Funkce s více hodnotami - Multivalued function

Toto schéma představuje vícehodnotové, ale není správné (jednohodnotných) funkce , protože prvek 3 v X, je spojena s dvěma prvky, b a c , v Y .

V matematice je vícehodnotová funkce , nazývaná také multifunkční , mnohohodnotová funkce , funkce s nastavenou hodnotou , podobná funkci , ale ke každému vstupu může přiřadit několik hodnot. Přesněji řečeno, vícehodnotový funkce z domény $X$ na codomain $Y$ sdružuje každý $x$ v $X$ na jednu nebo více hodnot $y$ v $Y$ ; jde tedy o sériový binární vztah . Někteří autoři umožňují, aby funkce s více hodnotami neměla pro některé vstupy žádnou hodnotu (v tomto případě je funkce s více hodnotami jednoduše binární relací).

V některých kontextech, například v komplexní analýze ( X = Y = C ), však autoři dávají přednost napodobování teorie funkcí, protože rozšiřují koncepce běžných (jednohodnotových) funkcí. V této souvislosti se běžné funkci často říká funkce s jednou hodnotou, aby nedošlo k záměně.

Pojem funkce s více hodnotami pochází z komplexní analýzy, z analytického pokračování . Často se stává, že člověk zná hodnotu komplexní analytické funkce v nějakém sousedství bodu . To je případ funkcí definovaných teorémem implicitní funkce nebo Taylorovou řadou kolem . V takové situaci lze rozšířit doménu funkce s jednou hodnotou podél křivek v komplexní rovině počínaje od . Přitom člověk zjistí, že hodnota rozšířené funkce v bodě závisí na zvolené křivce od do ; protože žádná z nových hodnot není přirozenější než ostatní, jsou všechny začleněny do funkce s více hodnotami. ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle z = a}$ ${\ displaystyle z = a}$ ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle z = b}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$

Nechť je například obvyklá funkce odmocniny na kladných reálných číslech. Jeden může rozšířit jeho doménu na sousedství v komplexní rovině a pak dále podél křivek začínajících na , takže hodnoty podél dané křivky se plynule mění od . Rozšířením na záporná reálná čísla získáme dvě opačné hodnoty pro druhou odmocninu - například $\pm$ $i$ pro $-1$ - podle toho, zda byla doména prodloužena horní nebo dolní polovinou komplexní roviny. Tento jev je velmi častý a vyskytuje se u $n$ -tých kořenů , logaritmů a inverzních goniometrických funkcí . ${\ Displaystyle f (z) = {\ sqrt {z}} \,}$ ${\ displaystyle z = 1}$ ${\ displaystyle z = 1}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {1}} = 1}$

Chcete-li definovat funkci s jednou hodnotou od komplexní funkce s více hodnotami, je možné rozlišit jednu z více hodnot jako hlavní hodnotu , čímž se vytvoří funkce s jednou hodnotou v celé rovině, která je nespojitá podél určitých hraničních křivek. Alternativně řešení vícehodnotové funkce umožňuje mít něco, co je všude spojité, za cenu možných změn hodnot, když člověk sleduje uzavřenou cestu ( monodromie ). Tyto problémy jsou vyřešeny v teorii Riemannových povrchů : aby bylo možné považovat vícehodnotovou funkci za běžnou funkci, aniž bychom zahodili jakékoli hodnoty, znásobíme doménu do mnohovrstevného krycího prostoru , což je potrubí, ke kterému je Riemannův povrch přidružen . ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle f (z)}$

