Vícedimenzionální transformace - Multidimensional transform

V matematické analýze a aplikacích se vícerozměrné transformace používají k analýze frekvenčního obsahu signálů v doméně dvou nebo více dimenzí.

Vícedimenzionální Fourierova transformace

Jednou z populárnějších vícerozměrných transformací je Fourierova transformace , která převádí signál z reprezentace časoprostorové domény na reprezentaci frekvenční domény. Multidimenzionální Fourierova transformace (FT) v diskrétní doméně lze vypočítat takto:

${\ displaystyle F (w_ {1}, w_ {2}, \ tečky, w_ {m}) = \ součet _ {n_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ součet _ {n_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ {n_ {m} = - \ infty} ^ {\ infty} f (n_ {1}, n_ {2}, \ dots, n_ {m}) e ^ {- iw_ {1} n_ {1} -iw_ {2} n_ {2} \ cdots -iw_ {m} n_ {m}}}$

kde F znamená vícerozměrnou Fourierovu transformaci, m znamená vícerozměrnou dimenzi. Definujte f jako vícerozměrný signál diskrétní domény. Inverzní vícerozměrná Fourierova transformace je dána vztahem

${\ displaystyle f (n_ {1}, n_ {2}, \ dots, n_ {m}) = \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ right) ^ {m} \ int _ { - \ pi} ^ {\ pi} \ cdots \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} F (w_ {1}, w_ {2}, \ ldots, w_ {m}) e ^ {iw_ {1 } n_ {1} + iw_ {2} n_ {2} + \ cdots + iw_ {m} n_ {m}} \, dw_ {1} \ cdots \, dw_ {m}}$

Vícedimenzionální Fourierova transformace pro signály spojité domény je definována následovně:

${\ displaystyle F (\ Omega _ {1}, \ Omega _ {2}, \ ldots, \ Omega _ {m}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {m}) e ^ {- i \ Omega _ {1} t_ {1} -i \ Omega _ {2 } t_ {2} \ cdots -i \ Omega _ {m} t_ {m}} \, dt_ {1} \ cdots \, dt_ {m}}$

Vlastnosti Fourierovy transformace

Použijí se podobné vlastnosti 1-D FT transformace, ale místo toho, aby vstupní parametr byl jen jednou položkou, je to vícerozměrné pole (MD) nebo vektor. Proto je to x (n ₁ , ..., n _M ) místo x (n).

Linearita

pokud a pak ${\ displaystyle x_ {1} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X_ {1} (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M})}$${\ displaystyle x_ {2} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X_ {2} (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M})}$

${\ displaystyle ax_ {1} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) + bx_ {2} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm { FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} aX_ {1} (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M}) + bX_ {2} (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M})}$

Posun

pokud tedy${\ displaystyle x (n_ {1}, ..., n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1} ,. .., \ omega _ {M})}$
${\ displaystyle x (n_ {1} -a_ {1}, ..., n_ {M} -a_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} e ^ {- j (\ omega _ {1} a_ {1} +, ..., + \ omega _ {M} a_ {M})} X (\ omega _ {1}, ..., \ omega _ {M})}$

Modulace

pokud tedy ${\ displaystyle x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1}, \ ldots , \ omega _ {M})}$

${\ displaystyle e ^ {j (\ theta _ {1} n_ {1} + \ cdots + \ theta _ {M} n_ {M})} x (n_ {1} -a_ {1}, \ ldots, n_ {M} -a_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1} - \ theta _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M} - \ theta _ {M})}$

Násobení

pokud a${\ displaystyle x_ {1} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X_ {1} (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M})}$${\ displaystyle x_ {2} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X_ {2} (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M})}$

pak,

${\ displaystyle x_ {1} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) x_ {2} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT }} {}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {M}}} \ int \ limity _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ cdots \ int \ limity _ {- \ pi} ^ {\ pi} X_ {1} (\ omega _ {1} - \ theta _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M} - \ theta _ {M}) X_ {2} (\ theta _ {1}, \ ldots, \ theta _ {M}) \, d \ theta _ {1} \ cdots d \ theta _ {M}}$

