Vícerozměrná analýza kovariance - Multivariate analysis of covariance

Vícerozměrná analýza kovariance ( MANCOVA ) je rozšířením metod analýzy kovariance ( ANCOVA ) tak, aby pokryla případy, kdy existuje více než jedna závislá proměnná a kde je vyžadována kontrola souběžných spojitých nezávislých proměnných - kovariací . Nejvýznamnější výhodou designu MANCOVA oproti jednoduché MANOVA je „vyřazení“ šumu nebo chyby, které byly zavedeny kovariantou. Běžně používanou vícerozměrnou verzí statistiky ANOVA F je Wilksova Lambda (Λ), která představuje poměr mezi odchylkou chyby (nebo kovariancí) a efektovou odchylkou (nebo kovariancí).

Cíle

Podobně jako u všech testů v rodině ANOVA je primárním cílem MANCOVA testovat významné rozdíly mezi průměrem skupiny. Proces charakterizace kovariátu ve zdroji dat umožňuje snížení rozsahu chybového členu, který je v návrhu MANCOVA představován jako MS _error . Následně se celková Wilksova Lambda zvětší a bude pravděpodobněji charakterizována jako významná. To dává badateli větší statistickou sílu k detekci rozdílů v datech. Vícerozměrný aspekt MANCOVA umožňuje charakterizaci rozdílů ve skupinových prostředcích, pokud jde o lineární kombinaci více závislých proměnných, při současné kontrole kovariací.

Příklad situace, kdy je MANCOVA vhodná: Předpokládejme, že vědec má zájem o testování účinků dvou nových léků na skóre deprese a úzkosti. Předpokládejme také, že vědec má informace týkající se celkové reakce na léky pro každého pacienta; zohlednění této kovariátu poskytne testu vyšší citlivost při určování účinků každého léku na obě závislé proměnné.

Předpoklady

Aby bylo možné MANCOVU vhodně používat, musí být splněny určité předpoklady:

1. Normálnost : Pro každou skupinu musí každá závislá proměnná představovat normální rozdělení skóre. Kromě toho musí být normálně distribuována jakákoli lineární kombinace závislých proměnných. Transformace nebo odstranění odlehlých hodnot může pomoci zajistit splnění tohoto předpokladu. Porušení tohoto předpokladu může vést ke zvýšení chyb typu I sazeb.
2. Nezávislost pozorování : Každé pozorování musí být nezávislé na všech ostatních pozorováních; tento předpoklad lze splnit použitím technik náhodného vzorkování . Porušení tohoto předpokladu může vést ke zvýšení chybovosti typu I.
3. Homogenita variací : Každá závislá proměnná musí vykazovat podobné úrovně rozptylu v každé nezávislé proměnné. Porušení tohoto předpokladu lze koncipovat jako korelaci mezi rozptyly a prostředky závislých proměnných. Toto porušení se často nazývá „ heteroscedasticita “ a lze jej otestovat pomocí Levenova testu .
4. Homogenita kovariancí : Interkorelační matice mezi závislými proměnnými musí být stejná na všech úrovních nezávislé proměnné. Porušení tohoto předpokladu může vést ke zvýšení chybovosti typu I a ke snížení statistické síly .

Logika MANOVA

Analogicky k ANOVA je MANOVA založen na produktu matice rozptylu modelu a inverzní k matici rozptylu chyb , nebo . Hypotéza, která naznačuje, že produkt . Invariance úvahy znamenat MANOVA statistika by měla být měřítkem velikosti této dekompozice singulární hodnoty tohoto matrice produktu, ale neexistuje žádný jedinečný volbu vzhledem k multi- dimenzionální povaze alternativní hypotézy. ${\ displaystyle \ Sigma _ {\ text {model}}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {\ text {res}} ^ {- 1}}$${\ displaystyle A = \ Sigma _ {\ text {model}} \ krát \ Sigma _ {\ text {res}} ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {\ text {model}} = \ Sigma _ {\ text {reziduální}}}$${\ displaystyle A \ sim I}$

Mezi nejčastější statistiky jsou souhrny založené na kořenech (nebo čísel ) z matrice: ${\ displaystyle \ lambda _ {p}}$${\ displaystyle A}$

• Samuel Stanley Wilks Λ:

${\ displaystyle \ Lambda _ {\ text {Wilks}} = \ prod _ {1 \ ldots p} {\ frac {1} {1+ \ lambda _ {p}}} = \ det (I + A) ^ { -1} = {\ frac {\ det (\ Sigma _ {\ text {res}})} {\ det (\ Sigma _ {\ text {res}} + \ Sigma _ {\ text {model}})} }}$

distribuováno jako lambda (Λ)

• Pillai- MS Bartlett stopa ,

${\ displaystyle \ Lambda _ {\ text {Pillai}} = \ součet _ {1 \ ldots p} {\ frac {1} {1+ \ lambda _ {p}}} = \ operatorname {tr} ((I + A) ^ {- 1})}$

• stopa Lawley - Hotelling ,

${\ displaystyle \ Lambda _ {\ text {LH}} = \ součet _ {1 \ ldots p} \ lambda _ {p} = \ operatorname {tr} (A)}$

• Royův největší kořen (nazývaný také Royův největší kořen ),

${\ displaystyle \ Lambda _ {\ text {Roy}} = \ max _ {p} (\ lambda _ {p}) = \ | A \ | _ {\ infty}}$

Covariates

Ve statistice představuje kovariát zdroj variací, který nebyl v experimentu řízen a předpokládá se, že ovlivňuje závislou proměnnou. Cílem takových technik, jako je ANCOVA, je odstranit účinky takových nekontrolovaných variací, aby se zvýšila statistická síla a zajistilo přesné měření skutečného vztahu mezi nezávislými a závislými proměnnými.

Příkladem je analýza trendu v mořské hladině, kterou provedl Woodworth (1987). Zde byla závislou proměnnou (a nejzajímavější proměnnou) roční průměrná hladina moře v daném místě, pro kterou byla k dispozici řada ročních hodnot. Primární nezávislou proměnnou byl „čas“. Byl použit „kovariát“ skládající se z ročních hodnot ročního průměrného atmosférického tlaku na hladině moře. Výsledky ukázaly, že zahrnutí kovariátu umožnilo získat lepší odhady trendu proti času ve srovnání s analýzami, které kovariát vynechaly.

Viz také

• Analýza diskriminačních funkcí
• ANCOVA
• MANOVA

Reference