Multifrakční systém - Multifractal system

Zvláštní atraktor , který vykazuje multifraktální měřítka

Příklad multifunkčního elektronického vlastního státu při Andersonově lokalizačním přechodu v systému s 1367631 atomy.

Multifraktální systém je zobecnění fraktální systému, ve kterých jeden exponent (dále fraktální dimenze ) nestačí k popisu jeho dynamiku; místo toho je potřeba spojité spektrum exponentů (takzvané spektrum singularity ).

Multifrakční systémy jsou v přírodě běžné. Zahrnují délku pobřeží , plně rozvinuté turbulence , scény ze skutečného světa, dynamiku srdečního tepu , lidskou chůzi a aktivitu, aktivitu lidského mozku a časové řady přirozené svítivosti. Modely byly navrženy v různých kontextech od turbulencí v dynamice tekutin po internetový provoz, finance, modelování obrázků, syntézu textur, meteorologii, geofyziku a další. Původ multifraktality v sekvenčních (časových řadách) datech byl přičítán matematickým efektům konvergence souvisejícím s centrální limitní větou, které mají jako těžiště konvergence rodinu statistických distribucí známých jako Tweedieho exponenciální disperzní modely , stejně jako geometrické Tweedie modely . První konvergenční efekt poskytuje monofraktální sekvence a druhý konvergenční efekt je zodpovědný za změnu fraktální dimenze monofraktálních sekvencí.

Ke zkoumání datových souborů se používá vícefraktální analýza , často ve spojení s jinými metodami fraktální a lakunární analýzy. Tato technika zahrnuje zkreslení datových sad extrahovaných ze vzorů za účelem generování multifraktálních spekter, která ilustrují, jak se škálování v rámci datové sady liší. Multifrakční analytické techniky byly použity v řadě praktických situací, jako je předpovídání zemětřesení a interpretace lékařských obrazů.

Definice

V multifunkčním systému je chování kolem jakéhokoli bodu popsáno místním mocenským zákonem : ${\ displaystyle s}$

${\ Displaystyle s ({\ vec {x}}+{\ vec {a}})-s ({\ vec {x}}) \ sim a^{h ({\ vec {x}})}.}$

Exponent se nazývá exponent singularity , protože popisuje místní stupeň singularity nebo pravidelnosti kolem bodu . ${\ displaystyle h ({\ vec {x}})}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

Soubor tvořená všemi body, které sdílejí stejné singularity exponent se nazývá jedinečnost varieta exponent h , a je fraktální set of fraktální dimenze singularita spektra. Křivka versus se nazývá spektrum singularity a plně popisuje statistické rozdělení proměnné . ${\ Displaystyle D (h):}$${\ Displaystyle D (h)}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle s}$

V praxi není multifunkční chování fyzického systému přímo charakterizováno jeho spektrem singularity . Analýza dat spíše poskytuje přístup k exponentům s více škálami . Multifaktální signály se obecně obecně řídí vlastností invariance měřítka, která poskytuje chování mocninného zákona pro multiresoluční veličiny, v závislosti na jejich měřítku . V závislosti na předmětu, který zkoumáme , mohou být tyto multirezoluční veličiny, označované , lokálními průměry v polích velikosti , gradienty přes vzdálenost , vlnkové koeficienty v měřítku atd. U vícepraktických objektů obvykle pozorujeme globální škálování mocninného zákona formy : ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle D (h)}$ ${\ Displaystyle \ zeta (q), \ q \ in {\ mathbb {R}}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle T_ {X} (a)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$

${\ Displaystyle \ langle T_ {X} (a)^{q} \ rangle \ sim a^{\ zeta (q)} \}$

alespoň v určitém rozsahu stupnic a pro určitý rozsah objednávek . Když je takové chování pozorováno, hovoří se o neměnnosti měřítka, seberealizaci nebo multiscalingu. ${\ displaystyle q}$

Odhad

Pomocí takzvaného multifraktálního formalismu lze ukázat, že za určitých dobře přizpůsobených předpokladů existuje korespondence mezi spektrem singularity a excesy s více škálami prostřednictvím Legendrovy transformace . Zatímco stanovení požadavků vyžaduje nějakou vyčerpávající místní analýzu dat, která by vedla k obtížným a numericky nestabilním výpočtům, odhad spoléhá na použití statistických průměrů a lineárních regresí v log-log diagramech. Jakmile jsou známy, lze odvodit odhad díky jednoduché transformaci Legendre. ${\ Displaystyle D (h)}$${\ displaystyle \ zeta (q)}$${\ Displaystyle D (h)}$${\ displaystyle \ zeta (q)}$${\ displaystyle \ zeta (q)}$${\ Displaystyle D (h),}$

