Moskevský matematický papyrus - Moscow Mathematical Papyrus

Moskevský matematický papyrus
Moskevský matematický papyrus
Puškinovo státní muzeum výtvarných umění v Moskvě
	14. problém moskevského matematického papyru (V. Struve, 1930)
datum	13. dynastie , druhé přechodné období Egypta
Místo původu	Thebes
Jazyk (y)	Hieratická
Velikost	Délka: 5,5 metru (18 stop) ; Šířka: 3,8 až 7,6 cm (1,5 až 3 palce)

Moskva matematický papyrus , také jmenoval Golenishchev matematický papyrus po svém prvním non-egyptského majitele, egyptolog Vladimír Golenishchev , je starověký egyptský matematický papyrus obsahující několik problémů v aritmetický, geometrie a algebry. Golenishchev koupil papyrus v roce 1892 nebo 1893 v Thébách . Později vstoupil do sbírky Puškinova státního muzea výtvarných umění v Moskvě, kde zůstává dodnes.

Na základě paleografie a pravopisu hieratického textu byl text s největší pravděpodobností zapsán ve 13. dynastii a na základě starších materiálů pravděpodobně pocházejících z dvanácté dynastie Egypta , zhruba 1850 př. N. L. Přibližně 5½ m (18 stop) dlouhý a kolísající mezi 3,8 a 7,6 cm (1,5 a 3 palce) široký, jeho formát rozdělil sovětský orientalista Vasilij Vasilievič Struve v roce 1930 na 25 problémů s řešením.

Jedná se o známý matematický papyrus, obvykle uváděný společně s Rhindovým matematickým papyrusem . Moskevský matematický papyrus je starší než Rhindův matematický papyrus, zatímco druhý z nich je větší.

Cvičení obsažená v moskevském papyru

Problémy v moskevském papyru se neřídí žádným konkrétním řádem a řešení problémů poskytuje mnohem méně podrobností než řešení v Rhindově matematickém papyru . Papyrus je dobře známý svými problémy s geometrií. Úlohy 10 a 14 spočítají povrchovou plochu a objem frustu . Zbývající problémy jsou v přírodě běžnější.

Problémy s částí lodi

Problémy 2 a 3 jsou problémy s částí lodi. Jeden z problémů vypočítá délku kormidla lodi a druhý vypočítá délku stožáru lodi za předpokladu, že je 1/3 + 1/5 délky cedrového kmene původně dlouhého 30 loket .

Aha problémy

Aha

Doba : Nová říše
(1550–1069 př. N. L.)

Egyptské hieroglyfy

Aha problémy zahrnují nalezení neznámých veličin (označovaných jako Aha), pokud je uveden součet množství a jeho části. Rhind matematický papyrus také obsahuje čtyři z těchto typů problémů. Problémy 1, 19 a 25 moskevského papyru jsou problémy Aha. Například problém 19 žádá, aby vypočítal množství odebrané 1 a půlkrát a přidané ke 4, aby bylo 10. Jinými slovy, v moderní matematické notaci je člověk požádán o vyřešení . ${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} x+4 = 10}$

Problémy s Pefsu

Většina problémů jsou problémy s pefsu (viz: Egyptská algebra ): 10 z 25 problémů. Pefsu měří sílu piva vyrobeného z hekatu zrna

{\ displaystyle {\ mbox {pefsu}} = {\ frac {\ mbox {počet bochníků chleba (nebo džbánů piva)}} {\ mbox {počet heqatů obilí}}}}

Vyšší číslo pefsu znamená slabší chléb nebo pivo. Číslo pefsu je uvedeno v mnoha nabídkových seznamech. Problém 8 se například překládá jako:

(1) Příklad výpočtu 100 bochníků chleba pefsu 20

(2) Pokud vám někdo řekne: „Máte 100 bochníků chleba pefsu 20

(3) k výměně za pivo pefsu 4

(4) jako 1/2 1/4 sladového data piva “

(5) Nejprve vypočítejte zrno potřebné pro 100 bochníků chleba pefsu 20

(6) Výsledkem je 5 heqat. Pak počítejte s tím, co potřebujete pro des-džbán piva, jako je pivo zvané 1/2 1/4 sladového data

(7) Výsledkem je 1/2 heqatské míry potřebné pro des-džbán piva vyrobeného z hornoegyptského zrna.

(8) Vypočítejte 1/2 z 5 heqatů, výsledek bude 2 1/2

(9) Vezměte to 2 1/2 čtyřikrát

(10) Výsledkem je 10. Potom mu řeknete:

(11) "Hle! Množství piva bylo shledáno správným."

