Morse – Kelleyova teorie množin - Morse–Kelley set theory

V základech matematiky je Morse – Kelleyova teorie množin ( MK ), Kelley – Morseova teorie množin ( KM ), Morse – Tarského teorie množin ( MT ), Quine – Morseova teorie množin ( QM ) nebo systém Quine a Morse je axiomatická množinová teorie prvního řádu, která úzce souvisí s teorií množin von Neumann – Bernays – Gödel (NBG). Zatímco von Neumann-Bernays-Gödel teorie množin omezuje vázané proměnné ve schematickém vzorci uvedeného v axiomu schématu z třídy Porozumění na rozmezí nad samotným sad teorie Morse-Kelley sada umožňuje tyto vázané proměnné na rozsah, ve vhodných tříd , jakož i sady, jak poprvé navrhl Quine v roce 1940 pro svůj systém ML .

Morse -Kelleyova teorie množin je pojmenována podle matematiků Johna L. Kelleyho a Anthonyho Morseho a poprvé ji popsal Wang (1949) a později v příloze Kelleyho učebnice Obecná topologie (1955), úvod do topologie na úrovni absolventa . Kelley řekl, že systém v jeho knize byl variantou systémů kvůli Thoralfovi Skolemovi a Morseovi. Morseova vlastní verze se objevila později v jeho knize The Theory of Sets (1965).

Zatímco von Neumann-Bernays-Gödel teorie množin je konzervativní rozšíření o zermelova-fraenkelova teorie množin (ZFC, kanonické teorie množin) v tom smyslu, že prohlášení v jazyce ZFC je prokazatelná v NBG tehdy a jen tehdy, pokud je prokazatelné v Teorie množin ZFC, Morse – Kelley je správným rozšířením ZFC. Na rozdíl od von Neumann – Bernays – Gödelovy teorie množin, kde lze axiomové schéma třídního porozumění nahradit konečným množstvím jejích instancí, Morse – Kelleyovu teorii množin nelze definitivně axiomatizovat.

Axiomy a ontologie MK

NBG a MK sdílejí společnou ontologii . Vesmír projevu se skládá ze tříd . Třídy, které jsou členy jiných tříd, se nazývají sady . Třída, která není množinou, je řádná třída . Primitivní atomové věty zahrnují členství nebo rovnost.

S výjimkou třídního porozumění jsou následující axiomy stejné jako u NBG , nepodstatné detaily stranou. Symbolické verze axiomů používají následující notační zařízení:

• Velká písmena jiná než M , která se objevují v Extensionality, Class Comprehension a Foundation, označují proměnné v rozsahu tříd. Malé písmeno označuje proměnnou, která nemůže být vlastní třídou , protože se zobrazuje vlevo od ∈. Protože MK je teorií jednoho druhu, je tato notační konvence pouze mnemotechnická .
• Monadická predikát , jehož určený čtení je „třída x je množina“, zkracuje${\ displaystyle \ Mx,}$${\ Displaystyle \ existuje W (x \ ve W).}$
• Prázdná množina je definována${\ displaystyle \ varnothing}$${\ Displaystyle \ forall x (x \ not \ in \ varnothing).}$
• Třída V , univerzální třída se všemi možnými množinami jako členy, je definována V je také von Neumannův vesmír .${\ Displaystyle \ forall x (Mx \ to x \ in V).}$

Rozšíření : Třídy se stejnými členy jsou stejná třída.

${\ Displaystyle \ forall X \, \ forall Y \, (\ forall z \, (z \ in X \ leftrightarrow z \ in Y) \ rightarrow X = Y).}$

Sada a třída se stejným rozšířením jsou totožné. MK tedy není teorií dvou tříd, bez ohledu na zdání opaku.

Základ : Každá neprázdná třída A je disjunktní alespoň od jednoho ze svých členů.

