Násobení - Multiplication

Čtyři pytle se třemi kuličkami na pytel dávají dvanáct kuliček (4 × 3 = 12).
Násobení lze také považovat za škálování . Zde vidíme 2 vynásobené 3 pomocí škálování, což ve výsledku dává 6.
Animace pro násobení 2 × 3 = 6.
4 × 5 = 20. Velký obdélník se skládá z 20 čtverců, z nichž každý má rozměry 1 na 1.
Plocha utěrky 4,5 m × 2,5 m = 11,25 m 2 ; 4 1/2 × 21/2 = 111/4

Násobení (často uváděný pod křížovou symbolem x tím, že v polovině-line operátor tečka , by vedle sebe , nebo na počítačích , pomocí hvězdičkou * ) je jedním ze čtyř základních matematických operací v aritmetika , přičemž ty ostatní jsou doplňkem , odčítání a dělení . Výsledek operace násobení se nazývá součin .

Násobení celých čísel lze považovat za opakované sčítání ; to znamená, že násobení dvou čísel je ekvivalentní sčítání co nejvíce kopií jednoho z nich, multiplikátoru a množství druhého, multiplikátoru . Obě čísla lze označit jako faktory .

Například 4 vynásobené 3, často psané a mluvené jako „3 krát 4“, lze vypočítat sečtením 3 kopií po 4:

Zde jsou faktory 3 ( multiplikátor ) a 4 ( multiplikátor ) a 12 je produkt .

Jednou z hlavních vlastností násobení je komutativní vlastnost , která v tomto případě uvádí, že přidání 3 kopií 4 poskytne stejný výsledek jako přidání 4 kopií 3:

Označení multiplikátoru a multiplikátoru tedy nemá vliv na výsledek násobení.

Násobení celých čísel (včetně záporných čísel), racionálních čísel (zlomků) a reálných čísel je definováno systematickým zobecněním této základní definice.

Násobení lze také zobrazit jako počítání objektů uspořádaných v obdélníku (pro celá čísla) nebo jako nalezení oblasti obdélníku, jehož strany mají určité délky . Plocha obdélníku nezávisí na tom, která strana se měří jako první - důsledek komutativní vlastnosti.

Součin dvou měření je nový typ měření. Například vynásobením délek obou stran obdélníku se získá jeho plocha. Takové výrobky jsou předmětem rozměrové analýzy .

Inverzní operace násobení je dělení . Například, protože 4 vynásobené 3 se rovná 12, 12 děleno 3 se rovná 4. Skutečně, vynásobení 3, následované dělením 3, poskytne původní číslo. Samotné dělení čísla jiného než 0 se rovná 1.

Násobení je také definováno pro jiné typy čísel, jako jsou komplexní čísla , a abstraktnější konstrukce, jako jsou matice . U některých z těchto abstraktnějších konstrukcí záleží na pořadí, ve kterém jsou operandy vynásobeny. Seznam mnoha různých druhů produktů používaných v matematice je uveden v produktu (matematika) .

Zápis a terminologie

Znak násobení ×

V aritmetice je násobení často psáno pomocí znaku " " mezi výrazy (tj. V zápisu infixu ). Například,

(„dvakrát třikrát se rovná šesti“)

Znak je zakódován v Unicode na U+00D7 × MULTIPLIKAČNÍ ZNAK (HTML  × · × ).

Pro násobení existují další matematické zápisy :

  • Násobení je také označeno tečkovými znaménky, obvykle tečkou střední polohy (zřídka tečkou ):
5, 2 nebo 5. 3
Zápis středního bodu zakódovaný v Unicode jako U+22C5 DOT OPERATOR je standardní v USA a dalších zemích, kde je tečka používána jako desetinná čárka . Není -li znak operátoru tečky přístupný, použije se interpunct  (·). Ve Spojeném království a Irsku se pro násobení používá tečka/tečka a pro desetinnou čárku střední tečka, ačkoli použití tečky/tečky pro desetinnou čárku je běžné. V jiných zemích, které používají jako desetinnou čárku čárku, se pro násobení používá tečka nebo prostřední tečka.
  • V algebře je násobení zahrnující proměnné často psáno jako vedle sebe (např. Xy pro x krát y nebo 5 x pro pětkrát x ), také nazývané implikované násobení . Zápis lze použít také pro veličiny, které jsou obklopeny závorkami (např. 5 (2) nebo (5) (2) pro pětkrát dvě). Toto implicitní použití násobení může způsobit nejednoznačnost, když se zřetězené proměnné shodují s názvem jiné proměnné, když lze název proměnné před závorkou zaměnit s názvem funkce nebo při správném určení pořadí operací .
  • Při vektorovém násobení rozlišujeme křížové a tečkové symboly. Křížový symbol obecně označuje převzetí křížového součinu dvou vektorů , přičemž výsledkem je vektor, zatímco tečka označuje odebrání součinu dvou vektorů, což má za následek skalár .