Problémy s Baku

Problémy 11 a 23 jsou problémy Baku. Ty vypočítávají výstup pracovníků. Problém 11 se ptá, jestli někdo přinese 100 protokolů o rozměrech 5 krát 5, kolik logům o rozměrech 4 x 4 to tedy odpovídá? Problém 23 zjistí výstup obuvníka vzhledem k tomu, že musí stříhat a zdobit sandály.

Geometrické problémy

Sedm z dvaceti pěti problémů je geometrických problémů a sahá od výpočtu oblastí trojúhelníků až po nalezení povrchové oblasti polokoule (problém 10) a nalezení objemu frusta (zkrácená pyramida).

Dva problémy s geometrií

Problém 10

Desátý problém moskevského matematického papyru požaduje výpočet povrchové plochy polokoule (Struve, Gillings) nebo případně plochy půlválce (Peet). Níže předpokládáme, že se problém týká oblasti polokoule.

Text úlohy 10 běží takto: „Příklad výpočtu koše. Dostanete košík s ústí 4 1/2. Jaký je jeho povrch? Vezměte 1/9 z 9 (protože) košík je polovina vejce -shell. Získáte 1. Vypočítejte zbytek, který je 8. Vypočítejte 1/9 z 8. Získáte 2/3 + 1/6 + 1/18. Zbytek 8 najděte po odečtení 2/3 + 1/6 + 1/18. Získáte 7 + 1/9. Vynásobte 7 + 1/9 číslem 4 + 1/2. Získáte 32. Hle, toto je jeho oblast. Našli jste to správně. “

Řešení představuje výpočet oblasti jako

{\ displaystyle {\ text {Area}} = \ left ({\ frac {2 \ times 8} {9}} \ right)^{2} \ times ({\ text {average}})^{2} = {\ frac {256} {81}} ({\ text {průměr}})^{2}}

To znamená, že písař moskevského papyru sloužil k aproximaci π . ${\ displaystyle {\ frac {256} {81}} \ cca 3,16049}$

Problém 14: Objem frusta čtvercové pyramidy

Čtrnáctý problém Moskevské matematické vypočítá objem frustumu .

Problém 14 uvádí, že pyramida byla zkrácena tak, že horní oblast je čtverec délky 2 jednotky, spodní čtverec délky 4 jednotky a výška 6 jednotek, jak je znázorněno. Bylo zjištěno, že objem je 56 krychlových jednotek, což je správné.

Text příkladu běží takto: „Pokud vám někdo řekne: zkrácená pyramida 6 pro svislou výšku o 4 na základně o 2 nahoře: Musíte vycentrovat 4; výsledek 16. Máte zdvojnásobit 4 ; výsledek 8. Vyčíslíte 2; výsledek 4. Přidáte 16 a 8 a 4; výsledek 28. Vezmete 1/3 ze 6; výsledek 2. Vezmete 28 dvakrát; výsledek 56. Podívejte se, je to z 56. Najdete [to] správně “

Řešení problému, naznačuje, že Egypťané znali správný vzorec pro získání objemu o komolého jehlanu :

{\ Displaystyle V = {\ frac {1} {3}} h (a^{2}+ab+b^{2})}

kde a a b jsou délky základny a horní strany zkrácené pyramidy a h je výška. Výzkumníci spekulovali, jak mohli Egypťané dospět k vzorce pro objem frustum, ale odvození tohoto vzorce není uvedeno v papyru.

souhrn

Richard J. Gillings zběžně shrnul obsah Papyru. Čísla s přeškrtnutím označují jednotkový zlomek, který má toto číslo jako jmenovatel , např . ; zlomky jednotek byly běžnými předměty studia ve staroegyptské matematice. ${\ displaystyle {\ bar {4}} = {\ frac {1} {4}}}$

Obsah Moskevského matematického papyru
Ne.	Detail.
1	Poškozené a nečitelné.
2	Poškozené a nečitelné.
3	Cedrový stožár. ze dne . Nejasný. ${\ displaystyle {\ bar {3}} \; {\ bar {5}}}$ ${\ displaystyle 30 = 16}$
4	Plocha trojúhelníku. ze dne . ${\ displaystyle {\ bar {2}}}$ ${\ displaystyle 4 \ times 10 = 20}$
5	Pesus bochníků a chleba. Stejné jako č. 8.
6	Obdélník, oblast . Najít a . ${\ displaystyle = 12, b = {\ bar {2}} \; {\ bar {4}} l}$ ${\ Displaystyle l}$ ${\ displaystyle b}$
7	Trojúhelník, oblast . Najít a . ${\ displaystyle = 20, h = 2 \; {\ bar {2}} b}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle b}$
8	Pesus bochníků a chleba.
9	Pesus bochníků a chleba.
10	Oblast zakřiveného povrchu polokoule (nebo válce).
11	Bochníky a košík. Nejasný.
12	Pesu piva. Nejasný.
13	Pesus bochníků a piva. Stejné jako č. 9.
14	Objem komolé pyramidy. . ${\ Displaystyle V = (h/3) (a^{2}+ab+b^{2})}$
15	Pesu piva.
16	Pesu piva. Podobně jako č. 15.
17	Trojúhelník, oblast . Najít a . ${\ displaystyle = 20, b = ({\ bar {3}} \; {\ bar {15}}) h}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle b}$
18	Měřicí hadřík v loktech a dlaních. Nejasný.
19	Vyřešení rovnice, . Průhledná. ${\ Displaystyle 1 \; {\ bar {2}} x+4 = 10}$
20	Pesu z bochníků. Zlomky Horova oka. ${\ displaystyle 1 000}$
21	Míchání obětního chleba.
22	Pesus bochníků a piva. Výměna.
23	Výpočet práce ševce. Nejasný. Peet říká, že velmi obtížně.
24	Výměna bochníků a piva.
25	Vyřešení rovnice, . Elementární a jasné. ${\ Displaystyle 2x+x = 9}$