${\ Displaystyle \ forall A [A \ not = \ varnothing \ rightarrow \ existuje b (b \ in A \ land \ forall c (c \ in b \ rightarrow c \ not \ in A))].}$

Pochopení třídy: Nechť φ ( x ) je libovolný vzorec v jazyce MK, ve kterém x je volná proměnná a Y není volné. φ ( x ) může obsahovat parametry, které jsou buď sady, nebo správné třídy. V důsledku toho se kvantifikované proměnné v φ ( x ) mohou pohybovat ve všech třídách a nejen ve všech sadách; jen tak se MK liší od NBG . Pak existuje třída, jejíž členy jsou přesně ty sady x takové, které se vyplní. Formálně, pokud Y není v φ volné: ${\ Displaystyle Y = \ {x \ mid \ phi (x) \}}$ ${\ displaystyle \ phi (x)}$

${\ Displaystyle \ forall W_ {1} ... W_ {n} \ existuje Y \ forall x [x \ in Y \ leftrightarrow (\ phi (x, W_ {1}, ... W_ {n}) \ land Mx)].}$

Párování : Pro jakékoli sady x a y existuje množina,jejíž členy jsou přesně x a y . ${\ Displaystyle z = \ {x, y \}}$

${\ Displaystyle \ forall x \, \ forall y \, [(Mx \ land My) \ rightarrow \ existuje z \, (Mz \ land \ forall s \, [s \ in z \ leftrightarrow (s = x \, \ lor \, s = y)])]].}$

Párování licenci na neuspořádanou dvojici v podmínkách, které uspořádaných páru , může být definována v obvyklým způsobem, jak je . S uspořádanými páry v ruce umožňuje Class Comprehension definování vztahů a funkcí na sadách jako sady uspořádaných dvojic, což umožňuje další axiom: ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$${\ displaystyle \ \ {\ {x \}, \ {x, y \} \}}$

Omezení velikosti : C je správné třídy tehdy, když V je možno mapovat one-to-one do C .

${\ Displaystyle {\ begin {array} {l} \ forall C [\ lnot MC \ leftrightarrow \ neexistuje F (\ forall x [Mx \ rightarrow \exist s (s \ in C \ land \ langle x, s \ rangle \ in F)] \ land \\\ qquad \ forall x \ forall y \ forall s [(\ langle x, s \ rangle \ in F \ land \ langle y, s \ rangle \ in F) \ rightarrow x = y] )]. \ end {array}}}$

Formální verze tohoto axiomu připomíná schéma nahrazení a ztělesňuje funkci třídy F . Následující část vysvětluje, jak je omezení velikosti silnější než obvyklé formy zvoleného axiomu .

Power set : Nechť p je třída, jejíž členy jsou všechny možné podmnožiny sady a . Pak p je množina.

${\ Displaystyle \ forall a \, \ forall p \, [(Ma \ land \ forall x \, [x \ in p \ leftrightarrow \ forall y \, (y \ in x \ rightarrow y \ in a)]) \ rightarrow Mp].}$

Union : Nechťje součtová třída množiny a , jmenovitě sjednocení všech členů a . Pak s je množina. ${\ Displaystyle s = \ bigcup a}$

${\ Displaystyle \ forall a \, \ forall s \, [(Ma \ land \ forall x \, [x \ in s \ leftrightarrow \ existuje y \, (x \ in y \ land y \ in a)]) \ rightarrow Ms].}$

Nekonečno : Existuje indukční množina y , což znamená, že (i) prázdná množina je členem y ; (ii) je -li x členem y , pak ano. ${\ Displaystyle x \ cup \ {x \}.}$

${\ Displaystyle \ existuje y [My \ land \ varnothing \ in y \ land \ forall z (z \ in y \ rightarrow \ existuje x [x \ in y \ land \ forall w (w \ in x \ leftrightarrow [w = z \ lor w \ in z])])]].}$

Všimněte si, že p a s v Power Set a Union jsou univerzálně, nikoli existenčně, kvantifikovány, protože k prokázání existence p a s stačí porozumění třídě . Power Set a Union slouží pouze k prokázání, že p a s nemohou být správné třídy.

Výše uvedené axiomy jsou sdíleny s dalšími množinovými teoriemi následovně:

• ZFC a NBG : párování, napájecí sada, unie, nekonečno;
• NBG (a ZFC, pokud byly kvantifikované proměnné omezeny na sady): Extensionality, Foundation;
• NBG : Omezení velikosti.

