Multiplikativní funkce - Multiplicative function
V teorii čísel , je multiplikativní funkce je matematická funkce f ( n ) z kladné celé číslo n se vlastnost, že f (1) = 1 a
Aritmetická funkce f ( n ) je považována za zcela multiplikativní (nebo zcela multiplikativní ), pokud f (1) = 1 a f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) platí pro všechna kladná celá čísla a a b , i když nejsou coprime.
Příklady
Některé multiplikativní funkce jsou definovány, aby se vzorce snáze psaly:
- 1 ( n ): konstantní funkce, definovaná 1 ( n ) = 1 (zcela multiplikativní)
- Id ( n ): funkce identity , definovaná Id ( n ) = n (zcela multiplikativní)
- Id k ( n ): mocninové funkce definované Id k ( n ) = n k pro jakékoli komplexní číslo k (zcela multiplikativní). Máme speciální případy
- Id 0 ( n ) = 1 ( n ) a
- Id 1 ( n ) = Id ( n ).
- ε ( n ): funkce definovaná pomocí ε ( n ) = 1, pokud n = 1 a 0 jinak, někdy nazývaná multiplikační jednotka pro Dirichletovu konvoluci nebo jednoduše jednotková funkce (zcela multiplikativní). Někdy se zapisuje jako u ( n ), ale nesmí být zaměňováno s μ ( n ).
- 1 C ( n ) je funkce indikátor množiny C ⊂ Z , pro některé sady C . Indikátor Funkce 1 C ( n ) je multiplikativní právě když množina C má následující vlastnosti pro všechny čísla coprime s a b : produkt ab je v C tehdy, když čísla A a B jsou obě se v C . To je případ, kdy C je množina čtverců, kostek nebo k -tých mocnin, nebo pokud C je množina čísel bez čtverců .
Mezi další příklady multiplikativních funkcí patří mnoho funkcí důležitých v teorii čísel, například:
- gcd ( n , k ): z největší společný dělitel z n a k , jako funkce n , kde k je celé číslo pevné.
- : Eulerova totientová funkce , počítání kladných celých čísel coprime na (ale ne větší než) n
- μ ( n ): Möbiova funkce , parita (−1 pro liché, +1 pro sudé) počtu prvočíselných činitelů čísel bez čtverců ; 0, pokud n není bez čtverců
-
σ k ( n ): funkce dělitele , která je součtem k -tých sil všech kladných dělitelů n (kde k může být libovolné komplexní číslo ). Máme speciální případy
- σ 0 ( n ) = d ( n ) počet pozitivních dělitele z N ,
- σ 1 ( n ) = σ ( n ), součet všech kladných dělitelů n .
- a ( n ): počet neizomorfních abelianských skupin řádu n .
- λ ( n ): Liouvilleova funkce , λ ( n ) = (−1) Ω ( n ) kde Ω ( n ) je celkový počet prvočísel (počítaných s multiplicitou) dělících n . (zcela multiplikativní).
- γ ( n ), definováno γ ( n ) = (−1) ω (n) , kde aditivní funkce ω ( n ) je počet odlišných prvočísel dělících n .
- τ ( n ): funkce Ramanujan tau .
- Všechny Dirichletovy znaky jsou zcela multiplikační funkce. Například
- ( n / p ), symbol Legendre , považovaný za funkci n, kde p je pevné prvočíslo .
Příkladem ne -multiplikativní funkce je aritmetická funkce r 2 ( n ) - počet reprezentací n jako součet čtverců dvou celých čísel, kladných , záporných nebo nulových , kde při počítání počtu způsobů, obrácení objednávka je povolena. Například:
a proto r 2 (1) = 4 ≠ 1. To ukazuje, že funkce není multiplikativní. Avšak r 2 ( n )/4 je multiplikativní.
V on-line encyklopedii celočíselných sekvencí mají sekvence hodnot multiplikativní funkce klíčové slovo „více“.
Viz aritmetická funkce pro další příklady non-multiplikativních funkcí.
Vlastnosti
Multiplikativní funkce je zcela určena svými hodnotami v mocninách prvočísel , což je důsledek základní věty o aritmetice . Pokud je tedy n součin mocnin různých prvočísel, řekněme n = p a q b ..., pak f ( n ) = f ( p a ) f ( q b ) ...
Tato vlastnost multiplikativních funkcí významně snižuje potřebu výpočtu, jako v následujících příkladech pro n = 144 = 2 4 · 3 2 :
Podobně máme:
Obecně platí, že pokud f ( n ) je multiplikativní funkce a a , b jsou libovolná dvě kladná celá čísla, pak
Každý kompletně multiplikativní funkce je homomorphism z monoidů a je zcela určen jeho omezení na prvočísla.
Konvoluce
Pokud f a g jsou dvě multiplikativní funkce, jeden definuje nový multiplikativní funkce f * g , na Dirichlet konvoluce ve f a g , a
Vztahy mezi multiplikativními funkcemi diskutovanými výše zahrnují:
- μ * 1 = ε ( Möbiusův inverzní vzorec )
- ( μ Id k ) * Id k = ε (generalizovaná Möbiova inverze)
- * 1 = Id
- d = 1 * 1
- σ = Id * 1 = * d
- σ k = Id k * 1
- Id = * 1 = σ * μ
- Id k = σ k * μ
Dirichletovu konvoluci lze definovat pro obecné aritmetické funkce a získá kruhovou strukturu, Dirichletův kruh .
Dirichlet konvoluce dvou multiplikativních funkcí je opět multiplikativní. Důkazem této skutečnosti je následující expanze pro relativně primární :
Dirichletova řada pro některé multiplikativní funkce
Další příklady jsou uvedeny v článku o sérii Dirichlet .
Multiplikativní funkce přes F q [ X ]
Nechť A = F q [ X ] , polynomický prstenec nad konečným polem s q prvky. A je hlavní ideální doménou, a proto je A jedinečnou faktorizační doménou .
Komplex-cenil funkce na A se nazývá multiplikační pokud kdykoli f a g jsou relativně prvočíslo .
Funkce Zeta a Dirichletova řada v F q [ X ]
Nechť h je polynomická aritmetická funkce (tj. Funkce na množině monických polynomů nad A ). Jeho odpovídající Dirichletova řada je definována jako
kde pro nastavení, pokud a jinak.
Funkce polynomu zeta je pak
Podobně jako v případě N má každá Dirichletova řada multiplikativní funkce h reprezentaci produktu (Eulerův produkt):
pokud výrobek běží přes všechny monic ireducibilní polynom P . Například produktová reprezentace funkce zeta je stejná jako pro celá čísla:
Na rozdíl od klasického zeta funkci , je jednoduchý racionální funkce:
Podobným způsobem, pokud f a g jsou dvě polynomu aritmetické funkce, jeden definuje f * g , tím Dirichlet konvoluce o f a g , dle
kde součet přes všechny monic dělitele d o m , nebo ekvivalentně přes všechny dvojice ( , b ) z monic polynomů, jejichž produkt je m . Identita stále platí.
Viz také
Reference
- Viz kapitola 2 Apostolu, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel , Pregraduální texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0335.10001