Příklady

Každé skutečné číslo větší než nula má dvě skutečné odmocniny , takže druhou odmocninu lze považovat za funkci s více hodnotami. Můžeme například psát ; ačkoli nula má jen jednu odmocninu . ${\ Displaystyle {\ sqrt {4}} = \ pm 2 = \ {2, -2 \}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {0}} = \ {0 \}}$
Každý nenulový komplexní číslo má dvě druhé odmocniny, tři třetí odmocniny a obecně n n th kořeny . Jediný n -tý kořen 0 je 0.
Komplexní logaritmus funkce je více ceněny. Hodnoty předpokládané pro pro reálná čísla a jsou pro všechna celá čísla . ${\ displaystyle \ log (a+bi)}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ Displaystyle \ log {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i \ arg (a+bi) +2 \ pi ni}$ ${\ displaystyle n}$
Inverzní goniometrické funkce mají více hodnot, protože goniometrické funkce jsou periodické. My máme ${\ Displaystyle \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {4}} \ right) = \ tan \ left ({\ tfrac {5 \ pi} {4}} \ right) = \ tan \ left ({ \ tfrac {-3 \ pi} {4}} \ right) = \ tan \ left ({\ tfrac {(2n+1) \ pi} {4}} \ right) = \ cdots = 1.}$ V důsledku toho arctan (1) intuitivně souvisí s několika hodnotami: $π$ /4, 5 $π$ /4, −3 $π$ /4 atd. Můžeme považovat arktan za funkci s jednou hodnotou omezením domény tan x na - $π$ /2 < x < $π$ /2 -doménu, nad kterou se tan x monotónně zvyšuje. Rozsah arktanu ( x ) se tedy stane - $π$ /2 < y < $π$ /2 . Tyto hodnoty z omezené domény se nazývají hlavní hodnoty .
Primitivní lze považovat za vícehodnotové funkce. Antiderivativem funkce je sada funkcí, jejichž derivátem je tato funkce. Integrační konstanta vyplývá ze skutečnosti, že se derivát konstantní funkce je 0.
Inverzní hyperbolické funkce přes komplexní doménu mají více hodnot, protože hyperbolické funkce jsou periodické podél imaginární osy. Ve srovnání s realitami mají jednu hodnotu, kromě arcosh a arsech.
Například argmax je vícehodnotový ${\ displaystyle \ operatorname {argmax} _ {x \ in \ mathbb {R}} \ cos (x) = \ {2 \ pi k \ mid k \ in \ mathbb {Z} \}}$

To vše jsou příklady vícehodnotových funkcí, které pocházejí z neinjektivních funkcí . Protože původní funkce nezachovávají všechny informace o jejich vstupech, nejsou reverzibilní. Omezení vícehodnotové funkce je často částečnou inverzí původní funkce.

Vícehodnotové funkce komplexní proměnné mají body větví . Například pro n -tu funkci root a logaritmus je 0 bodem větve; pro funkci arktangens jsou imaginární jednotky i a - i body větví. Pomocí bodů větvení lze tyto funkce předefinovat na funkce s jednou hodnotou omezením rozsahu. Vhodný interval lze nalézt pomocí větvového řezu , což je druh křivky, která spojuje páry bodů větví, čímž se redukuje vícevrstvý Riemannův povrch funkce na jedinou vrstvu. Stejně jako v případě skutečných funkcí může být omezený rozsah nazýván hlavní větev funkce.

Stanovená hodnota analýzy

Analýza v hodnotě sady je studium sad v duchu matematické analýzy a obecné topologie .

Namísto zvažování sbírek pouze bodů zvažuje analýza s hodnotou sady kolekce sad. Pokud je kolekce množin vybavena topologií nebo zdědí příslušnou topologii z podkladového topologického prostoru, pak lze studovat konvergenci množin.

Velká část hodnotové analýzy vznikla studiem matematické ekonomie a optimálního řízení , částečně jako zobecnění konvexní analýzy ; termín „ variační analýza “ používají autoři jako R. Tyrrell Rockafellar a Roger JB Wets , Jonathan Borwein a Adrian Lewis a Boris Mordukhovich . V optimalizační teorii je konvergence aproximace subdiferenciálů k subdiferenciálu důležitá pro pochopení nezbytných nebo dostatečných podmínek pro jakýkoli minimalizační bod.