( MD Convolution in Frequency Domain )

nebo,

${\ displaystyle x_ {1} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) x_ {2} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT }} {}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {M}}} \ int \ limity _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ cdots \ int \ limity _ {- \ pi} ^ {\ pi} X_ {1} (\ theta _ {1}, \ ldots, \ theta _ {M}) X_ {2} (\ omega _ {1} - \ theta _ {1} , \ ldots, \ omega _ {M} - \ theta _ {M}) \, d \ theta _ {1} \ cdots d \ theta _ {M}}$

( MD Convolution in Frequency Domain )

Diferenciace

Pokud ano ${\ displaystyle x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1}, \ ldots , \ omega _ {M})}$

${\ displaystyle -jn_ {1} x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {\ částečné } {(\ částečné \ omega _ {1})}} X (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M}),}$

${\ displaystyle -jn_ {2} x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {\ částečný } {(\ částečné \ omega _ {2})}} X (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M}),}$

${\ displaystyle (-j) ^ {M} (n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {M}) x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {(\ částečné) ^ {M}} {(\ částečné \ omega _ {1} \ částečné \ omega _ {2} \ cdots \ částečné \ omega _ {M})}} X (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M}),}$

Transpozice

Pokud ano ${\ displaystyle x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1}, \ ldots , \ omega _ {M})}$

${\ displaystyle x (n_ {M}, \ ldots, n_ {1}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {M}, \ ldots , \ omega _ {1})}$

Odraz

Pokud ano ${\ displaystyle x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1}, \ ldots , \ omega _ {M})}$

${\ displaystyle x (\ pm n_ {1}, \ ldots, \ pm n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ pm \ omega _ {1}, \ ldots, \ pm \ omega _ {M})}$

Složitá konjugace

Pokud ano ${\ displaystyle x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1}, \ ldots , \ omega _ {M})}$

${\ displaystyle x ^ {*} (\ pm n_ {1}, \ ldots, \ pm n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X ^ { *} (- \ omega _ {1}, \ ldots, - \ omega _ {M})}$

Parsevalova věta (MD)

pokud a pak ${\ displaystyle x_ {1} (n_ {1}, ..., n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X_ {1} (\ omega _ {1}, ..., \ omega _ {M})}$${\ displaystyle x_ {2} (n_ {1}, ..., n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X_ {2} (\ omega _ {1}, ..., \ omega _ {M})}$

${\ displaystyle \ sum _ {n_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} ... \ sum _ {n_ {M} = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (n_ {1 }, ..., n_ {M}) x_ {2} ^ {*} (n_ {1}, ..., n_ {M}) {=} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {M}}} \ int \ limity _ {- \ pi} ^ {\ pi} ... \ int \ limity _ {- \ pi} ^ {\ pi} X_ {1} (\ omega _ {1}, ..., \ omega _ {M}) X_ {2} ^ {*} (\ omega _ {1}, ..., \ omega _ {M}) d \ omega _ {1} ... d \ omega _ {M}}$

pokud tedy ${\ displaystyle x_ {1} (n_ {1}, ..., n_ {M}) {=} x_ {2} (n_ {1}, ..., n_ {M})}$

${\ displaystyle \ sum _ {n_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} ... \ sum _ {n_ {M} = - \ infty} ^ {\ infty} | x_ {1} (n_ { 1}, ..., n_ {M}) | ^ {2} {=} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {M}}} \ int \ limity _ {- \ pi} ^ { \ pi} ... \ int \ limits _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_ {1} (\ omega _ {1}, ..., \ omega _ {M}) | ^ {2} d \ omega _ {1} ... d \ omega _ {M}}$

Zvláštní případ Parsevalovy věty je, když jsou dva vícerozměrné signály stejné. V tomto případě věta zobrazuje energetickou úsporu signálu a člen v součtu nebo integrálu je energetická hustota signálu.