Multifrakční systémy jsou často modelovány stochastickými procesy, jako jsou multiplikativní kaskády . Jsou statisticky vyhodnocena, neboť charakterizují vývoj distribucí části as přechází z větších na menších měřítcích. Tato evoluce se často nazývá statistická přerušovanost a prozrazuje odklon od gaussovských modelů. ${\ displaystyle \ zeta (q)}$${\ displaystyle T_ {X} (a)}$${\ displaystyle a}$

Modelování jako multiplikativní kaskáda také vede k odhadu vícepraktických vlastností. Roberts & Cronin 1996 Tato metoda funguje poměrně dobře, dokonce i pro relativně malé datové sady. Maximální pravděpodobné přizpůsobení multiplikativní kaskády k datové sadě nejen odhaduje celé spektrum, ale také poskytuje rozumné odhady chyb. chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFRobertsCronin1996 ( nápověda )

Odhad multifunkčního škálování z počítání boxů

Multifrakční spektra lze určit z počítání polí na digitálních obrázcích. Nejprve se provede skenování počítání polí, aby se určilo, jak jsou pixely distribuovány; pak se toto „rozdělení hmoty“ stane základem pro sérii výpočtů. Hlavní myšlenkou je, že u multifraktálů se pravděpodobnost počtu pixelů , které se objeví v rámečku , mění podle velikosti rámečku u nějakého exponenta , který se mění na obrázku, jako v Eq.0.0 ( Pozn . : U monofraktálů naopak exponent se nad množinou smysluplně nemění). se vypočítá z rozdělení pixelů pro počítání boxů podle rovnice 2.0 . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle P}$

${\ Displaystyle P _ {[i, \ epsilon]} \ varpropto \ epsilon ^{-\ alpha _ {i}} \ proto \ alpha _ {i} \ varpropto {\ frac {\ log {P _ {[i, \ epsilon ]}}} {\ log {\ epsilon ^{-1}}}}}$

( Rovnice.0.0 )

${\ Displaystyle \ epsilon}$= libovolné měřítko ( velikost boxu při počítání boxů), ve kterém je sada zkoumána

${\ displaystyle i}$ = index pro každé pole položené nad sadou pro ${\ Displaystyle \ epsilon}$

${\ Displaystyle m _ {[i, \ epsilon]}}$= počet pixelů nebo hmotnosti v libovolném poli , o velikosti${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle \ epsilon}$

${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$ = celkový počet políček, která obsahovala více než 0 pixelů pro každý ${\ Displaystyle \ epsilon}$

${\ Displaystyle M _ {\ epsilon} = \ sum _ {i = 1}^{N _ {\ epsilon}} m _ {[i, \ epsilon]} =}$ k tomu celková hmotnost nebo součet pixelů ve všech polích ${\ Displaystyle \ epsilon}$

( Rovnice 1.0 )

${\ Displaystyle P _ {[i, \ epsilon]} = {\ frac {m _ {[i, \ epsilon]}} {M _ {\ epsilon}}}} =}$pravděpodobnost této hmotnosti v poměru k celkové hmotnosti pro velikost krabice${\ displaystyle i}$

( Rovnice 2.0 )

${\ displaystyle P}$se používá ke sledování toho, jak se distribuce pixelů chová při zkreslení určitými způsoby jako v Eq.3.0 a Eq.3.1 :

${\ displaystyle Q}$ = libovolný rozsah hodnot, který se má použít jako exponenty pro zkreslení datové sady

${\ Displaystyle I _ {{(Q)} _ {[\ epsilon]}} = \ sum _ {i = 1}^{N _ {\ epsilon}} {P _ {[i, \ epsilon]}^{Q}} =}$ součet všech hmotnostních pravděpodobností zkreslených zvýšením na toto Q pro tuto velikost krabice

( Rovnice 3.0 )

• Kdy , Eq.3.0 se rovná 1, obvyklý součet všech pravděpodobností, a když , každý člen je roven 1, takže součet se rovná počtu napočítaných políček .${\ displaystyle Q = 1}$${\ displaystyle Q = 0}$${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$

${\ displaystyle \ mu _ {{((Q)} _ {[i, \ epsilon]}}} = {\ frac {P _ {[i, \ epsilon]}^{Q}} {I _ {{(Q)} _ {[\ epsilon]}}}} =}$ jak se zkreslená pravděpodobnost hmotnosti v krabici porovnává se zkresleným součtem za všechna pole v této velikosti krabice