Diskuse

Monk (1980) a Rubin (1967) jsou texty teorie teorií postavené na MK; Rubina ontologie zahrnuje urelements . Tito autoři a Mendelson (1997: 287) tvrdí, že MK dělá to, co se od teorie množin očekává, a přitom je méně těžkopádné než ZFC a NBG .

MK je přísně silnější než ZFC a jeho konzervativní rozšíření NBG, další známá teorie množin se správnými třídami . Ve skutečnosti lze NBG - a tedy ZFC - prokázat v MK konzistentní. Síla MK pramení z jeho schématu axiomu, kdy Class Comprehension je impresivní , což znamená, že φ ( x ) může obsahovat kvantifikované proměnné v rozmezí tříd. Kvantifikované proměnné ve schématu axiomu NBG Class Comprehension jsou omezeny na sady; proto porozumění třídy v NBG musí být predikativní . (Separace s ohledem na množiny je v NBG stále nepředvídatelná, protože kvantifikátory v φ ( x ) se mohou pohybovat ve všech sadách.) Schéma axiomu NBG třídy Comprehension lze nahradit konečným počtem jejích instancí; to v MK není možné. MK je konzistentní vzhledem k ZFC rozšířenému o axiom, který potvrzuje existenci silně nepřístupných kardinálů .

Jedinou výhodou axiomu omezení velikosti je, že implikuje axiom globální volby . Omezení velikosti se neobjevuje u Rubina (1967), Monka (1980) nebo Mendelsona (1997). Místo toho tito autoři vyvolávají obvyklou formu lokálního axiomu volby a „axiom nahrazení“, když tvrdí, že pokud je doménou funkce třídy množina, je její rozsah také množinou. Nahrazení může dokázat vše, co dokazuje Omezení velikosti, s výjimkou prokázání nějaké formy zvoleného axiomu .

Omezení velikosti plus I jako množina (vesmír je tedy neprázdný) činí prokazatelným stav prázdné množiny; proto není potřeba axiom prázdné množiny . Takový axiom by samozřejmě mohl být přidán a drobné odchylky výše uvedených axiomů by toto přidání vyžadovaly. Sada I není identifikována s mezní řadou, protože bych mohla být množinou větší než V tomto případě by existence následovala z jakékoli formy Omezení velikosti. ${\ displaystyle \ omega,}$${\ Displaystyle \ omega.}$${\ displaystyle \ omega}$

Třídu von Neumannových ordinálů lze dobře uspořádat . Nemůže to být soubor (pod bolestí paradoxu); proto, že třída je správné třídy, a všechny správné třídy mají stejnou velikost jako V . Proto také V lze dobře uspořádat.

Jako logiku pozadí lze zaměnit MK s ZFC druhého řádu, ZFC s logikou druhého řádu (představující objekty druhého řádu v sadě, nikoli v predikátovém jazyce). Jazyk ZFC druhého řádu je podobný jazyku MK (i když sadu a třídu se stejným rozšířením již nelze identifikovat) a jejich syntaktické zdroje pro praktický důkaz jsou téměř totožné (a jsou shodné, pokud MK obsahuje silné forma omezení velikosti). Ale sémantika ZFC druhého řádu je zcela odlišná od sémantiky MK. Pokud je například MK konzistentní, pak má počitatelný model prvního řádu, zatímco ZFC druhého řádu nemá žádné počitatelné modely.

Teorie modelu

ZFC, NBG a MK mají každý modely popsatelné z hlediska V , von Neumannova vesmíru sad v ZFC . Nechť je nedosažitelný kardinál mítK být členem V. . Také ať Def ( X ) označují Δ ₀ definovatelné podmnožiny z X (viz vesmíru constructible ). Pak:

• V _κ je model ZFC ;
• Def ( V _κ ) je model Mendelsonovy verze NBG , který vylučuje globální volbu, nahrazuje omezení velikosti nahrazením a běžnou volbou;
• V _{κ + 1} je síla set of V _mítK , je model MK.

