou vlastností spojitých reálných funkcí reálné proměnné je to, že se snižují před lokálními minimy a poté se zvyšují , podobně pro maxima. (Formálně, pokud f je spojitá funkce reálné proměnné x se skutečnou hodnotou , pak x ₀ je lokální minimum právě tehdy, když existuje a < x ₀ < b takové, že f klesá na ( a ,  x ₀ ) a zvyšuje se na ( x ₀ ,  b )) přímým důsledkem toho je Fermatova teorém , který říká, že lokální extrémy musí nastat u kritických bodů (nebo místech, kde je tato funkce ne diferencovatelná ). Jeden může rozlišit, zda je kritický bod lokálním maximem nebo lokálním minimem, pomocí prvního derivačního testu , druhého derivačního testu nebo derivačního testu vyššího řádu , za předpokladu dostatečné diferencovatelnosti.

U jakékoli funkce, která je definována po částech , najde člověk maximum (nebo minimum) vyhledáním maxima (nebo minima) každého kusu zvlášť a poté zjistí, který z nich je největší (nebo nejmenší).

Příklady

Globální maximum ^x √ x nastává při x = e .

Funkce	Maxima a minima
x 2	Jedinečné globální minimum při x = 0.
x 3	Žádná globální minima nebo maxima. Ačkoli první derivace (3 x 2 ) je 0 při x = 0, jedná se o inflexní bod . (2. derivace je v tomto bodě 0.)
${\ displaystyle {\ sqrt [{x}] {x}}}$	Jedinečné globální maximum při x = e . (Viz obrázek vpravo)
x - x	Jedinečné globální maximum nad kladnými reálnými čísly při x = 1 / e .
x 3 /3 - x	První derivace x 2 - 1 a druhá derivace 2 x . Nastavení první derivace na 0 a řešení pro x dává stacionární body na -1 a +1. Ze znaménka druhé derivace vidíme, že −1 je lokální maximum a +1 je lokální minimum. Tato funkce nemá žádné globální maximum ani minimum.
| x |	Globální minimum při x = 0, které nelze najít převzetím derivací, protože derivace při x = 0 neexistuje .
cos ( x )	Nekonečně mnoho globálních maxim na 0, ± 2 π , ± 4 π , ... a nekonečně mnoho globálních minim na ± π , ± 3 π , ± 5 π , ....
2 cos ( x ) - x	Nekonečně mnoho místních maxim a minim, ale žádné globální maximum nebo minimum.
cos (3 π x ) / x s 0,1 ≤ x ≤ 1,1	Globální maximum na x  = 0,1 (hranice), globální minimum blízké x  = 0,3, místní maximum blízké x  = 0,6 a místní minimum blízké x  = 1,0. (Viz obrázek v horní části stránky.)
x 3 + 3 x 2 - 2 x + 1 definované v uzavřeném intervalu (segmentu) [−4,2]	Lokální maximum při x  = -1- √ 15 /3, lokální minimum při x  = -1+ √ 15 /3, globální maximum při x  = 2 a globálního minima při x  = -4.

Pro praktický příklad předpokládejme situaci, kdy někdo má nohy oplocení a snaží se maximalizovat čtvereční stopu obdélníkového krytu, kde je délka, šířka a plocha: ${\ displaystyle 200}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle xy}$

${\ displaystyle 2x + 2y = 200}$

${\ displaystyle 2y = 200-2x}$

${\ displaystyle {\ frac {2y} {2}} = {\ frac {200-2x} {2}}}$

${\ displaystyle y = 100-x}$

${\ displaystyle xy = x (100-x)}$

Derivát s ohledem na je: ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} {\ frac {d} {dx}} xy & = {\ frac {d} {dx}} x (100-x) \\ & = {\ frac {d} {dx} } \ left (100x-x ^ {2} \ right) \\ & = 100-2x \ end {zarovnáno}}}$

Nastavení tohoto se rovná ${\ displaystyle 0}$

${\ displaystyle 0 = 100-2x}$

${\ displaystyle 2x = 100}$

${\ displaystyle x = 50}$

odhaluje, že to je náš jediný kritický bod . Nyní načtěte koncové body určením intervalu, na který je omezeno. Jelikož šířka je kladná, znamená to , že , a protože , to z toho vyplývá . Zástrčka v kritickém bodě , jakož i koncové body a , do , a výsledky jsou i v tomto pořadí. ${\ displaystyle x = 50}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle x = 100 let$${\ displaystyle x <100}$${\ displaystyle 50}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 100}$${\ displaystyle xy = x (100-x)}$${\ displaystyle 2500,0,}$${\ displaystyle 0}$

Proto je největší plocha dosažitelná obdélníkem stop oplocení .${\ displaystyle 200}$${\ displaystyle 50 \ krát 50 = 2500}$