Existují bodově rozšířená rozšíření následujících konceptů z bodové analýzy: spojitost , diferenciace , integrace , věta o implicitní funkci , mapování kontrakce , teorie měření , věty s pevným bodem , optimalizace a teorie topologických stupňů .

Rovnice jsou zobecněny na inkluze .

Typy vícehodnotových funkcí

Lze rozlišit více konceptů generalizujících spojitost , jako je vlastnost uzavřeného grafu a horní a dolní hemikontinuita . Existují také různá zobecnění míry na multifunkční funkce.

Aplikace

Multifunkce vznikají v teorii optimálního řízení , zejména diferenciální inkluze a příbuzná témata jako teorie her , kde byla pro prokázání existence Nashových rovnováh použita věta o pevných bodech Kakutani (v kontextu teorie her se obvykle označuje vícehodnotová funkce jako korespondence ). To mezi mnoha dalšími vlastnostmi volně spojenými s aproximací horních hemikontinuálních multifunkcí prostřednictvím spojitých funkcí vysvětluje, proč je vyšší hemikontinuita výhodnější než nižší hemikontinuita.

Nicméně nižší polokontinuální vícefunkce obvykle mají spojité výběry, jak je uvedeno v Michaelově větě o výběru , která poskytuje další charakterizaci parakompaktních prostorů. Další věty o výběru, jako je směrová spojitá selekce Bressan-Colombo, věta o měřitelném výběru Kuratowského a Ryll-Nardzewského , měřitelná selekce Aumanna a Fryszkowského výběr pro rozložitelné mapy jsou důležité pro optimální řízení a teorii diferenciálních inkluzí .

Ve fyzice hrají funkce s více hodnotami stále důležitější roli. Tvoří matematický základ pro Diracových s magnetickými monopólů , pro teorii defektů v krystalech a výsledný plasticity materiálu, pro vírů v superfluids a supravodičů , a na fázových přechodů v těchto systémech, například tavení a tvarohové porodu . Jsou původem struktur rozchodných polí v mnoha odvětvích fyziky.

Kontrast s

Viz také

Fat link , hypertextový odkaz one-to-many
Intervalový konečný prvek
Dílčí funkce

Reference

Poznámky

Další čtení

CD Aliprantis a KC Border, nekonečná dimenzionální analýza. Stopařův průvodce , Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
J. Andres a L. Górniewicz, Topologické zásady pevných bodů pro problémy s hraniční hodnotou , Kluwer Academic Publishers, 2003
J.-P. Aubin a A. Cellina, diferenciální inkluze, mapy s hodnotami a teorie životaschopnosti , Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, Berlín, 1984
J.-P. Aubin a H. Frankowska , Set-Valued Analysis , Birkhäuser, Basel, 1990
K. Deimling, diferenciální rovnice s více hodnotami, Walter de Gruyter, 1992
Geletu, A. (2006). „Úvod do topologických prostorů a hodnotných map“ (PDF) . Přednášky . Technische Universität Ilmenau .
H. Kleinert , Pole s více hodnotami v kondenzované hmotě, elektrodynamika a gravitace , World Scientific (Singapur, 2008) (k dispozici také online )
H. Kleinert , Gauge Fields in Condensed Matter , sv. I: Superflow a Vortex Lines, 1–742, sv. II: Streses and Defects, 743–1456, World Scientific, Singapore, 1989 (dostupné také online: Vol. I a Vol. II )
D. Repovš a PV Semenov, Souvislé výběry vícehodnotových zobrazení , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
EU Tarafdar a MSR Chowdhury, Topologické metody pro nelineární analýzu stanovené hodnoty , World Scientific, Singapur, 2008
Mitroi, F.-C .; Nikodem, K .; Wąsowicz, S. (2013). „Hermite-Hadamardovy nerovnosti pro konvexní set-oceňované funkce“ . Demonstrace Mathematica . 46 (4): 655–662. doi : 10,1515/dema-2013-0483 .

Languages

In other projects