Dějiny

MK byl poprvé uveden ve Wangu (1949) a propagován v dodatku k obecné topologii JL Kelleyho (1955) s využitím axiomů uvedených v další části. Systém Anthonyho Morseho (1965) A Theory of Sets je ekvivalentní Kelleyovu, ale je formulován spíše výstředním formálním jazykem, než jak je zde uvedeno, ve standardní logice prvního řádu . První sada teorie zahrnout impredicative třídy porozumění bylo Quinův ML , který postaven na nových základech , spíše než na ZFC . Impredikativní porozumění třídě bylo také navrženo v Mostowski (1951) a Lewis (1991).

Axiomy v Kelleyově obecné topologii

Axiomy a definice v této části jsou, ale pro několik nepodstatných podrobností, převzaty z dodatku ke Kelleymu (1955). Níže uvedené vysvětlující poznámky nejsou jeho. Dodatek uvádí 181 vět a definic a zaručuje pečlivé čtení jako zkrácenou expozici teorie axiomatických množin pracovním matematikem první úrovně. Kelley představil své axiomy postupně, podle potřeby k rozvoji témat uvedených po každé instanci Develop níže.

Níže uvedené a nyní dobře známé notace nejsou definovány. Mezi zvláštnosti Kelleyho zápisu patří:

• Neměl ani rozlišit proměnné v rozsahu více než třídy od těch sahat přes sad;
• doména f a rozsah f označují doménu a rozsah funkce f ; tato zvláštnost byla níže pečlivě respektována;
• Jeho primitivní logický jazyk obsahuje třídní abstrakty ve tvaru „třída všech množin x splňujících A ( x )“.${\ displaystyle \ \ {x: A (x) \},}$

Definice: x je množina (a tudíž není správný třída ) je-li z nějakého y , . ${\ displaystyle x \ in y}$

I. Rozsah: Pro každé x a každé y , x = y právě tehdy, když pro každé z , kdy a pouze kdy${\ Displaystyle z \ v x}$${\ Displaystyle z \ v y.}$

Shodné s Extensionality výše. Byl bych totožný s axiomem extenze v ZFC , kromě toho, že rozsah I zahrnuje správné třídy i sady.

II. Klasifikace (schéma): Výsledkem je axiom, pokud

Pro každého , pokud a pouze pokud je sada a${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta \ in \ {\ alpha: A \}}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle B,}$

„α“ a „β“ jsou nahrazeny proměnnými, „ A “ vzorcem Æ a „ B “ vzorcem získaným z Æ nahrazením každého výskytu proměnné, která nahradila α proměnnou, která nahradila β za předpokladu, že proměnná že nahrazený β se v A nezdá vázaný .

Vývoj : Booleovská algebra množin . Existence třídě null a univerzální třídy V. .

III. Podmnožiny: Pokud x je množina, existuje množina y taková, že pro každé z , pokud , pak${\ Displaystyle z \ subseteq x}$${\ Displaystyle z \ v y.}$

Import III je importu Power Set výše. Náčrt důkazu mocenské sady z III : pro jakoukoli třídu z, která je podtřídou množiny x , je třída z členem množiny y, o jejíž existenci III tvrdí. Proto z je soubor.

Rozvinout : V není sada. Existence singletonů . Rozchod prokazatelný.

IV. Union: Pokud x a y jsou obě množiny, pak je to množina. ${\ Displaystyle x \ cup y}$

Import IV je importu Pairing výše. Náčrt důkazu párování ze IV : singleton sady x je množina, protože je podtřídou mocenské sady x (dvěma aplikacemi III ). Pak IV znamená, že je to množina, pokud x a y jsou množiny. ${\ displaystyle \ {x \}}$${\ displaystyle \ {x, y \}}$

Vývoj : Neuspořádané a uspořádané páry , vztahy , funkce , doména , rozsah , složení funkcí .

V. Substituce: Pokud f je funkce [třídy] a doména f je množina, pak rozsah f je množina.

Import V je to schématu axiomu nahrazení v NBG a ZFC .

VI. Sloučení: Pokud x je množina, pak je množina. ${\ displaystyle \ bigcup x}$

Dovoz VI je dovoz z Unie výše. IV a VI mohou být sloučeny do jednoho axiomu.