Funkce více než jedné proměnné

Peano povrch , protiklad k některým kritériím místních maxim 19. století

Globálním maximem je bod nahoře

Protipříklad: Červená tečka ukazuje místní minimum, které není globálním minimem

Pro funkce více než jedné proměnné platí podobné podmínky. Například na obrázku (zvětšitelném) vpravo jsou nezbytné podmínky pro místní maximum podobné podmínkám funkce s pouze jednou proměnnou. První parciální derivace jako z (proměnná, která má být maximalizována) jsou maximálně nula (zářící tečka nahoře na obrázku). Druhé dílčí derivace jsou záporné. Jedná se pouze o nutné, nedostatečné podmínky pro místní maximum z důvodu možnosti sedlového bodu . Pro použití těchto podmínek k řešení na maximum musí být funkce z také diferencovatelná . Druhý dílčí derivace testu může pomoci zařadit bod jako relativní maximum nebo relativní minimum. Naproti tomu existují podstatné rozdíly mezi funkcemi jedné proměnné a funkcemi více než jedné proměnné při identifikaci globálních extrémů. Například pokud má omezená diferencovatelná funkce f definovaná na uzavřeném intervalu ve skutečné linii jediný kritický bod, což je lokální minimum, pak je to také globální minimum (použijte teorém mezilehlé hodnoty a Rolleovu větu, abyste to dokázali reductio ad nemožný ). Ve dvou a více dimenzích tento argument selže. To ilustruje funkce

${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} (1-x) ^ {3}, \ qquad x, y \ in \ mathbb {R},}$

jehož jediný kritický bod je na (0,0), což je lokální minimum s f (0,0) = 0. Nemůže to však být globální, protože f (2,3) = −5.

Maxima nebo minima funkcionálu

Pokud se doména funkce, pro kterou se má nacházet extremum, skládá z funkcí (tj. Má-li se najít extrem funkce ), pak se extrém najde pomocí variačního počtu .

Ve vztahu k množinám

Maxima a minima lze definovat také pro množiny. Obecně platí, že v případě, že uspořádané množiny S má největší element m , pak m je maximální prvek z množiny, také označený jako . Kromě toho, je-li S je podmnožina uspořádaná množina T a m je největší prvek S s (pokud jde o pořadí indukované T ), pak m je nejméně horní hranici z S na T . Podobné výsledky platí pro nejmenší prvek , minimální prvek a největší dolní mez . Funkce maximální a minimální pro sady se používají v databázích a lze je vypočítat rychle, protože maximum (nebo minimum) sady lze vypočítat z maxim oddílu; formálně jsou to samy rozložitelné agregační funkce . ${\ displaystyle \ max (S)}$

V případě obecného částečného pořadí , v nejmenší prvek (tj, ten, který je menší než všechny ostatní) by neměla být zaměňována s minimálním prvkem (nic menší). Stejně tak největší prvek z uspořádaná množina (poset) je horní hranici sady, která je obsažena v sadě, zatímco maximální prvek m z uspořádané množiny A je prvek tak, že pokud m ≤ b (pro jakýkoliv b v A ), pak m = b . Libovolný prvek nebo největší prvek posety je jedinečný, ale poset může mít několik minimálních nebo maximálních prvků. Pokud má poseta více než jeden maximální prvek, nebudou tyto prvky vzájemně srovnatelné.

V úplně uspořádané sadě nebo řetězci jsou všechny prvky vzájemně srovnatelné, takže taková sada může mít maximálně jeden minimální prvek a maximálně jeden maximální prvek. Poté bude kvůli vzájemné srovnatelnosti minimální prvek také nejmenším prvkem a maximální prvek bude také největším prvkem. Ve zcela uspořádané množině tedy můžeme jednoduše použít výrazy minimum a maximum .

Pokud je řetěz konečný, bude mít vždy maximum a minimum. Pokud je řetěz nekonečný, nemusí mít maximum ani minimum. Například sada přirozených čísel nemá maximum, ačkoli má minimum. Pokud se nekonečný řetěz S je omezená, pak je uzávěr Cl ( S ) sady má občas minimum a maximum, přičemž v tomto případě se označuje jako největší dolní mez a alespoň horní mez nastavené S , v daném pořadí.

Viz také

• Arg max
• Derivační test
• Infimum a supremum
• Limit superior a limit inferior
• Mechanická rovnováha
• Mex (matematika)
• Maximální a minimální vzorek
• Sedlový bod

Reference

externí odkazy

• Práce Thomase Simpsona na Maxima a Minima v Konvergenci
• Aplikace Maxima a Minima s podstránkami řešených úloh
• Jolliffe, Arthur Ernest (1911). „Maxima a Minima“  . Encyklopedie Britannica . 17 (11. vydání). 918–920.