Oddělitelnost

Jedna vlastnost je vlastnost oddělitelnosti. O signálu nebo systému se říká, že je oddělitelný, pokud jej lze vyjádřit jako součin 1-D funkcí s různými nezávislými proměnnými. Tento jev umožňuje počítat transformaci FT jako produkt 1-D FT namísto vícerozměrných FT.

v případě , , ... , a je-li , pak ${\ displaystyle x (n_ {1}, ..., n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1} ,. .., \ omega _ {M})}$${\ displaystyle a (n_ {1}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} A (\ omega _ {1})}$${\ displaystyle b (n_ {2}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} B (\ omega _ {2})}$${\ displaystyle y (n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} Y (\ omega _ {M})}$${\ displaystyle x (n_ {1}, ..., n_ {M}) {=} a (n_ {1}) b (n_ {2}) ... y (n_ {M})}$

${\ displaystyle X (\ omega _ {1}, ..., \ omega _ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} x (n_ {1} , ..., n_ {M}) {=} a (n_ {1}) b (n_ {2}) ... y (n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} A (\ omega _ {1}) B (\ omega _ {2}) ... Y (\ omega _ {M})}$, tak

${\ displaystyle X (\ omega _ {1}, ..., \ omega _ {M}) {=} A (\ omega _ {1}) B (\ omega _ {2}) ... Y (\ omega _ {M})}$

MD FFT

Rychlá Fourierova transformace (FFT) je algoritmus pro výpočet diskrétní Fourierova transformace (DFT) a její inverze. FFT vypočítá DFT a vytvoří přesně stejný výsledek jako přímé vyhodnocení definice DFT; jediný rozdíl je v tom, že FFT je mnohem rychlejší. (Za přítomnosti chyby zaokrouhlování je mnoho algoritmů FFT také mnohem přesnějších než přímé vyhodnocení definice DFT.) Existuje mnoho různých algoritmů FFT zahrnujících širokou škálu matematiky, od jednoduché aritmetiky komplexního čísla až po teorii skupin a číslo teorie. Zobrazit více ve FFT .

MD DFT

Vícedimenzionální diskrétní Fourierova transformace (DFT) je vzorkovaná verze diskrétní domény FT vyhodnocením na vzorkovacích frekvencích, které jsou rovnoměrně rozmístěny. N ₁ x N ₂ x ... N _m DFT je dána vztahem:

${\ displaystyle Fx (K_ {1}, K_ {2}, \ ldots, K_ {m}) = \ sum _ {n_ {1} = 0} ^ {N_ {1} -1} \ cdots \ sum _ { n_ {m} = 0} ^ {N_ {m} -1} fx (n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {m}) e ^ {- i {\ frac {2 \ pi} { N_ {1}}} n_ {1} K_ {1} -i {\ frac {2 \ pi} {N_ {2}}} n_ {2} K_ {2} \ cdots -i {\ frac {2 \ pi } {N_ {m}}} n_ {m} K_ {m}}}$

pro 0 ≤ K _i ≤ N _i - 1 , i = 1, 2, ..., m .

Inverzní vícerozměrná DFT rovnice je

${\ displaystyle fx (n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {m}) = {\ frac {1} {N_ {1} \ cdots N_ {m}}} \ součet _ {K_ {1 } = 0} ^ {N_ {1} -1} \ cdots \ sum _ {K_ {m} = 0} ^ {N_ {m} -1} Fx (K_ {1}, K_ {2}, \ ldots, K_ {m}) e ^ {i {\ frac {2 \ pi} {N_ {1}}} n_ {1} K_ {1} + i {\ frac {2 \ pi} {N_ {2}}} n_ {2} K_ {2} \ cdots + i {\ frac {2 \ pi} {N_ {m}}} n_ {m} K_ {m}}}$

pro 0 ≤ n ₁ , n ₂ , ..., n _m ≤ N _{(1, 2, ..., m )} - 1 .

Vícerozměrná diskrétní kosinová transformace

Diskrétní kosinová transformace (DCT) se používá v široké škále aplikací, jako je komprese dat , extrakce funkcí , rekonstrukce obrazu , detekce více snímků atd. Vícerozměrný DCT je dán vztahem:

${\ displaystyle Fx (K_ {1}, K_ {2}, \ ldots, K_ {r}) = \ součet _ {n_ {1} = 0} ^ {N_ {1} -1} \ součet _ {n_ { 2} = 0} ^ {N_ {2} -1} \ cdots \ sum _ {n_ {r} = 0} ^ {N_ {r} -1} fx (n_ {1}, n_ {2}, \ ldots , n_ {r}) \ cos {\ frac {\ pi (2n_ {1} +1) K_ {1}} {2N_ {1}}} \ cdots \ cos {\ frac {\ pi (2n_ {r} + 1) K_ {r}} {2N_ {r}}}}$

pro k _i = 0, 1, ..., N _i - 1 , i = 1, 2, ..., r .