( Rovnice 3.1 )

Tyto zkreslující rovnice se dále používají k řešení toho, jak se sada chová, když je zmenšena nebo vyřešena nebo rozřezána na řadu kusů s velkou velikostí a zkreslena Q, aby byly nalezeny různé hodnoty pro rozměr sady, jako v následujícím: ${\ Displaystyle \ epsilon}$

• Důležitou vlastností Eq.3.0 je, že se také může lišit podle měřítka zvýšeného na exponent v Eq.4.0 :${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle I _ {{((Q)} _ {[\ epsilon]}} \ varpropto \ epsilon ^{\ tau _ {(Q)}}}$

( Rovnice 4.0 )

Ze svahů regresní přímky pro log Eq.3.0 versus log of for each , based on Eq.4.1, lze tedy najít řadu hodnot pro : ${\ displaystyle \ tau _ {(Q)}}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle \ tau _ {(Q)} = {\ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ left [{\ frac {\ log {I _ {{((Q)} _ {[\ epsilon]}}}} } {\ log {\ epsilon}}} \ right]}}}$

( Rovnice 4.1 )

• Pro obecnou dimenzi:

${\ displaystyle D _ {(Q)} = {\ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ left [{\ frac {\ log {I _ {{((Q)} _ {[\ epsilon]}}}}} { \ log {\ epsilon ^{-1}}}} \ right]}} {(1-Q) ^{-1}}}$

( Rovnice 5,0 )

${\ displaystyle D _ {(Q)} = {\ frac {\ tau _ {(Q)}} {Q-1}}}$

( Rovnice 5.1 )

${\ displaystyle \ tau _ {{((Q)} _ {}} = D _ {(Q)} \ left (Q-1 \ right)}$

( Rovnice 5.2 )

${\ Displaystyle \ tau _ {(Q)} = \ alpha _ {(Q)} Q-f _ {\ left (\ alpha _ {(Q)} \ right)}}$

( Rovnice 5,3 )

• ${\ displaystyle \ alpha _ {(Q)}}$se odhaduje jako sklon regresní přímky pro log A _{, Q${\ Displaystyle \ epsilon}$} versus log,${\ Displaystyle \ epsilon}$ kde:

${\ Displaystyle A _ {\ epsilon, Q} = \ sum _ {i = 1}^{N _ {\ epsilon}} {\ mu _ {{i, \ epsilon} _ {Q}} {P _ {{i, \ epsilon} _ {Q}}}}}$

( Rovnice 6,0 )

• Pak je nalezen z Eq.5.3 .${\ displaystyle f _ {\ left (\ alpha _ {(Q)} \ right)}}$

• Průměr se odhaduje jako sklon regresní přímky log-log pro versus , kde:${\ displaystyle \ tau _ {(Q)}}$${\ displaystyle \ tau _ {{((Q)} _ {[\ epsilon]}}}}$${\ Displaystyle \ epsilon}$

${\ displaystyle \ tau _ {(Q) _ {[\ epsilon]}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1}^{N _ {\ epsilon}} {P _ {[i, \ epsilon]}^ {Q-1}}} {N _ {\ epsilon}}}}}$

( Rovnice 6.1 )

V praxi rozdělení pravděpodobnosti závisí na tom, jak je datová sada vzorkována, takže byly vyvinuty optimalizační algoritmy, které zajistí adekvátní vzorkování.

Aplikace

Multifrakční analýza byla úspěšně použita v mnoha oblastech, včetně fyzikálních, informačních a biologických věd. Například kvantifikace zbytkových vzorů trhlin na povrchu stěn ze železobetonu.

Analýza zkreslení datové sady

Multifrakční analýza je analogická s prohlížením datové sady pomocí řady zkreslujících čoček, které vám pomohou odhalit rozdíly ve škálování. Uvedený vzor je mapa Hénon .

Multifrakční analýza byla použita v několika vědeckých oblastech k charakterizaci různých typů datových sad. Multifaktální analýza v podstatě aplikuje na soubory dat extrahované ze vzorců zkreslující faktor, aby porovnala, jak se data chovají při každém zkreslení. To se provádí pomocí grafů známých jako multifraktální spektra , analogických k prohlížení datové sady „zkreslujícím objektivem“, jak je znázorněno na obrázku . V praxi se používá několik typů multifraktálních spekter.

