Multiplikativní funkce - Multiplicative function

V teorii čísel , je multiplikativní funkce je matematická funkce f ( n ) z kladné celé číslo n se vlastnost, že f (1) = 1 a

kdykoli a a b jsou coprime .

Aritmetická funkce f ( n ) je považována za zcela multiplikativní (nebo zcela multiplikativní ), pokud f (1) = 1 a f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) platí pro všechna kladná celá čísla a a b , i když nejsou coprime.

Příklady

Některé multiplikativní funkce jsou definovány, aby se vzorce snáze psaly:

  • 1 ( n ): konstantní funkce, definovaná 1 ( n ) = 1 (zcela multiplikativní)
  • Id ( n ): funkce identity , definovaná Id ( n ) = n (zcela multiplikativní)
  • Id k ( n ): mocninové funkce definované Id k ( n ) = n k pro jakékoli komplexní číslo k (zcela multiplikativní). Máme speciální případy
    • Id 0 ( n ) = 1 ( n ) a
    • Id 1 ( n ) = Id ( n ).
  • ε ( n ): funkce definovaná pomocí ε ( n ) = 1, pokud n = 1 a 0 jinak, někdy nazývaná multiplikační jednotka pro Dirichletovu konvoluci nebo jednoduše jednotková funkce (zcela multiplikativní). Někdy se zapisuje jako u ( n ), ale nesmí být zaměňováno s μ ( n ).
  • 1 C ( n ) je funkce indikátor množiny CZ , pro některé sady C . Indikátor Funkce 1 C ( n ) je multiplikativní právě když množina C má následující vlastnosti pro všechny čísla coprime s a b : produkt ab je v C tehdy, když čísla A a B jsou obě se v C . To je případ, kdy C je množina čtverců, kostek nebo k -tých mocnin, nebo pokud C je množina čísel bez čtverců .

Mezi další příklady multiplikativních funkcí patří mnoho funkcí důležitých v teorii čísel, například:

  • gcd ( n , k ): z největší společný dělitel z n a k , jako funkce n , kde k je celé číslo pevné.
  • : Eulerova totientová funkce , počítání kladných celých čísel coprime na (ale ne větší než) n
  • μ ( n ): Möbiova funkce , parita (−1 pro liché, +1 pro sudé) počtu prvočíselných činitelů čísel bez čtverců ; 0, pokud n není bez čtverců
  • σ k ( n ): funkce dělitele , která je součtem k -tých sil všech kladných dělitelů n (kde k může být libovolné komplexní číslo ). Máme speciální případy
    • σ 0 ( n ) = d ( n ) počet pozitivních dělitele z N ,
    • σ 1 ( n ) = σ ( n ), součet všech kladných dělitelů n .
  • a ( n ): počet neizomorfních abelianských skupin řádu n .
  • λ ( n ): Liouvilleova funkce , λ ( n ) = (−1) Ω ( n ) kde Ω ( n ) je celkový počet prvočísel (počítaných s multiplicitou) dělících n . (zcela multiplikativní).
  • γ ( n ), definováno γ ( n ) = (−1) ω (n) , kde aditivní funkce ω ( n ) je počet odlišných prvočísel dělících n .
  • τ ( n ): funkce Ramanujan tau .
  • Všechny Dirichletovy znaky jsou zcela multiplikační funkce. Například

Příkladem ne -multiplikativní funkce je aritmetická funkce r 2 ( n ) - počet reprezentací n jako součet čtverců dvou celých čísel, kladných , záporných nebo nulových , kde při počítání počtu způsobů, obrácení objednávka je povolena. Například:

1 = 1 2 + 0 2 = (−1) 2 + 0 2 = 0 2 + 1 2 = 0 2 + (−1) 2

a proto r 2 (1) = 4 ≠ 1. To ukazuje, že funkce není multiplikativní. Avšak r 2 ( n )/4 je multiplikativní.

V on-line encyklopedii celočíselných sekvencí mají sekvence hodnot multiplikativní funkce klíčové slovo „více“.

Viz aritmetická funkce pro další příklady non-multiplikativních funkcí.