Vícedimenzionální Laplaceova transformace

Vícedimenzionální Laplaceova transformace je užitečná pro řešení problémů s hraničními hodnotami. Problémy s hraničními hodnotami ve dvou nebo více proměnných charakterizovaných parciálními diferenciálními rovnicemi lze vyřešit přímým použitím Laplaceovy transformace. Laplaceova transformace pro M-rozměrný případ je definována jako

${\ displaystyle F (s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {n}) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cdots \ int _ {0} ^ {\ infty} f ( t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {n}) e ^ {- s_ {n} t_ {n} -s_ {n-1} t_ {n-1} \ cdots \ cdots s_ {1 } t_ {1}} \, dt_ {1} \ cdots \, dt_ {n}}$

kde F znamená reprezentaci signálu f (t) v s-doméně.

Speciální případ (podél 2 dimenzí) vícerozměrné Laplaceovy transformace funkce f (x, y) je definován jako

${\ displaystyle F (s_ {1}, s_ {2})}$se nazývá obraz a je známý jako originál . Tento speciální případ lze použít k řešení Telegrapherových rovnic .} ${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle F (s_ {1}, s_ {2})}$

Vícedimenzionální Z transformace

Vícedimenzionální Z transformace se používá k mapování diskrétního vícerozměrného signálu v časové doméně do Z domény. To lze použít ke kontrole stability filtrů. Rovnice vícerozměrné transformace Z je dána vztahem

${\ displaystyle F (z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {m}) = \ sum _ {n_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ {n_ { m} = - \ infty} ^ {\ infty} f (n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {m}) z_ {1} ^ {- n_ {1}} z_ {2} ^ { -n_ {2}} \ ldots z_ {m} ^ {- n_ {m}}}$

kde F znamená reprezentaci signálu f (n) v doméně z.

Zvláštní případ vícerozměrné Z transformace je 2D Z transformace, která je uvedena jako

${\ displaystyle F (z_ {1}, z_ {2}) = \ součet _ {n_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ součet _ {n_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} f (n_ {1}, n_ {2}) z_ {1} ^ {- n_ {1}} z_ {2} ^ {- n_ {2}}}$

Fourierova transformace je speciální případ transformace Z vyhodnocované podél jednotkového kruhu (v 1D) a jednotného dvoukruhu (ve 2D). jím

${\ textstyle z = e ^ {jw}}$ kde z a w jsou vektory.

Region konvergence

Body ( z ₁ , z ₂ ), pro které jsou umístěny v ROC. ${\ displaystyle F (z_ {1}, z_ {2}) = \ součet _ {n_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ součet _ {n_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} | f (n_ {1}, n_ {2}) || z_ {1} | ^ {- n_ {1}} | z_ {2} | ^ {- n_ {2}}}$ ${\ displaystyle <\ infty}$

Příklad:

Pokud má sekvence podporu, jak je znázorněno na obrázku 1.1a, pak je její ROC zobrazen na obrázku 1.1b. Z toho vyplývá, že | F ( z ₁ , z ₂ ) | < ∞ .

${\ displaystyle (z_ {01}, z_ {02})}$leží v ROC, pak všechny body, které splňují | z1 | ≥ | z01 | a | z2 | ≥ | z02 leží v ROC. ${\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2})}$

Pro obrázky 1.1a a 1.1b by tedy ROC byla

${\ displaystyle \ ln | z_ {1} | \ geq \ ln | z_ {01} | {\ text {and}} \ ln | z_ {2} | \ geq L \ ln | z_ {1} | + \ { \ ln | z_ {02} | -L \ ln | z_ {01} | \}}$

kde L je sklon.

2D Z-transformace , podobně jako Z-transformace, je používán v multidimenzionální zpracování signálu, aby se týkají dvojrozměrného diskrétní signál na komplexní frekvenční oblasti, v níž 2D povrch v 4D prostoru, že Fourierova transformace leží na je známo jako jednotkový povrch nebo jednotkový kruh.