D _Q vs Q

Spektra D _Q vs Q pro nefraktální kruh (dimenze empirického počítání boxů = 1,0), mono-fraktální kvadrický kříž (dimenze počítání empirických boxů = 1,49) a multifunkční Hénonova mapa (dimenze počítání empirických boxů = 1,29).

Jedním praktickým multifunkčním spektrem je graf D _Q vs Q, kde D _Q je generalizovaná dimenze pro datovou sadu a Q je libovolná sada exponentů. Výraz generalizovaná dimenze tedy odkazuje na sadu dimenzí pro datovou sadu (podrobné výpočty pro určení generalizované dimenze pomocí počítání boxů jsou popsány níže ).

Rozměrové uspořádání

Obecný vzorec grafu D _Q vs Q lze použít k posouzení škálování ve vzoru. Graf je obecně klesající, sigmoidální kolem Q = 0, kde D _{(Q = 0)} ≥ D _{(Q = 1)} ≥ D _{(Q = 2)} . Jak je znázorněno na obrázku , rozdíly v tomto grafickém spektru mohou pomoci rozlišit vzory. Obrázek ukazuje D _(Q) spektra z multifunkční analýzy binárních obrazů ne-, mono- a multi-fraktálních sad. Jak je tomu v případě ukázkových obrazů, non- a mono-fraktály mívají plošší D _(Q) spektra než multifraktály.

Obecná dimenze také poskytuje důležité konkrétní informace. D _{(Q = 0)} se rovná dimenzi kapacity , která - v analýze ukázané na obrázcích zde - je dimenze počítání boxů . D _{(Q = 1),} je roven informační rozměru , a D _{(Q = 2)} na korelační dimenze . To se týká „multi“ v multifraktálu, kde multifraktály mají více dimenzí ve spektrech D _(Q) versus Q, ale monofraktály zůstávají v této oblasti spíše ploché.

${\ Displaystyle f (\ alpha)}$ proti ${\ displaystyle \ alpha}$

Dalším užitečným multifunkčním spektrem je graf versus (viz výpočty ). Tyto grafy obecně stoupají na maximum, které se blíží fraktální dimenzi v Q = 0, a poté klesají. Stejně jako spektra D _Q versus Q ukazují také typické vzorce užitečné pro porovnávání ne-, mono- a multi-fraktálních vzorců. Zejména u těchto spekter se non- a mono-fraktály sbíhají na určitých hodnotách, zatímco spektra z vícepraktických obrazců typicky tvoří hrby v širší oblasti. ${\ Displaystyle f (\ alpha)}$${\ displaystyle \ alpha}$

Zobecněné dimenze distribuce druhové hojnosti ve vesmíru

Jedna aplikace D _q versus Q v ekologii charakterizuje distribuci druhů. Tradičně se relativní druhové počty vypočítávají pro danou oblast, aniž by byly brány v úvahu umístění jednotlivců. Ekvivalentní zastoupení relativních druhových výskytů jsou druhové řady, které se používají ke generování povrchu zvaného druhově hodnocený povrch, který lze analyzovat pomocí generalizovaných dimenzí k detekci různých ekologických mechanismů, jako jsou ty, které jsou pozorovány v neutrální teorii biodiverzity , dynamiky metacomunity nebo nika teorie .

Viz také

• Frakční Brownův pohyb
• Znehodnocená fluktuační analýza
• Distribuce Tweedie
• Markov přepínání multifunkční
• Vážená rovinná stochastická mříž (WPSL)

Reference

Další čtení

• Veneziano, Daniele; Essiam, Albert K. (1. června 2003). „Tok přes porézní média s multifunkční hydraulickou vodivostí“ . Výzkum vodních zdrojů . 39 (6): 1166. Bibcode : 2003WRR .... 39.1166V . doi : 10,1029/2001WR001018 . ISSN  1944-7973 .

externí odkazy

• Stanley HE, Meakin P. (1988). „Multifrakční jevy ve fyzice a chemii“ (Recenze) . Příroda . 335 (6189): 405–9. Bibcode : 1988Natur.335..405S . doi : 10,1038/335405a0 . S2CID  4318433 .
• Arneodo, Alain; Audit, Benjamin; Kestener, Pierre; Roux, Stephane (2008). "Wavelet-based multifractal analysis" . Scholarpedia . 3 (3): 4103. Bibcode : 2008SchpJ ... 3.4103A . doi : 10,4249/scholarpedia.4103 . ISSN  1941-6016 .
• Filmy vizualizací multifunkčních prvků