Vlastnosti

Multiplikativní funkce je zcela určena svými hodnotami v mocninách prvočísel , což je důsledek základní věty o aritmetice . Pokud je tedy n součin mocnin různých prvočísel, řekněme n = p a q b ..., pak f ( n ) = f ( p a ) f ( q b ) ...

Tato vlastnost multiplikativních funkcí významně snižuje potřebu výpočtu, jako v následujících příkladech pro n = 144 = 2 4 · 3 2 :

d (144) = σ 0 (144) = σ 0 (2 4 ) σ 0 (3 2 ) = (1 0 + 2 0 + 4 0 + 8 0 + 16 0 ) (1 0 + 3 0 + 9 0 ) = 5 · 3 = 15,
σ (144) = σ 1 (144) = σ 1 (2 4 ) σ 1 (3 2 ) = (1 1 + 2 1 + 4 1 + 8 1 + 16 1 ) (1 1 + 3 1 + 9 1 ) = 31 · 13 = 403,
σ * (144) = σ * (2 4 ) σ * (3 2 ) = (1 1 + 16 1 ) (1 1 + 9 1 ) = 17 · 10 = 170.

Podobně máme:

Obecně platí, že pokud f ( n ) je multiplikativní funkce a a , b jsou libovolná dvě kladná celá čísla, pak

f ( a ) · f ( b ) = f ( gcd ( a , b )) · f ( lcm ( a , b )).

Každý kompletně multiplikativní funkce je homomorphism z monoidů a je zcela určen jeho omezení na prvočísla.

Konvoluce

Pokud f a g jsou dvě multiplikativní funkce, jeden definuje nový multiplikativní funkce f * g , na Dirichlet konvoluce ve f a g , a

kde součet přesahuje všechny kladné dělitelé d z n . Touto operací se množina všech multiplikativních funkcí změní na abelianskou skupinu ; element identity je ε . Konvoluce je komutativní, asociativní a distribuční oproti sčítání.

Vztahy mezi multiplikativními funkcemi diskutovanými výše zahrnují:

  • μ * 1 = ε ( Möbiusův inverzní vzorec )
  • ( μ Id k ) * Id k = ε (generalizovaná Möbiova inverze)
  • * 1 = Id
  • d = 1 * 1
  • σ = Id * 1 = * d
  • σ k = Id k * 1
  • Id = * 1 = σ * μ
  • Id k = σ k * μ

Dirichletovu konvoluci lze definovat pro obecné aritmetické funkce a získá kruhovou strukturu, Dirichletův kruh .

Dirichlet konvoluce dvou multiplikativních funkcí je opět multiplikativní. Důkazem této skutečnosti je následující expanze pro relativně primární :

Dirichletova řada pro některé multiplikativní funkce

Další příklady jsou uvedeny v článku o sérii Dirichlet .

Multiplikativní funkce přes F q [ X ]

Nechť A = F q [ X ] , polynomický prstenec nad konečným polem s q prvky. A je hlavní ideální doménou, a proto je A jedinečnou faktorizační doménou .

Komplex-cenil funkce na A se nazývá multiplikační pokud kdykoli f a g jsou relativně prvočíslo .

Funkce Zeta a Dirichletova řada v F q [ X ]

Nechť h je polynomická aritmetická funkce (tj. Funkce na množině monických polynomů nad A ). Jeho odpovídající Dirichletova řada je definována jako

kde pro nastavení, pokud a jinak.

Funkce polynomu zeta je pak

Podobně jako v případě N má každá Dirichletova řada multiplikativní funkce h reprezentaci produktu (Eulerův produkt):

pokud výrobek běží přes všechny monic ireducibilní polynom P . Například produktová reprezentace funkce zeta je stejná jako pro celá čísla:

Na rozdíl od klasického zeta funkci , je jednoduchý racionální funkce:

Podobným způsobem, pokud f a g jsou dvě polynomu aritmetické funkce, jeden definuje f  *  g , tím Dirichlet konvoluce o f a g , dle

kde součet přes všechny monic dělitele dm , nebo ekvivalentně přes všechny dvojice ( , b ) z monic polynomů, jejichž produkt je m . Identita stále platí.

Viz také

Reference

  • Viz kapitola 2 Apostolu, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel , Pregraduální texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929 , Zbl  0335.10001

externí odkazy