Ostatní papyri

Mezi další matematické texty ze starověkého Egypta patří:

Obecný papyri:

2/n tabulky viz:

Tabulka RMP 2/n

Viz také

Seznam staroegyptských papyrů

Poznámky

Reference

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Clagett, Marshall. 1999. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Svazek 3: Staroegyptská matematika. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society. ISBN 0-87169-232-5
^ Struve VV, (1889–1965), orientalista :: ENCYKLOPEDIE SVATÉHO PETERSBURGU
^ Struve, Vasilij Vasil'evič a Boris Turaev . 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste v Moskau . Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Berlín: J. Springer
^ Папирусы математические ve Velké sovětské encyklopedii , 1969–1978 (v ruštině)
^ Williams, Scott W. Egyptské matematické papíry
^ jak je uvedeno v Gunn & Peet, Journal of Egyptian Archaeology, 1929, 15: 176. Viz také Van der Waerden, 1961, talíř 5
^ Gillings, RJ (1964), „Objem zkrácené pyramidy ve staroegyptských papyrech“, Učitel matematiky , 57 (8): 552–555, JSTOR 27957144 , I když bylo všeobecně přijímáno, že Egypťané dobře znali vzorec pro objem celé čtvercové pyramidy, nebylo snadné zjistit, jak dokázali odvodit vzorec pro zkrácenou pyramidu s matematikou, kterou mají k dispozici, v její nejelegantnější a zdaleka ne zjevné podobě.
^ Gillings, Richard J. Matematika v době faraonů . Dover . s. 246–247. ISBN 9780486243153.

Celý text Moskevského matematického papyru

Struve, Vasilij Vasil'evič a Boris Turaev . 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste v Moskau . Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Berlín: J. Springer

Další reference

Allen, Done. Duben 2001. Moskevský papyrus a shrnutí egyptské matematiky .
Imhausen, A. , Ägyptische Algorithmen. Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten, Wiesbaden 2003.
Mathpages.com. Prismoidální vzorec .
O'Connor a Robertson, 2000. Matematika v egyptských papyrusech .
Truman State University, Division of Math and Computer Science. Matematika a svobodná umění: Starověký Egypt a Moskevský matematický papyrus .
Williams, Scott W. Matematici africké diaspory , obsahující stránku o egyptských matematických papyrech .
Zahrt, Kim RW Myšlenky na staroegyptskou matematiku .

[Clagett-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Clagett, Marshall. 1999. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Svazek 3: Staroegyptská matematika. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society. ISBN 0-87169-232-5

[2] Struve VV, (1889–1965), orientalista :: ENCYKLOPEDIE SVATÉHO PETERSBURGU

[3] Struve, Vasilij Vasil'evič a Boris Turaev . 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste v Moskau . Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Berlín: J. Springer

[4] Папирусы математические ve Velké sovětské encyklopedii , 1969–1978 (v ruštině)

[5] Williams, Scott W. Egyptské matematické papíry

[6] uvedeno v Gunn & Peet, Journal of Egyptian Archaeology, 1929, 15: 176. Viz také Van der Waerden, 1961, talíř 5

[7] Gillings, RJ (1964), „Objem zkrácené pyramidy ve staroegyptských papyrech“, Učitel matematiky , 57 (8): 552–555, JSTOR 27957144 , I když bylo všeobecně přijímáno, že Egypťané dobře znali vzorec pro objem celé čtvercové pyramidy, nebylo snadné zjistit, jak dokázali odvodit vzorec pro zkrácenou pyramidu s matematikou, kterou mají k dispozici, v její nejelegantnější a zdaleka ne zjevné podobě.

[Gillings-8] Gillings, Richard J. Matematika v době faraonů . Dover . s. 246–247. ISBN 9780486243153.

Languages

In other projects