V počítačovém programování je hvězdička (jako v 5*2) stále nejběžnějším zápisem. To je způsobeno skutečností, že většina počítačů byla v minulosti omezena na malé znakové sady (jako ASCII a EBCDIC ), které postrádaly znak násobení (například nebo ×), zatímco hvězdička se objevila na každé klávesnici. Toto použití pochází z programovacího jazyka FORTRAN .

Čísla, která se mají znásobit, se obecně nazývají „ faktory “. Násobené číslo je „multiplikátor“ a číslo, kterým se vynásobí, „multiplikátor“. Multiplikátor je obvykle umístěn na prvním místě a multiplikátor na druhém místě; někdy je však prvním faktorem multiplikátor a druhým multiplikátor. Protože výsledek násobení nezávisí na pořadí faktorů, je rozdíl mezi „multiplikátorem“ a „multiplikátorem“ užitečný pouze na velmi elementární úrovni a v některých multiplikačních algoritmech , jako je dlouhé multiplikace . Proto je v některých zdrojích termín „multiplicand“ považován za synonymum pro „faktor“. V algebře se číslo, které je multiplikátorem proměnné nebo výrazu (např. 3 na 3 xy 2 ), nazývá koeficient .

Výsledek násobení se nazývá součin . Součin celých čísel je násobkem každého faktoru. Například 15 je součin 3 a 5 a je jak násobkem 3, tak násobkem 5.

Výpočet

Vzdělaná opice - plechová hračka z roku 1918, používaná jako multiplikační „kalkulačka“. Například: nastavte opičím nohám na 4 a 9 a produkt - 36 - dostanete do svých rukou.

Běžné metody pro násobení čísel pomocí tužky a papíru vyžadují multiplikační tabulku zapamatovaných nebo konzultovaných produktů malých čísel (obvykle jakákoli dvě čísla od 0 do 9), avšak jedna metoda, rolnický multiplikační algoritmus, nikoli. Níže uvedený příklad ilustruje „dlouhé násobení“ („standardní algoritmus“, „násobení na základní škole“):

      23958233
×         5830
———————————————
      00000000 ( =      23,958,233 ×     0)
     71874699  ( =      23,958,233 ×    30)
   191665864   ( =      23,958,233 ×   800)
+ 119791165    ( =      23,958,233 × 5,000)
———————————————
  139676498390 ( = 139,676,498,390        )

Násobení čísel na více než pár desetinných míst ručně je únavné a náchylné k chybám. Pro zjednodušení těchto výpočtů byly vynalezeny běžné logaritmy , protože přidání logaritmů je ekvivalentní násobení. Pravidlo snímku umožnilo rychle vynásobit čísla na přibližně tři místa přesnosti. Počínaje počátkem 20. století mechanické kalkulátory , jako například Marchant , automatizovaly násobení až 10místných čísel. Moderní elektronické počítače a kalkulačky výrazně snížily potřebu ručního násobení.

Historické algoritmy

Metody násobení byly dokumentovány ve spisech staroegyptské , řecké , indické a čínské civilizace.

Ishangská kost , datovaná do doby kolem 18 000 až 20 000 př . N. L. , Může naznačovat znalost násobení v období mladého paleolitu ve střední Africe , ale je to spekulativní.

Egypťané

Egyptská metoda násobení celých čísel a zlomků, dokumentovaná v Ahmesově papyru , byla postupným přidáváním a zdvojováním. Například pro nalezení součinů 13 a 21 bylo nutné zdvojnásobit 21 třikrát, čímž se získá 2 × 21 = 42 , 4 × 21 = 2 × 42 = 84 , 8 × 21 = 2 × 84 = 168 . Celý produkt pak lze nalézt přidáním příslušných výrazů nacházejících se v sekvenci zdvojení:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Babyloňané

Tyto Babyloňané používali šedesátkové poziční číselnou soustavu , podobně jako moderní den desítkové soustavě . Babylonské násobení bylo tedy velmi podobné modernímu desetinnému násobení. Vzhledem k relativní obtížnosti zapamatování 60 × 60 různých produktů používali babylonští matematici multiplikační tabulky . Tyto tabulky se skládaly ze seznamu prvních dvaceti násobků určitého jistého čísla n : n , 2 n , ..., 20 n ; následují násobky 10 n : 30 n 40 n a 50 n . Potom pro výpočet jakéhokoli sexuálně malého produktu, řekněme 53 n , stačí přidat 50 n a 3 n vypočítané z tabulky.