Vývoj : kartézský součin , injekce , surjekce , bijekce , teorie řádu .

VII. Pravidelnost: V případě , že je členem y z x tak, že${\ Displaystyle x \ neq \ varnothing}$${\ Displaystyle x \ cap y = \ varnothing.}$

Import VII je importem Foundation výše.

Vývoj : Pořadová čísla , transfinitní indukce .

VIII. Nekonečno: Existuje množina y , taková a kdykoli${\ Displaystyle \ varnothing \ in y}$${\ Displaystyle x \ cup \ {x \} \ in y}$${\ displaystyle x \ in y.}$

Tento axiom nebo jeho ekvivalenty jsou obsaženy v ZFC a NBG. VIII tvrdí bezpodmínečnou existenci dvou množin, nekonečné indukční množiny y a nulová množina je množina jednoduše proto, že je členem y . Až do tohoto bodu všechno, co bylo prokázáno, že existuje, je třída a Kelleyova diskuse o sadách byla zcela hypotetická. ${\ displaystyle \ varnothing.}$ ${\ displaystyle \ varnothing}$

Rozvíjet : Přirozená čísla , N je množina, Peanoovy axiomy , celá čísla , racionální čísla , reálná čísla .

Definice: c je volba funkce v případě, c je funkce a pro každou členskou x z domény c . ${\ Displaystyle c (x) \ in x}$

IX. Volba: Existuje funkce výběru c, jejíž doménou je . ${\ Displaystyle V-\ {\ varnothing \}.}$

IX je velmi podobný axiomu globální volby, který lze odvodit z výše uvedeného omezení velikosti .

Vývoj : Ekvivalenty axiomu volby. Stejně jako v případě ZFC vyžaduje vývoj základních čísel určitou formu volby.

Pokud je rozsah všech kvantifikovaných proměnných ve výše uvedených axiomech omezen na sady, všechny axiomy kromě III a schématu IV jsou axiomy ZFC. IV je prokazatelné v ZFC. Kelleyho léčba MK proto jasně ukazuje, že vše, co odlišuje MK od ZFC, jsou proměnné v rozmezí správných tříd i sad a schématu klasifikace.

Poznámky

Reference

• John L. Kelley 1975 (1955) Obecná topologie . Springer. Dříve ed., Van Nostrand. Dodatek „Teorie elementárních množin“.
• Lemmon, EJ (1986) Úvod do axiomatické teorie množin . Routledge & Kegan Paul.
• David K. Lewis (1991) Části tříd . Oxford: Basil Blackwell.
• Mendelson, Elliott (1997). Úvod do matematické logiky . Chapman & Hall. ISBN 0-534-06624-0.Definitivní zpracování úzce související teorie množin NBG , následovaná stránkou na MK. Těžší než Monk nebo Rubin.
• Monk, J. Donald (1980) Úvod do teorie množin . Krieger. Jednodušší a méně důkladné než Rubin.
• Morse, AP, (1965) Teorie množin . Akademický tisk.
• Mostowski, Andrzej (1950), „Některé impresivní definice v teorii axiomatických množin“ (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 37 : 111–124, doi : 10,4064/fm-37-1-111-124.
• Rubin, Jean E. (1967) Teorie množin pro matematika . San Francisco: Holden Day. Důkladnější než Monk; ontologie zahrnuje urelementy .
• Wang, Hao (1949), „O Zermelových a von Neumannových axiomech pro teorii množin“, Proč. Natl. Akadem. Sci. USA , 35 (3): 150–155, doi : 10,1073/pnas.35.3.150 , JSTOR  88430 , MR  0029850 , PMC  1062986 , PMID  16588874.

externí odkazy

• Stáhněte si Obecnou topologii (1955) od Johna L. Kelleyho v různých formátech. Příloha obsahuje Kelleyho axiomatický vývoj MK.

Diskusní skupina From Foundations of Mathematics (FOM):

• Allen Hazen o teorii množin s třídami.
• Pochybnosti Josepha Shoenfielda o MK.