n -vektor - n-vector

N -vector reprezentace (také nazývaný geodetická normální nebo elipsoidu normálový vektor) je tři-parametr non-singulární reprezentace dobře hodí pro nahrazení zeměpisné šířky a délky , jak horizontální reprezentaci polohy v matematických výpočtů a počítačových algoritmů.

Geometricky je n- vektor pro danou pozici na elipsoidu vnější jednotkový vektor, který je v dané poloze normální k elipsoidu. Pro reprezentaci vodorovných poloh na Zemi je elipsoid referenčním elipsoidem a vektor je rozložen v souřadném systému pevném na Zemi vycentrovaném na Zemi . Chová se hladce na všech pozicích Země a má matematickou vlastnost jedna k jedné .

Obecněji, koncept může být aplikován na které představují pozice na rozhraní striktně konvexní omezená podmnožina z k rozměrné euklidovském prostoru , za předpokladu, že tato hranice je diferencovatelná potrubí . V tomto obecném případě se n- vektor skládá z k parametrů.

Obecné vlastnosti

Normálový vektor k čistě konvexní plochy mohou být použity k jednoznačně definovat polohu povrchu. n -vector je ven směřující normální vektor s jednotkovou délkou použitý jako reprezentace polohy.

Pro většinu aplikací je povrch referenčním elipsoidem Země, a proto se n- vektor používá k reprezentaci horizontální polohy. Úhel mezi n- vektorem a rovníkovou rovinou tedy odpovídá geodetické šířce , jak je znázorněno na obrázku.

Směr n- vektoru odpovídá geodetické šířce

Pozice povrchu má dva stupně volnosti , a proto jsou k reprezentaci jakékoli polohy na povrchu dostatečné dva parametry. U referenčního elipsoidu jsou zeměpisná šířka a délka běžnými parametry pro tento účel, ale stejně jako všechny reprezentace dvou parametrů mají singularity . To je podobné jako u orientace , která má tři stupně volnosti, ale všechny reprezentace tří parametrů mají singularity. V obou případech se singularitám vyhneme přidáním dalšího parametru, tj. Použití n- vektoru (tři parametry) k reprezentaci horizontální polohy a jednotkového čtveřice (čtyři parametry) k reprezentaci orientace .

n -vector je reprezentace jedna k jedné , což znamená, že jakákoli poloha povrchu odpovídá jednomu jedinečnému n- vektoru a jakýkoli n- vektor odpovídá jedné jedinečné poloze povrchu.

Jako euklidovský 3D vektor lze pro výpočty poloh použít standardní 3D vektorovou algebru , díky čemuž je n- vektor vhodný pro většinu výpočtů vodorovných poloh.

Převod zeměpisné šířky a délky na n -vektor

Na základě definice souřadnicového systému ECEF , zvané e , je jasné, že přechodu od zeměpisné šířky / délky k n- vektoru je dosaženo:

${\ displaystyle \ mathbf {n} ^ {e} = \ left [{\ begin {matrix} \ cos (\ mathrm {latitude}) \ cos (\ mathrm {longitude}) \\\ cos (\ mathrm {latitude} ) \ sin (\ mathrm {zeměpisná délka}) \\\ sin (\ mathrm {zeměpisná šířka}) \\\ konec {matice}} \ doprava]}$

Horní index e znamená, že n -vector se rozkládají v souřadnicovém systému e (tedy první složkou je skalární projekce z n -vector Na x aretačním kroužkem z e , druhá na y aretačním kroužkem z e atd.). Všimněte si, že rovnice je přesná pro sférický i elipsoidní model Země.

Převod n- vektoru na šířku / délku

Ze tří složek n -vector, , , a , šířky lze nalézt za použití: ${\ displaystyle n_ {x} ^ {e}}$${\ displaystyle n_ {y} ^ {e}}$${\ displaystyle n_ {z} ^ {e}}$

${\ displaystyle \ mathrm {latitude} = \ arcsin \ left (n_ {z} ^ {e} \ right) = \ arctan \ left ({\ frac {n_ {z} ^ {e}} {\ sqrt {{n_ {x} ^ {e}} ^ {2} + {n_ {y} ^ {e}} ^ {2}}}} \ vpravo)}$

Výraz zcela vpravo je nejvhodnější pro implementaci počítačového programu.

Zeměpisná délka se zjistí pomocí:

${\ displaystyle \ mathrm {zeměpisná délka} = \ arctan \ left ({\ frac {n_ {y} ^ {e}} {n_ {x} ^ {e}}} \ right)}$

V těchto výrazech by mělo být implementováno pomocí volání atan2 ( y , x ). Pole jedinečnost zeměpisné délky, je zřejmé, jak je atan2 (0,0) je definována. Všimněte si, že rovnice jsou přesné pro sférický i elipsoidní model Země. ${\ displaystyle \ arctan (y / x)}$

Příklad: Velká kruhová vzdálenost

Zjištění velké kruhové vzdálenosti mezi dvěma vodorovnými polohami (za předpokladu sférické Země) se obvykle provádí pomocí zeměpisné šířky a délky. Běžné jsou tři různé výrazy pro tuto vzdálenost; první je založen na arccos , druhý je založen na arcsin a konečný je založen na arctanu . Výrazy, které jsou postupně složitější, aby se zabránilo numerické nestabilitě , nelze snadno najít, a protože jsou založeny na zeměpisné šířce a délce, mohou se pólové singularity stát problémem. Obsahují také delty zeměpisné šířky a délky, které by obecně měly být používány opatrně v blízkosti poledníku ± 180 ° a Poláků.

Řešení stejného problému pomocí n -vector je jednodušší díky možnosti použití vektorové algebry . Výraz arccos je dosaženo z skalární součin , přičemž velikost tohoto produktu kříže dává expresi arcsin. Kombinace těchto dvou dává arktanový výraz:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ Delta \ sigma = \ arccos \ left (\ mathbf {n} _ {a} \ cdot \ mathbf {n} _ {b} \ right) \\ & \ Delta \ sigma = \ arcsin \ left (\ left | \ mathbf {n} _ {a} \ times \ mathbf {n} _ {b} \ right | \ right) \\ & \ Delta \ sigma = \ arctan \ left ({\ frac {\ left | \ mathbf {n} _ {a} \ times \ mathbf {n} _ {b} \ right |} {\ mathbf {n} _ {a} \ cdot \ mathbf {n} _ {b} }} \ right) \\\ end {zarovnáno}}}$

kde a jsou n- vektory představující dvě polohy a a b . je úhlový rozdíl, a tedy vzdálenosti ve velkém kruhu je dosaženo vynásobením poloměrem Země. Tento výraz funguje také na pólech a na poledníku ± 180 °. ${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {b}}$${\ displaystyle \ Delta \ sigma}$

Existuje několik dalších příkladů, kde použití vektorové algebry zjednodušuje standardní úlohy. Obecné srovnání různých reprezentací najdete na stránce reprezentace horizontální polohy .

Viz také

• Znázornění vodorovné polohy
• Zeměpisná šířka
• Zeměpisná délka
• Universal Transverse Mercator coordinate system
• Čtveřice

Reference

externí odkazy

• Řešení 10 problémů pomocí n- vektoru