čínština

38 × 76 = 2888

V matematickém textu Zhoubi Suanjing , datovaném před rokem 300 př. N. L. , A v devíti kapitolách matematického umění byly multiplikační výpočty napsány slovy, ačkoli raní čínští matematici používali Rodův kalkul zahrnující sčítání hodnoty místa, odčítání, násobení a dělení. Číňané již používali desítkovou multiplikační tabulku do konce období válčících států .

Moderní metody

Součin 45 a 256. Všimněte si, že pořadí číslic na 45 je obráceno v levém sloupci. Krok přenášení násobení lze provést v konečné fázi výpočtu (tučně), přičemž konečný produkt vrátí 45 × 256 = 11520 . Toto je varianta multiplikace Lattice .

Moderní způsob násobení založený na systému hinduisticko -arabských číslic poprvé popsal Brahmagupta . Brahmagupta dala pravidla pro sčítání, odčítání, násobení a dělení. Henry Burchard Fine , tehdejší profesor matematiky na Princetonské univerzitě , napsal následující:

Indiáni jsou vynálezci nejen samotného pozičního desítkového systému, ale většiny procesů zapojených do elementárního počítání se systémem. Sčítání a odčítání fungovaly zcela stejně jako v dnešní době; rozmnožování se uskutečňovalo mnoha způsoby, naše mezi nimi, ale rozdělení dělali hloupě.

Tyto desítkové aritmetické algoritmy s místními hodnotami zavedl do arabských zemí Al Khwarizmi na počátku 9. století a v západním světě je propagoval Fibonacci ve 13. století.

Metoda mřížky

Násobení mřížkou nebo metoda boxu se používá na základních školách v Anglii a Walesu a v některých oblastech USA, aby pomohlo naučit se porozumět tomu, jak funguje násobení číslic. Příkladem vynásobení 34 číslem 13 by bylo rozložení čísel do mřížky jako:

  30 4
10 300 40
3 90 12

a poté přidejte položky.

Počítačové algoritmy

Klasický způsob násobení dva n -digit čísla vyžaduje n 2 číslice násobení. Byly navrženy multiplikační algoritmy, které při násobení velkého počtu značně zkracují dobu výpočtu. Metody založené na diskrétní Fourierově transformaci snižují výpočetní náročnost na O ( n log n log log n ) . V poslední době byl log log log n nahrazen funkcí, která roste mnohem pomaleji, i když stále není konstantní (jak se dá doufat).

V březnu 2019 David Harvey a Joris van der Hoeven předložili článek představující celočíselný multiplikační algoritmus s deklarovanou komplexností Algoritmus, rovněž založený na rychlé Fourierově transformaci, se považuje za asymptoticky optimální. Algoritmus není považován za prakticky užitečný, protože jeho výhody se objevují pouze při násobení extrémně velkých čísel (s více než 2 1729 12 bity).

Produkty měření

Lze pouze smysluplně sčítat nebo odčítat množství stejného typu, ale množství různých typů lze bez problému znásobit nebo rozdělit. Například čtyři pytle se třemi kuličkami lze považovat za:

[4 pytle] × [3 kuličky na pytel] = 12 kuliček.

Když se vynásobí dvě měření dohromady, produkt je typu v závislosti na typech měření. Obecná teorie je dána rozměrovou analýzou . Tato analýza se běžně používá ve fyzice, ale nachází uplatnění také ve financích a dalších aplikovaných oborech.

Běžný příklad ve fyzice je skutečnost, že vynásobením rychlosti od času dává vzdálenost . Například:

50 kilometrů za hodinu × 3 hodiny = 150 kilometrů.

V tomto případě se hodinové jednotky zruší a produktu zůstanou pouze kilometrové jednotky.

Mezi další příklady násobení zahrnující jednotky patří:

2,5 metru × 4,5 metru = 11,25 metrů čtverečních
11 metrů/s × 9 sekund = 99 metrů
4,5 obyvatel na dům × 20 domů = 90 obyvatel

Součin sekvence

Velká pí notace

Součin řady faktorů lze zapsat pomocí symbolu produktu, který je odvozen z velkého písmene (pí) v řecké abecedě (podobně jako je velké písmeno (sigma) použito v kontextu součtu ). Pozice Unicode U+220F obsahuje glyf pro označení takového produktu, odlišný od U+03A0 Π , dopis. Význam tohoto zápisu je dán:

to je

Index dává symbol pro vázané proměnné ( i v tomto případě), se nazývá „index množení“, spolu s jeho dolní mez ( 1 ), zatímco horní index (zde 4 ) dává jeho horní hranici. Dolní a horní hranice jsou výrazy označující celá čísla. Faktory součinu se získají převzetím výrazu za operátorem produktu, přičemž za index násobení budou nahrazeny po sobě jdoucí celočíselné hodnoty, počínaje od spodní hranice a zvyšovány o 1 až (včetně) horní hranice. Například:

Obecněji je zápis definován jako

kde m a n jsou celá čísla nebo výrazy, které se vyhodnocují na celá čísla. V případě, kde m = n , je hodnota produktu stejná jako hodnota jediného faktoru x m ; pokud m > n , produkt je prázdný produkt, jehož hodnota je 1 - bez ohledu na výraz pro faktory.

Vlastnosti značení pí

Podle definice,

Pokud jsou všechny faktory identické, součin n faktorů je ekvivalentem umocnění :

Asociativita a komutativita násobení implikuje

pokud a je nezáporné celé číslo, nebo pokud jsou všechna kladná reálná čísla , a

pokud jsou všechna nezáporná celá čísla, nebo pokud x je kladné reálné číslo.

Nekonečné produkty

Lze také uvažovat o produktech nekonečně mnoha výrazů; říká se jim nekonečné produkty . Notačně to spočívá v nahrazení n výše symbolem nekonečna ∞. Součin takovéto nekonečné sekvence je definován jako limita součinu prvních n podmínek, protože n roste bez vazby. To znamená,

Lze podobně nahradit m záporným nekonečnem a definovat:

za předpokladu, že existují obě meze.

Vlastnosti

Násobení čísel 0–10. Popisky řádků = multiplicand. Osa X = multiplikátor. Osa Y = součin.
Rozšíření tohoto vzorce na další kvadranty dává důvod, proč záporné číslo krát záporné číslo přinese kladné číslo.
Všimněte si také toho, jak násobení nulou způsobuje snížení dimenzionality, stejně jako násobení singulární maticí, kde determinant je 0. V tomto procesu jsou informace ztraceny a nelze je znovu získat.

Pro reálná a komplexní čísla, která zahrnují například přirozená čísla , celá čísla a zlomky , má násobení určité vlastnosti:

Komutativní majetek
Nezáleží na pořadí, ve kterém se vynásobí dvě čísla:
Asociativní majetek
Výrazy výhradně zahrnující násobení nebo sčítání jsou neměnné s ohledem na pořadí operací :
Distribuční vlastnictví
Platí s ohledem na násobení před sčítáním. Tato identita má zásadní význam pro zjednodušení algebraických výrazů:
Prvek identity
Multiplikativní identita je 1; cokoli vynásobené 1 je samo. Tato funkce 1 je známá jako vlastnost identity :
Vlastnost 0
Libovolné číslo vynásobené 0 je 0. Toto je známé jako nulová vlastnost násobení:
Negace
−1 krát se jakékoli číslo rovná aditivní inverzi tohoto čísla.
kde
–1krát –1 je 1.
Inverzní prvek
Každé číslo x , až 0 ° C , má multiplikativní inverzní , tak, že .
Zachování objednávky
Násobení kladným číslem zachová pořadí :
Pro a > 0 , pokud b > c, pak ab > ac .
Násobení záporným číslem obrátí pořadí:
Pro a <0 , pokud b > c, pak ab < ac .
Tyto komplexní čísla nemají uspořádání.

Jiné matematické systémy, které zahrnují operaci násobení, nemusí mít všechny tyto vlastnosti. Násobení například není pro matice a čtveřice obecně komutativní .

Axiomy

V knize Arithmetices Principia, nova methodo exposita , Giuseppe Peano navrhla axiomy aritmetiky na základě svých axiomů pro přirozená čísla. Peano aritmetika má dva axiomy pro násobení:

Zde S ( y ) představuje nástupce v y , nebo přirozené číslo, které následuje y . Různé vlastnosti, jako je asociativita, lze prokázat z těchto a dalších axiomů Peanovy aritmetiky včetně indukce . Například S (0), označená 1, je multiplikativní identita, protože

Axiomy pro celá čísla je obvykle definují jako třídy ekvivalence uspořádaných párů přirozených čísel. Model je založen na zpracování ( x , y ) jako ekvivalentu k x - y, když jsou x a y považovány za celá čísla. Takže (0,1) i (1,2) jsou ekvivalentní -1. Takto definovaný multiplikační axiom pro celá čísla je

Z toho pak lze odvodit pravidlo, že −1 × −1 = 1

Násobení je rozšířeno podobným způsobem na racionální čísla a poté na reálná čísla .