Aplikace

DCT a DFT se často používají při zpracování signálu a zpracování obrazu a také se používají k efektivnímu řešení parciálních diferenciálních rovnic spektrálními metodami. DFT lze také použít k provádění dalších operací, jako jsou spirály nebo násobení velkých celých čísel. DFT a DCT zaznamenaly široké využití napříč velkým počtem polí, níže uvádíme pouze několik příkladů.

Zpracovávání obrazu

DCT se používá v JPEG komprese obrazu, MJPEG , MPEG , DV , Daala a Theora komprese videa . Tam jsou vypočítány dvourozměrné DCT-II N x N bloků a výsledky jsou kvantovány a entropicky kódovány . V tomto případě je N obvykle 8 a vzorec DCT-II se použije na každý řádek a sloupec bloku. Výsledkem je pole transformačního koeficientu 8x8, ve kterém: (0,0) prvek (vlevo nahoře) je složka DC (nulová frekvence) a položky se zvyšujícími se vertikálními a horizontálními hodnotami indexu představují vyšší vertikální a horizontální prostorové frekvence, protože zobrazené na obrázku vpravo.

Při zpracování obrazu lze také analyzovat a popsat nekonvenční kryptografické metody založené na 2D DCT pro vkládání neviditelných binárních vodoznaků do roviny 2D obrazu a podle různých orientací lze použít 2D směrovou hybridní transformaci DCT-DWT při odšumování ultrazvukových obrazů. 3-D DCT lze také použít k transformaci video dat nebo 3-D obrazových dat ve schématech vkládání vodoznaků v transformační doméně.

Spektrální analýza

Když se pro spektrální analýzu používá DFT, sekvence { x _n } obvykle představuje konečnou množinu rovnoměrně rozmístěných časových vzorků nějakého signálu x ( t ), kde t představuje čas. Konverze z nepřetržité doby se vzorky (diskrétních) změní základní Fourierova transformace z x ( t ) do diskrétního Fourierova transformace (DTFT), který zpravidla obsahuje typ zkreslení nazývá aliasingu . Volba vhodné vzorkovací frekvence (viz Nyquistova frekvence ) je klíčem k minimalizaci tohoto zkreslení. Podobně převod z velmi dlouhé (nebo nekonečné) sekvence na zvládnutelnou velikost má za následek typ zkreslení , který se nazývá únik , což se projevuje jako ztráta detailů (aka rozlišení) v DTFT. Volba vhodné délky dílčí sekvence je primárním klíčem k minimalizaci tohoto efektu. Když jsou dostupná data (a čas na jejich zpracování) větší než množství potřebné k dosažení požadovaného frekvenčního rozlišení, standardní technikou je provedení více DFT, například k vytvoření spektrogramu . Pokud je požadovaným výsledkem výkonové spektrum a v datech je přítomný šum nebo náhodnost, je průměrování složek velikosti více DFT užitečným postupem ke snížení rozptylu spektra ( v tomto kontextu se také nazývá periodogram ); dva příklady takových technik jsou Welchova metoda a Bartlettova metoda ; obecný předmět odhadu výkonového spektra hlučného signálu se nazývá spektrální odhad .

Konečným zdrojem zkreslení (nebo možná iluze ) je samotný DFT, protože se jedná pouze o diskrétní vzorkování DTFT, který je funkcí spojité frekvenční oblasti. To lze zmírnit zvýšením rozlišení DFT. Tento postup je znázorněn v § Vzorkování DTFT .

• Procedura se někdy označuje jako nulová výplň , což je konkrétní implementace používaná ve spojení s algoritmem rychlé Fourierovy transformace (FFT). Neefektivnost provádění násobení a sčítání s „vzorky“ s nulovou hodnotou je více než vyvážena inherentní účinností FFT.
• Jak již bylo uvedeno, únik ukládá omezení inherentního rozlišení DTFT. Existuje tedy praktické omezení výhody, které lze získat z jemnozrnného DFT.

Parciální diferenciální rovnice

Diskrétní Fourierovy transformace se často používají k řešení parciálních diferenciálních rovnic , kde se opět používá DFT jako aproximace pro Fourierovu řadu (která se získá v limitu nekonečného N ). Výhodou tohoto přístupu je, že rozšiřuje signál o složité exponenciály e ^inx , což jsou vlastní funkce diferenciace: d / dx e ^inx = v e ^inx . Ve Fourierově reprezentaci je tedy diferenciace jednoduchá - pouze vynásobíme dovnitř . (Všimněte si však, že volba n není jedinečná kvůli aliasingu; pro konvergentní metodu by měla být použita volba podobná té v sekci trigonometrické interpolace výše.) Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je transformována do snadno řešitelná algebraická rovnice. Jeden pak použije inverzní DFT k transformaci výsledku zpět do běžné prostorové reprezentace. Takový přístup se nazývá spektrální metoda .

DCT se také široce používají při řešení parciálních diferenciálních rovnic spektrálními metodami, kde různé varianty DCT odpovídají mírně odlišným sudým / lichým okrajovým podmínkám na obou koncích pole.

Laplaceovy transformace se používají k řešení parciálních diferenciálních rovnic. Obecnou teorii pro získání řešení v této technice rozvíjejí věty o Laplaceově transformaci v n dimenzích.

Vícerozměrná Z transformace může být také použita k řešení parciálních diferenciálních rovnic.

Zpracování obrazu pro analýzu povrchu umění pomocí FFT

Jedním z velmi důležitých faktorů je, že musíme použít nedestruktivní metodu k získání těchto vzácných cenností (z pohledu HVS zaměřených na celé kolorimetrické a prostorové informace) o uměleckých dílech a jejich nulovém poškození. Umění můžeme pochopit tím, že se podíváme na změnu barvy nebo změřením změny uniformity povrchu. Vzhledem k tomu, že celý obrázek bude velmi obrovský, použijeme ke zkrácení obrázku dvojité vyvýšené kosinové okno:

${\ displaystyle w (x, y) = {\ frac {1} {4}} \ vlevo (1+ \ cos {\ frac {x \ pi} {N}} \ vpravo) \ vlevo (1+ \ cos { \ frac {y \ pi} {N}} \ vpravo)}$

kde N je rozměr obrazu a x , y jsou souřadnice od středu rozsahu obrazu od 0 do N / 2. Autor chtěl vypočítat stejnou hodnotu pro prostorovou frekvenci, jako například:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} A_ {m} (f) ^ {2} = \ left [\ sum _ {i = -f} ^ {f} \ right. & \ operatorname {FFT} (-f, i) ^ {2} + \ sum _ {i = -f} ^ {f} \ operatorname {FFT} (f, i) ^ {2} \\ [5pt] & \ left. {} + \ sum _ { i = -f + 1} ^ {f-1} \ operatorname {FFT} (i, -f) ^ {2} + \ sum _ {i = -f + 1} ^ {f-1} \ operatorname {FFT } (i, f) ^ {2} \ vpravo] \ end {zarovnáno}}}$

kde „FFT“ označuje rychlou Fourierovu transformaci a f je prostorová frekvence v rozsahu od 0 do N / 2 - 1 . Navrhovaný zobrazovací přístup založený na FFT je diagnostická technologie zajišťující dlouhou životnost a stabilní vůči kulturnímu umění. Jedná se o jednoduchý, levný, který lze použít v muzeích, aniž by to ovlivnilo jejich každodenní použití. Tato metoda však neumožňuje kvantitativní měření rychlosti koroze.

Aplikace na slabě nelineární simulaci obvodu

Pro simulaci nelineárních obvodů lze použít inverzní vícerozměrnou Laplaceovu transformaci. To se provádí formulováním obvodu jako stavového prostoru a rozšířením inverzní Laplaceovy transformace na základě rozšíření funkce Laguerre .

Laguerrovu metodu lze použít k simulaci slabě nelineárního obvodu a Laguerrova metoda může účinně invertovat vícerozměrnou Laplaceovu transformaci s vysokou přesností.

Je pozorováno, že vysoké přesnosti a významného zrychlení lze dosáhnout pro simulaci velkých nelineárních obvodů pomocí vícerozměrných Laplaceových transformací.

Viz také

• Diskrétní kosinová transformace
• Seznam Fourierových transformací
• Seznam témat Fourierovy analýzy
• Vícerozměrná diskrétní konvoluce
• 2D Z-transformace
• Vícerozměrný empirický režim rozkladu
• Vícerozměrná rekonstrukce signálu

Reference