Násobení teorií množin

Součin nezáporných celých čísel lze definovat teorií množin pomocí kardinálních čísel nebo Peanoových axiomů . Podívejte se níže, jak to rozšířit na násobení libovolných celých čísel a potom libovolných racionálních čísel. Součin reálných čísel je definován pomocí součinů racionálních čísel, viz konstrukce reálných čísel .

Násobení v teorii grup

Existuje mnoho sad, které v rámci operace násobení splňují axiomy, které definují strukturu skupiny . Tyto axiomy jsou uzavření, asociativita a zahrnutí prvku identity a inverzí.

Jednoduchým příkladem je množina nenulových racionálních čísel . Zde máme identitu 1, na rozdíl od skupin pod přidáním, kde je identita obvykle 0. Všimněte si, že u racionálních hodnot musíme vyloučit nulu, protože při násobení nemá inverzní: neexistuje racionální číslo, které by bylo možné vynásobit nula za následek 1. V tomto příkladu máme abelianskou skupinu , ale není tomu tak vždy.

Chcete -li to vidět, zvažte množinu invertibilních čtvercových matic dané dimenze nad daným polem . Zde je jednoduché ověřit uzavření, asociativitu a zahrnutí identity ( matice identity ) a inverzí. Násobení matice však není komutativní, což ukazuje, že tato skupina není neabelská.

Dalším faktem, který stojí za povšimnutí, je, že násobení celých čísel není skupina - i když vyloučíme nulu. To je snadno patrné z neexistence inverze pro všechny prvky jiné než 1 a -1.

Násobení v teorii skupiny je obvykle označeno buď tečkou, nebo juxtapozicí (vynechání symbolu operace mezi prvky). Tak násobení prvku A elementem b by mohl být notated jako je b nebo ab . Při odkazování na skupinu prostřednictvím indikace sady a provozu se používá tečka. Náš první příklad může být například označen .

Násobení různých druhů čísel

Čísla mohou počítat (3 jablka), pořadí (3. jablko) nebo měřit (3,5 stopy na výšku); jak historie matematiky pokročila od počítání na našich prstech k modelování kvantové mechaniky, násobení bylo zobecněno na komplikovanější a abstraktní typy čísel a na věci, které nejsou čísly (například matice ) nebo se na čísla příliš nepodobají ( jako čtveřice ).

Celá čísla
je součet N kopií M, když N a M jsou kladná celá čísla. To dává počet věcí v poli N široký a M vysoký. Zobecnění na záporná čísla lze provést pomocí
a
Stejná pravidla pro znaménka platí pro racionální a reálná čísla.
Racionální čísla
Zobecnění na frakce je vynásobením čitatele a jmenovatele v tomto pořadí: . To dává oblast obdélníku vysokou a širokou a je stejná jako počet věcí v poli, když racionální čísla jsou celá čísla.
Skutečná čísla
Skutečná čísla a jejich produkty lze definovat pomocí posloupností racionálních čísel .
Složitá čísla
S ohledem na složitá čísla a jako seřazené páry reálných čísel a , produkt je . To je stejné jako u realit , kdy jsou imaginární části a nulové.
Ekvivalentně, označující jako , máme
Další generalizace
Viz Násobení v teorii skupin výše a Multiplikativní skupina , která například zahrnuje násobení matic. Velmi obecný a abstraktní koncept násobení je „multiplikativně označovaná“ (druhá) binární operace v kruhu . Příkladem prstence, který není žádný z výše uvedených číselných systémů, je polynomický prstenec ( polynomy můžete sčítat a násobit, ale polynomy nejsou čísla v žádném obvyklém smyslu.)
Divize
Často dělení, je stejný jako násobení inverzní, . Násobení u některých typů „čísel“ může mít odpovídající dělení bez inverzí; v integrální doméně x nemusí mít žádné inverzní " ", ale může být definováno. V dělicím prstenci jsou inverze, ale v nekomutativních prstencích mohou být nejednoznačné, protože nemusí být stejné jako .

Umocňování

Když se násobení opakuje, je výsledná operace známá jako umocnění . Například součin tří faktorů dvou (2 × 2 × 2) je „dva povzneseny na třetí mocninu“ a je označen 2 3 , dvojkou s horním indexem tři. V tomto případě je číslo dvě základna a tři exponent . Obecně exponent (nebo horní index) udává, kolikrát se základna objeví ve výrazu, takže výraz

znamená, že n kopií báze a má být vynásobeno dohromady. Tento zápis lze použít vždy, když je známo, že násobení je asociativní s mocí .

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy